نوسان هارمونیک ساده در فیزیک چیست؟ – به زبان ساده

هر حرکت نوسانی و منظمی که تغییرات مکان بر حسب زمان آن توسط معادله $$x(t) = x_m \cos(ωt+φ)$$ داده شود، یک نوسان هارمونیک ساده نام دارد. در این مطلب از مجله فرادرس با ویژگی‌های این نوع حرکت آشنا می‌شویم و پارامترهای مهم آن از جمله فرکانس زاویه‌ای، دوره تناوب و ثابت فاز را خواهیم شناخت. همچنین با شروع از معادله حرکت اصلی، سرعت، شتاب و انرژی مکانیکی را محاسبه خواهیم کرد و شکل زاویه‌ای این نوع حرکت را نیز خواهیم شناخت.

نوسان هارمونیک ساده چیست؟

می‌دانیم حرکت هارمونیک یا تناوبی حرکتی است که در بازه‌های زمانی منظم تکرار شود. نوسان هارمونیک ساده (حرکت هماهنگ ساده یا SHM) نوع خاصی از این نوع حرکت است که در آن مکان ذره توسط یک تابع سینوسی یا کسینوسی بر حسب زمان توصیف می‌شود. پس معادله نوسان هارمونیک ساده به شکل زیر خواهد بود که در آن تغییرات مکان با زمان به شکل یک تابع کسینوسی است:

$$x_m$$ و $$ω$$ و $$φ$$ کمیت‌های مهمی هستند که در ادامه آن‌ها را معرفی خواهیم کرد. دقت کنید در این معادله عبارت $$ωt + φ$$ فاز حرکت است. دنیای اطراف ما پر از نوسان‌هایی است که در آن‌ها اجسام بطور مکرر به سمت جلو و عقب یا راست و چپ حرکت می‌کنند. بسیاری از این نوسان‌ها صرفا سرگرم‌کننده هستند، اما بسیاری دیگر خطرناک‌ یا از نظر مالی مهم‌اند.

برای مثال وقتی یک چوب بیسبال به توپی ضربه می‌زند، ممکن است آنقدر نوسان کند که دست‌های ضربه‌زننده را دچار درد کند یا حتی بشکند یا وقتی باد از کنار یک خط انتقال برق عبور می‌کند، ممکن است سیم آنقدر نوسان کند (در مهندسی برق به آن گالوپ گفته می‌شود) که سیم پاره شود و برق یک منطقه قطع شود. همچنین زمانی که یک قطار در یک مسیر منحنی حرکت می‌کند، چرخ‌های آن به‌صورت افقی نوسان می‌کنند (در مهندسی مکانیک هانت نامیده می‌شود)، چون مجبور هستند جهت خود را تغییر دهند و شما می‌توانید این نوسان‌ها را بشنوید. به این ترتیب مطالعه و کنترل نوسان‌ها از اهداف اصلی علوم فیزیک و مهندسی است.

یادگیری فیزیک پایه با فرادرس

یکی از مهم‌ترین کتاب‌‌ها در رشته‌های مهندسی و علوم پایه، کتاب‌ها و مباحث فیزیک پایه هستند که اغلب در قالب دو درس فیزیک ۱ و فیزیک ۲ ارائه می‌شوند. به همین دلیل در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی مرتبط با این دروس را به شما معرفی کنیم. مشاهده این دوره‌های فرادرس به شما کمک می‌کند تا با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع‌ درک بسیار عمیق‌تری نسبت به این مباحث کسب کنید:

• فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک عمومی ۲ – حل مساله فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک پایه ۳ – جامع و کاربردی فرادرس

معادله حرکت نوسان هارمونیک ساده

مطالعه حرکت هماهنگ ساده با بررسی معادله حرکت آن آغاز می‌شود. طبق شکل زیر لحظه $$t=0$$ را در نظر می‌گیریم که در آن ذره در مکان اولیه خود یعنی $$x_m$$ روی محور x قرار دارد. اندیس $$m$$ نشان‌دهنده این است که این مکان بیشینه یا ماکزیمم فاصله‌ای است که ذره به آن می‌رود:

با گذر زمان، ذره به سمت چپ نقطه $$x_m$$ حرکت می‌کند و به حرکت خود در همین راستا ادامه می‌دهد تا به نقطه انتهایی $$-x_m$$ برسد. سپس مجددا به $$x_m$$ باز می‌گردد و در نهایت نوسانی را بین $$x_m$$ و $$-x_m$$ برای ذره خواهیم داشت، در حالی که می‌دانیم خود تابع کسینوس بین $$+1$$ و $$-1$$ نوسان می‌کند. مقدار $$x_m$$ نشان می‌دهد که ذره در هر نوسان خود چه مقدار از مکان اولیه‌اش دور شده است. به $$x_m$$ دامنه نوسان گفته می‌شود.

تصویر زیر تغییرات سرعت ذره را بر حسب زمان نمایش می‌دهد. در ادامه نشان خواهیم داد که چگونه می‌توان معادله سرعت این نوسان هارمونیک ساده را به دست آورد. فعلا در این بخش فقط روی این نکته تمرکز می‌کنیم که ذره ما در دو نقطه بیشینه و کمینه حرکتی خود یعنی $$x_m$$ و $$-x_m$$ دارای سرعت صفر است، در حالی که در مکان اولیه‌اش، بیشترین سرعت را دارد. کاهش یا افزایش سرعت با کوچک یا بزرگ شدن بردار نشان داده شده است:

$$v = 0$$ در $$x = ±x_m$$

$$v = v_m$$ در $$x=0$$

همچنین اگر شکل‌های بالا را ۹۰ درجه ساعتگرد بچرخانیم، متوجه خواهیم شد که مسیر حرکت در این نوسان شبیه یک نمودار کسینوسی است. به همین دلیل اگر بخواهیم نمودار حرکت این ذره را بر حسب زمان یا دوره تناوب $$T$$ رسم کنیم، به شکل زیر می‌رسیم:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، در $$t=0$$ ذره در $$x=x_m$$ قرار دارد و پس از یک نوسان یا طی کردن یک دوره تناوب، در $$t = T$$ مجددا به همین مکان بازمی‌گردد. سپس دوره تناوب بعدی شروع می‌شود و نوسان به همین شکل ادامه خواهد یافت. وضعیت سرعت ذره نیز با بررسی شیب نمودار در نقاط مختلف قابل‌بررسی است. می‌دانیم سرعت از رابطه $$v = \frac{dx}{dt}$$ به دست می‌آید که همان مشتق معادله مکان نسبت به زمان است. پس اگر در نقاطی مانند $$x = ±x_m$$ شیب صفر شود، به این نتیجه می‌رسیم که سرعت ذره در این نقاط صفر است، در حالی که در $$x=0$$ بیشترین شیب و در نتیجه بیشترین سرعت را خواهیم داشت.

دوره تناوب و فرکانس نوسان هارمونیک ساده

برای اینکه معادله حرکت یک نوسانگر هارمونیک ساده را بهتر درک کنید و با کمیت‌های مهم آن آشنا شوید، اولین قدم شناخت دوره تناوب و فرکانس نوسان است. تصویر زیر ذره‌ای را نشان می‌دهد که در حال نوسان حول مبدا محور x است، یعنی به شکل تکرارشونده‌ای و به مقدار یکسان، به سمت راست و چپ مبدا حرکت می‌کند:

فرکانس این نوسان که با $$f$$ نشان داده می‌شود، عبارت است از تعداد دفعات بر ثانیه‌ای که ذره یک دوره یا نوسان خود را کامل می‌کند. واحد SI فرکانس، هرتز است که با $$Hz$$ نمایش داده می‌شود:

یک نوسان کامل بر ثانیه = $$1 \ Hz = 1 \ s^{-1}$$

همچنین مدت زمانی که طی آن یک دوره یا نوسان کامل رخ می‌دهد، دوره تناوب نام دارد. دوره تناوب را با $$T$$ نشان می‌دهیم و واحد آن ثانیه است. با توجه به تعریف و ارتباط واحدها می‌توانیم نتیجه بگیریم که رابطه زیر بین دوره تناوب و فرکانس برقرار است:

$$T = \frac{1}{f}$$

دامنه و فاز نوسان هارمونیک ساده

آرگومان تابع کسینوس در معادله $$x(t) = x_m \cos(ωt+φ)$$ برابر است با $$ωt+φ$$ که فاز حرکت نام دارد. این عبارت با زمان تغییر می‌کند و در نتیجه برای کسینوس و $$x(t)$$ مقادیر مختلفی خواهیم داشت. $$φ$$ در فاز حرکت را ثابت فاز یا زاویه فاز می‌نامیم که واحد آن رادیان است. برای اینکه به نقش زاویه فاز در معادله حرکت بیشتر پی ببرید، به توضیحات زیر توجه کنید.

در بخش اول دیدیم که مکان ذره در $$t=0$$ در $$x_m$$ تنظیم شد. برای این انتخاب، با در نظر گرفتن $$φ = 0$$ معادله $$x(t) = x_m \cos(ωt+φ)$$ به درستی کار می‌کند، یعنی با قرار دادن $$t = φ = 0$$ در معادله داریم:

$$x(0) = x_m \cos(0) = x_m$$

اما اگر بخواهیم در $$t=0$$ مکان ذره به شکل دیگری تنظیم شود، لازم است مقدار دیگری را برای $$φ$$ در نظر بگیریم. برای نمونه، اگر فرض کنیم در شروع نوسان یعنی در $$t=0$$ ذره در $$-x_m$$ قرار گرفته است، در این صورت معادله $$x(t) = x_m \cos(ωt+φ)$$ زمانی می‌تواند توصیف‌کننده درستی برای حرکت نوسانی ما باشد که $$φ = \pi$$ شود. این فرضیات را با قرار دادن $$t=0$$ و $$φ = \pi$$ در معادله می‌توانیم چک کنیم:

$$x(0) = x_m \cos(\pi) =-x_m$$

کمیت دیگری که در فاز حرکت دیده می‌شود، فرکانس زاویه‌ای یا $$ω$$ است. در ادامه نشان می‌دهیم $$ω$$ با فرکانس و دوره تناوب چه ارتباطی دارد. در نوسان هارمونیک ساده، ذره پس از طی یک دوره تناوب باید به مکان اولیه خود بازگردد. این نکته به این معنا است که $$x(t)$$ یا مکان ذره در زمان $$t$$ با مکان ذره در زمان $$t + T$$ برابر می‌شود. پس با صفر در نظر گرفتن ثابت فاز خواهیم داشت:

$$x_m \cos(ωt) = x_m \cos(ωt+ωT)$$

از طرفی می‌دانیم دوره تناوب تابع کسینوس برابر است با $$2\pi$$. پس $$ωT = 2 \pi$$ و با توجه به رابطه دوره تناوب و فرکانس داریم:

$$ω = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f$$

به این ترتیب واحد SI فرکانس زاویه‌ای برابر است با رادیان بر ثانیه. برای مقایسه بهتر اثر این کمیت‌ها روی نوسان ذره، در ادامه نمودار چند SHM مختلف را مشاهده می‌کنید که در آن‌ها دامنه حرکت یا مقادیر $$x = ±x_m$$ ثابت است. در اولین شکل، دو نمودار داریم که فرکانس و در نتیجه دوره تناوب آن‌ها متفاوت است. دوره تناوب نمودار آبی رنگ برابر است با $$T$$، در حالی که برای نمودار قرمز رنگ دوره تناوب نصف و برابر با $$T^′$$ است. به عبارت دیگر، نمودار قرمز نسبت به نمودار آبی در راستای افقی فشرده شده است:

در تصویر بعدی دو نمودار دیگر داریم که با دامنه و دوره تناوب‌‌های برابر اما زاویه‌ فازهای متفاوتی نوسان می‌کنند. نمودار آبی رنگ یک نمودار کسینوسی معمول است که در آن ثابت فاز نقطه شروع برابر است با صفر، اما نمودار قرمز رنگ در $$t=0$$ زاویه فازی برابر با $$φ = -\frac{\pi}{4}$$ دارد. این مقدار منفی موجب می‌شود نمودار کسینوسی معمول ما به اندازه $$\frac{\pi}{4}$$ به سمت راست جابجا شود:

دقت کنید قانون شیفت نمودار کسینوسی در راستای افقی به این صورت است که هرگاه $$φ$$ منفی باشد، شیفت به سمت راست و هرگاه $$φ$$ مثبت باشد، شیفت به سمت چپ خواهد بود. همچنین تصویر زیر دو نوسانی را مقایسه می‌کند که در آن‌ها مقادیر دامنه متفاوت است، در حالی که دوره تناوب‌ها و در نتیجه فرکانس‌ها با هم برابراند. در نمودار قرمز نسبت به نمودار آبی نقاط بیشینه و کمینه به سمت بالاتر و پایین‌تر جابجا شده‌اند:

برای اینکه به نحوه رسم نمودارهای بالا و مقایسه تغییرات آن‌ها بیشتر مسلط شوید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «رسم نمودار سینوس و کسینوس – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

معادلات سرعت و شتاب نوسان هارمونیک ساده

در نوسان هارمونیک ساده اندازه و جهت سرعت همزمان با حرکت ذره بین دو نقطه بیشینه و کمینه یعنی $$x_m$$ و $$-x_m$$، تغییر می‌کند. برای اینکه معادله سرعت یا $$v(t)$$ این نوع حرکت را پیدا کنیم، کافی است از معادله مکان یا $$x(t)$$ نسبت به زمان مشتق بگیریم:

$$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [ x_m \cos (ωt + φ)]$$

با توجه به اینکه مشتق کسینوس برابر می‌شود با منفی سینوس، حاصل عبارت بالا به شکل زیر خواهد شد:

$$v(t) = - ωx_m \sin (ωt + φ)$$

ملاحظه می‌کنید که سرعت نیز با زمان تغییر می‌کند و می‌دانیم که بیشترین و کمترین مقادیر تابع سینوسی به ترتیب $$+1$$ و $$-1$$ هستند. پس بیشینه و کمینه سرعت در نوسان هارمونیک برابر است با $$+ωx_m$$ و $$-ωx_m$$. به عبارت دیگر $$ωx_m$$ برابر است با دامنه سرعت.

تصویر بالا تغییرات مکان، سرعت و شتاب را برای یک نوسان هارمونیک ساده و با در نظر گرفتن زاویه فاز صفر طی یک $$T$$ نشان می‌دهد. با مشتق‌گیری از معادله سرعت، معادله شتاب را به دست می‌آوریم که دامنه آن برابر می‌شود با $$ω^2 x_m$$:

$$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [ -ωx_m \sin (ωt + φ)]$$

$$a(t) = - ω^2x_m \cos (ωt + φ)$$

اگر معادله شتاب را با معادله مکان مقایسه کنیم، به نتیجه زیر خواهیم رسید:

$$a(t) = -ω^2 x(t)$$

این رابطه مهم به ما نشان می‌دهد که در نوسان هارمونیک ساده، شتاب ذره همواره مخالف جابجایی آن است ( به علت وجود علامت منفی). پیشنهاد می‌کنیم در همین راستا فیلم آموزش رایگان نمودار سرعت زمان در فیزیک – ساده و کاربردی فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن نیز جهت دسترسی راحت‌تر شما در ادامه قرار داده شده است:

قوانین نیرو در نوسان هارمونیک ساده

پس از اینکه شتاب حرکت هارمونیک ساده را پیدا کردیم، حالا می‌توانیم قانون دوم نیوتن را بنویسیم و ببینیم نیروها در SHM چگونه عمل می‌کنند:

$$F = ma = -mω^2 x$$

علامت منفی نشان می‌دهد نیرو همواره در خلاف جهت جابجایی ذره در حال نوسان است. به همین دلیل است که می‌گوییم در نوسان هارمونیک ساده نیرو ویژگی‌ بازگرداندن به مکان اولیه را دارد، به این معنا که با جابجایی ذره مخالفت می‌کند و تلاش می‌کند تا ذره را به مکان اولیه‌اش در $$x = 0$$ بازگرداند.

برای مثال، مطابق شکل زیر جسمی با جرم $$m$$ را به فنری با ثابت $$k$$ متصل ‌می‌کنیم. با فرض بدون اصطکاک بودن سطح، جسم به محض کشیده یا فشرده شدن مانند ذره‌ای که در بخش‌های قبل توصیف شد، یک نوسان هارمونیک ساده در راستای محور x خواهد داشت که توسط قانون هوک توصیف می‌شود:

$$F = -kx$$

از مقایسه نیروی حاصل از قانون هوک و قانون دوم نیوتن، به رابطه‌ زیر برای ثابت فنر خواهیم رسید:

$$kx = mω^2 x$$

$$k = mω^2$$

به این ترتیب هر حرکتی که طی آن نیروهای وارد بر ذره با جابجایی آن متناسب‌اند، اما جهت مخالف هم دارند، نوعی نوسان هارمونیک ساده است. سیستم جرم و فنری که در این بخش معرفی شد، نمونه‌ای از یک نوسانگر هارمونیک ساده و خطی است. خطی بودن به این معنا است که نیرو فقط با توان اول جابجایی متناسب است. همچنین فرکانس زاویه‌ای چنین نوسانی برابر است با:

$$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

با داشتن فرکانس زاویه‌ای، دوره تناوب نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

دانستن این روابط به ما کمک می‌کند تا نوسان‌ها را بهتر پیش‌بینی کنیم. برای نمونه، اگر ثابت فنری بزرگ باشد، طبق رابطه بالا انتظار داریم دوره تناوب نوسان جرم متصل به چنین فنری کوتاه‌تر باشد.

انرژی مکانیکی در نوسان هارمونیک ساده

جسم نوسانگر متصل به فنر در بخش قبل دارای پایستگی انرژی مکانیکی است، به این معنا که مجموع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی برای جسم و فنر در این سیستم همواره ثابت می‌ماند. بخش انرژی پتانسیل این سیستم با میزان فشردگی یا کشیدگی فنر مرتبط است و طبق فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$U(t) = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k x^2_m \cos^2 (ωt + φ)$$

فرمول بالا را می‌توانیم با محاسبه انتگرال کار نیز به دست آوریم. اما بخش انرژی جنبشی این سیستم کاملا با جابجایی جسم و سرعت آن مرتبط است:

$$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x^2_m \sin^2 (ωt + φ)$$

به این ترتیب مجموع این دو انرژی یا همان انرژی مکانیکی سیستم جرم و فنر برابر می‌شود با:

$$E = U + K$$

$$E = \frac{1}{2} k x^2_m [ \cos^2(ωt+φ) + \sin^2(ωt+φ) ]$$

با توجه به اینکه طبق اتحاد اصلی مثلثات داریم $$\sin^2 α + \cos^2α = 1$$، پس انرژی مکانیکی برابر می‌شود با:

$$E = U + K = \frac{1}{2} k x^2_m$$

پس انرژی مکانیکی یک نوسانگر هارمونیک ساده و خطی، مقداری ثابت و مستقل از زمان دارد. این نکته در نمودار زیر مشهود است (خط افقی و ثابت مشکی رنگ معادل $$U(t) + K(t)$$). این تصویر تغییرات انرژی‌ پتانسیل و انرژی جنبشی چنین نوسانگری را همراه با زمان نیز نشان می‌دهد. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، با اینکه در گذر زمان انرژی بین دو صورت مختلف خود توزیع می‌شود، اما مجموع این دو مقدار همواره ثابت می‌ماند:

دقت کنید کلیه مقادیر انرژی مثبت هستند و انرژی منفی نداریم. همچنین در یک دوره تناوب، هم انرژی پتانسیل و هم انرژی جنبشی هر کدام دو مرتبه به بیشینه مقدار خود می‌رسند، یعنی در یک $$T$$ دو پیک برای هر کدام از این دو انرژی داریم. تغییرات انرژی مکانیکی، انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی این سیستم با جابجایی یا $$x$$ نیز در تصویر زیر نمایش داده شده است. باز هم با تغییر مکان، انرژی بین دو صورت مختلف خود توزیع می‌شود، اما مجموع این دو مقدار همواره ثابت می‌ماند:

دقت کنید در $$x= 0$$ انرژی مکانیکی همان انرژی جنبشی است، چون انرژی پتانسیل صفر است. اما در $$x = ±x_m$$ انرژی مکانیکی برابر است با انرژی پتانسیل، چون انرژی جنبشی در نقاط دامنه صفر است. پس در هر سیستم نوسان‌کننده‌ هارمونیکی همواره یک بخش فنرمانند از سیستم به ذخیره انرژی پتانسیل می‌پردازد، در حالی که بخش دیگر در خدمت تغییرات سرعت و ذخیره انرژی جنبشی است.

نوسان هارمونیک ساده زاویه ای

در بخش‌های قبل جنبه‌های مختلف نوسان هارمونیک را با فرض خطی بودن حرکت بررسی کردیم. شکل زیر نسخه زاویه‌ای از یک نوسانگر هماهنگ ساده را نشان می‌دهد که در آن عنصر کشسانی یا خاصیت فنری با پیچش سیم مرتبط است، نه با کشیده‌ یا فشرده‌ شدن یک فنر. این دستگاه را آونگ پیچشی می‌نامیم که در آن پیچش به معنای تابیده شدن سیم آویزان است:

حالا اگر دیسک را به اندازه $$θ$$ نسبت به موقعیت تعادلی‌اش در $$θ = 0$$ بچرخانیم و رها کنیم، در قالب یک حرکت هماهنگ ساده زاویه‌ای نوسان خواهد کرد. دامنه زاویه‌ای حرکت دیسک در این حرکت برابر است با $$±θ_m$$. چرخاندن دیسک به اندازه زاویه $$θ$$ در هر جهت، یک گشتاور بازگرداننده ایجاد می‌کند که به صورت زیر است:

$$τ = -κθ$$

$$κ$$ یا کاپای یونانی یک مقدار ثابت است که ثابت پیچش نامیده می‌شود و به طول، قطر و جنس سیم بستگی دارد. از مقایسه رابطه بالا با قانون هوک یا $$F = -kx$$، به این نتیجه می‌رسیم که فرمول بالا شکل زاویه‌ای قانون هوک است. همچنین اگر ثابت فنر یا $$k$$ را با معادل آن یعنی $$κ$$ و جرم را با معادل آن یعنی ممان اینرسی یا $$I$$ برای دیسک نوسان‌ کننده در این آونگ پیچشی جایگزین کنیم، به رابطه مشابهی برای دوره تناوب خواهیم رسید:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} ⇒ T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{κ}}$$

آونگ ها

در این بخش به مطالعه روابط دسته‌ای از نوسانگرهای هارمونیک ساده می‌پردازیم که در آن‌ها خاصیت فنری با نیروی گرانشی مرتبط است، نه با ویژگی‌های کشسانی یک سیم پیچیده یا فنر فشرده یا کشیده شده. در ادامه آونگ‌های ساده و فیزیکی را با هم بررسی می‌کنیم.

آونگ ساده

یک آونگ ساده شامل ذره‌ای با جرم $$m$$ است که از یک سر نخ بدون کشش و بدون جرمی به طول $$L$$ آویزان شده، در حالی که سر دیگر نخ ثابت است. این گلوله آزاد است که در صفحه شکل به سمت چپ و راست خط عمودی عبوری از نقطه تکیه‌گاه نوسان کند:

نیروهای وارد بر گلوله طبق شکل بالا عبارت‌اند از نیروی کشش نخ $$T$$ و نیروی گرانشی $$F_g$$. همچنین دقت کنید که نخ با محور قائم زاویه‌ای به اندازه $$θ$$ می‌سازد. اگر $$F_g$$ را به دو مولفه تجزیه کنیم، یک مولفه شعاعی به شکل $$F_g \cosθ$$ و یک مولفه مماسی به صورت $$F_g \sinθ$$ داریم. مولفه مماسی یک گشتاور بازگرداننده حول نقطه تکیه‌گاه ایجاد می‌کند، چون همواره خلاف جهت جابجایی گلوله عمل می‌کند و آن را به موقعیت مرکزی بازمی‌گرداند. موقعیت مرکزی همان نقطه تعادلی است، چون اگر آونگ در حال نوسان نبود، در آن نقطه در حالت سکون قرار داشت.

حالا طبق فرمول گشتاور داریم:

$$τ = -L(F_g \sinθ)$$

علامت منفی نشان می‌دهد که گشتاور در جهت کاهش $$θ$$ عمل می‌کند و $$L$$ نیز معادل است با بازوی گشتاور مولفه سینوسی نیرو. با جایگزین کردن این رابطه در شکل زاویه‌ای قانون دوم نیوتن یعنی $$τ = Iα$$ خواهیم داشت:

$$-L(mg \sinθ) = I α$$

می‌دانیم که $$α$$ همان شتاب زاویه‌ای است. اگر $$θ$$ را کوچک در نظر بگیریم، می‌توانیم رابطه بالا را ساده‌تر کنیم، به این صورت که در این حالت می‌توان $$\sinθ$$ را با $$θ$$ تقریب زد. برای نمونه، در مورد $$θ = 5$$ درجه که معادل است با $$0.0873$$ رادیان، $$\sinθ = 0.0872$$ مقداری بسیار نزدیک به این زاویه با واحد رادیان دارد. پس ساده شده عبارت بالا برابر می‌شود با:

$$α = - \frac{mgL}{I} θ$$

این معادله شکل زاویه‌ای رابطه $$a(t) = -ω^2 x(t)$$ است و به ما می‌گوید که شتاب زاویه‌ای $$α$$ برای یک آونگ ساده با جابجایی زاویه‌ای آن متناسب ولی در خلاف جهت آن است. بنابراین این آونگ به‌صورت رفت و برگشتی حرکت می‌کند یا بطور دقیق‌تر، حرکت آونگ ساده برای زاویه‌های کوچک تقریبا همان نوسان هارمونیک ساده است.

برای به دست آوردن فرکانس زاویه‌ای و در نیتجه دوره تناوب، کافی است از شباهت این معادله با $$a(t) = -ω^2 x(t)$$  استفاده کنیم:

$$ω = \sqrt{\frac{mgL}{I}}$$

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$$

همچنین با توجه به اینکه کل جرم یک آونگ ساده همان جرم گلوله متصل به نخ در نظر گرفته می‌شود (از جرم نخ در این نوع آونگ صرف‌نظر می‌شود)، پس با نوشتن $$I = mL^2$$ برای ممان اینرسی در عبارت بالا، می‌توان دوره تناوب این آونگ را به شکل زیر نوشت:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

فراموش نکنید این دوره تناوب با فرض ساده بودن آونگ و کوچک بودن جابجایی زاویه‌ای و در نتیجه کوچک بودن دامنه $$±θ_m$$ حاصل شد.

آونگ فیزیکی

یک آونگ واقعی عموما توزیع جرم پیچیده‌ای مطابق شکل زیر دارد. چنین آونگی را آونگ فیزیکی می‌نامیم و می‌خواهیم ببینیم آیا این نوع آونگ‌ها هم نوسان هارمونیک ساده دارند یا خیر. نیروی گرانشی وارد بر این توزیع جرم به مرکز جرم آن یا نقطه $$C$$ وارد می‌شود، که در فاصله $$h$$ از نقطه $$O$$ واقع شده است:

اگر نیروهای وارد بر این آونگ را با بخش قبل مقایسه کنیم، تنها تفاوت در این است که برای آونگ فیزیکی مولفه مماسی و بازگرداننده نیروی گرانشی بازوی گشتاوری به اندازه $$h$$ نسبت به $$O$$ ایجاد کرده است، در حالی که در مورد آونگ ساده این فاصله برابر بود با $$L$$. مجددا با فرض کوچک بودن $$θ$$ به این نتیجه می‌رسیم که حرکت رفت و برگشتی این آونگ نیز نوعی SHM است. بنابراین دوره تناوب آونگ فیزیکی از جایگزینی $$h$$ به جای $$L$$ در $$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$$ به دست می‌آید:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}$$

باید دقت کنیم که در مورد آونگ فیزیکی رابطه $$I = mL^2$$ برقرار نیست، چون در اینجا $$I$$ به شکل توزیع جرم بستگی دارد. البته همچنان می‌توان $$I$$ را با $$m$$ متناسب دانست. همچنین اگر نقطه تعادل این آونگ را روی مرکز جرم آن در نظر بگیریم، با توجه به صفر شدن $$h$$ دوره تناوب بی‌نهایت می‌شود که به معنای تمام نشدن دوره اول است.

یادگیری مباحث مختلف فیزیک با فرادرس

در این بخش قصد داریم مجموعه‌ای از دروس انتخابی فیزیک را به شما معرفی کنیم که شامل برخی موضوعات کاربردی‌تر فیزیک است. با مشاهده این فیلم‌های آموزشی از مجموعه فرادرس می‌توانید یادگیری و تسلط خود را در برخی حوزه‌های تخصصی‌تر فیزیک تقویت کنید:

• فیلم آموزش رایگان امواج و ارتعاشات
• فیلم آموزش فیزیک پلاسما
• فیلم آموزش کریستالوگرافی یا بلورشناسی

حل مثال و تمرین از نوسان هارمونیک ساده

در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس، با حل چند نمونه سوال به شما کمک می‌کنیم تا به مفاهیم و فرمول‌های این نوع حرکت کاملا مسلط شوید.

مثال ۱

فرض کنید ذره‌ای دارای حرکت هارمونیک ساده با دوره تناوب $$T$$ است و در $$t=0$$ در $$-x_m$$ قرار دارد. مکان ذره را در هر کدام از زمان‌های $$t = 2T$$ و $$t = 3.5 T$$ مشخص کنید:

پاسخ

ابتدا باید معادله حرکت این ذره و بطور دقیق‌تر، ثابت فاز آن را پیدا کنیم. با توجه به اینکه در $$t=0$$ ذره در $$-x_m$$ قرار دارد، پس داریم:

$$-x_m = x_m \cos(0+φ)$$

$$\cosφ = -1$$

$$φ = \pi$$

بنابراین معادله حرکت ذره برابر است با:

$$x(t) = x_m \cos(ωt+ \pi)$$

در لحظه $$t = 2T$$ با استفاده از این نکته که $$ω = \frac{2 \pi}{T}$$، برای مکان ذره خواهیم داشت:

$$x(2T) = x_m \cos(2ωT+ \pi) = x_m \cos(2 \frac{2 \pi}{T} T+ \pi) = x_m \cos(5 \pi)$$

از طرفی می‌دانیم در مورد تابع کسینوسی $$\cos \pi = \cos 5 \pi = -1$$. پس حاصل محاسبه بالا می‌شود:

$$x(2T) = - x_m$$

البته بدون محاسبه و با این استدلال که پس از هر $$T$$ ذره مجددا به مکان اولیه خود بازمی‌گردد، می‌توانستیم بگوییم $$x(2T)$$ برابر است با مکان اولیه ذره یا $$- x_m$$. برای لحظه $$t = 3.5 T$$ خواهیم داشت:

$$x(3.5 T) = x_m \cos(3.5 ωT+ \pi) = x_m \cos(\frac{7}{2} \frac{2 \pi}{T} T+ \pi) = x_m \cos(8 \pi)$$

$$x(3.5 T) = x_m$$

می‌دانیم $$\cos 2 \pi = \cos 8 \pi = 1$$.

مثال ۲

فرض کنید پنگوئنی مطابق شکل زیر روی یک تخته متصل به فنر قرار دارد. اگر این تخته دارای طول $$L = 2 \ m$$ و جرم $$m = 12 \ kg$$ و ثابت فنر متصل به آن برابر با $$1300 \ \frac{N}{m}$$ باشد، پس از پرش پنگوئن و نوسان فنر دوره تناوب حرکت چقدر خواهد بود؟

پاسخ

دقت کنید همزمان با نوسان تخته در یک سمت، سمت دیگر چرخش و در نتیجه گشتاور داریم. این گشتاور در نتیجه نیروی $$F$$ ناشی از فنر است:

$$τ = LF \sin90$$

از طرفی می‌دانیم طبق قانون دوم نیوتن می‌توانیم بنویسیم:

$$τ = I α$$

که در آن $$α$$ شتاب زاویه‌ای است. بنابراین از مساوی قرار دادن دو عبارت بالا داریم:

$$I α = LF$$

در این مرحله لازم است لختی دورانی تخته را حساب کنیم. طبق قضیه محورهای موازی و با استفاده از جداول مربوط خواهیم داشت:

$$I = I_{com} + mh^2 = \frac{1}{12} mL^2 + m (\frac{1}{2}L)^2 = \frac{1}{3} mL^2$$

$$\frac{1}{3} mL^2 α = -Lkx$$

حالا لازم است بخش خطی و زاویه‌ای را به هم تبدیل کنیم. کافی است شتاب زاویه‌ای را بر حسب شتاب خطی بنویسیم:

$$a = α r$$

در این سوال شعاع چرخش یعنی $$r$$ با $$L$$ برابر است:

$$α = \frac{a}{L}$$

$$\frac{a}{3L} mL^2 = -Lkx$$

$$a=-\frac{3k}{m} x$$

از مقایسه شتاب به‌دست آمده با معادله شتاب یک نوسانگر هارمونیک ساده به شکل $$a = -ω^2 x$$ به نتیجه زیر می‌رسیم:

$$ω^2 = \frac{3k}{m}$$

$$ω = \sqrt{\frac{3k}{m}}$$

در نهایت با داشتن فرکانس زاویه‌ای، دوره تناوب نوسان به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{3k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{12}{3 \times 1300}} = 0.35 \ s$$

اگر دقت کنید، دوره تناوب حرکت نوسانی این پنگوئن مستقل از طول تخته یا $$L$$ به دست آمد.

مثال ۳

فرض کنید در لحظه $$t =0$$ جابجایی $$x(0)$$ جسمی در یک نوسان خطی برابر است با $$-8.5 \ cm$$. اگر سرعت و شتاب جسم در این لحظه به ‌ترتیب برابر با $$-0.92 \ \frac{m}{s}$$ و $$47 \ \frac{m}{s^2}$$ باشند، فرکانس زاویه‌ای، ثابت فاز و دامنه این نوسان را محاسبه کنید:

پاسخ

ابتدا صورت کلی معادلات مکان، سرعت و شتاب در یک نوسان هارمونیک ساده را می‌نویسیم:

$$x(t) = x_m \cos (ωt + φ)$$

$$v(t) = - ωx_m \sin (ωt + φ)$$

$$a(t) = - ω^2x_m \cos (ωt + φ)$$

حالا لحظه $$t =0$$ را در این معادلات اعمال می‌کنیم:

$$x(0) = x_m \cos (φ)$$

$$v(0) = - ωx_m \sin (φ)$$

$$a(0) = - ω^2x_m \cos ( φ)$$

همچنین می‌دانیم بین مکان و شتاب یک نوسانگر هارمونیک رابطه $$a = -ω^2 x$$ برقرار است. پس خواهیم داشت:

$$ω = \sqrt{\frac{-a(0)}{x(0)}}$$

$$ω = \sqrt{\frac{-47}{-0.085}}$$

$$ω = 23.5 \ \frac{rad}{s}$$

در محاسبات آخر تبدیل سانتی‌متر به متر در مورد جابجایی فراموش نشود. پس تا اینجا فرکانس زاویه‌ای به دست آمد. برای حساب کردن ثابت فاز $$φ$$، کافی است معادله سرعت در زمان صفر را بر مکان در زمان صفر تقسیم کنیم:

$$\frac{v(0)}{x(0)} = \frac{-ω x_m \sinφ}{x_m \cosφ}$$

$$\frac{v(0)}{x(0)} = -ω \tanφ$$

$$\tanφ = -\frac{v(0)}{ω x(0)}$$

$$\tanφ = \frac{0.92}{23.5 \times -0.085}$$

$$\tanφ = -0.461$$

این معادله دو پاسخ بر حسب درجه دارد:

$$φ = -25$$

$$φ = 180 -25 = 155$$

برای اینکه ببینیم پاسخ درست کدام است، بهتر است به تست کردن هر کدام بپردازیم. برای $$φ = -25$$، دامنه $$x_m$$ برابر می‌شود با:

$$x_m = \frac{x(0)}{\cosφ} = \frac{-0.085}{cos(-25)} = -0.094 \ m$$

با قرار دادن $$φ = 155$$ نیز به $$x_m = 0.094 \ m$$ خواهیم رسید. با توجه به اینکه انتظار داریم دامنه یک نوسان هارمونیک ساده مقدار مثبتی باشد، پس زاویه فاز مناسب $$φ = 155$$ درجه است که دامنه‌ای برابر با $$x_m = 9.4 \ cm$$ را به ما می‌دهد.

مثال ۴

تصویر زیر یک میله طویل با طول $$L = 12.4 \ cm$$ را نشان می‌دهد که دارای جرم $$m = 135 \ gr$$ است و از بخش مرکزی خود به وسیله یک سیم طویل آویزان شده است. اگر دوره تناوب حرکت زاویه‌ای این میله یا $$T_a$$‌ برابر با $$2.53 \ s$$ اندازه‌گیری شده باشد، با در نظر گرفتن جسم نامنظم دیگری که از همان سیم با همان ابعاد آویزان شده و دوره تناوبی به شکل $$T_b = 4.76 \ s$$ می‌دهد، ممان اینرسی جسم نامنظم نسبت به محور چقدر است؟

پاسخ

ابتدا باید ممان اینرسی را برای میله طویل نسبت به محور عبوری از مرکز آن پیدا کنیم که طبق جداول مربوط برابر می‌شود با:

$$I_a = \frac{1}{12} mL^2 = \frac{1}{12} \times 0.135 \times (0.124)^2$$

$$\ kg.m^2 I_a = 1.73 \times 10^{-4}$$

دقت کنید تبدیل واحدهای جرم و طول را در محاسبات بالا نباید فراموش کنید. حالا فرمول دوره تناوب را برای این دو آونگ پیچشی می‌نویسیم:

$$T_a = 2 \pi \sqrt{\frac{I_a}{κ}}$$

$$T_b = 2 \pi \sqrt{\frac{I_b}{κ}}$$

ثابت پیچش یا $$κ$$ برای هر دو آونگ برابر است، چون هر دو از یک سیم با ابعاد و جنس یکسان آویزان شده‌اند. با مربع کردن دو طرف هر عبارت و استفاده از ثابت‌های مشترک خواهیم داشت:

$$T^2_a = 4 \pi^2 \frac{I_a}{κ}$$

$$T^2_b = 4 \pi^2 \frac{I_b}{κ}$$

$$\frac{T^2_a}{I_a} = \frac{T^2_b}{I_b}$$

$$I_b = I_a \frac{T^2_b}{T^2_a}$$

$$I_b = 1.73 \times 10^{-4} \times ( \frac{4.76}{2.53})^2$$

$$I_b = 6.12 \times 10^{-4} \ kg.m^2$$