دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده

توابع نمایی و لگاریتمی در ریاضیات و سایر علوم کاربردهای فراوانی دارند و به همین دلیل است که شناخت این توابع ضروری است. در این آموزش، با دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی آشنا می‌شویم و با ارائه مثال‌هایی نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی را بیان می‌کنیم.

تعریف دامنه یک تابع

دامنه تابعی مانند $$f$$ که به صورت عبارتی برحسب متغیر $$x$$ تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر $$x$$ که به ازای آن‌ها مقدار تابع حقیقی است.

تعریف برد یک تابع

برد تابع $$f$$ برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر $$x$$ برای تابع حاصل می‌شود.

تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و... دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی مثال‌هایی را ارائه خواهیم کرد.

دامنه و برد تعدادی از توابع نمایی و لگاریتمی به شرح زیر است:

نکته:

• اگر $$\log_ a ⁡ x ≥ y$$ و $$a > 1$$ باشد، آنگاه $$x ≥ a ^ y$$.
• اگر $$\log _ a ⁡ x ≥ y$$ و $$a < 1$$ باشد، آنگاه $$x ≤ a ^ y$$.

مثال های تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \log_3⁡ ( x - 1 )$$ را به دست آورید.

حل: طبق جدول فوق، اگر آرگومان $$\log _ 3 ⁡ ( x - 1 )$$ یعنی $$x - 1$$ مثبت باشد، مقادیر $$f ( x )$$ حقیقی خواهد بود:

$$\large x - 1 > 0$$

بنابراین، دامنه این تابع برابر است با $$x > 1$$ یا $$( 1 , + ∞ )$$.

مثال دوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \log _ 2 ⁡ ( x ^ 2 + 5 )$$ را بیابید.

حل: آرگومان این تابع، یعنی $$x ^ 2 + 5$$ همواره بزرگ‌تر از صفر و مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است، یعنی $$( - ∞ , + ∞ )$$.

مثال سوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \ln⁡ ( 9 - x ^ 2 )$$ را تعیین کنید.

حل: برای اینکه $$\ln⁡( 9 - x ^ 2 )$$ حقیقی باشد، $$9 - x ^ 2$$ باید مثبت باشد:

$$\large 9 - x ^ 2 > 0 , \\ \large x ^ 2 < 9 , \\ \large - 3 < x < 3$$

مثال چهارم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \log _ 4 ⁡ | x - 3 |$$ را مشخص کنید.

حل: مانند مثال‌های قبل، آرگومان تابع باید مثبت باشد، یعنی:

$$\large | x - 3 | > 0$$

همان‌طور که می‌دانیم، خروجی قدر مطلق، همواره یک مقدار مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع برابر است با تمام اعداد حقیقی به جز $$3$$.

مثال پنجم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \ln⁡( 2 x ^ 2 - 3 x - 5 )$$ را به دست آورید.

حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید نامعادله زیر را حل کنیم:

$$\large 2 x ^ 2 - 3 x - 5 > 0$$

با تجزیه عبارت سمت چپ به صورت زیر، می‌توان مجموعه جواب نامعادله را به دست آورد:

$$\large ( 2 x - 5 ) ( x + 1 ) > 0$$

اگر این نامساوی را تعیین علامت کنیم، خواهیم داشت:

$$\large ( - ∞ , - 1 ) \cup ( \frac 5 2 , + ∞ )$$

مثال ششم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$f ( x ) = e ^ { - x + 2 }$$ را به دست آورید.

حل: ابتدا $$f ( x )$$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large y = e ^ { - x + 2 }$$

سپس، تابع را برای $$x$$ حل می‌کنیم:

$$\large - x + 2 = \ln ⁡ ( y ) \Rightarrow x = 2 - \ln⁡ ( y )$$

اگر $$y > 0$$ باشد، $$x$$ یک مقدار حقیقی خواهد بود. بنابراین، همان‌طور که در نمودار زیر مشاهده می‌کنید، برد این تابع در بازه $$( 0 , + ∞ )$$ قرار دارد.

مثال هفتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$f ( x ) = e ^ { 2 x + 1 } + 3$$ را مشخص کنید.

حل: مانند مثال قبل، تابع را برای $$x$$ حل می‌کنیم:

$$\large y = e ^ { 2 x + 1 } + 3 \Rightarrow y - 3 = e ^ {2 x + 1 }, \\ \large 2 x + 1 = \ln ⁡ ( y - 3 ) , \Rightarrow 2 x = \ln ⁡ ( y - 3 ) - 1 \\ \large \large x = \frac 1 2 [\ln⁡ ( y - 3 ) - 1 ]$$

مقدار $$x$$ در صورتی یک عدد حقیقی است که $$y - 3 > 0$$ باشد. بنابراین، برد تابع مفروض $$( 3 , + ∞ )$$ خواهد بود.

مثال هشتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$f ( x ) = e ^ { x ^ 2 } + 1$$ را بیابید.

حل: برای به دست آوردن برد این تابع نمایی به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$\large y = e ^ { x ^ 2 } + 1 \Rightarrow y - 1 = e ^ { x ^ 2 } , \\ \large x ^ 2 = \ln ⁡ ( y - 1 ) , x=±\sqrt {\ln ⁡ ( y - 1 ) }$$

این جواب‌ها در صورتی حقیقی هستند که

$$\large \ln⁡ ( y - 1 ) ≥ 0 \Rightarrow \ln⁡ ( y - 1 ) ≥ \ln ⁡( 1 ) ,\\ \large \Rightarrow y - 1 ≥ 1 \Rightarrow y ≥ 2$$

مثال نهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$f ( x ) = - 2 e ^ {- x ^2 } + 3$$ را تعیین کنید.

حل:

$$\large y = - 2 e ^ { - x ^ 2 } + 3 \Rightarrow y - 3 = - 2 e ^ {-x ^ 2 } , \\ \large e ^ {- x ^2 } = \frac { y - 3 } { - 2 } \Rightarrow - x ^ 2 = \ln⁡{ \frac { y - 3 }{ -2} }, \\ \large x = ± \sqrt { - \ln⁡(\frac {y-3}{-2}) }$$

اگر آرگومان $$\ln$$ مثبت و عبارت زیر رادیکال مثبت یا صفر باشد، مقدار $$x$$ حقیقی خواهد بود. پس در اینجا دو شرط خواهیم داشت:

$$\large \frac { y - 3 } { - 2 } >0 \\ \large - \ln⁡(\frac { y - 3 }{-2} ) ≥ 0$$

مجموعه جواب نامعادله اول به صورت زیر است:

$$\large \frac {y-3}{-2}>0 \Rightarrow y - 3 < 0 \Rightarrow y < 3$$

و برای جواب معادله دوم، داریم:

$$\large - \ln⁡(\frac {y-3}{-2 } ) ≥ 0 \Rightarrow \ln ⁡ ( \frac { y - 3 } {-2} ) ≤ 0 , \\ \large \ln⁡(\frac {y-3}{-2}) ≤ \ln ⁡ ( 1 ) , \Rightarrow \frac {y-3} {-2}≤1 \Rightarrow y - 3 ≥ - 2 \Rightarrow y ≥ 1$$

بنابراین، برد تابع در بازه بسته $$[ 1 , 3 )$$ قرار دارد.

مثال دهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \sqrt { \log _ { 1 0 } ⁡\frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } }$$ را تعیین کنید.

حل: این تابع، جذر یک عبارت لگاریتمی است. از طرف دیگر، آرگومان تابع لگاریتمی نیز یک تابع گویا است. از این رو، برای تعیین دامنه این تابع، ابتدا مقادیری از $$x$$ را که در تابع لگاریتمی صدق می‌کنند، می‌یابیم:

$$\large \frac { 6 x - x ^ 2 } {8}>0 \Rightarrow 6 x - x ^ 2 > 0$$

طرفین نامعادله را در $$-1$$ ضرب می‌کنیم:

$$\large x ^ 2 - 6x < 0 \Rightarrow x ( x - 6 ) < 0$$

ریشه‌های عبارت سمت چپ نامعادله، برابر است با $$x=0,6$$. در نتیجه، به ازای $$x$$های بین $$0$$ و $$6$$، این عبارت منفی خواهد بود.

اکنون شرط عبارت زیر رادیکال که باید مثبت یا صفر باشد را اعمال کنیم:

$$\large \log _ { 1 0 } ⁡ { \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } } ≥0\Rightarrow \log_{10}⁡{\frac {6x-x^2}{8}}≥\log_{10}⁡1 \\ \large \frac { 6 x - x ^ 2 } { 8 } ≥ 1 \Rightarrow 6 x - x ^ 2 - 8 ≥ 0 \\ \large x ^ 2 - 6 x + 8 ≤ 0 → ( x - 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0$$

واضح است که ریشه‌های عبارت سمت چپ نامعادله $$x=2,4$$ است. بنابراین، داریم:

$$\large 2 ≤ x ≤ 4$$

برای تعیین دامنه تابع مفروض کافی است اشتراک بازه‌های به دست آمده برای $$x$$ را به دست آوریم:

دامنه $$f(x)$$ برابر است با $$[2,4]$$.

مثال یازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$f ( x ) = \log _ 2 ⁡ \log _ 3 \log_ 4 ⁡x$$ را تعیین کنید.

حل: با توجه به اینکه این تابع شامل سه تابع لگاریتمی تودرتو با مبناهای مختلف است، ابتدا دامنه $$\log_4⁡x$$ را مشخص می‌کنیم. آرگومان این تابع لگاریتمی باید مثبت باشد. یعنی $$x>0$$.

برای حقیقی بودن عبارت $$\log_3⁡\log_4⁡ x$$ نیز برقرار بودن شرط زیر لازم است:

$$\large \log_4 ⁡ x > 0$$

با توجه به اینکه مبنای لگاریتم بزرگ‌تر از صفر است (به نکته‌ای که در ابتدای مطلب ذکر شده است، رجوع کنید)، داریم:

$$\large \log _ 4 ⁡ x > 0 \Rightarrow x > 4 ^ 0 \Rightarrow x > 1$$

برای اینکه تابع $$f(x)$$ حقیقی باشد، باید $$\log_ 3 \log _ 4 ⁡ x$$ مثبت باشد:

$$\large \log _ 3 ⁡ (\log _ 4 ⁡ x ) > 0 \Rightarrow \log_4⁡ x > 3 ^{ 0 } \\ \large \Rightarrow \log_4⁡x>1 \Rightarrow x>4^1 \Rightarrow x > 4$$

با ترکیب این سه بازه و به دست آورد اشتراک آن‌ها خواهیم داشت:

دامنه $$f(x)$$ در بازه $$( 4 , + ∞ )$$ قرار دارد.

مثال دوازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$f ( x ) = \log _ {10⁡} ( x ^ 2 - 3 x + 4 )$$ را به دست آورید.

حل: آرگومان این تابع، یک تابع درجه دوم است، پس برای به دست آوردن برد تابع $$f(x)$$ باید ابتدا مقدار اکسترمم آرگومان تابع لگاریتمی را به ازای مقادیری از $$x$$ که در دامنه تابع قرار دارد، تعیین کنیم. برای تعیین اکسترمم آرگومان تابع باید مشتق اول و دوم آن را به دست آوریم:

$$\large \frac { d } { d x } ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) = 2 x - 3 ,\\ \large \frac { d ^ 2 } { d x ^2 } ( x ^ 2 - 3 x + 4 ) = 2$$

با توجه به اینکه مشتق دوم بزرگ‌تر از صفر است، $$x ^ 2 - 3 x + 4$$ دارای یک مینیمم است. برای به دست آوردن نقطه مینیمم، کافی است مشتق اول را برابر با صفر قرار دهیم:

$$\large 2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac 3 2$$

حال مقدار به دست آمده را در $$f(x)$$ جایگذاری می‌کنیم تا مختصات نقطه مینیمم و در نتیجه برد تابع مشخص شود:

$$\large f ( \frac 32 ) = \log_{10} ⁡ ( ( \frac 32 ) ^ 2 -3 ( \frac 32 ) + 4 ) = \log _ {10} ( \frac 7 4 ) \\ \large f ( x → ∞ ) → ∞$$

واضح است که برد تابع برابر است با $$[\log_{10}⁡(\frac 74) ,+ ∞)$$.

مثال سیزدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تساوی $$e ^ { f ( x ) } = e ^ x - e$$ را تعیین کنید.

حل: برای به دست آوردن دامنه کافی است از دو طرف تساوی لگاریتم بر مبنای $$e$$ بگیریم:

$$\large y = f ( x ) = \log _ e ⁡ ( e ^ x - e ) \\ \large → e ^ x - e > 0 → e ^ x > e → x > 1$$

بنابراین، دامنه در بازه $$( 1 , + ∞ )$$ قرار دارد.