فرمول الگویابی | فرمول الگوی عددی – با مثال و به زبان ساده

الگوها و دنباله‌های عددی، یکی از بخش‌های زیبای ریاضی است. به کمک فرمول الگویابی می‌توانیم رابطه بین عددهای یک دنباله را کشف کرده و مقدارهای بعدی را بشناسیم. الگوهای عدد، ساختار مشخصی دارند و نباید در اعدادی که در الگوی ریاضی وجود دارد، استثنا پیدا کرد. پس هر عددی از این الگو، طبق فرمول الگویابی محاسبه شده و به مقدارهای بعدی و قبلی وابسته است. در این متن از مجله فرادرس، به فرمول الگویابی با مثال و به زبان ساده توجه کردیم و توضیحاتی را برای پیدا کردن الگوی اعداد بیان خواهیم کرد.

در نوشتارهای دیگر از مجله فرادرس به موضوع الگویابی و الگوهای عددی اشاره شده است. بنابراین به عنوان متن مکمل می‌توانید به الگوها و دنباله های متداول عددی — به زبان ساده و الگوهای عددی سخت — به زبان ساده و با مثال مراجعه کنید. همچنین خواندن مطالب مجموعه ها در ریاضیات – مفاهیم پایه و اعداد طبیعی چیست و چه اعدادی هستند ؟ — به زبان ساده و با مثال نیز مفید است.

فرمول الگویابی

الگوها در همه جا، همراه ما هستند. الگویی که در برگ درختان، شکوفه‌ها، رنگ‌های بال پروانه‌ها، ساختمان‌ها و سرامیک آشپزخانه‌های آن‌ها طبق الگوهای ریاضی تعیین می‌شوند. البته همانطور که می‌دانید بعضی از این الگوها طبیعی هستند و بعضی هم الگوهای مصنوعی بوده که توسط بشر ساخته شده‌اند.

یافتن الگوها در چنین چیزهایی ممکن است به راحتی مشخص شود یا تبدیل به کاری سخت شده که به مهارت‌های ریاضی خاص نیاز داشته باشد. مثلا رابطه بین ضلع‌های مثلث با مساحت آن‌ها، الگویی است که توسط ریاضیدان‌های قدیم مشخص شده و با دانستن ارتفاع و قاعده مثلث، می‌توانیم مساحت هر مثلثی را تعیین کنیم.

موضوعی که در مورد الگویابی اعداد باید در نظر گرفت، وجود قاعده یا فرمول همیشگی و ثابت برای همه مقادیر آن‌ها است. بنابراین استثناء برای پیدا کردن مقدارهای الگو وجود ندارد. به دنباله زیر توجه کنید.

2, 4, 6, 8, 10, ...

مشخص است که این اعداد، دنباله اعداد زوج را مشخص کرده است. هر یک از این اعداد با عدد قبلی خود، ۲ واحد اختلاف دارد. از طرفی اولین شماره این دنباله (۱)، برابر با ۲ است. همچنین دومین شماره این دنباله (۲) برابر با ۴ است. از همین رابطه متوجه می‌شویم که هر شماره از این دنباله، از ضرب آن در عدد ۲ بوجود می‌آید. پس اگر شماره ۱۰ این دنباله را لازم داشته باشیم، کافی است از رابطه زیر کمک بگیریم.

۲ × ۱۰ = ۲۰

فرمول الگویابی را چگونه پیدا کنیم؟

الگوهای عددی را به چند شکل می‌توان فرمول‌بندی کرد. برای مثال رابطه‌ای که برای اعداد زوج گفتیم، برای پیدا کردن عدد شماره دهم، باید ۱۰ را در ۲ ضرب کنیم. پس در اینجا فرمول الگویابی به صورت ضربی است. بنابراین اگر شماره مربوط به عدد الگو را به صورت یک حرف انگلیسی مثل (a) نشان دهیم، فرمول الگویابی اعداد زوج به صورت زیر نوشته می‌شود.

۲a = 2 × a

توجه داریم که مقدارهایی را برای a در نظر می‌گیریم که از یک (۱) آغاز شده و یکی یکی افزایش می‌یابد و باید مقدارهای بعدی را به صورت 2, 3, 4, ... به کار ببریم. ولی برای پیدا کردن فرمول الگویابی اعداد فرد، باید هم از ضرب و هم از جمع استفاده کنیم. الگوی اعداد فرد را در زیر نوشته‌ایم.

1, 3, 5, 7, 9, ...

این‌بار برای پیدا کردن فرمول الگویابی این دنباله سعی می‌کنیم شماره‌ها یا مکان هر یک از آن‌ها را به مقدارشان ربط بدهیم. در مکان یکم (۱)، عدد ۱ قرار دارد. در مکان دوم (۲) عدد ۳ و در مکان سوم (۳) عدد پنج. اگر مکان هر عدد را از یک کم کنیم و در عدد ۲ ضرب کنیم، فرمول الگوی اعداد فرد را پیدا کرده‌ایم. یعنی اگر عدد مربوط به مکان ششم (۶)‌ اعداد فرد را لازم داشته باشیم، از طریق زیر باید آن را بدست آوریم.

( 6 - ۱ ) × ۲ + ۱ = ۱۱

همانطور که می‌بینید عدد فرد بعد از ۹ که همان ۱۱ هست، محاسبه شد. این الگو را برای مکان ۱۰ هم تکرار می‌کنیم. باید نتیجه این محاسبه، یک عدد فرد باشد.

( 10 - 1 ) × ۲ + ۱ = ۱۹

پس اگر b را به عنوان شماره مکان اعداد در این الگو قرار دهیم، فرمول الگویابی اعداد فرد به صورت زیر نوشته می‌شود.

( b - 1 ) × 2 + 1

فرمول الگویابی براساس شکلی که برای اعداد رسم می‌شود، نیز ساخته و قابل محاسبه است. برای مثال الگوی اعداد زوج را به صورت شکل در زیر می‌بینید.

حتی ممکن است برعکس هم عمل کنیم و سعی کنیم که با توجه به الگوی شکل‌ها، ترتیب یا اعداد دنباله را مشخص کنیم. همانطور که در تصویر زیر می‌بینید، الگوی اعداد فرد، به کار رفته و ترتیب شکل‌ها با توجه به ترتیب اعداد فرد تعیین شده است.

نکته: ممکن است این ترتیب افزایشی بوده یا کاهشی باشد. الگوهایی که برمبنای ضرب و جمع شکل گرفته باشند، فرمول الگویابی به صورت افزایشی دارند در حالیکه الگوهایی که به کمک تفریق و تقسیم ساخته می‌شوند، ممکن است مقدارهای آن‌ها کاهشی باشند.

الگوهای افزایشی

الگوهای اعداد زوج و فرد، نمونه‌ای از الگوهای افزایشی یا دنباله‌های صعودی بودند و دیدید که فرمول الگویابی در آن‌ها به کمک ضرب و جمع نوشته می‌شد. این بار می‌خواهیم به الگوی دیگری اشاره کنیم که آن هم از طریق جمع تشکیل شده و به الگو یا دنباله فیبوناچی مشهور است. الگوی عددی زیر همان دنباله فیبوناچی است که با مقدار ۱ شروع شده و هر مقدار از جمع دو عدد قبلی بدست می‌آید.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

فیلم آموزش نقاشی – ویژه کودکان در فرادرس

کلیک کنید

عدد اول در این دنباله، یک (۱) است و چون عددی قبل از آن وجود ندارد، برای پیدا کردن عدد دوم، یک و صفر (۱ و صفر به عنوان دو عدد قبلی) را با هم جمع می‌کنیم. حاصل برابر با ۱ است که به عنوان دومین عدد از دنباله بدست می‌آید. ولی برای عدد سوم، عددهای دوم و اول را با هم جمع می‌کنیم. حاصل برابر است با ۲. برای پیدا کردن عدد ششم، باید جمع عدد پنجم و چهارم را بدست بیاوریم که ۵ و ۳ هستند و جمع آن‌ها، برابر است با ۸. به این ترتیب یک دنباله افزایشی به شکل دنباله فیبوناچی حاصل می‌شود.

به نظر شما، عدد 9ام دنباله فیبوناچی چیست؟ با جمع کردن ۲۱ و ۱۳ به نتیجه می‌رسیم. پس ۹امین عدد در دنباله فیبوناچی ۳۴ خواهد بود. بد نیست برای تمرین عدد ۲۰ام دنباله فیبوناچی را هم مشخص کنید. این عدد برابر با ۶۷۶۵ خواهد بود.

یک مثال دیگر برای الگوهای افزایشی، الگوهای مثلثی و یا مربعی است. الگوی مثلثی اعداد به صورتی است که با تعداد نقاطی که در این الگو مشخص شده، می‌توان مثلث ساخت. به تصویر زیر و الگوی عددی بدست آمده نگاه کنید.

همانطور که می‌بینید، این دنباله به صورت ... ,15 ,10 ,6, 3, 1 نوشته می‌شود. قاعده الگویابی این اعداد به صورت زیر درخواهد آمد.

الگوی اعداد مثلث:  ۲ / ( مکان عدد × ( مکان عدد + ۱) ) =  عدد الگو

از طرفی الگوی مربعی اعداد نیز ... ,81 , 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0 است. هر کدام از این اعداد، مربع کامل هستند و ریشه دوم صحیح دارند. تصویر زیر الگوی مربعی اعداد را نمایش داده است.

فرمول یا قاعده الگویابی اعداد مربعی هم به صورت زیر در می‌آید.

الگوی اعداد مربع: مکان عدد × مکان عدد = عدد الگو

همینطور الگوهایی شکل‌های چند ضلعی نیز داریم که پنج ضلعی و شش ضلعی آن معروف‌تر هستند. این الگوها را در ادامه می‌بینید.

الگوی پنج ضلعی به صورت ..., 35 ,22, 12, 5, 1 است که فرمول الگویابی آن به شکل زیر نوشته می‌شود.

الگوی پنج ضلعی: ۲ ÷ (۱ - (مکان عدد × ۳) × مکان عدد = عدد الگو

مثلا برای پیدا کردن عدد الگوی پنج ضلعی در مکان ۱۰ام به صورت زیر فرمول را می‌نویسیم.

۱۴۵ = ۲ ÷ ۲۹ × ۱۰ = ۲ ÷ (۱ - ( ۱۰ × ۳ ) × ۱۰ = عدد الگوی پنج ضلعی در مکان ۱۰ام

همچنین الگوی شش ضلعی نیز به صورت ... ,۶۶ ,۴۵ ,۲۸ ,۱۵ ,۶ ,۱ مشخص می‌شود که فرمول الگویابی آن هم به مانند زیر است.

الگوی شش ضلعی: ( ۱ - مکان عدد × ۲) × مکان عدد = عدد الگو

اگر قرار باشد عدد الگوی شش ضلعی را در مکان ۵ام بدست آوریم، به صورت زیر محاسبات را اجرا خواهیم کرد.

 ۴۵ =  ( ۹ ) × ۵ = ( ۱ - ۵ × ۲) × ۵ = عدد الگوی شش ضلعی در مکان 5ام

الگوهای کاهشی

زمانی که یک الگو کاهشی یا دنباله نزولی را می‌بینیم، مشخص می‌شود که با افزایش مکان هر عدد در الگو، مقدار آن کمتر می‌شود. برای مثال پنجمین عدد در الگوی کاهشی از چهارمین عدد کوچکتر است. به همین ترتیب پنجمین عدد از ششمین عدد نیز بزرگتر خواهد بود. به الگوی کاهشی زیر توجه کنید.

30, ,25, 20, 15, 10, 5, 0

اولین عدد در این الگو، ۳۰ و دومین آن، ۲۵ است. پس الگو کاهشی است. البته این کاهش را در همه اعداد دنبال هم در الگو، می‌بینیم. جدول زیر برای مقایسه اختلاف اعداد این دنباله رسم شده است.

پس باید فرمول الگویابی برای چنین دنباله‌ای را به صورت زیر بنویسیم.

 ۵ - عدد قبلی الگو = عدد الگو

نکته: همه اعداد این الگو، مضرب‌های پنج هستند. پس اگر بخواهیم الگوی عددی را برحسب مکان بنویسیم به شکل زیر خواهد بود.

(( ۱ - مکان) × ۵)  - ۳۰ = عدد الگو

پس اگر بخواهیم مکان پنجم این الگو را بدست آوریم، کافی است از فرمول زیر استفاده کنیم.

 10 = 20 - 30  = (( ۱ - ۵) × ۵) - ۳۰ = عدد الگو

به عنوان یک مثال دیگر از الگوهای کاهشی به دنباله زیر نگاهی می‌اندازیم.

100, 200, 400, 800

عدد اول این دنباله، ۸۰۰ ولی عدد دوم، ۴۰۰ است. پس باید این دنباله را کاهشی (نزولی) دانست. این بار به جای محاسبه تفاضل، نسبت هر عدد در دنباله را به عدد قبلی محاسبه می‌کنیم. جدول زیر برای این کار تهیه شده است.

پس هر عدد در این دنباله، نصف (۰٫۵) عدد قبلی خود است. پس اگر بخواهیم در مکان پنجم، عدد دنباله را مشخص کنیم، باید ۱۰۰ را نصف کنیم. در نتیجه ۵۰، مقدار پنجم این دنباله است و همینطور ۲۵ هم عدد ششم این دنباله محسوب می‌شود. پس اعداد بعدی این دنباله به صورت زیر خواهند بود.

$$12٫5, 25, 50, 100, 200, 400, 800, . . .$$

نکته: در دنباله‌های کاهشی، بزرگترین مقدار همان اولین عدد الگو است و بقیه مقدارهای دنباله از آن کوچکتر هستند. چنین دنباله‌هایی را «کراندار از بالا» می‌گویند. در مقابل الگوهای عددی افزایشی، کمترین مقدار همان اولین عدد الگو بوده و کراندار از پایین هستند. به این ترتیب فرمول الگویابی آن‌ها به سرعت پیدا می‌شود، زیرا در اغلب موارد جمع و ضرب الگوهای افزایشی دارند و تقسیم یا تفریق الگوهای کاهشی را نشان می‌دهند.

فیلم آموزش روش حل الگوی عددی و هندسی + روش‌های الگویابی (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

آزمون سنجش یادگیری فرمول الگویابی

در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث فرمول الگویابی را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.