چشمه و چاه در سیالات – به زبان ساده

در این مطلب قصد داریم تا در مورد نوع خاصی از جریان تحت عنوان چشمه و چاه صحبت کنیم. همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شده بود، یکی از راه‌های بررسی شکل یک جریان در مکانیک سیالات استفاده از تابع پتانسیل و تابع جریان است. به‌ منظور درک بهتر جریانِ چاه و چشمه بهتر است در ابتدا با معادلات مربوط به جریان یکنواخت آشنا باشید.

جریان یکنواخت

جریان یکنواخت به جریانی گفته می‌شود که در آن تمامی خطوطِ جریان، موازی هم باشند. معادله میدانِ سرعت برای یک جریان یکنواخت به صورت زیر است.

$$\overrightarrow { V } = u \hat { \imath } + v \hat { \jmath }$$

در یک میدان دوبعدی سرعت‌ها در راستای $$x$$ و $$y$$ را معمولا با $$u _ \infty$$ و $$v _ \infty$$ نشان می‌دهند. البته در مواردی می‌توان با استفاده از سرعت $$V _ \infty$$ و زاویه $$\alpha$$ نیز مولفه‌های سرعت را به صورت زیر بیان کرد:

$$\begin {array} { l } { u = u _ { \infty } = V _ { \infty } \cos \alpha } \\ { v = v _ { \infty } = V _ { \infty } \sin \alpha } \end {array}$$

در رابطه فوق $$V _ \infty$$ برابر است با:

$$\color {white} {V _ { \infty } ^ { 2 } = u _ { \infty } ^ { 2 } } V _ { \infty } ^ { 2 } = u _ { \infty } ^ { 2 } + v _ { \infty } ^ { 2 } \color {white} {V _ { \infty } ^ { 2 } = u _ { \infty } ^ { 2 } }$$

در این صورت می‌توان معادله پتانسیل و جریان مربوط به میدان فوق را مطابق با رابطه زیر بیان کرد:

$$\begin {array} { l } { \phi ( x , y ) = u _ { \infty } x + v _ { \infty } y = V _ { \infty } ( x \cos \alpha + y \sin \alpha ) } \\ { \psi ( x , y ) = u _ { \infty } y - v _ { \infty } x = V _ { \infty } ( y \cos \alpha - x \sin \alpha ) } \end {array}$$

شکل جریان ارائه شده، در ادامه آمده است.

گرادیان صفر

به سادگی می‌توان نشان داد که گرادیان یک میدان یکنواخت برابر با صفر است. بنابراین برای چنین جریانی می‌توان گفت:

$$\nabla \cdot \overrightarrow { V } = \frac { \partial u _ { \infty } } { \partial x } + \frac { \partial v _ { \infty } } { \partial y } = 0$$

توجه داشته باشید که هر دو مقدار $$u _ \infty$$ و $$v _ \infty$$، اعدادی ثابت هستند. عبارت فوق، معادله زیر را برای تابع پتانسیل ($$\phi ( x , y )$$) نتیجه می‌دهد.

$$\nabla ^ { 2 } \phi = \frac { \partial ^ { 2 } \left( u _ { \infty } x + v _ { \infty } y \right) } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \left ( u _ { \infty } x + v _ { \infty } y \right ) } { \partial y ^ { 2 } } = 0$$

همان‌طور که احتمالا می‌دانید، معادله بالا نشان‌دهنده معادله لاپلاس است.

کرلِ صفر

همانند گرادیان، کرلِ یک میدان یکنواخت نیز برابر با صفر است (دلیل این امر غیرچرخشی بودن میدان جریان است).
بنابراین می‌توان گفت:

$$\nabla \times \overrightarrow { V } \equiv \overrightarrow { \xi } = \left( \frac { \partial v_{\infty } } { \partial x } - \frac { \partial u _ { \infty } } { \partial y } \right) \hat { k } = 0$$

رابطه فوق معادله لاپلاس برای تابع جریان یا $$\psi ( x , y )$$ را نتیجه می‌دهد. در نتیجه می‌توان گفت:

$$\nabla ^ { 2 } \psi = \frac { \partial ^ { 2 } \left( u _ { \infty } y - v _ { \infty } x \right) } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \left( u _ { \infty } y -v _ { \infty } x \right ) } { \partial y ^ { 2 } } = 0$$

چشمه و چاه

چشمه و چاه به جریانی گفته می‌شود که از نقطه‌ای مشخص از آن جریان خارج یا به آن وارد می‌شود. معمولا شکل ریاضی چشمه را در مختصات قطبی نشان می‌دهند. مولفه شعاعی و مماسی جریان چشمه و چاه را می‌توان مطابق با دو رابطه زیر بیان کرد:

 $$V _ { r } = \frac { \Lambda } { 2 \pi r } \quad , \quad \quad V _ { \theta } = 0$$

فیلم آموزش مقدماتی مکانیک سیالات ۲ در فرادرس

کلیک کنید

$$Λ$$ ثابتی مقیاس‌بندی شده است که به آن قدرت چشمه گفته می‌شود. دبی جریان بر واحد عمق صفحه، با استفاده از انتگرال، به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$\dot { \mathcal { V } } ^ { \prime } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \overrightarrow { V } \cdot \hat { n } d A = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } V _ { r } r d \theta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \Lambda } { 2 \pi r} r d \theta = \Lambda$$

همان‌طور که انتگرال فوق نیز نشان می‌دهد، قدرت چشمه نشان‌دهند‌ه دبی در واحد عمق صفحه است ($$\dot { \mathcal { V } } = \Lambda$$). علامت $$\Lambda$$ نیز نشان‌دهنده چاه یا چشمه بودن جریان است. در حقیقت علامت مثبت، نشان‌دهنده چشمه و علامت منفی، نشان‌دهنده چاه بودن جریان است. در شکل زیر، یک چشمه و مولفه‌های سرعت شعاعی و مماسی آن نشان داده شده است.

شکل کارتزینی

مولفه‌های سرعت در راستای $$x$$ که با $$u$$ نشان داده می‌شود و سرعت در راستای $$y$$ یا همان $$v$$ را می‌توان در دستگاه کارتزینی، به شکل زیر بیان کرد:

$$\begin {aligned} u ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \frac { x }{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ v ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end{aligned}$$

همچنین پتانسیل و تابع جریان نیز در این دستگاه برابرند با:

$$\begin {aligned} \phi ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \ln r \\ \psi ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \arctan ( y / x ) = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \theta \end {aligned}$$

بدیهی است که دو تابع ارائه شده در بالا معادلات لاپلاس را ارضا می‌کنند. در حقیقت می‌توان گفت:

$$\nabla ^ { 2 } \phi=0 \text { , } \nabla ^ { 2 } \psi = 0$$

صفر بودن عبارات فوق به این معنی است که می‌توان جریان را به صورت تراکم‌ناپذیر و غیرچرخشی در نظر گرفت.

تکینگی

نقطه مرکز یا  $$( 0 , 0 )$$، تحت عنوان نقطه تکینِ جریان چشمه شناخته می‌شود. در حقیقت هرچه به نقطه تکین نزدیک‌تر می‌شویم، سرعت شعاعی به سمت بینهایت نزدیک می‌شود. دلیل این امر وابستگی این سرعت به صورت زیر است.

$$\psi = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \left( \theta _ { 1 } -\theta _ { 2 } \right ) + V _ { \infty } r \sin \theta$$

اگرچه جریان در نقطه تکینش مفهومی فیزیکی ندارد، اما می‌توان از معادلات خط جریانِ چاه و چشمه به منظور توصیف شکل کلی جریان استفاده کرد. البته قبل از استفاده از معادله باید از خارج بودن نقطه تکین از ناحیه مورد بررسی اطمینان حاصل کرد.

جریان یکنواخت و چشمه

به منظور بررسی جریان‌های مختلف می‌توان میدان‌های جریان و پتانسیل آن‌ها را با استفاده از اصل برهم‌نهی جمع زد. برای نمونه میدان‌های سرعت، پتانسیل و خط جریان مربوط به یک چشمه به همراه جریان یکنواخت، مطابق با روابط زیر بدست می‌آیند.

$$\begin {aligned} u ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \frac { x }{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + V _ { \infty } \\ v ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ \phi ( x , y ) & = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + V _ { \infty } x = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \ln r + V _ { \infty } r \cos \theta \\ \psi ( x , y ) & = \frac { \Lambda} { 2 \pi} \arctan ( y / x ) + V _ { \infty } y = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \theta + V _ { \infty } r \sin \theta \end {aligned}$$

در شکل زیر خطوط جریان یکنواخت، چشمه و ترکیب آن‌ها به ترتیب از چپ به راست نشان داده شده است.

شکل سمت راست که نشان‌دهنده ترکیب چاه و یک چشمه است، شکل جریان حول جسمی همچون گلوله را نشان می‌دهد.

جریان یکنواخت به همراه چاه و چشمه

جسمی بسته به شکل بیضی را در نظر بگیرید. فرض کنید هدف بدست آوردن شکل خطوط جریان اطراف این جسم باشد. در این صورت می‌توان یک چشمه و چاه با قدرت برابر را با یک جریان یکنواخت جمع زد. برای نمونه می‌توان با قرار دادن یک چشمه در $$( − ℓ / 2 , 0 )$$ و یک چاه در $$( + ℓ / 2 , 0 )$$ و جریانی یکنواخت، به رابطه زیر دست یافت.

$$\psi = \frac { \Lambda } { 2 \pi } \left( \theta _ { 1 } -\theta _ { 2 } \right ) + V _ { \infty } r \sin \theta$$

شکل چنین جریانی در ادامه نشان داده شده است.

منحنی درشت‌تر در تصویر فوق نشان‌دهنده شکل جسم است. معمولا به جسمی به شکل بالا، جسم رانکین گفته می‌شود.

دوقطبی

یک جفت چشمه-چاه را برابر با $$± Λ$$ در نظر بگیرید که در نقاط $$(∓ ℓ / 2 , 0 )$$ در فاصله $$l$$ قرار گرفته‌اند. فرض کنید که فاصله چاه و چشمه به نحوی کاهش یابد که حاصل ضرب $$κ ≡ ℓ Λ$$ برابر با عددی ثابت باشد. در این صورت به جریان بدست آمده دوقطبی با قدرت $$κ$$ گفته می‌شود. معادله و شکل جریان یک دوقطبی نیز برابر است با:

$$\large \psi = \lim _ { l \rightarrow 0 \atop \kappa = \operatorname {const.} } - \frac { \kappa } { 2 \pi \ell } \Delta \theta = -\frac { \kappa } { 2 \pi } \frac { \sin \theta } { r }$$

با روشی مشابه، با محاسبه حد جمعِ پتانسیلِ چاه و چشمه، تابع پتانسیل دوقطبی برابر می‌شود با:

$$\phi = \frac { \kappa } { 2 \pi } \frac { \cos \theta } { r }$$

ثابت‌های استفاده شده در معادله خطوط جریان نیز برابرند با:

$$\begin {aligned} \psi & = - \frac { \kappa } { 2 \pi } \frac { \sin \theta }{ r } = c = \mathrm {constant} \\ r & = d \sin \theta \\ d & = - \frac { \kappa } { 2 \pi c } \end {aligned}$$

در مختصات قطبی، معادلات فوق نشان‌دهنده دایره‌هایی با قطر‌های $$d$$ هستند که مرکز آن‌ها در نقاط $$x , y = ( 0 , \pm d / 2 )$$ قرار گرفته‌اند.

جریان حول استوانه

از کاربرد‌های جالب معادله دوقطبی استفاده از آن در شبیه‌سازی جریان حول استوانه است. می‌توان گفت شکل جریان حول یک استوانه به شعاع $$R$$ را می‌توان برابر با حاصل جمع جریان یکنواخت و یک دوقطبی (چاه+چشمه) در نظر گرفت. بنابراین شکل خط جریان و پتانسیل در جریان حول استوانه برابر است با:

$$\psi = V _ { \infty } r \sin \theta - \frac { \kappa } { 2 \pi } \frac { \sin \theta }{ r } = V _ { \infty } r \sin \theta \left( 1 - \frac { \kappa } { 2 \pi V _ { \infty } r ^ { 2 } } \right)$$

$$\psi = V _ { \infty } r \sin \theta \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right)$$

$$R ^ { 2 } \equiv \kappa /\left( 2 \pi V _ { \infty } \right)$$

در شکل زیر، جریان یکنواخت، دوقطبی قرار گرفته در مرکز و جریان حول استوانه نشان داده شده‌اند.

سرعت‌های شعاعی و مماسی را نیز می‌توان با مشتق‌گیری از تابع جریان، مطابق با روابط زیر بدست آورد.

$$\begin {aligned} V _ { r } & = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } = V _ { \infty} \cos \theta \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \\ V _ { \theta } & = - \frac { \partial \psi } { \partial r } = - V _ { \infty } \sin \theta \left(1+\frac{R^{2}}{r^{2}}\right) \end{aligned}$$

سرعت‌ و فشار سطحی

روی سطح استوانه ارائه شده در بالا ($$r = R$$)، سرعت‌های شعاعی و مماسی برابرند با:

$$\begin {aligned} V _ { r } & = 0 \\ V _ { \theta } & = - 2 V _ { \infty } \sin \theta \end {aligned}$$

با توجه به دو رابطه فوق می‌توان گفت بیشترین سرعت روی سطح استوانه، در زوایای $$\pm 90 ^ { \circ }$$ رخ داده که اندازه آن نیز برابر با $$2 V _ { \infty }$$ است. پس از بدست آمدن توزیع سرعت روی استوانه، توزیع فشار نیز با استفاده از معادله برنولی بدست می‌آید. توزیع فشار برابر است با:

$$p ( \theta ) = p _{ o } - \frac { 1 } { 2 } \rho \left( V _ { r } ^ { 2 } + V _ { \theta } ^ { 2 } \right)$$

با قرار دادن $$V _ r = 0$$ و $$V _ { theta } ( \theta )$$ و استفاده از فشار کل ($$p _ O$$)، توزیع فشار روی استوانه برابر می‌شود با:

$$p _ { o } = p _ { \infty } + \frac { 1 } { 2 } \rho V _ { \infty } ^ { 2 }$$

با بازنویسی رابطه فوق، نهایتا توزیع فشار برابر می‌شود با:

$$p ( \theta ) = p _ { \infty } + \frac { 1 } { 2 } \rho V _ { \infty } ^ { 2 } \left( 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta \right)$$

با بدست آمدن توزیع فشار، ضریب فشار نیز مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$C _ { p } ( \theta ) \equiv \frac { p ( \theta ) - p _ { \infty } } { \frac { 1 } { 2 } \rho V _ { \infty } ^ { 2 } } = 1 - 4 \sin ^ { 2 } \theta$$

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• سینماتیک سیالات — مقدمه‌ای بر مکانیک
• معادله برنولی -- به زبان ساده
• انسیس (ANSYS) — آموزش کاربردی

^^