ریاضی , علوم پایه 294 بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، تعریف سری فوریه و مباحثی مانند سری فوریه مختلط، سری فوریه سینوسی، سری فوریه کسینوسی و همگرایی سری فوریه را بیان کردیم. در این آموزش، با نوشتن سری فوریه توابع متناوب با دوره تناوب دلخواه آشنا می‌شویم.

سری فوریه توابع متناوب روی بازه $$\Large \left[ { – L,L} \right]$$

فرض می‌‌کنیم که تابع $$f(x)$$ روی بازه $$\left[ { – L,L} \right]$$ تکه‌ای پیوسته باشد. با جایگذاری $$x={\large\frac{{Ly}}{\pi }\normalsize}$$ ($${ – \pi \le x \le \pi }$$)، می‌‌توانیم این تابع را به تابع زیر تبدیل کنیم:

$$ \large F \left ( y \right ) = f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right )  $$

این تابع روی بازه $$\left[ { – \pi ,\pi } \right]$$ تعریف می‌‌شود و انتگرال‌‌پذیر است. بسط سری فوریه تابع $$F(y)$$ را می‌‌توان به شکل زیر نوشت:

$$ \large { F \left ( y \right ) = f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right ) } = { \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos n y + { b _ n } \sin n y } \right ) } . } $$

ضرایب فوریه این تابع از روابط زیر به دست می‌‌آیند:

$$ \large \begin {align*}
{ a _ 0 } & = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { F \left ( y \right ) d y } , \\
{ a _ n } & = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { F \left ( y \right ) \cos n y d y } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right ) \cos n y d y } , } \\
{ b _ n } & = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { F \left ( y \right ) \sin n y d y } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { f \left ( { \frac { { L y } } { \pi } } \right ) \sin n y d y } , \; \; } \kern-0.3pt { n = 1 , 2 , 3 , \ldots }
\end {align*} $$

با بازگشت به متغیرهای اولیه و قرار دادن $$y = {\large\frac{{\pi x}}{L}\normalsize}$$، سری مثلثاتی زیر را برای $$f(x)$$ به دست می‌‌آوریم:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } \text { + }} \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos \frac { { n \pi x } } { L } + { b _ n } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } } $$

که در آن:

$$ \large \begin {align*}
{ { a _ 0 } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ { – L } ^ L { f \left ( x \right ) d x } , \; \; }\kern-0.3pt \\ { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ { – L } ^ L { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } , \; \; } \kern-0.3pt \\ { { b _ n } } & = { \frac { 1 } {L } \int \limits _ { – L } ^ L { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } . }
\end {align*} $$

سری فوریه روی بازه $$\Large \left[ { a,b} \right]$$

اگر تابع $$f(x)$$ روی بازه $$\left[ { a,b} \right]$$ تعریف شود، آنگاه سری فوریه آن با همان فرمول قبلی نمایش داده می‌‌شود:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } \text { + } } \kern0pt { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } \cos \frac { { n \pi x } } { L } + { b _ n } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } } $$

در اینجا $$L = \large\frac{{b – a}}{2}\normalsize$$ است و ضرایب فوریه به صورت زیر محاسبه می‌‌شوند:

$$ \large { { a _ 0 } = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) d x } , \; \; } \kern-0.3pt { { a _ n } = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } . } $$

سری فوریه توابع زوج و فرد

بسط سری فوریه یک تابع زوج که روی بازه $$\left[ { – L,L} \right]$$ تعریف شده، به شکل زیر است:

$$ \large {f\left( x \right) }={ \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos \frac{{n\pi x}}{L}} ,} $$

که در آن:

$$ \large {{a_0} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)dx} ,\;\;}\kern-0.3pt {{a_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\cos \frac{{n\pi x}}{L}dx}.}$$

بسط سری فوریه یک تابع فرد که روی بازه $$\left[ { – L,L} \right]$$ تعریف شده است، با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$ \large f \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } , $$

که در آن:

$$ \large { { b _ n } } = { \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } . } $$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

سری فوریه تابع زیر را بیابید.

$$ \large { f \left ( x \right ) } =
{ \begin {cases}
A , & 0 \le x \le L \\
0, & L \lt x \le 2 L
\end {cases}.} $$

حل: ابتدا ضرایب فوریه را تعیین می‌‌کنیم:

$$ \large { { a _ 0 } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { A d x } } = { A , } $$

$$ \large \begin{align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 }{ L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x} } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { A \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } } \\ & = { \frac { A } { L } \left [ { \left . { \left ( { \frac { L } { { n \pi } } \sin \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } \right | _ 0 ^ L } \right ] } = { \frac { A } { { n \pi } } \left ( { \sin n \pi – \sin 0 } \right ) } = { 0 , } \end {align*} $$

$$ \large \begin{align*}
{ { b _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { A \sin \frac { { n \pi x } } { L } d x } } = { \frac { A } { L } \left [ { \left . { \left ( { – \frac { L } { { n \pi } } \cos \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } \right | _ 0 ^ L } \right ] } \\ & = { \frac { A } { { n \pi } } \left [ { – \cos n \pi + \cos 0 } \right] } = { \frac { A } { { n \pi } } \left [ { 1 – { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } \right ] } = { \frac { A} { { n \pi } } \left [ { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } \right ] . }
\end {align*} $$

در صورتی که $$n = 2k$$ ($$k = 1,2,3, \ldots$$) زوج باشد، خواهیم داشت:

$$ \large { { b _ { 2 k } } } = { \frac { A } { { 2 k \pi } } \left [ { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { 2 k + 1 } } } \right ] } = { 0 . } $$

برای $$n = 2k-1$$ ($$k = 1,2,3, \ldots$$) فرد نیز داریم:

$$ \large { { b _ { 2 k – 1 } } } = { \frac { A } { { \left ( { 2 k – 1 } \right ) \pi } } \left [ { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { 2 k } } } \right ] } = { \frac { { 2 A } } { { \left ( { 2 k – 1 } \right ) \pi } } . } $$

بنابراین، بسط سری فوریه این تابع برابر است با:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { A } { 2 } \text { + }}\kern0pt { \frac { { 2 A } } { \pi } \sum \limits _ { k = 1 } ^ \infty { \frac { 1 } { { 2 k – 1 } } \sin \left ( { \frac { { 2 k – 1 } } { L } \pi x } \right ) } } $$

مثال ۲

سری فوریه تابع زیر را به دست آورید.

$$ \large { f \left ( x \right ) } =
{ \begin {cases}
0 , & – 1 \le x \le 0 \\
x , & 0 \lt x \le 1
\end {cases} . } $$

حل: در اینجا $$L=1$$ است. در نتیجه می‌‌توان نوشت:

$$ \large { { a _ 0 } } = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } } = { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { f \left ( x \right ) d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x d x } } = { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } = { \frac { 1 } { 2 } . } $$

اکنون ضرایب $$a_n$$ و $$b_n$$ را محاسبه می‌‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \cos \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { \left . { \left ( { \frac { 1 } { { n \pi } } x \sin \left ( { n \pi x } \right ) } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } – { \frac { 1 } { { n \pi } } \int \limits _ 0 ^ 1 { \sin \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { \left . { \left ( { x \sin n \pi x } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right . } + { \left . { \left . { \left ( { \frac { { \cos n \pi x } } { { n \pi } } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right ] } } \\ & = { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { \sin n \pi + \frac { { \cos n \pi } } { { n \pi } } – \frac { 1 } { { n \pi } } } \right ] } = { \frac { 1 } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left [ { \cos n \pi – 1 } \right ] } \\ &= { \frac { 1 } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left [ { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } – 1 } \right ] . } \end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} { { b _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \sin \frac { { n \pi x } }{ L } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \sin \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { \left . { \left ( { – \frac { 1 } { { n \pi } } x \cos \left ( { n \pi x } \right ) } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } + { \frac { 1 } { { n \pi } } \int \limits _ 0 ^ 1 { \cos \left ( { n \pi x } \right ) d x } } \\ & = { { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { \left . { – \left ( { x \cos n \pi x } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right . } + { \left . { \left . { \left ( { \frac { { \sin n \pi x } } { { n \pi } } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right ] } } \\ & = { \frac { 1 } { { n \pi } } \left [ { – \cos n \pi + \frac { { \sin n \pi } } { { n \pi } } } \right ] } = { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } }} { { n \pi } } . } \end {align*} $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { 1 } { 4 } }
+ { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left [ { \frac { { \left ( { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } – 1 } \right ) } } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \cos n \pi x } \right . } } + { { \left . { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { { n \pi } } \sin n \pi x } \right ] } . } $$

مثال ۳

سری فوریه موج ذوزنقه‌‌ای زیر را بیابید.

$$ \large { f \left ( x \right ) } =
{ \begin {cases}
x , & 0 \le x \le 1 \\
1 , & 1 \lt x \le 2 \\
3 – x , & 2 \lt x \le 3
\end {cases} . } $$

حل: بدیهی است که $$L = {\large\frac{3}{2}\normalsize}$$. در نتیجه ضرایب $$a_0$$ و $$a_n$$ به صورت زیر محاسبه می‌‌شوند:

$$ \large \begin {align*} { { a _ 0 } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } } = { \frac { 2 } { 3 } \int \limits _ 0 ^ 3 { f \left ( x \right ) d x } } \\ &= { { \frac { 2 } { 3 } \left [ { \int \limits _ 0 ^ 1 { x d x } + \int \limits _ 1 ^ 2 { 1 d x } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { 3 – x } \right ) d x } } \right ] } } \\ & = { { \frac { 2 } { 3 } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 + \left . x \right | _ 0 ^ 1 } \right . } } + { { \left . { \left . { \left ( { 3 x – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 2 ^ 3 } \right ] } } = { \frac { 4 }{ 3 } ; } \end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { L } \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } }{ L } d x } }
= { \frac { 2 } { 3 } \int \limits _ 0 ^ 3 { f \left ( x \right ) \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } }
\\ & = { \frac { 2 } { 3 } \left\{ { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } } \right . }
+ { \int \limits _ 1 ^ 2 { \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } }
+ { \left . { \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { 3 – x } \right ) \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } } \right\} }
\\ & = { \frac { 2 } { 3 }\left\{ {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{ { 2 n \pi } } x \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right . } \right . } – { \left . { \left . { \int \limits _ 0 ^ 1 { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } d x } } \right ] } \right . } \\ &
+ { \left . { \left ( { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 1 ^ 2 }
+ { \left . { \left [ { \left . { \left ( { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \left ( { 3 – x } \right ) \sin \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 2 ^ 3 } \right . } \right . } + { \left . { \left . { \int \limits _ 2 ^ 3 { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi x } } {3 } d x } } \right ] } \right\} }
\\ & = { \frac { 2 } { 3 } \left\{ { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 2 n \pi } } {3 } } \right . }
+ { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) }
+ { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \left ( { \sin \frac { { 4 n \pi } } { 3 } – \sin \frac { { 2 n \pi } } { 3 } } \right ) }
– { \frac { 3 } { { 2 n \pi } } \sin \frac { { 4 n \pi } } { 3 } }
\\ &+ { \left . { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \text{-} \cos 2 n \pi + \cos \frac { { 4 n \pi } } { 3 } } \right ) } \right \} }
= { \frac { 2 } { 3 } \left\{ { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) } \right . } + { \left . { \frac { 9 } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 4 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) } \right \} . } \end {align*} $$

از آنجایی که $$\cos {\large\frac{{4n\pi }}{3}\normalsize} = \cos \left( {2n\pi – {\large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize}} \right) = \cos {\large\frac{{2n\pi }}{3}\normalsize} $$ است، داریم:

$$ \large { { a _ n } } = { \frac { 2 } { 3 } \cdot \frac { { 2 \cdot 9 } } { { 4 { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) } = { \frac { 3 } { { { n ^ 2 } { \pi ^ 2 } } } \left ( { \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3 } – 1 } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { n = 1 , 2 , 3 , \ldots } $$

ضرایب $$b_n$$ برابر با صفر هستند، زیرا این تابع روی بازه $$\left[ {0,3} \right]$$ تابعی زوج است. بنابراین، بسط سری فوریه این تابع به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { f \left ( x \right ) = \frac { 2 } { 3 } – \frac { 3 } { { { \pi ^ 2 } } } \cdot \kern0pt{ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { 1 – \cos \frac { { 2 n \pi } } { 3} } } { { { n ^ 2 } }} \cos \frac { { 2 n \pi x } } { 3 } } } } $$

مثال ۴

سری فوریه تابع $$f\left( x \right) = {\cos ^2}x$$ را به دست آورید.

حل: این تابع زوج بوده و دوره تناوب آن، $$\pi$$ ($${L = {\large\frac{\pi }{2}\normalsize}}$$) است. بنابراین، $$b_n=0$$ است و ضرایب $$a_0$$ و $$a_n$$ نیز به صورت زیر محاسبه می‌‌شوند:

$$ \large \begin {align*} { a _ 0 } & = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) d x } = { \frac { 4 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \cos } ^ 2 } x d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { 1 + \cos 2 x } \right ) d x } } \\ & = { \frac { 2 } { \pi } \left[ { \left . { \left ( { x + \frac { { \sin 2 x } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } } \right ] } = { \frac { 2 } { \pi } \left [ { \frac { \pi } { 2 } + \frac { { \sin \pi } } { 2 } } \right ] } = { 1 . } \end {align*} $$

$$ \large \begin{align*}
{ a _ n } & = \frac { 2 } { L } \int \limits _ 0 ^ L { f \left ( x \right ) \cos \frac { { n \pi x } } { L } d x } = { \frac { 4 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \cos } ^ 2 } x \cos 2 n x d x } } \\ & = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize} { \left ( { 1 + \cos 2 x } \right ) \cos 2 n x d x } } \\ & = { { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { \cos 2 n x } \right . } + { \left . { \cos 2 x \cos 2 n x } \right ) d x } } } \\ & = { { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left [ { 2 \cos 2 n x } \right . } + { \left . { \cos \left ( { 2 n – 2 } \right ) x } \right . } } } + { { { \left . { \cos \left ( { 2 n + 2 } \right ) x } \right ] d x } } } \\ & = { { \frac { 1 } { \pi } \left . { \left [ { \sin \frac { { 2 n x } } { n } } \right . } + { \left . { \sin \frac { { \left ( { 2 n – 2 } \right ) x } } { { 2 n – 2 } } } \right . } \right . } } + { { \left . { \left . { \sin \frac { { \left ( { 2 n + 2 } \right ) x } } { { 2 n + 2 } } } \right ] } \right | _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } } } \\ & = { { \frac { 1 } { \pi } \left [ { \frac { { \sin n \pi } } { n } } \right . } + { \left . { \frac { { \sin \left ( { n – 1 } \right ) \pi } } { { 2 n – 2 } } } \right . } } + { { \left . { \frac { { \sin \left ( { n + 1 } \right ) \pi } } { { 2 n + 2 } } } \right ] } } = { 0 . }
\end {align*} $$

اما این نتیجه فقط برای $$n \ge 2$$ معتبر است. از این رو، ضریب $$a_1$$ را به طور جداگانه محاسبه می‌‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} { { a _ 1 } } & = { \frac { 4 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \cos } ^ 2 } x \cos 2 x d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { 1 + \cos 2 x } \right ) \cos 2 x d x } } \\ & = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left ( { \cos 2 x + { { \cos } ^ 2 } 2 x } \right ) d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi }{ 2 } \normalsize } { \left ( { \cos 2 x + \frac { { 1 + \cos 4 x } } { 2 } } \right ) d x} } \\ & = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {2\cos 2x + 1 + \cos 4x} \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\left( {\sin 2x + x + \frac{{\sin 4x}}{4}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } \\ & = {\frac{1}{\pi }\left( {\sin \pi + \frac{\pi }{2} + \frac{{\sin 2\pi }}{4}} \right) } = {\frac{1}{2}.} \end {align*} $$

بدین ترتیب، سری فوریه تابع $$f\left( x \right)== {\cos ^2}x$$ برابر است با:

$$ \large { f \left ( x \right ) = { \cos ^ 2 } x } = { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x . } $$

همانطور که می‌‌بینیم، سری به دست آمده همان اتحاد مثلثاتی معروف است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

telegram
twitter

سید سراج حمیدی

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. فعالیت‌های کاری و پژوهشی او در زمینه سیستم‌های فتوولتائیک و کاربردهای کنترل در قدرت بوده و، در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق و ریاضیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *