سری فوریه مختلط — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره سری فوریه و تبدیل فوریه صحبت کردیم. در این آموزش به بررسی سری فوریه مختلط خواهیم پرداخت.

معادله اویلر

معادله اویلر، یک تابع نمایی را به جمع توابع و سینوسی و کسینوسی تبدیل می‌کند:

$$\Large e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$i$$ واحد موهومی است ($$i^2 =-1 $$). می‌توان توابع مثلثاتی را با نمایش توابع نمایی مختلط جایگزین کرد:

$$\Large cos \theta = \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}=\frac{1}{2} e^{i \theta} + \frac{1}{2} e^{-i \theta}$$

$$\Large sin \theta = \frac{e^{i \theta }- e^{-i \theta}}{2i} = -\frac{1}{2} ie^{i \theta} + \frac{1}{2} i e^{-i \theta}$$

اگر از $$e^{i \theta}$$ به جای توابع $$cos \theta$$ و $$ sin \theta$$ استفاده کنیم، روابط ساده‌تر خواهند شد. در جدول زیر، چند نمونه نشان داده شده است:

سری فوریه مختلط

سری مختلط فوریه نیز با استفاده از $$e^{i \theta}$$ نوشته می‌شود. تابع $$f(x)$$ در بازه $$-l \leq x \leq l$$ تعریف می‌شود و دوره تناوب آن برابر با $$T=2l$$‌ است. سری فوریه این تابع به صورت زیر است:

$$\Large f(x)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty \bigl( a_n\cos (\frac{\pi nx}{l})+b_n \sin (\frac{\pi nx}{l}) \bigr)$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

حال اگر از روابط مربوط به تبدیل سینوس و کسینوس استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$\Large \begin{align*} &\cos(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{1}{2}e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\\ &\sin(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{1}{2i}e^{-\frac{i\pi n x}{l}} \end{align*}$$

پس می‌توان تابع $$f(x)$$ را به صورت زیر نوشت:

$$\Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{a_n}{2}e^{\frac{-i\pi n x}{l}}+\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}\bigr)$$

بنابراین:

$$\Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \bigl( \frac{a_n}{2}-\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}+\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{-i\pi n x}{l}}\bigr)= \sum_{-\infty} ^\infty c_n e^{\frac{i\pi n x }{l}} $$
معادله (۱)

ضرایب سری فوریه مختلط

ضرایب $$c_n$$ یا ضرایب سری فوریه مختلط به صورت زیر هستند:

$$\Large {{c_0} = \frac{{{a_0}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{{c_n} = \frac{{{a_n} – i{b_n}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{{c_{ – n}} = \frac{{{a_n} + i{b_n}}}{2}.} $$

این ضرایب از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شوند:

$$\Large c_n= \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x)e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\,dx \qquad n=\ldots,-2, -1, 0,1,2,\ldots. $$
معادله (۲)

رابطه پارسوال برای سری فوریه مختلط به صورت زیر خواهد بود:

$$ \Large 2l\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2= \int_{-l}^{l} |f(x)|^2\,dx.$$
معادله (۳)

در ادامه با حل چند مثال، به بررسی فرم مختلط سری فوریه می‌پردازیم.

مثال ۱

سری فوریه مختلط را برای تابع علامت زیر بیابید:

$$\Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }=
{\begin{cases}
-1, & -\pi \le x \le 0 \\
1, & 0 \lt x \le \pi
\end{cases}.}$$

حل: ضرایب $$c_0$$ و $$c_n$$ برای این تابع، به صورت زیر هستند:

$$\begin{align*}
\large \require{cancel}
{{c_0} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} }
&=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {dx} } \right] } \\
&=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\left. {\left( { – x} \right)} \right|_{ – \pi }^0 + \left. x \right|_0^\pi } \right] }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left( { – \cancel{\pi} + \cancel{\pi }} \right) }={0}
\end{align*}$$

به ازای $$n \ne 0$$ خواهیم داشت:

$$\large \begin{align*}
{{c_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right){e^{ – inx}}dx} }
&= {{\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right){e^{ – inx}}dx} }\right.}+{\left.{ \int\limits_0^\pi {{e^{ – inx}}dx} } \right] }} \\
&= {{\frac{1}{{2\pi }}\left[ { – \frac{{\left. {\left( {{e^{ – inx}}} \right)} \right|_{ – \pi }^0}}{{ – in}} }\right.}+{\left.{ \frac{{\left. {\left( {{e^{ – inx}}} \right)} \right|_0^\pi }}{{ – in}}} \right] }} \\
&= {{\frac{i}{{2\pi n}}\left[ { – \left( {1 – {e^{in\pi }}} \right) }\right.}+{\left.{ {e^{ – in\pi }} – 1} \right] }}
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ – in\pi }}}}{2} – 1} \right] } \\
&= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\cos n\pi – 1} \right] }
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {{{\left( { – 1} \right)}^n} – 1} \right].}
\end{align*}$$

اگر $$n = 2k$$ باشد، $${c_{2k}} = 0$$ است. حال اگر $$n = 2k – 1$$ باشد، $${c_{2k – 1}} = – {\frac{{2i}}{{\left( {2k – 1} \right)\pi }}\normalsize}$$ خواهد بود. پس در حالت کلی، سری فوریه مختلط برای «تابع علامت» (Sign Function) به صورت زیر است:

$$\Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = – \infty }^\infty {\frac{1}{{2k – 1}}{e^{i\left( {2k – 1} \right)x}}} .}$$

سری مختلط فوریه بیان‌شده برای تابع علامت را می‌توان به سری فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیل کرد. با تغییر متغیر $$n$$ به صورت $$n = 2k – 1,n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$$، داریم:

$$\large \begin{align*}
{f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
&= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = – \infty }^\infty {\frac{1}{{2k – 1}}{e^{i\left( {2k – 1} \right)x}}}}
= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = – \infty }^\infty {\frac{{{e^{inx}}}}{n}} } \\
&= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{e^{ – inx}}}}{{ – n}} + \frac{{{e^{inx}}}}{n}} \right)} } \\
&= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{inx}} – {e^{ – inx}}}}{{2in}}} }
= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nx}}{n}} } \\
&= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin \left( {2k – 1} \right)x}}{{2k – 1}}} .}
\end{align*}$$

مثال ۲

سری فوریه مختلطِ تابع $$f(x)=x^2$$ را روی بازه $$[-1,1]$$ بیابید.

حل: نیم‌تناوب در این حالت برابر با $$l=\frac{T}{2}=1$$ است. بنابراین، ضریب $$c_0$$ به صورت زیر به دست می‌آيد:

$$\Large {{c_0} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ – L}^L {f\left( x \right)dx} }  = {\frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}dx} }  = {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^1} \right] }  = {\frac{1}{6}\left[ {{1^3} – {{\left( { – 1} \right)}^3}} \right] }  = {\frac{1}{3}.}$$

برای $$n \ne 0$$ خواهیم داشت:

$$\Large {{c_n} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ – L}^L {f\left( x \right){e^{ – \frac{{in\pi x}}{L}}}dx} }  = {\frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}{e^{ – {in\pi x}}}dx} .}$$

با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:

$$\large \begin{align*}
{c_n} &=\kern0pt{{ \frac{1}{2}\Big[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}} \right)} \right|_{ – 1}^1 }}-{{ \int\limits_{ – 1}^1 {\frac{{2x{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}dx} } \Big] }}
= {{\frac{1}{2}\Big[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}} \right)} \right|_{ – 1}^1 }}+{{\frac{2}{{in\pi }}\int\limits_{ – 1}^1 {x{e^{ – in\pi x}}dx} } \Big] }}\\
& \large = {{- \frac{1}{{2in\pi }}\Big[ {{e^{ – in\pi }} + \frac{2}{{in\pi }}{e^{ – in\pi }} }}+{{ \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{ – in\pi }}}} + {{\frac{2}{{in\pi }}{e^{in\pi }} }}-{{ \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{in\pi }}} \Big] }} \\
&= {{\frac{1}{{2in\pi }}\Big[ {{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }} }}}-{{{ \frac{2}{{in\pi }}\left( {{e^{in\pi }} + {e^{in\pi }}} \right)}}} + {{{\frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}\left( {{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}} \right)} \Big] }} \\
&= {{\frac{1}{{n\pi }} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}}}{{2i}} } + {\frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ – in\pi }}}}{2} } – {\frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}}}{{2i}} }} \\
&= {{\frac{1}{{n\pi }} \cdot \sin n\pi }+{ \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos n\pi }-{ \frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}}\sin n\pi .}}
\end{align*}$$

با قرار دادن $$\sin n\pi = 0$$ و $$\cos n\pi = {\left( { – 1} \right)^n}$$، رابطه زیر برای ضرایب سری فوریه به فرم مختلط به دست می‌آید:

$${c_n} = \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}{\left( { – 1} \right)^n}$$

بنابراین تعمیم مختلط سری فوریه به صورت زیر است:

$$\large {f\left( x \right) = {x^2} }
= {{\frac{1}{3} }+{ \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\frac{{{e^{in\pi x}} + {e^{ – in\pi x}}}}{2}} }}
= {{\frac{1}{3} }+{ \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos n\pi x} .}}$$

مثال ۳

سری فوریه مختلط را برای تابع زیر بیابید:

$${f\left( x \right) = \frac{{a\sin x}}{{1 – 2a\cos x + {a^2}}},\;\;}\kern-0.3pt{\left| a \right| \lt 1.}$$

حل: با تبدیل توابع سینوسی و کسینوسی به معادل‌ نمایی آن خواهیم داشت:

$${\cos x = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{\sin x = \frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}.}$$

بنابراین تابع $$f(x)$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \begin{align*}
\Large {f\left( x \right) } &={ \frac{{a \cdot \frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}}}{{1 – 2a \cdot \frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2} + {a^2}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{1 – a\left( {{e^{ix}} + {e^{ – ix}}} \right) + {a^2}}} }
\\
&= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{1 – a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}} + {a^2}{e^{ix}}{e^{ – ix}}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right) – a{e^{ – ix}}\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)}} } \\
&= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)}}.}
\end{align*}$$

با تجزیه کسرها داریم:

$$\large {f\left( x \right) \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)}} }
= {\frac{1}{{2i}}\left( {\frac{A}{{1 – a{e^{ix}}}} + \frac{B}{{1 – a{e^{ – ix}}}}} \right)}$$
معادله (۴)

بنابراین ضرایب $$A$$ و $$B$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin{align*}
&{{A\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right) }+{ B\left( {1 – a{e^{ix}}} \right) } ={ a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}},\;\;}} \\
&\Rightarrow
{{ A – aA{e^{ – ix}} }+{ B – aB{e^{ix}} } = { a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}},\;\;}}\\
&\Rightarrow
{A = 1,\;B = – 1.}
\end{align*}$$

پس می‌توان تابع $$f(x)$$ را به صورت زیر نوشت:

$$\large {f\left( x \right) }={ \frac{1}{{2i}}\left( {\frac{1}{{1 – a{e^{ix}}}} }\right.}-{\left.{ \frac{1}{{1 – a{e^{ – ix}}}}} \right).}$$

می‌دانیم:

$${\left| {a{e^{ix}}} \right| = \left| a \right|\left| {{e^{ix}}} \right| }
= {\left| a \right|\sqrt {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} }
= {\left| a \right| \lt 1.}$$

مزدوج این رابطه به صورت زیر است:

$${\left| {a{e^{ – ix}}} \right| = \left| {a{e^{ix}}} \right| }={ \left| a \right| \lt 1.}$$

سری توانی کسرها برای معادله (۴) عبارت است از:

$${\frac{1}{{1 – a{e^{ix}}}} = {\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)^{ – 1}} }={ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{inx}}} ,}$$

$${\frac{1}{{1 – a{e^{ – ix}}}} = {\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)^{ – 1}} }={ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{ – inx}}} .}$$

پس سری فوریه تابع $$f(x)$$‌ به صورت زیر خواهد بود:

$$\large {f\left( x \right) }={ \frac{1}{{2i}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\left( {{e^{inx}} – {e^{ – inx}}} \right)} }
= {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\sin nx} .}$$

از آنجا که $$\sin nx = 0$$، تابع $$f(x)$$ به فرم زیر در می‌آید:

$$\large f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a^n}\sin nx} .$$

در آموزش بعدی از این سری آموزش‌ها در مجله فرادرس، به بررسی انتگرال فوریه خواهیم پرداخت.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
• مفاهیم، روش‌ های محاسبه و کاربردهای انتگرال – مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس

^^