سری فوریه مختلط – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

معادله اویلر

$$\Large e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta$$

که در آن، $$i$$ واحد موهومی است ($$i^2 =-1$$). می‌توان توابع مثلثاتی را با نمایش توابع نمایی مختلط جایگزین کرد:

$$\Large cos \theta = \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}=\frac{1}{2} e^{i \theta} + \frac{1}{2} e^{-i \theta}$$

$$\Large sin \theta = \frac{e^{i \theta }- e^{-i \theta}}{2i} = -\frac{1}{2} ie^{i \theta} + \frac{1}{2} i e^{-i \theta}$$

اگر از $$e^{i \theta}$$ به جای توابع $$cos \theta$$ و $$sin \theta$$ استفاده کنیم، روابط ساده‌تر خواهند شد. در جدول زیر، چند نمونه نشان داده شده است:

سری فوریه مختلط

سری مختلط فوریه نیز با استفاده از $$e^{i \theta}$$ نوشته می‌شود. تابع $$f(x)$$ در بازه $$-l \leq x \leq l$$ تعریف می‌شود و دوره تناوب آن برابر با $$T=2l$$‌ است. سری فوریه این تابع به صورت زیر است:

$$\Large f(x)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty \bigl( a_n\cos (\frac{\pi nx}{l})+b_n \sin (\frac{\pi nx}{l}) \bigr)$$

حال اگر از روابط مربوط به تبدیل سینوس و کسینوس استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$\Large \begin{align*} &\cos(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{1}{2}e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\\ &\sin(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{1}{2i}e^{-\frac{i\pi n x}{l}} \end{align*}$$

پس می‌توان تابع $$f(x)$$ را به صورت زیر نوشت:

$$\Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{a_n}{2}e^{\frac{-i\pi n x}{l}}+\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}\bigr)$$

بنابراین:

$$\Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \bigl( \frac{a_n}{2}-\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}+\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{-i\pi n x}{l}}\bigr)= \sum_{-\infty} ^\infty c_n e^{\frac{i\pi n x }{l}}$$
معادله (۱)

ضرایب سری فوریه مختلط

ضرایب $$c_n$$ یا ضرایب سری فوریه مختلط به صورت زیر هستند:

$$\Large {{c_0} = \frac{{{a_0}}}{2},\;\;\;}\kern0pt {{c_n} = \frac{{{a_n} – i{b_n}}}{2},\;\;\;}\kern0pt {{c_{ – n}} = \frac{{{a_n} + i{b_n}}}{2}.}$$

این ضرایب از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شوند:

$$\Large c_n= \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x)e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\,dx \qquad n=\ldots,-2, -1, 0,1,2,\ldots.$$
معادله (۲)

رابطه پارسوال برای سری فوریه مختلط به صورت زیر خواهد بود:

$$\Large 2l\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2= \int_{-l}^{l} |f(x)|^2\,dx.$$
معادله (۳)

در ادامه با حل چند مثال، به بررسی فرم مختلط سری فوریه می‌پردازیم.

مثال ۱

سری فوریه مختلط را برای تابع علامت زیر بیابید:

$$\Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }= {\begin{cases} -1, & -\pi \le x \le 0 \\ 1, & 0 \lt x \le \pi \end{cases}.}$$

حل: ضرایب $$c_0$$ و $$c_n$$ برای این تابع، به صورت زیر هستند:

$$\begin{align*}<br /> \large \require{cancel}<br /> {{c_0} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} }<br /> &=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {dx} } \right] } \\<br /> &=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\left. {\left( { – x} \right)} \right|_{ – \pi }^0 + \left. x \right|_0^\pi } \right] }<br /> = {\frac{1}{{2\pi }}\left( { – \cancel{\pi} + \cancel{\pi }} \right) }={0}<br /> \end{align*}$$