قوانین کپلر – از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد قوانین حرکت نیوتن بحث شد. با استفاده از این قوانین می‌توان مدار‌های اجرام کیهانی را به دور اجرام سنگین‌تر بدست آورد. اما جالب است بدانید که قبل از نیوتن کپلر نیز قوانینی وضع کرد که با استفاده از آن‌ها می‌توان مدار‌های مذکور را تحلیل کرد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد قوانین کپلر بحث کرده و روابط کمی آن را اثبات کنیم.

قوانین کپلر

به منظور بدست آوردن قوانین کپلر در ابتدا باید قانون گرانش نیوتن را یادآوری کنیم. قانون جهانی گرانش بیان می‌کند که دو جرمِ $$m$$ و $$M$$ نیروی زیر را به هم وارد می‌کنند.

$$F = \frac { G M m } { r ^ { 2 } }$$

در رابطه فوق $$G$$ ثابت گرانشی و $$r$$ فاصله بین دو جرم است. مقدار $$G$$ نیز برابر است با:

$$G = 6 . 6 7 \times 10 ^ { - 11 } \mathrm { N } \cdot \mathrm { m } ^{ 2 } / \mathrm { k g } ^ { 2 }$$

همان‌طور که در تصویر زیر نیز نشان داده شده، خورشید در مرکز قرار داده شده و بردار $$\overrightarrow { R }$$ نشان‌دهنده محل جسم دوران‌کننده (زمین) است. بردار $$\overrightarrow { r }$$ نیز نشان‌دهنده بردار واحد بوده که در مسیر $$\overrightarrow { R }$$ است. با توجه به $$\overrightarrow { { r } } \cdot \overrightarrow { { r } } = 1$$ می‌توان گفت ضرب داخلی ارائه شده در ادامه، برابر با صفر است.

$$\overrightarrow { { r } } \cdot \left( \frac { d } { d‌ t } \overrightarrow { { r } } \right) = 0$$

به‌منظور راحتی کار بردار $$\overrightarrow { s }$$ را در جهت بردار تغییرات زمانی یا $$\frac { d } { d t } \overrightarrow { r }$$ در نظر بگیرید. در حقیقت می‌توان گفت:

$$\overrightarrow{{r}} \cdot \overrightarrow { { s } } = 0$$

در شکل زیر تمامی این بردار‌ها نشان داده شده‌اند.

بنابراین تاکنون دو بردار $$r , s$$ تعریف شده‌اند که حاصل‌ضرب داخلی آن‌ها برابر با صفر است. این دو بردار را می‌توان به‌صورت زیر نیز بیان کرد:

$$\overrightarrow { { r } } = ( \cos \theta , \sin \theta ) , \quad \overrightarrow { s } = ( - \sin \theta , \cos \theta )$$

همچنین مشتقات این دو بردار را می‌توان به‌ صورت زیر بدست آورد:

$$\frac { d } { d t } \overrightarrow { { r } } = \frac { d \theta }{d t} \overrightarrow { s } \quad \Rightarrow \quad \frac { d } { d t } \overrightarrow{s}=-\frac{d \theta } { d t} \overrightarrow { { r } }$$

طبق شکل فوق، معادله برداری توصیف‌کننده مدار جسم دوران‌کننده به‌صورت زیر است.

$$- \left(\frac{G M m } { r ^ { 2 } } \right) \overrightarrow { { r } } = m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }$$

علامت منفی به این دلیل است که نیروی بین دو جسم (برای مثال زمین و خورشید) به‌صورت کششی است. به‌ منظور محاسبه صریح $$\frac { d ^ { 2 } } { d‌ t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }$$، باید در ابتدا توجه داشته باشید که بردار سرعت مطابق با رابطه زیر قابل بیان است:

$$\begin {align*} \overrightarrow { v } & = \frac { d } { d t } \overrightarrow { { R } } \\ & = \frac { d } { d t } ( r \cdot \overrightarrow { { r } } ) \\ & = \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \left ( \frac { d } { d t } \overrightarrow { { r } } \right) \\ & = \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \frac{d \theta}{d t} \overrightarrow {{s}} \end {align*}$$

بدیهی است که با مشتق‌گیری از رابطه فوق، بردار شتاب نیز برابر می‌شود با:

$$\begin {aligned} \overrightarrow { { a } } & = \frac { d } { d t } \overrightarrow { { v } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \frac { d \theta } { d t } \overrightarrow { { s } } \right) \\ &=\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow{ { r } } + 2 \frac { d r } { d t} \frac{d \theta } { d t} \overrightarrow{{s}}+r \frac { d ^ { 2 } \theta}{d t ^ { 2 } } \overrightarrow{{s}}-r\left(\frac{d \theta } { d t}\right)^{2} \overrightarrow{ { r } } \\ &=\left(\frac { d ^ { 2} r}{d t^{2}}-r\left( \frac { d \theta}{d t}\right) ^ { 2 } \right) \overrightarrow {{r}}+\left(2 \frac { d r } { d t } \frac { d \theta}{d t}+r \frac{d^{2} \theta}{d t ^ { 2 } } \right) \overrightarrow{s} \end{aligned}$$

با توجه به معادله $$- \left(\frac{G M m } { r ^ { 2 } } \right) \overrightarrow { { r } } = m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }$$ نیز می‌توان بردار شتاب را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\overrightarrow { a } = - \frac { G M } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { r }$$

با معادل قرار دادن دو رابطه فوق داریم:

$$\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } - r \left( \frac { d \theta } { d t } \right) ^ { 2 } = - \frac { G M } { r ^ { 2 } }$$

همچنین با برابر قرار دادن مولفه $$s$$ دو رابطه نیز، معادله دیفرانسیلِ زیر بدست می‌آید.

$$2 \frac { d r}{d t} \frac{d \theta} { d t } + r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=0$$

دو معادله بدست آمده در بالا،‌ کاربرد زیادی در بدست آوردن مدار اجسام دارند.

قانون اول کپلر

قانون اول کپلر بیان می‌کند که مسیر طی شده توسط یک سیاره، به صورت بیضی، سهمی، هذلولی یا دیگر مقاطع مخروطی است که جسمِ مرکز (برای نمونه خورشید) در یکی از کانون‌های آن قرار می‌گیرد. به منظور اثبات، از رابطه بدست آمده در بالا استفاده می‌کنیم.

$$L = r ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t }$$

مقدار فوق عددی ثابت است. در مرحله بعد متغیر جدید زیر را تعریف می‌کنیم.

$$P = \frac { L^ { 2 } } { G M }$$

همچنین متغیر بی‌بعد زیر را در نظر بگیرید.

$$u = \frac { P } { r }$$

اگر مقادیر تعریف شده در $$P$$ را در رابطه فوق تعریف کنیم، خواهیم داشت:

$$\frac { G M } { r ^ { 2 } } = \frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }$$

بنابراین می‌توان تساوی زیر را نیز بین پارامتر‌ها بیان کرد:

$$\frac { d \theta } { d t } = \frac { L } { r ^ { 2 } } = \frac { L u ^ { 2 } } { P ^ { 2 } }$$

از طرفی قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای را نیز می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\begin {align*} \frac { d r } { d t } & = \frac { d } { d \theta } \left( \frac { P } { u } \right) \frac { d \theta } { d t } \\ & = - \frac { P } { u ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } \frac { d u } { d \theta } \\ & = - \frac { L } { P } \frac { d u } { d \theta } \end {align*}$$

با مشتق‌گیری دوباره از رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم.

$$\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } = \frac { d } { d \theta } \left( \frac {d r }{ d t } \right) \frac { d \theta } { d t } = - \frac { L } { P } \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } = - \frac { L^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } }$$

حال عبارت فوق را در رابطه $$\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } - r \left( \frac { d \theta} { d t } \right) ^ { 2 } = - \frac { G M } { r ^ { 2 } }$$ قرار داده و به رابطه زیر می‌رسیم.

$$-\frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } \frac{ d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } - \left(\frac { P } { u } \right) \left( \frac { L u ^ { 2 } } { P ^ { 2 }‌ } \right) ^ { 2 } = - \frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }$$

طرفین رابطه فوق را به $$-\frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }$$ تقسیم کرده و معادله دیفرانسیل زیر بدست می‌آید.

$$\frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } + u = 1$$

پاسخ عمومی معادله دیفرانسیلی به شکل بالا، تابعی مثلثاتی است. به طور دقیق‌تر پاسخ معادله فوق به شکل زیر است.

$$u = u ( \theta ) = 1 + e \cos \left( \theta - \theta _ { 0 } \right )$$

در رابطه فوق مقادیر $$e$$ و $$\theta _ 0$$ ثابت بوده و با توجه به شرایط اولیه تعیین می‌شوند. مقدار $$e$$ تحت عنوان خروج از مرکز شناخته شده و اندازه آن توصیف‌کننده شکل مدار است. مقدار $$r$$ در مختصات قطبی را نیز می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

$$r = \frac { P } { 1 + e \cos \left( \theta - \theta _ { 0 } \right) }$$
معادله ۱

رابطه فوق به ازای $$e = 0$$ نشان‌دهنده یک دایره است. در صورتی که $$| e | < 1$$ باشد، رابطه نشان‌دهنده بیضی است. همچنین در حالتی که $$| e | = 1$$ و $$| e | > 1$$ باشد نیز به ترتیب نشان‌دهنده سهمی و هذلولی است. با تغییر دادن دستگاه مختصات، می‌توان مقدار $$\theta _ 0$$ را برابر با صفر تنظیم کرد. در این صورت رابطه فوق نیز به شکل زیر در می‌آید.

$$r = \frac { P } { 1 + e \cos \theta }$$

رابطه فوق در حقیقت نشان‌دهنده قانون اول کپلر است.

قانون دوم کپلر

قانون دوم کپلر بیان می‌کند که مساحت جارو شده توسط سیاره در دو بازه زمانی برابر، مقداری برابر است. به طور دقیق‌تر اگر سیاره‌ای در بازه زمانی $$t _ 1$$ تا $$t _ 2$$ مساحت $$A$$ را بپیماید، در این صورت مساحت طی شده در بازه زمانی $$t _ 4 - t _ 3 = t _ 2 - t _ 1$$ نیز برابر با $$A$$ است. در شکل زیر مساحت جارو شده در این دو بازه زمانی نشان داده شده‌اند.

مساحت طی شده توسط سیاره در بازه $$t _ 1$$ تا $$t _ 2$$ برابر است با:

$$\frac { 1 } { 2 } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } r ^ { 2 } d \theta = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } r ^ { 2 } \frac{d \theta} { d t } d t$$

از طرفی با توجه به رابطه فوق، می‌توان گفت:

$$\frac { d } { d t } \left ( r ^ { 2 } \frac { d \theta } { d t } \right) = 2 r \frac { d r } { d t } \frac { d \theta } { d t } + r ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \theta } { d t } = r \cdot 0 = 0$$

عبارت فوق نشان می‌دهد که انتگرالِ $$r ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t }$$ ، مقداری ثابت است. فرض کنید این عبارت را $$L$$ بنامیم. در این صورت فرمول مساحت در بازه $$t _ 1$$ تا $$t _ 2$$ را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$A = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } r ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t } d t = \frac { 1 } { 2 } L \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right )$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید سمت راست معادله فوق تنها وابسته به اختلاف زمانی است، چرا که مقدار $$L$$، عددی ثابت است. از این رو می‌توان گفت مساحت جارو شده نیز تنها وابسته به بازه زمانی است. در نتیجه مساحت در هر دو بازه $$t _{ 4 } - t _ { 3 } = t _ { 2 } - t _ { 1 }$$، عددی ثابت است.

تعیین خروج از مرکز

در این قسمت قصد داریم تا مقدار خروج از مرکز را با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار دهیم. بدین منظور سیاره‌ای به جرم $$M$$ را در نظر بگیرید که جرمِ $$m$$ به دور آن دوران می‌کند. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، مسیر حرکت به صورت یک مقطع مخروطی است.

توجه داشته باشید که دستگاه مختصات را به شکلی در نظر می‌گیریم که $$M$$ در یکی از کانون‌های آن قرار گرفته باشد. فرض کنید در لحظه $$t = 0$$ فاصله جرم $$m$$ تا $$M$$ برابر با $$r _ 0$$ و سرعت  جرم $$m$$ برابر با $$v _ 0$$ باشد.

همچنین فرض کنید که زاویه اولیه جسم دوران‌کننده در لحظه $$t = 0$$ برابر با $$\theta ( 0 ) = \alpha$$ باشد. همچنین زاویه بین سرعت ماهواره (جسم دوران‌کننده) و بردار مکانی را نیز برابر با $$\phi$$ در نظر بگیرید. در شکل فوق تمامی این زاویا و بردار‌ها نشان داده شده‌اند. در این صورت معادله ۱ را در لحظه اولیه می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

$$r _ { 0 } = \frac { P } { 1 + e \cos \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) }$$

با توجه به عبارت فوق مناسب است که متغیر $$p$$ را برابر با $$p = P / r _ 0$$ تعریف کنیم. در این صورت عبارت فوق را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

$$1 = \frac { p } { 1 + e \cos \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) }$$

$$\Rightarrow 1 + e \cos \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) = p$$
معادله ۲

در مرحله بعد از معادله ۱ نسبت به $$t$$ مشتق گرفته و با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای خواهیم داشت:

$$v _ { 0 } \cos \phi = \left.\frac { d r } { d t } \right| _ { t = 0 } = \left.\frac { P e \sin \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) } { \left[ 1 + e \cos \left ( \alpha -\theta _ { 0 } \right) \right] ^ { 2 } } \cdot \frac { d \theta } { d t } \right| _ {t = 0 } = \frac { e v _ { 0 } \sin \phi \sin \left ( \alpha - \theta _ { 0 } \right) } { p }$$

$$\Rightarrow \cot \phi = \frac { e \sin \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) } { p }$$

نهایتا رابطه فوق را می‌توان به شکل زیر نیز بازنویسی کرد:

$$e \sin \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) = p \cot \phi$$
معادله ۳

با ترکیب معادلات ۲ و ۳ به رابطه زیر می‌رسیم.

$$e ^ { 2 } = e ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) + e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) = ( p - 1 ) ^ { 2 } + p ^{ 2 } \cot ^ { 2 } \phi$$

رابطه فوق را نیز می‌توان به شکل زیر مرتب کرد:

$$e ^ { 2 } = p ^ { 2 } \csc ^ { 2 } \phi - 2 p + 1$$

با توجه به رابطه فوق می‌توان گزاره‌های زیر را در مورد شکل مدار نتیجه‌گیری کرد:

بیضی ($$e ^ 2 < 1$$): در این حالت معادله فوق را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\begin{array} { r } { p ^ { 2 } \csc ^ { 2 } \phi - 2 p + 1 < 1 \Longleftrightarrow} { p \csc ^ { 2 } \phi < 2 } \end{array}$$

از طرفی با توجه به دو تعریف $$L$$ و $$P$$:

$$P = \frac { L ^ { 2 } } { G M } \ , \ L = \left.r _ { 0 } ^ { 2 } \frac { d \theta }{ d t } \right| _ { t = 0 } = r _ { 0 } v _ { 0 } \sin \phi$$

ترم مثلثاتی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$p \csc ^ { 2 } \phi = \frac { r _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } } { G M }$$

بنابراین می‌توان گفت که مدار بیضوی زمانی به طور دقیق اتفاق می‌افتد که نامساوی زیر برقرار باشد.

$$r _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } < 2 G M$$

سهمی ($$e ^ 2 = 1$$): این حالت نیز زمانی رخ می‌دهد که تساوی زیر برقرار باشد.

$$r _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } = 2 G M$$

هذلولی ($$e ^ 2 > 1$$): در نهایت نامساوی زیر نیز نشان می‌دهد که مدار، بخشی از یک هذلولی است.

$$r _ 0 v _ 0 ^ 2 > 2 G M$$

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• قوانین حرکت نیوتن — به زبان ساده
• کره هیل (Hill Sphere) — به زبان ساده
• تعریف مقطع مخروطی و مفاهیم مرتبط با آن — به زبان ساده

^^