قوانین کپلر – از صفر تا صد

۹۲۲۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۳ دقیقه
دانلود PDF مقاله
قوانین کپلر – از صفر تا صدقوانین کپلر – از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد قوانین حرکت نیوتن بحث شد. با استفاده از این قوانین می‌توان مدار‌های اجرام کیهانی را به دور اجرام سنگین‌تر بدست آورد. اما جالب است بدانید که قبل از نیوتن کپلر نیز قوانینی وضع کرد که با استفاده از آن‌ها می‌توان مدار‌های مذکور را تحلیل کرد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد قوانین کپلر بحث کرده و روابط کمی آن را اثبات کنیم.

997696

قوانین کپلر

به منظور بدست آوردن قوانین کپلر در ابتدا باید قانون گرانش نیوتن را یادآوری کنیم. قانون جهانی گرانش بیان می‌کند که دو جرمِ mm و MM نیروی زیر را به هم وارد می‌کنند.

F=GMmr2F = \frac { G M m } { r ^ { 2 } }

در رابطه فوق GG ثابت گرانشی و rr فاصله بین دو جرم است. مقدار GG نیز برابر است با:

G=6.67×1011Nm2/kg2G = 6 . 6 7 \times 10 ^ { - 11 } \mathrm { N } \cdot \mathrm { m } ^{ 2 } / \mathrm { k g } ^ { 2 }

همان‌طور که در تصویر زیر نیز نشان داده شده، خورشید در مرکز قرار داده شده و بردار R\overrightarrow { R } نشان‌دهنده محل جسم دوران‌کننده (زمین) است. بردار r\overrightarrow { r } نیز نشان‌دهنده بردار واحد بوده که در مسیر R\overrightarrow { R } است. با توجه به rr=1\overrightarrow { { r } } \cdot \overrightarrow { { r } } = 1 می‌توان گفت ضرب داخلی ارائه شده در ادامه، برابر با صفر است.

r(ddtr)=0\overrightarrow { { r } } \cdot \left( \frac { d } { d‌ t } \overrightarrow { { r } } \right) = 0

به‌منظور راحتی کار بردار s\overrightarrow { s } را در جهت بردار تغییرات زمانی یا ddtr\frac { d } { d t } \overrightarrow { r } در نظر بگیرید. در حقیقت می‌توان گفت:

rs=0\overrightarrow{{r}} \cdot \overrightarrow { { s } } = 0

در شکل زیر تمامی این بردار‌ها نشان داده شده‌اند.

قوانین کپلر

بنابراین تاکنون دو بردار r,sr , s تعریف شده‌اند که حاصل‌ضرب داخلی آن‌ها برابر با صفر است. این دو بردار را می‌توان به‌صورت زیر نیز بیان کرد:

r=(cosθ,sinθ),s=(sinθ,cosθ)\overrightarrow { { r } } = ( \cos \theta , \sin \theta ) , \quad \overrightarrow { s } = ( - \sin \theta , \cos \theta )

همچنین مشتقات این دو بردار را می‌توان به‌ صورت زیر بدست آورد:

ddtr=dθdtsddts=dθdtr\frac { d } { d t } \overrightarrow { { r } } = \frac { d \theta }{d t} \overrightarrow { s } \quad \Rightarrow \quad \frac { d } { d t } \overrightarrow{s}=-\frac{d \theta } { d t} \overrightarrow { { r } }

طبق شکل فوق، معادله برداری توصیف‌کننده مدار جسم دوران‌کننده به‌صورت زیر است.

(GMmr2)r=md2dt2R- \left(\frac{G M m } { r ^ { 2 } } \right) \overrightarrow { { r } } = m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }

علامت منفی به این دلیل است که نیروی بین دو جسم (برای مثال زمین و خورشید) به‌صورت کششی است. به‌ منظور محاسبه صریح d2dt2R\frac { d ^ { 2 } } { d‌ t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }، باید در ابتدا توجه داشته باشید که بردار سرعت مطابق با رابطه زیر قابل بیان است:

v=ddtR=ddt(rr)=drdtr+r(ddtr)=drdtr+rdθdts\begin {align*} \overrightarrow { v } & = \frac { d } { d t } \overrightarrow { { R } } \\ & = \frac { d } { d t } ( r \cdot \overrightarrow { { r } } ) \\ & = \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \left ( \frac { d } { d t } \overrightarrow { { r } } \right) \\ & = \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \frac{d \theta}{d t} \overrightarrow {{s}} \end {align*}

بدیهی است که با مشتق‌گیری از رابطه فوق، بردار شتاب نیز برابر می‌شود با:

a=ddtv=ddt(drdtr+rdθdts)=d2rdt2r+2drdtdθdts+rd2θdt2sr(dθdt)2r=(d2rdt2r(dθdt)2)r+(2drdtdθdt+rd2θdt2)s\begin {aligned} \overrightarrow { { a } } & = \frac { d } { d t } \overrightarrow { { v } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \frac { d \theta } { d t } \overrightarrow { { s } } \right) \\ &=\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow{ { r } } + 2 \frac { d r } { d t} \frac{d \theta } { d t} \overrightarrow{{s}}+r \frac { d ^ { 2 } \theta}{d t ^ { 2 } } \overrightarrow{{s}}-r\left(\frac{d \theta } { d t}\right)^{2} \overrightarrow{ { r } } \\ &=\left(\frac { d ^ { 2} r}{d t^{2}}-r\left( \frac { d \theta}{d t}\right) ^ { 2 } \right) \overrightarrow {{r}}+\left(2 \frac { d r } { d t } \frac { d \theta}{d t}+r \frac{d^{2} \theta}{d t ^ { 2 } } \right) \overrightarrow{s} \end{aligned}

با توجه به معادله (GMmr2)r=md2dt2R- \left(\frac{G M m } { r ^ { 2 } } \right) \overrightarrow { { r } } = m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } } نیز می‌توان بردار شتاب را به‌صورت زیر بیان کرد:

a=GMr2r\overrightarrow { a } = - \frac { G M } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { r }

با معادل قرار دادن دو رابطه فوق داریم:

d2rdt2r(dθdt)2=GMr2\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } - r \left( \frac { d \theta } { d t } \right) ^ { 2 } = - \frac { G M } { r ^ { 2 } }

همچنین با برابر قرار دادن مولفه ss دو رابطه نیز، معادله دیفرانسیلِ زیر بدست می‌آید.

2drdtdθdt+rd2θdt2=02 \frac { d r}{d t} \frac{d \theta} { d t } + r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=0

دو معادله بدست آمده در بالا،‌ کاربرد زیادی در بدست آوردن مدار اجسام دارند.

قانون اول کپلر

قانون اول کپلر بیان می‌کند که مسیر طی شده توسط یک سیاره، به صورت بیضی، سهمی، هذلولی یا دیگر مقاطع مخروطی است که جسمِ مرکز (برای نمونه خورشید) در یکی از کانون‌های آن قرار می‌گیرد. به منظور اثبات، از رابطه بدست آمده در بالا استفاده می‌کنیم.

L=r2dθdtL = r ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t }

مقدار فوق عددی ثابت است. در مرحله بعد متغیر جدید زیر را تعریف می‌کنیم.

P=L2GMP = \frac { L^ { 2 } } { G M }

همچنین متغیر بی‌بعد زیر را در نظر بگیرید.

u=Pru = \frac { P } { r }

اگر مقادیر تعریف شده در PP را در رابطه فوق تعریف کنیم، خواهیم داشت:

GMr2=L2u2P3\frac { G M } { r ^ { 2 } } = \frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }

بنابراین می‌توان تساوی زیر را نیز بین پارامتر‌ها بیان کرد:

dθdt=Lr2=Lu2P2\frac { d \theta } { d t } = \frac { L } { r ^ { 2 } } = \frac { L u ^ { 2 } } { P ^ { 2 } }

از طرفی قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای را نیز می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

drdt=ddθ(Pu)dθdt=Pu2dθdtdudθ=LPdudθ\begin {align*} \frac { d r } { d t } & = \frac { d } { d \theta } \left( \frac { P } { u } \right) \frac { d \theta } { d t } \\ & = - \frac { P } { u ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } \frac { d u } { d \theta } \\ & = - \frac { L } { P } \frac { d u } { d \theta } \end {align*}

با مشتق‌گیری دوباره از رابطه فوق به رابطه زیر می‌رسیم.

d2rdt2=ddθ(drdt)dθdt=LPd2udθ2dθdt=L2u2P3d2udθ2\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } = \frac { d } { d \theta } \left( \frac {d r }{ d t } \right) \frac { d \theta } { d t } = - \frac { L } { P } \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } = - \frac { L^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } }

حال عبارت فوق را در رابطه d2rdt2r(dθdt)2=GMr2\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } - r \left( \frac { d \theta} { d t } \right) ^ { 2 } = - \frac { G M } { r ^ { 2 } } قرار داده و به رابطه زیر می‌رسیم.

L2u2P3d2udθ2(Pu)(Lu2P2)2=L2u2P3-\frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } \frac{ d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } - \left(\frac { P } { u } \right) \left( \frac { L u ^ { 2 } } { P ^ { 2 }‌ } \right) ^ { 2 } = - \frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }

طرفین رابطه فوق را به L2u2P3-\frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } تقسیم کرده و معادله دیفرانسیل زیر بدست می‌آید.

d2udθ2+u=1\frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } + u = 1

پاسخ عمومی معادله دیفرانسیلی به شکل بالا، تابعی مثلثاتی است. به طور دقیق‌تر پاسخ معادله فوق به شکل زیر است.

u=u(θ)=1+ecos(θθ0)u = u ( \theta ) = 1 + e \cos \left( \theta - \theta _ { 0 } \right )

در رابطه فوق مقادیر ee و θ0\theta _ 0 ثابت بوده و با توجه به شرایط اولیه تعیین می‌شوند. مقدار ee تحت عنوان خروج از مرکز شناخته شده و اندازه آن توصیف‌کننده شکل مدار است. مقدار rr در مختصات قطبی را نیز می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

r=P1+ecos(θθ0)r = \frac { P } { 1 + e \cos \left( \theta - \theta _ { 0 } \right) }
معادله ۱

رابطه فوق به ازای e=0e = 0 نشان‌دهنده یک دایره است. در صورتی که e<1| e | < 1 باشد، رابطه نشان‌دهنده بیضی است. همچنین در حالتی که e=1| e | = 1 و e>1| e | > 1 باشد نیز به ترتیب نشان‌دهنده سهمی و هذلولی است. با تغییر دادن دستگاه مختصات، می‌توان مقدار θ0\theta _ 0 را برابر با صفر تنظیم کرد. در این صورت رابطه فوق نیز به شکل زیر در می‌آید.

r=P1+ecosθr = \frac { P } { 1 + e \cos \theta }

رابطه فوق در حقیقت نشان‌دهنده قانون اول کپلر است.

قانون دوم کپلر

قانون دوم کپلر بیان می‌کند که مساحت جارو شده توسط سیاره در دو بازه زمانی برابر، مقداری برابر است. به طور دقیق‌تر اگر سیاره‌ای در بازه زمانی t1t _ 1 تا t2t _ 2 مساحت AA را بپیماید، در این صورت مساحت طی شده در بازه زمانی t4t3=t2t1t _ 4 - t _ 3 = t _ 2 - t _ 1 نیز برابر با AA است. در شکل زیر مساحت جارو شده در این دو بازه زمانی نشان داده شده‌اند.

قوانین کپلر

مساحت طی شده توسط سیاره در بازه t1t _ 1 تا t2t _ 2 برابر است با:

12θ1θ2r2dθ=12t1t2r2dθdtdt\frac { 1 } { 2 } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } r ^ { 2 } d \theta = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } r ^ { 2 } \frac{d \theta} { d t } d t

از طرفی با توجه به رابطه فوق، می‌توان گفت:

ddt(r2dθdt)=2rdrdtdθdt+r2d2θdt=r0=0\frac { d } { d t } \left ( r ^ { 2 } \frac { d \theta } { d t } \right) = 2 r \frac { d r } { d t } \frac { d \theta } { d t } + r ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \theta } { d t } = r \cdot 0 = 0

عبارت فوق نشان می‌دهد که انتگرالِ r2dθdtr ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t } ، مقداری ثابت است. فرض کنید این عبارت را LL بنامیم. در این صورت فرمول مساحت در بازه t1t _ 1 تا t2t _ 2 را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

A=12t1t2r2dθdtdt=12L(t2t1)A = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } r ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t } d t = \frac { 1 } { 2 } L \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right )

همان‌طور که مشاهده می‌کنید سمت راست معادله فوق تنها وابسته به اختلاف زمانی است، چرا که مقدار LL، عددی ثابت است. از این رو می‌توان گفت مساحت جارو شده نیز تنها وابسته به بازه زمانی است. در نتیجه مساحت در هر دو بازه t4t3=t2t1t _{ 4 } - t _ { 3 } = t _ { 2 } - t _ { 1 }، عددی ثابت است.

تعیین خروج از مرکز

در این قسمت قصد داریم تا مقدار خروج از مرکز را با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار دهیم. بدین منظور سیاره‌ای به جرم MM را در نظر بگیرید که جرمِ mm به دور آن دوران می‌کند. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، مسیر حرکت به صورت یک مقطع مخروطی است.

توجه داشته باشید که دستگاه مختصات را به شکلی در نظر می‌گیریم که MM در یکی از کانون‌های آن قرار گرفته باشد. فرض کنید در لحظه t=0t = 0 فاصله جرم mm تا MM برابر با r0r _ 0 و سرعت  جرم mm برابر با v0v _ 0 باشد.

Kepler

همچنین فرض کنید که زاویه اولیه جسم دوران‌کننده در لحظه t=0t = 0 برابر با θ(0)=α\theta ( 0 ) = \alpha باشد. همچنین زاویه بین سرعت ماهواره (جسم دوران‌کننده) و بردار مکانی را نیز برابر با ϕ\phi در نظر بگیرید. در شکل فوق تمامی این زاویا و بردار‌ها نشان داده شده‌اند. در این صورت معادله ۱ را در لحظه اولیه می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

r0=P1+ecos(αθ0)r _ { 0 } = \frac { P } { 1 + e \cos \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) }

با توجه به عبارت فوق مناسب است که متغیر pp را برابر با p=P/r0p = P / r _ 0 تعریف کنیم. در این صورت عبارت فوق را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

1=p1+ecos(αθ0)1 = \frac { p } { 1 + e \cos \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) }

1+ecos(αθ0)=p\Rightarrow 1 + e \cos \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) = p
معادله ۲

در مرحله بعد از معادله ۱ نسبت به tt مشتق گرفته و با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای خواهیم داشت:

v0cosϕ=drdtt=0=Pesin(αθ0)[1+ecos(αθ0)]2dθdtt=0=ev0sinϕsin(αθ0)pv _ { 0 } \cos \phi = \left.\frac { d r } { d t } \right| _ { t = 0 } = \left.\frac { P e \sin \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) } { \left[ 1 + e \cos \left ( \alpha -\theta _ { 0 } \right) \right] ^ { 2 } } \cdot \frac { d \theta } { d t } \right| _ {t = 0 } = \frac { e v _ { 0 } \sin \phi \sin \left ( \alpha - \theta _ { 0 } \right) } { p }

cotϕ=esin(αθ0)p\Rightarrow \cot \phi = \frac { e \sin \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) } { p }

نهایتا رابطه فوق را می‌توان به شکل زیر نیز بازنویسی کرد:

esin(αθ0)=pcotϕe \sin \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) = p \cot \phi
معادله ۳

با ترکیب معادلات ۲ و ۳ به رابطه زیر می‌رسیم.

e2=e2cos2(αθ0)+e2sin2(αθ0)=(p1)2+p2cot2ϕe ^ { 2 } = e ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) + e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \alpha - \theta _ { 0 } \right) = ( p - 1 ) ^ { 2 } + p ^{ 2 } \cot ^ { 2 } \phi

رابطه فوق را نیز می‌توان به شکل زیر مرتب کرد:

e2=p2csc2ϕ2p+1e ^ { 2 } = p ^ { 2 } \csc ^ { 2 } \phi - 2 p + 1

با توجه به رابطه فوق می‌توان گزاره‌های زیر را در مورد شکل مدار نتیجه‌گیری کرد:

بیضی (e2<1e ^ 2 < 1): در این حالت معادله فوق را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

p2csc2ϕ2p+1<1pcsc2ϕ<2\begin{array} { r } { p ^ { 2 } \csc ^ { 2 } \phi - 2 p + 1 < 1 \Longleftrightarrow} { p \csc ^ { 2 } \phi < 2 } \end{array}

از طرفی با توجه به دو تعریف LL و PP:

P=L2GM , L=r02dθdtt=0=r0v0sinϕP = \frac { L ^ { 2 } } { G M } \ , \ L = \left.r _ { 0 } ^ { 2 } \frac { d \theta }{ d t } \right| _ { t = 0 } = r _ { 0 } v _ { 0 } \sin \phi

ترم مثلثاتی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

pcsc2ϕ=r0v02GMp \csc ^ { 2 } \phi = \frac { r _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } } { G M }

بنابراین می‌توان گفت که مدار بیضوی زمانی به طور دقیق اتفاق می‌افتد که نامساوی زیر برقرار باشد.

r0v02<2GMr _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } < 2 G M

سهمی (e2=1e ^ 2 = 1): این حالت نیز زمانی رخ می‌دهد که تساوی زیر برقرار باشد.

r0v02=2GMr _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } = 2 G M

هذلولی (e2>1e ^ 2 > 1): در نهایت نامساوی زیر نیز نشان می‌دهد که مدار، بخشی از یک هذلولی است.

r0v02>2GMr _ 0 v _ 0 ^ 2 > 2 G M

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۳۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math.ksu.edu
دانلود PDF مقاله
۵ دیدگاه برای «قوانین کپلر – از صفر تا صد»

پوزش بابت سوال احمقانه ام
چون کلاس سوم هستم نمیدونم که :
آیا F=GMm÷r² با F=G (Mm÷r²) فرقی نمیکنه ؟
چون شما G را بالای خط کسری با m و M ضرب کردید و بعد تقسیم بر r² کردید در صورتی که جاهای دیگر من دیدم G را ضربدر (M.m÷r²) میکنند

با سلام،
هر دو صورت نوشته شده برای نیروی گرانشی صحیح است. نوشتن رابطه نیروی گرانشی به شکل F=GmMr2F = G \frac { m M} { r ^ 2} نشان می‌دهد G ثابت تناسب بین رابطه نیروی گرانشی با جرم‌های دو جسم و فاصله بین آن‌ها است.
با تشکر ار همراهی شما با مجله فرادرس

ببخشید در اثبات قانون اول p چیست؟

با سلام
M نظر به کدام سیستم یک قرار گرفته در انرژی حرکی و پتانسیل

سلام و روز شما به خیر؛

همانطور که در ابتدای اثبات قانون اول نیز بیان شده PP برابر با L2GM\frac{L^2}{GM} است.

از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید خرسندیم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *