چارک چیست؟ – توضیح به زبان ساده با مثال

یکی از مفاهیم مهم در شاخه آمار توصیفی مبحث «چارک» (Quartile) است. چارک عبارت است از سه مقدار عددی که برای تقسیم‌بندی داده‌های مرتب شده به چهار بخش بکار می‌روند، طوری که هر کدام از این بخش‌ها دارای تعداد مساوی از مشاهدات باشند. چارک‌ها نشان‌دهنده میزان تمایل مرکزی یا تنوع در یک مجموعه داده‌ هستند و می‌توان از آن‌ها برای تقسیم یک توزیع‌ احتمال به چهار بخش استفاده کرد، طوری که هر بخش احتمال برابری با دیگری داشته باشد. در این مطلب از مجله فرادرس یاد می‌گیریم که چارک چیست، مراحل محاسبه آن به چه صورت است و چگونه نمایش داده می‌شود. همچنین با حل و بررسی مثال‌های مختلف، به شما کمک می‌کنیم تا درک بهتری از این ابزار توصیفی در آمار به‌دست آورید.

چارک چیست؟

در یک نمونه یا در یک مجموعه داده، چارک‌ معادل است با سه مقدار عددی که داده‌ها را به چهار گروه با تعداد مشاهدات برابر تقسیم‌بندی می‌کند. اگر توزیع احتمال داشته باشیم، چارک‌ بازه این توزیع را به چهار فاصله با احتمال مساوی تقسیم‌بندی می‌کند. سه مقدار عددی چارک به‌ترتیب برابر هستند با چارک اول یا چارک پایین‌، چارک دوم یا میانه و چارک سوم یا چارک بالا. از چارک‌‌ها برای اطلاع از شکل توزیع و نحوه پخش‌شدن داده‌ها استفاده می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

فرض کنید مقداری داده دارید که پس از مرتب‌سازی بر اساس کمترین مقدار تا بیشترین مقدار، کاملا می‌دانید کمترین مقدار، بیشترین مقدار و عددی که در جایگاه وسط این داده‌ها قرار می‌گیرد، چه هستند. در این صورت سه چارک را می‌توانیم به‌ شکل زیر تعریف کنیم:

• چارک اول که با Q_۱ یا چارک پایین‌تر هم شناخته می‌شود، عددی است که دقیقا بین کمترین مقدار و عدد وسط قرار می‌گیرد.
• چارک دوم یا Q_۲ را میانه هم می‌نامند که عدد وسط بین کمترین و بیشترین مقدار در نظر گرفته می‌شود.
• چارک سوم یا Q_۳ که چارک بالاتر هم نامیده می‌شود، عددی است که بین عدد وسط و بیشترین مقدار قرار می‌گیرد.

در ادامه با توضیح یک مثال ساده یاد می‌گیریم که مراحل یافتن چارک چیست و از چه فرمول‌هایی برای پیدا کردن چارک‌های اول تا سوم می‌توانیم استفاده کنیم.

مسیر یادگیری آمار و احتمال با فرادرس

در بخش قبل تقریبا متوجه شدیم تعریف چارک چیست. پیش از اینکه به ادامه یادگیری مفهوم چارک در آمار بپردازیم، در این بخش می‌خواهیم یک مسیر یادگیری در شاخه آمار و احتمال به شما پیشنهاد دهیم. در فرادرس، چندین فیلم‌ آموزش بر اساس عناوین کتاب‌های درسی ریاضی تهیه شده است. بنابراین شما می‌توانید با مشاهده این فیلم‌های آموزشی مسیر یادگیری خود را هموارتر کنید. توضیح مبحث آمار و احتمال از فصل نهم کتاب ریاضی پایه هفتم شروع می‌شود و تا پایه دوازدهم تقریبا در هر مقطع و رشته‌ای بخشی از مباحث این شاخه توضیح داده شده است. بنابراین اگر دانش‌آموز هستید و می‌خواهید تسلط کاملی بر کلیه مطالب مربوط به آمار و احتمال در مقطع متوسطه داشته باشید، عناوین پیشنهادی در لیست زیر را به‌ترتیب مشاهده کنید:

1. 1. فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
   2. فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
   3. فیلم آموزش ریاضی پایه دهم فرادرس
   4. فیلم آموزش ریاضی پایه یازدهم علوم تجربی فرادرس

1. فیلم آموزش آمار و احتمال پایه یازدهم فرادرس
2. فیلم آموزش ریاضی پایه دوازدهم علوم تجربی فرادرس

همچنین در کتاب درسی ریاضی دهم رشته علوم انسانی مفهوم چارک و دامنه میان‌چارکی توضیح داده شده است. مشاهده فیلم آموزش مربوط به این دوره نیز یادگیری شما را عمیق‌تر خواهد کرد:

1. فیلم آموزش رایگان نمایش داده ها ریاضی پایه دهم علوم انسانی فرادرس
2. فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ پایه دهم علوم انسانی فرادرس
3. فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ پایه دهم به همراه حل سوالات کنکور فرادرس
4. فیلم آموزش ریاضی و آمار ۲ پایه یازدهم علوم انسانی

مراحل محاسبه چارک‌

پس از اینکه تا حدی یاد گرفتیم سه مقدار عددی چارک چه نام دارند و چگونه تعریف می‌شوند، در این بخش در قالب یک مثال خیلی ساده، نشان می‌دهیم که گام‌های یافتن چارک چیست. دقت کنید مراحل این بخش در شرایطی کاربرد دارند که بخواهیم چارک را برای یک نمونه یا یک مجموعه داده پیدا کنیم.

فیلم آموزش ریاضی و آمار 1 – پایه دهم علوم انسانی در فرادرس

کلیک کنید

مثلا فرض کنید چند داده‌ عددی شامل یک عدد ۱۲، یک عدد ۸، سه عدد ۹، یک عدد ۴، سه عدد ۵ و دو عدد ۲ داریم. یعنی در مجموع ۱۱ عدد داریم که برخی از این اعداد هم تکراری هستند. می‌خواهیم چارک‌ها را برای این مجموعه داده پیدا کنیم. طبق مراحل زیر پیش می‌رویم:

• مرحله اول: شمارش داده‌ها
• مرحله دوم: مرتب‌سازی داده‌ها
• مرحله سوم: تعیین چارک اول
• مرحله چهارم: تعیین چارک دوم
• مرحله پنجم: تعیین چارک سوم

در شکل‌های بخش‌های بعدی، سه چارک موردنظر برای مجموعه داده‌ای که مثال می‌زنیم توسط دایره‌های سبز رنگی مشخص شده‌اند. اما بیاید مرحله به مرحله به هر کدام از این سه دایره سبز دست پیدا کنیم.

مرحله اول: شمارش داده‌ها

اولین مرحله شمارش تعداد مشاهدات یا داده‌هایی است که در اختیار داریم. عدد نهایی را با n نشان می‌دهیم. همان‌طور که اشاره شد، در این مثال ما تعداد n = ۱۱ داده داریم.

مرحله دوم: مرتب‌سازی داده‌ها

دومین مرحله برای اینکه بتوانیم تشخیص دهیم چارک چیست، این است که داده‌‌ها را به شکل زیر مرتب کنیم. منظورمان از مرتب‌سازی داده‌ها این است که آن‌ها را به‌ترتیب از سمت چپ به راست از کمترین مقدار به بیشترین مقدار بنویسیم. پیش از اینکه مرحله سوم را توضیح دهیم، اگر دانشجو هستید و تمایل دارید پایه خود را در مورد مباحث آمار و احتمال قوی کنید، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزشی آمار و احتمال مهندسی فرادرس را که لینک آن در ادامه برای شما قرار داده شده است، مشاهده کنید:

فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی – جامع و با مثال های مختلف در فرادرس

کلیک کنید

مرحله سوم: تعیین چارک اول

حالا می‌خواهیم ببینیم اولین چارک چیست. طبق تعریف، چارک اول یا پایین‌تر آن داده‌ای است که دقیقا بین کمترین مقدار و عدد وسط قرار دارد. در اینجا فرمولی برای پیدا کردن Q_۱ بیان می‌کنیم که به‌راحتی بتوانید آن را تشخیص دهید:

$$\frac{1}{4}n$$

با محاسبه عبارت بالا عددی به‌دست خواهد آمد که یکی از دو حالت زیر را خواهد داشت:

• اگر حاصل $$\frac{1}{4}n$$ یک عدد صحیح شود، در این صورت چارک اول برابر است با میانگین اعداد در موقعیت‌های $$\frac{1}{4}n$$ و $$\frac{1}{4}n+1$$.
• اگر حاصل $$\frac{1}{4}n$$ یک عدد صحیح نشود، در این صورت این عدد باید به سمت بالا گرد شود. حاصل نشان‌دهنده شماره جایگاه یا موقعیتی است که چارک پایین‌تر در آن قرار دارد.

دقت کنید عدد صحیح عددی است که بدون بخش اعشاری یا کسری نوشته شود. برای مثال ۱، ۰، ۲- اعداد صحیح هستند ولی ۱٫۲ عدد صحیح محسوب نمی‌شود. اگر به مجموعه داده‌ای که انتخاب کرده بودیم، بازگردیم، اول باید $$\frac{1}{4}n$$ را محاسبه کنیم که می‌شود:

$$\frac{1}{4}n=\frac{11}{4}=2.75$$

۲٫۷۵ یک عدد صحیح نیست. پس طبق دومین حالت، باید این عدد را گرد کنیم. گرد شده این عدد به سمت بالا، برابر با ۳ خواهد شد. پس سومین جایگاه از سمت چپ را به‌عنوان Q_۱ در نظر می‌گیریم که برابر می‌شود با عدد ۴.

مرحله چهارم: تعیین چارک دوم

برای اینکه ببینیم میانه یا دومین چارک چیست، ابتدا $$\frac{2}{4}n$$ را محاسبه می‌کنیم که حاصل آن ممکن است دو حالت داشته باشد:

فیلم آموزش آمار و کاربرد آن در مدیریت 1 در فرادرس

کلیک کنید

• اگر حاصل $$\frac{2}{4}n$$ یک عدد صحیح شود، در این صورت چارک دوم برابر است با میانگین اعداد در موقعیت‌های $$\frac{2}{4}n$$ و $$\frac{2}{4}n+1$$.
• اگر حاصل $$\frac{2}{4}n$$ یک عدد صحیح نشود، در این صورت این عدد باید به سمت بالا گرد شود. حاصل نشان‌دهنده شماره جایگاه یا موقعیتی است که چارک دوم در آن قرار دارد.

در مثال ما، مقدار $$\frac{2}{4}n$$ برابر خواهد شد با $$\frac{2}{4}n=\frac{11}{2}=5.5$$. عدد ۵٫۵ یک عدد صحیح نیست، پس باید به سمت بالا گرد شود. حاصل ۶ خواهد شد، به این معنا که چارک دوم در ششمین جایگاه از سمت چپ قرار می‌گیرد. در نتیجه مقدار چارک دوم می‌شود ۵.

مرحله پنجم: تعیین چارک سوم

به‌عنوان آخرین مرحله برای تعیین اینکه چارک چیست، اگر عدد بین بیشترین مقدار و عدد وسط را پیدا کنیم، چارک بالاتر یا چارک سوم هم مشخص شده است. اما با فرمول دقیق‌تر می‌توانیم این عدد را پیدا کنیم. ابتدا $$\frac{3}{4}n$$ را محاسبه می‌کنیم و با توجه به حاصل آن، یکی از دو روش زیر را ادامه می‌دهیم:

• اگر حاصل $$\frac{3}{4}n$$ یک عدد صحیح شود، در این صورت چارک سوم برابر است با میانگین اعداد در موقعیت‌های $$\frac{3}{4}n$$ و $$\frac{3}{4}n+1$$.
• اگر حاصل $$\frac{3}{4}n$$ یک عدد صحیح نشود، در این صورت این عدد باید به سمت بالا گرد شود. حاصل نشان‌دهنده شماره جایگاه یا موقعیتی است که چارک بالاتر در آن قرار دارد.

در مجموعه داده‌ انتخابی ما، حاصل $$\frac{3}{4}n$$ برابر است با $$\frac{33}{4}=8.25$$. اگر این عدد به سمت بالا گرد شود، حاصل ۹ خواهد شد. بنابراین نهمین جایگاه در مجموعه اعداد ما از سمت چپ متعلق به چارک سوم است. پس Q_۳ = ۹. این نکته را فراموش نکنید که گرد کردن همیشه به سمت بالا انجام می‌شود. دقت کنید طبق تعریف اول نوشته، دیدیم که چارک‌ها مجموعه داده‌های ما را به چهار بخش مساوی تقسیم‌بندی کردند، طوری که در هر بخش تعداد داده‌ها یا تعداد مشاهدات مساوی داریم (در هر بخش ۲ داده داریم).

همچنین ذکر این نکته ضروری بنظر می‌رسد که توافق جهانی برای بهترین راه تعیین چارک‌ها وجود ندارد. پیش از اینکه به ادامه یادگیری و بررسی مثال‌ها بپردازید، پیشنهاد می‌کنیم اگر دانش‌آموز پایه دهم هستید، به مطلب «فرمول های ریاضی دهم در یک نگاه و با مثال» از مجله فرادرس مراجعه کنید. در این نوشته کلیه فرمول‌های کتاب ریاضی دهم از جمله روابط مربوط به فصل هفتم - آمار و احتمال برای شما جمع‌آوری شده است که به‌عنوان یک منبع بسیار کاربردی است.