سری فوریه توابع متناوب — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۴۳۷۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۶ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۷۲ دقیقه
سری فوریه توابع متناوب — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، تعریف سری فوریه و مباحثی مانند سری فوریه مختلط، سری فوریه سینوسی، سری فوریه کسینوسی و همگرایی سری فوریه را بیان کردیم. در این آموزش، با نوشتن سری فوریه توابع متناوب با دوره تناوب دلخواه آشنا می‌شویم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

سری فوریه توابع متناوب روی بازه $$\Large \left[ { – L,L} \right]$$

فرض می‌‌کنیم که تابع $$f(x)$$ روی بازه $$\left[ { – L,L} \right]$$ تکه‌ای پیوسته باشد. با جایگذاری $$x={\large\frac{{Ly}}{\pi }\normalsize}$$ ($${ – \pi \le x \le \pi }$$)، می‌‌توانیم این تابع را به تابع زیر تبدیل کنیم:

$$ \large F \left ( y \right ) = f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right )  $$

این تابع روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ تعریف می‌‌شود و انتگرال‌‌پذیر است. بسط سری فوریه تابع $$F(y)$$ را می‌‌توان به شکل زیر نوشت:

$$ \large { F \left ( y \right ) = f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right ) } = { \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n y + { b _ n } \sin n y } \right ) } . } $$

ضرایب فوریه این تابع از روابط زیر به دست می‌‌آیند:

$$ \large \begin {align*}
{ a _ 0 } & = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { F \left ( y \right ) d y } , \\
{ a _ n } & = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { F \left ( y \right ) \cos n y d y } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right ) \cos n y d y } , } \\
{ b _ n } & = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { F \left ( y \right ) \sin n y d y } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right ) \sin n y d y } , \; \; } \kern-0.3pt { n = 1 , 2 , 3 , \ldots }
\end {align*} $$

با بازگشت به متغیرهای اولیه و قرار دادن $$y = {\large\frac{{\pi x}}{L}\normalsize}$$، سری مثلثاتی زیر را برای $$f(x)$$ به دست می‌‌آوریم:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } \text { + }} \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos \frac { { n \pi x } } { L } + { b _ n } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } } $$

که در آن:

$$ \large \begin {align*}
{ { a _ 0 } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ { – L } ^ L { f \left ( x \right ) d x } , \; \; }\kern-0.3pt \\ { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ { – L } ^ L { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } , \; \; } \kern-0.3pt \\ { { b _ n } } & = { \frac { 1 } {L } \int \limits _ { – L } ^ L { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } . }
\end {align*} $$

سری فوریه روی بازه $$\Large \left[ { a,b} \right]$$

اگر تابع $$f(x)$$ روی بازه $$\left[ { a,b} \right]$$ تعریف شود، آنگاه سری فوریه آن با همان فرمول قبلی نمایش داده می‌‌شود:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } \text { + } } \kern0pt { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos \frac { { n \pi x } } { L } + { b _ n } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } } $$

در اینجا $$L = \large\frac{{b – a}}{2}\normalsize$$ است و ضرایب فوریه به صورت زیر محاسبه می‌‌شوند:

$$ \large { { a _ 0 } = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) d x } , \; \; } \kern-0.3pt { { a _ n } = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } . } $$

سری فوریه توابع زوج و فرد

بسط سری فوریه یک تابع زوج که روی بازه $$\left[ { – L,L} \right]$$ تعریف شده، به شکل زیر است:

$$ \large {f\left( x \right) }={ \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L}} ,} $$

که در آن:

$$ \large {{a_0} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)dx} ,\;\;}\kern-0.3pt {{a_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx}.}$$

بسط سری فوریه یک تابع فرد که روی بازه $$\left[ { – L,L} \right]$$ تعریف شده است، با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$ \large f \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } , $$

که در آن:

$$ \large { { b _ n } } = { \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } . } $$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

سری فوریه تابع زیر را بیابید.

$$ \large { f \left ( x \right ) } =
{ \begin {cases}
A , & 0 \le x \le L \\
0, & L \lt x \le 2 L
\end {cases}.} $$

حل: ابتدا ضرایب فوریه را تعیین می‌‌کنیم:

$$ \large { { a _ 0 } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { A d x } } = { A , } $$

$$ \large \begin{align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 }{ L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x} } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { A \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } } \\ & = { \frac { A } { L } \left [ { \left . { \left ( { \frac { L } { { n \pi } } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } \right | _ 0 ^ L } \right ] } = { \frac { A } { { n \pi } } \left ( { \sin n \pi – \sin 0 } \right ) } = { 0 , } \end {align*} $$

$$ \large \begin{align*}
{ { b _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { A \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } } = { \frac { A } { L } \left [ { \left . { \left ( { – \frac { L } { { n \pi } } \cos \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } \right | _ 0 ^ L } \right ] } \\ & = { \frac { A } { { n \pi } } \left [ { – \cos n \pi + \cos 0 } \right] } = { \frac { A } { { n \pi } } \left [ { 1 – { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } \right ] } = { \frac { A} { { n \pi } } \left [ { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } \right ] . }
\end {align*} $$

در صورتی که $$n = 2k$$ ($$k = 1,2,3, \ldots$$) زوج باشد، خواهیم داشت:

$$ \large { { b _ { 2 k } } } = { \frac { A } { { 2 k \pi } } \left [ { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { 2 k + 1 } } } \right ] } = { 0 . } $$

برای $$n = 2k-1$$ ($$k = 1,2,3, \ldots$$) فرد نیز داریم:

$$ \large { { b _ { 2 k – 1 } } } = { \frac { A } { { \left ( { 2 k – 1 } \right ) \pi } } \left [ { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { 2 k } } } \right ] } = { \frac { { 2 A } } { { \left ( { 2 k – 1 } \right ) \pi } } . } $$

بنابراین، بسط سری فوریه این تابع برابر است با:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { A } { 2 } \text { + }}\kern0pt { \frac { { 2 A } } { \pi } \sum \limits _ { k = 1 } ^ \infty { \frac { 1 } { { 2 k – 1 } } \sin \left ( { \frac { { 2 k – 1 } } { L } \pi x } \right ) } } $$

مثال ۲

سری فوریه تابع زیر را به دست آورید.

$$ \large { f \left ( x \right ) } =
{ \begin {cases}
0 , & - 1 \le x \le 0 \\
x , & 0 \lt x \le 1
\end {cases} . } $$

حل: در اینجا $$L=1$$ است. در نتیجه می‌‌توان نوشت:

$$ \large { { a _ 0 } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } } = { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { f \left ( x \right ) d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x d x } } = { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } = { \frac { 1 } { 2 } . } $$

اکنون ضرایب $$a_n$$ و $$b_n$$ را محاسبه می‌‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \cos \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { \left . { \left ( { \frac { 1 } { { n \pi } } x \sin \left ( { n \pi x } \right ) } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } - { \frac { 1 } { { n \pi } } \int \limits _ 0 ^ 1 { \sin \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { \left . { \left ( { x \sin n \pi x } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right . } + { \left . { \left . { \left ( { \frac { { \cos n \pi x } } { { n \pi } } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right ] } } \\ & = { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { \sin n \pi + \frac { { \cos n \pi } } { { n \pi } } – \frac { 1 } { { n \pi } } } \right ] } = { \frac { 1 } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left [ { \cos n \pi – 1 } \right ] } \\ &= { \frac { 1 } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left [ { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } – 1 } \right ] . } \end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} { { b _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } }{ L } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \sin \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { \left . { \left ( { – \frac { 1 } { { n \pi } } x \cos \left ( { n \pi x } \right ) } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } + { \frac { 1 } { { n \pi } } \int \limits _ 0 ^ 1 { \cos \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { \left . { – \left ( { x \cos n \pi x } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right . } + { \left . { \left . { \left ( { \frac { { \sin n \pi x } } { { n \pi } } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right ] } } \\ & = { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { – \cos n \pi + \frac { { \sin n \pi } } { { n \pi } } } \right ] } = { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } }} { { n \pi } } . } \end {align*} $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { 1 } { 4 } }
+ { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left [ { \frac { { \left ( { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } – 1 } \right ) } } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \cos n \pi x } \right . } } + { { \left . { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { { n \pi } } \sin n \pi x } \right ] } . } $$

مثال ۳

سری فوریه موج ذوزنقه‌‌ای زیر را بیابید.

$$ \large { f \left ( x \right ) } =
{ \begin {cases}
x , & 0 \le x \le 1 \\
1 , & 1 \lt x \le 2 \\
3 - x , & 2 \lt x \le 3
\end {cases} . } $$

حل: بدیهی است که $$L = {\large\frac{3}{2}\normalsize}$$. در نتیجه ضرایب $$a_0$$ و $$a_n$$ به صورت زیر محاسبه می‌‌شوند:

$$ \large \begin {align*} { { a _ 0 } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } } = { \frac { 2 } { 3 } \int \limits _ 0 ^ 3 { f \left ( x \right ) d x } } \\ &= { { \frac { 2 } { 3 } \left [ { \int \limits _ 0 ^ 1 { x d x } + \int \limits _ 1 ^ 2 { 1 d x } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { 3 – x } \right ) d x } } \right ] } } \\ & = { { \frac { 2 } { 3 } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 + \left . x \right | _ 0 ^ 1 } \right . } } + { { \left . { \left . { \left ( { 3 x – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 2 ^ 3 } \right ] } } = { \frac { 4 }{ 3 } ; } \end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } }{ L } d x } }
= { \frac { 2 } { 3 } \int \limits _ 0 ^ 3 { f \left ( x \right ) \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } }
\\ & = { \frac { 2 } { 3 } \left\{ { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } } \right . }
+ { \int \limits _ 1 ^ 2 { \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } }
+ { \left . { \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { 3 – x } \right ) \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } } \right\} }
\\ & = { \frac { 2 } { 3 }\left\{ {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{ { 2 n \pi } } x \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right . } \right . } - { \left . { \left . { \int \limits _ 0 ^ 1 { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } } \right ] } \right . } \\ &
+ { \left . { \left ( { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 1 ^ 2 }
+ { \left . { \left [ { \left . { \left ( { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \left ( { 3 – x } \right ) \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 2 ^ 3 } \right . } \right . } + { \left . { \left . { \int \limits _ 2 ^ 3 { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi x } } {3 } d x } } \right ] } \right\} }
\\ & = { \frac { 2 } { 3 } \left\{ { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi } } {3 } } \right . }
+ { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) }
+ { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \left ( { \sin \frac { { 4 n \pi } } { 3 } – \sin \frac { { 2 n \pi } } { 3 } } \right ) }
– { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 4 n \pi } } { 3 } }
\\ &+ { \left . { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \text{-} \cos 2 n \pi + \cos \frac { { 4 n \pi } } { 3 } } \right ) } \right \} }
= { \frac { 2 } { 3 } \left\{ { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) } \right . } + { \left . { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 4 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) } \right \} . } \end {align*} $$

از آنجایی که $$\cos {\large\frac{{4n\pi }}{3}\normalsize} = \cos \left( {2n\pi – {\large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize}} \right) = \cos {\large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize} $$ است، داریم:

$$ \large { { a _ n } } = { \frac { 2 } { 3 } \cdot \frac { { 2 \cdot 9 } } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) } = { \frac { 3 } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { n = 1 , 2 , 3 , \ldots } $$

ضرایب $$b_n$$ برابر با صفر هستند، زیرا این تابع روی بازه $$\left[ {0,3} \right]$$ تابعی زوج است. بنابراین، بسط سری فوریه این تابع به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { 2 } { 3 } – \frac { 3 } { { { \pi ^ 2 } } } \cdot \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { 1 – \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3} } } { { { n ^ 2 } }} \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } } } $$

مثال ۴

سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {\cos ^2}x$$ را به دست آورید.

حل: این تابع زوج بوده و دوره تناوب آن، $$\pi$$ ($${L = {\large\frac{\pi }{2}\normalsize}}$$) است. بنابراین، $$b_n=0$$ است و ضرایب $$a_0$$ و $$a_n$$ نیز به صورت زیر محاسبه می‌‌شوند:

$$ \large \begin {align*} { a _ 0 } & = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) d x } = { \frac { 4 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \cos } ^ 2 } x d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { 1 + \cos 2 x } \right ) d x } } \\ & = { \frac { 2 } { \pi } \left[ { \left . { \left ( { x + \frac { { \sin 2 x } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } } \right ] } = { \frac { 2 } { \pi } \left [ { \frac { \pi } { 2 } + \frac { { \sin \pi } } { 2 } } \right ] } = { 1 . } \end {align*} $$

$$ \large \begin{align*}
{ a _ n } & = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } = { \frac { 4 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \cos } ^ 2 } x \cos 2 n x d x } } \\ & = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize} { \left ( { 1 + \cos 2 x } \right ) \cos 2 n x d x } } \\ & = { { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { \cos 2 n x } \right . } + { \left . { \cos 2 x \cos 2 n x } \right ) d x } } } \\ & = { { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left [ { 2 \cos 2 n x } \right . } + { \left . { \cos \left ( { 2 n – 2 } \right ) x } \right . } } } + { { { \left . { \cos \left ( { 2 n + 2 } \right ) x } \right ] d x } } } \\ & = { { \frac { 1 } { \pi } \left . { \left [ { \sin \frac { { 2 n x } } { n } } \right . } + { \left . { \sin \frac { { \left ( { 2 n – 2 } \right ) x } } { { 2 n – 2 } } } \right . } \right . } } + { { \left . { \left . { \sin \frac { { \left ( { 2 n + 2 } \right ) x } } { { 2 n + 2 } } } \right ] } \right | _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } } } \\ & = { { \frac { 1 } { \pi } \left [ { \frac { { \sin n \pi } } { n } } \right . } + { \left . { \frac { { \sin \left ( { n – 1 } \right ) \pi } } { { 2 n – 2 } } } \right . } } + { { \left . { \frac { { \sin \left ( { n + 1 } \right ) \pi } } { { 2 n + 2 } } } \right ] } } = { 0 . }
\end {align*} $$

اما این نتیجه فقط برای $$n \ge 2$$ معتبر است. از این رو، ضریب $$a_1$$ را به طور جداگانه محاسبه می‌‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} { { a _ 1 } } & = { \frac { 4 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \cos } ^ 2 } x \cos 2 x d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { 1 + \cos 2 x } \right ) \cos 2 x d x } } \\ & = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { \cos 2 x + { { \cos } ^ 2 } 2 x } \right ) d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi }{ 2 } \normalsize } { \left ( { \cos 2 x + \frac { { 1 + \cos 4 x } } { 2 } } \right ) d x} } \\ & = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {2\cos 2x + 1 + \cos 4x} \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\left( {\sin 2x + x + \frac{{\sin 4x}}{4}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } \\ & = {\frac{1}{\pi }\left( {\sin \pi + \frac{\pi }{2} + \frac{{\sin 2\pi }}{4}} \right) } = {\frac{1}{2}.} \end {align*} $$

بدین ترتیب، سری فوریه تابع $$f\left( x \right)== {\cos ^2}x$$ برابر است با:

$$ \large { f \left ( x \right ) = { \cos ^ 2 } x } = { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x . } $$

همانطور که می‌‌بینیم، سری به دست آمده همان اتحاد مثلثاتی معروف است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش سری فوریه توابع متناوب — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی سری فوریه توابع متناوب

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی سری فوریه توابع زوج و فرد

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از سری فوریه توابع متناوب

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *