کاربرد بهینه سازی در اقتصاد – همراه با مثال

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره کاربرد بهینه‌سازی در هندسه بحث کردیم. در این آموزش، مثال‌های مختلفی از کاربرد بهینه سازی در اقتصاد را بررسی می‌کنیم.

برای حل این‌گونه مسائل، معمولاً ابتدا یک تابع مناسب تعریف می‌کنیم که بیان‌گر رابطه بین دو متغیر اقتصادی (برای مثال، بین میزان تولید و درآمد) است و مقدار اکسترمم آن را به دست می‌آوریم. این‌گونه مسائل بهینه‌سازی اقتصادی با استفاده از مشتق‌گیری حل می‌شوند.

مثال‌های بهینه سازی در اقتصاد

در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

کارخانه‌ای، قطعات نیمه‌هادی تولید می‌کند و می‌فروشد. بهای واحد، به میزان تولید بستگی دارد و شامل یک بخش ثابت $$1000$$ دلار بر قطعه و یک بخش متغیر $$2n$$ دلار بر قطعه است که، در آن‌، $$n$$ تعداد واحدهای تولیدی در ماه است. بهای هر قطعه، به نوبه خود با رابطه $$p\left( n \right) = 10000 – n$$ به میزان تولید بستگی دارد. به ازای چه مقداری از تولید، سود حداکثر می‌شود؟

حل: درآمد فروش در یک ماه، برابر است با:

$$\large R \left ( n \right ) = n p \left ( n \right ) = n \left ( { 1 0 0 0 0 – n } \right ) .$$

هزینه کل ماهیانه نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large C \left ( n \right ) = n \left ( { 1 0 0 0 + 2 n } \right ) .$$

در نتیجه، می‌توان سود را به صورت زیر به دست آورد:

$$\large \begin {align*} P \left ( n \right ) & = R \left ( n \right ) – C \left ( n \right ) = { n \left ( { 1 0 0 0 0 – n } \right ) – n \left ( { 1 0 0 0 + 2 n } \right ) } \\ & = { 1 0 0 0 0 n – { n ^ 2 } – 1 0 0 0 n – 2 { n ^ 2 } } = { 9 0 0 0 n – 3 { n ^ 2 } .} \end {align*}$$

برای آنکه میزان حداکثر سود را محاسبه کنیم، باید اکسترمم تابع اخیر را بیابیم. با فرض اینکه $$n$$ یک عدد حقیقی است و تابع سود نسبت به آن مشتق‌ پذیر است، داریم:

$$\large \begin {align*} P’ \left ( n \right ) & = { \left ( { 9 0 0 0 n – 3 { n ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = 9 0 0 0 – 6 n = { 0 , \; \; }\\ & \Rightarrow { n = \frac { {9 0 0 0 } } { 6 } = 1 5 0 0 . } \end {align*}$$

مشتق دوم نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} P ^ { \prime \prime } \left ( n \right ) = { \left ( { 9 0 0 0 – 6 n } \right ) ^ \prime } = – 6 \lt 0 . \end {align*}$$

از آن‌جایی که مشتق دوم همواره منفی است، پاسخ $$n = 1 5 0 0$$ به دست می‌آید. بنابراین تولید $$1500$$ قطعه در ماه، منجر به بیشترین سود برای شرکت خواهد شد.

مثال ۲

کارخانه‌ای برای تولید $$x$$ واحد از یک محصول به میزانِ

$$\large \begin {align*} C \left ( x \right ) = a { x ^ 2 } + b x \; \left ( \$\right ) \end {align*}$$

هزینه می‌کند که در آن، $$a$$ و $$b$$ اعدادی حقیقی هستند. محصول با بهای $$p\,\$$$ بر واحد فروخته می‌شود. کارخانه باید چه میزان فروش داشته باشد تا به حداکثر سود ممکن برسد؟

حل: وقتی $$x$$ واحد از محصول فروخته شود، درآمد کارخانه برابر خواهد بود با:

$$\large \begin {align*} R \left ( x \right ) = p x . \end {align*}$$

بنابراین، سود کارخانه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} P \left ( x \right ) = R \left ( x \right ) – C \left ( x \right ) = { p x – \left ( { a { x ^ 2 } + b x } \right ) } = { \left ( { p – b } \right ) x – a { x ^ 2 } . } \end {align*}$$

مشتق تابع سود $$P\left( x \right)$$ برابر است با:

$$\large \begin {align*} { P’ \left ( x \right ) } = { { \left [ { \left ( { p – b } \right ) x – a { x ^ 2 } } \right ] ^ \prime } } = { p – b – 2 a x . } \end {align*}$$

این مشتق در نقطه زیر برابر با صفر است:

$$\large \begin {align*} P’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { p – b – 2 a x = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 2 a x = p – b , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { { p – b } }{ { 2 a } } .} \end {align*}$$

مشتق دوم نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} P ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { p – b – 2 a x } \right ) ^ \prime } = – 2 a \lt 0 . \end {align*}$$

از آن‌جایی که مشتق دوم منفی است، نقطه $$x = {\large\frac{{p – b}}{{2a}}\normalsize}$$، نقطه ماکزیمم است، یعنی حداکثر سود کارخانه با این میزان فروش به دست می‌آید.

مثال ۳

شرکتی محصولاتش را برای تعداد زیر $$5000$$ واحد به بهای $$100\,\$$$ به ازای هر واحد می‌فروشد. این شرکت، برای فروش هر $$1000$$ واحد بیشتر از $$5000$$ عدد، تخفیف $$5\,\$$$ را در نظر گرفته است. به ازای چه میزانی از فروش، درآمد شرکت حداکثر می‌شود؟

حل: فرض می‌کنیم $$x$$ تعداد محصولات باشد. اگر $$x \le 5000$$، بهای هر واحد محصول $$100\,\$$$ است. همچنین اگر $$x \gt 5000$$، بهای هر واحد محصول به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} p \left ( x \right ) = { 1 0 0 – 5 \cdot \frac { { x – 5 0 0 0 } }{{ 1 0 0 0 } } } = { 1 0 0 – 0 . 0 0 5 x + 2 5 } = { 1 2 5 – 0 . 0 0 5 x . } \end {align*}$$

در حالت نخست، برای $$x \le 5000$$ حداکثر درآمد در $$x = 5000$$ به دست می‌آید و برابر است با:

$$\large \begin {align*} { R _ 1 } = 5 00 0 \cdot 1 0 0 = 5 0 0 0 0 0 \; \left ( \$ \right ) . \end {align*}$$

در حالت دوم، برای $$x \gt 5000$$، درآمد با تابع زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} { { R _ 2 } = R \left ( x \right ) } = { x p \left ( x \right ) } = { x \left ( { 1 2 5 – 0. 0 0 5 x } \right ) } = { 12 5 x – 0 . 0 0 5 { x ^ 2} \; \left ( \$\right).} \end {align*}$$

مشتق این تابع برابر است با:

$$\large \begin {align*} { R’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { 1 2 5 x – 0 . 0 0 5 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } = { 1 2 5 – 0 . 0 1 x . } \end {align*}$$

با صفر قرار دادن این مشتق، نقطه بحرانی به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} { R’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { 1 2 5 – 0 . 0 1 x = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { { 1 2 5 } } { {0 . 0 1 } } = 1 2 5 0 0 . } \end {align*}$$

مشتق دوم $$R\left( x \right)$$ نیز همواره منفی است:

$$\large \begin {align*} { R ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } = { { \left ( { 1 2 5 – 0 . 0 1 x } \right ) ^ \prime } } = { – 0 . 0 1 \lt 0 . } \end {align*}$$

بنابراین، نقطه بحرانی به دست آمده متناظر با مقدار ماکزیمم تابع $$R (x)$$ است. در نتیجه، درآمد شرکت وقتی حداکثر خواهد بود که $$x = 12500$$ واحد بفروشد. این مقدار درآمد حداکثر برابر است با:

$$\large \begin {align*} { { R _ { \max } } } = { 1 2 5 \cdot 1 2 5 0 0 – 0 . 0 0 5 \cdot { 1 2 5 0 0 ^ 2 } } = { 7 8 1 2 5 0 \; \left ( \$\right ) . } \end {align*}$$

مثال ۴

کشوری از سیستم مالیات تصاعدی استفاده می‌کند. مقدار مالیات از یک بخش خطی متناسب با درآمد و یک بخش غیرخطی توانی وابسته به درآمد تشکیل شده است. مقدار کل مالیات با فرمول زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} T \left ( W \right ) = a W + { \left ( { b W + c } \right ) ^ p } \end {align*}$$

که در آن، $$W$$ درآمد، $$p$$ نما یا توان، و $$a$$ و $$b$$ و $$c$$ اعداد ثابت مثبتی هستند. به ازای چه درآمدی نرخ مالیات حداقل است؟

حل: نرخ مالیات $$r$$ با فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$\large \begin {align*} { r \left ( W \right ) = \frac { { T \left ( W \right ) } } { W } } = { \frac { { a W + { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ p } } } { W } } = { a + \frac { { { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ p } } } { W } . } \end {align*}$$

برای به دست آوردن مقادیر اکسترمم این تابع، مشتق آن را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} r’ \left ( W \right ) & = { \left [ { a + \frac { { { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ p } } } { W } } \right ] ^ \prime } = { \frac { { p { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ { p – 1 } } \cdot W – { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ p } \cdot 1 } } { { { W ^ 2 } } } } \\ &= { \frac { { { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ { p – 1 } } \left [ { p W – \left ( { b W + c } \right ) } \right ] } }{ {{ W ^ 2 } } } } = { \frac { { { { \left ( { b W + c } \right ) } ^ { p – 1 } } \left [ { \left ( { p – b } \right ) W – c } \right ] } }{ { { W ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، تابع $$r\left( W \right)$$ سه نقطه بحرانی دارد، اما از آن‌جایی که ثابت‌های $$b$$ و $$c$$ بزرگتر از صفر هستند، تنها جواب بامعنی نقطه زیر خواهد بود:

$$\large \begin {align*} { \left ( { p – b } \right ) W – c = 0 , \; \; } \Rightarrow { W = \frac { c } { { p – b } } . } \end {align*}$$

وقتی از این نقطه بگذریم، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر خواهد کرد. در نتیجه، تابع $$r (W)$$ در این نقطه مقدار حداقل را دارد و بنابراین، کمترین نرخ مالیات را نتیجه خواهد داد.

مثال ۵

شرکتی $$1000$$ واحد محصول را در ماه به قیمت $$2000\,\$$$ تولید می‌کند و می‌فروشد. این شرکت با کاهش قیمت به اندازه $$50\,\$$$ می‌تواند $$50$$ واحد بیشتر در ماه بفروشد. به ازای چه قیمتی برای محصول درآمد شرکت حداکثر خواهد شد؟

حل: فرض کنید $$x$$ تعداد کسورات $$50\,\$$$ از قیمت پایه $$2000\,\$$$ باشد. در نتیجه، قیمت واحد (اگر بیش از $$1000$$ واحد در ماه فروخته شود) برابر با $$2000 – 50x$$ است. تعداد کل محصولات فروخته شده در ماه $$1000 + 50x$$ واحد است. بنابراین، درآمد کل به صورت زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} R \left ( x \right ) & = { \left ( { 2 0 0 0 – 5 0 x } \right ) \left ( { 1 0 0 0 + 5 0 x } \right) } \\ &= { 2 0 0 0 0 0 0 – 5 0 0 0 0 x } + { 1 0 0 0 0 0 x – 2 5 0 0 { x ^ 2 } } \\ &= { – 2 5 0 0 { x ^ 2 } + 5 0 0 0 0 x + 2 0 0 0 0 0 0 \; \left ( \$\right ) } \end {align*}$$

با مشتق‌گیری از تابع $$R (x)$$، نقطه اکسترمم به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} R’ \left ( x \right ) & = \kern0pt { { \left ( { – 2 5 0 0 { x ^ 2 } + 5 0 0 0 0 x + 2 0 0 0 0 0 0 } \right ) ^ \prime } } = { – 5 0 0 0 x + 5 0 0 0 0 ; }\\ R’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { - 5 0 0 0 x + 5 0 0 0 0 = 0, \; \; } \Rightarrow { x = \frac { { 5 0 0 0 0 } } { { 50 0 0 } } = 1 0 . } \end {align*}$$

مشتق دوم $$R\left( x \right)$$ منفی است:

$$\large \begin {align*} { R ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } = { { \left ( { – 5 0 0 0 x + 5 0 0 0 0 } \right ) ^ \prime } } = { – 5 0 0 0 \lt 0 .} \end {align*}$$

بنابراین، $$x = 10$$ یک نقطه ماکزیمم است. در نتیجه، درآمد هنگامی حداکثر است که کسورات برابر با $$x = 10$$ باشد. قیمت واحد در این حالت برابر است با:

$$\large \begin {align*} 2 0 0 0 – 5 0 \cdot 1 0 = 1 5 0 0 \; \left ( \$ \right ) \end {align*}$$

و حجم فروش در ماه نیز به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} 1 0 0 0 + 5 0 \cdot 1 0 = 1 5 0 0 \; \text {(units)}. \end {align*}$$

بنابراین، حداکثر درآمد شرکت برابر است با:

$$\large \begin {align*} { R _ { \max } } = 1 5 0 0 \cdot 1 5 0 0 = 2 , 2 2 5 , 0 0 0 \; \left ( \$ \right ) \end {align*}$$

مثال ۶

هزینه سوخت مصرفی یک کشتی در حال حرکت متناسب با مجذور سرعت آن نسبت به آب است. علاوه بر این، هزینه‌های ثابت نیز وجود دارد که به سرعت حرکت وابسته نیست و برابر با $$p$$ دلار بر ساعت است. در چه سرعتی کل هزینه در یک مایل کمینه می‌شود؟

حل: براساس اطلاعات مسئله، بخش متغیر هزینه‌ها به سرعت حرکت بستگی دارد:

$$\large \begin {align*} q = k { v ^ 2 } \end {align*}$$

که در آن، $$k$$ ضریب تناسب است. هزینه کل بر ساعت با فرمول زیر قابل بیان است:

$$\large \begin {align*} C = p + q = p + k { v ^ 2 } . \end {align*}$$

در یک ساعت، کشتی فاصله $$v$$ را می‌پیماید. در نتیجه، هزینه بر مایل برابر است با:

$$\large \begin {align*} { { C _ 1 } = { C _ 1 } \left ( v \right ) } = { \frac { C } { v } } = { \frac { { p + k { v ^ 2 } } } {v } } = { \frac { p } { v } + k v .} \end {align*}$$

عبارت بالا بر اساس سرعت $$v$$ است. مقادیر اکسترمم تابع اخیر به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$\large \begin {align*} { { C’ _ 1 } \left ( v \right ) } = { { \left ( { \frac { p } { v } + k v } \right ) ^ \prime } } = { – \frac { p } { { { v ^ 2 } }} + k } = { \frac { { k { v ^ 2 } – p } } { { { v ^ 2 } } } } \end {align*}$$

$$ \large {{C’_1} \left( v \right) = 0,\;\;}\Rightarrow<br /> {\frac{{k{v^2} – p}}{{{v^2}}} = 0,\;\;}\Rightarrow<br /> {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}<br /> {k{v^2} – p = 0}\\<br /> {{v^2} \ne 0}<br /> \end{array},\;\;}\Rightarrow<br /> {v = \sqrt {\frac{p}{k}} } \right..} $$

در این مقدار $$v$$ تابع $${C_1} \left( v \right)$$ به مقدار مینیمم می‌رسد، زیرا با عبور از این نقطه، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند. بنابراین، در این سرعت هزینه بر مایل حداقل خواهد بود. حداقل مقدار هزینه بر مایل برابر است با:

$$\large \begin {align*} { C = p + k { v ^2 } } = { p + k { \left ( { \sqrt { \frac { p } { k } } } \right ) ^ 2 } = 2 p } \end {align*}$$

فیلم آموزش بهینه سازی سبد سهام در پایتون با روش های هوشمند – پورتفولیو مالی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۷

فاصله بین دو شهر $$A$$ و $$B$$ برابر با $$a$$ مایل است و با یک راه‌آهن مستقیم به یکدیگر وصل شده‌اند. برای انتقال کالا از شهر $$A$$ به شهر $$C$$ که در در فاصله $$b$$ مایلی از راه‌آهن قرار گرفته است، مطابق شکل زیر به یک بزرگراه نیاز است که در مجاورت مسیر ره‌آهن قرار دارد. نقطه $$S$$ را در مسیر راه‌آهن به گونه‌ای بیابید که بزرگراه حمل کالا کم‌ترین هزینه را داشته باشد. هزینه حمل و نقل ریلی را $$p$$ دلار بر تُن-مایل و هزینه حمل و نقل جاده‌ای توسط کامیون را $$q$$ دلار بر تُن-مایل در نظر بگیرید.

حل: فرض می‌کنیم $$x$$ فاصله شهر $$A$$ از ورودی $$S$$ بزرگراه باشد. در نتیجه، هزینه حمل و نقل برای یک تن کالا در مسیر $$AS$$ برابر با $$p x$$ است. طول بخش $$SC$$ بزرگراه طبق قضیه فیثاغورس به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} \left| {SC} \right| = \sqrt {{{\left( {a – x} \right)}^2} + {b^2}} . \end {align*}$$

در نتیجه،‌ هزینه حمل کالا در این بخش از مسیر برابر است با:

$$\large \begin {align*} q \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } . \end {align*}$$

بنابراین، هزینه کل حمل یک تن کالا از نقطه $$A$$ به نقطه $$C$$ با تابع زیر قابل بیان است:

$$\large \begin {align*} { Q = Q \left ( x \right ) } = { p x + q \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } . } \end {align*}$$

برای محاسبه مقادیر اکسترمم تابع $$Q ( x )$$ مشتق آن را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} Q’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { p x + q \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { p + \frac { { q \cdot \left ( { – 2 } \right ) \left ( { a – x } \right ) } } { { 2 \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } } = { p – \frac { { q \left ( { a – x } \right ) } } { { \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } . } \end {align*}$$

با صفر قرار دادن مشتق، مقدار بحرانی $$x$$ به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} Q’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { p – \frac { { q \left ( { a – x } \right ) } } { { \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } = 0 , \; \; } \Rightarrow { p \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } = q \left ( {a – x} \right ) , \; \; } \\ & \Rightarrow { { p ^ 2 } { \left ( { a – x } \right ) ^ 2 } + { p ^ 2 } { b ^ 2 } = { q ^ 2 } { \left ( { a – x } \right ) ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { \left ( { { q ^ 2 } – { p ^ 2 } } \right ) { \left ( { a – x } \right ) ^ 2 } = { p ^ 2 }{ b ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { a – x = \frac { { p b} } { { \sqrt { { q ^ 2 } – { p ^ 2 } } } } , \; \; } \Rightarrow { x = a – \frac { { p b } } { { \sqrt { { q ^ 2 } – { p ^ 2 } } } } } = { a – \frac { b } { { \sqrt { { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) } ^ 2 } – 1 } } } . } \end {align*}$$

اکنون باید بررسی کنیم که با عبور از نقطه بحرانی، علامت مشتق چگونه تغییر می‌کند. مجدداً مشتق تابع را در نظر بگیرید:

$$\large \begin {align*} { Q’ \left ( x \right ) } = { p – \frac { { q \left ( { a – x } \right ) } } { { \sqrt { { { \left ( { a – x } \right ) } ^ 2 } + { b ^ 2 } } } } } \end {align*}$$

صورت کسر، با افزایش یا کاهش مقدار $$x$$، نسبت به مخرج تغییر بیشتری می‌کند. بنابراین، مشتق در همسایگی سمت چپ نقطه بحرانی منفی و در سمت راست آن مثبت است. در نتیجه، این نقطه مینیمم تابع $$Q (x)$$ است.

توجه کنید که پاسخ در صورتی صحیح است که $$q>p$$ باشد؛ یعنی وقتی که هزینه حمل با کامیون بیش از هزینه حمل و نقل ریلی است. البته این شرط تنها قید مربوط به مقادیر ممکن $$p$$ و $$q$$ نیست. دو محدودیت را می‌توان با بررسی محدوده مقادیر برای نسبت $$\large\frac{q}{p}\normalsize$$ در نظر گرفت.

اگر $$x = 0$$ باشد، جواب زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} a – \frac { b } { { \sqrt { { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) } ^ 2 } – 1 } } } = 0 , \; \; & \Rightarrow { \frac { { a \sqrt { { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) } ^ 2 } – 1 } – b } } { { \sqrt { { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) } ^ 2} – 1 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { a \sqrt { { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) } ^ 2 } – 1 } = b , \; \; } \Rightarrow { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) ^ 2 } – 1 = { \left ( { \frac { b } { a } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ &\Rightarrow { \frac { q } { p} = \sqrt { { { \left ( { \frac { b } { a } } \right ) } ^ 2 } + 1 } . } \end {align*}$$

این نسبت هزینه حمل و نقل $$\large\frac{q}{p}\normalsize$$ در حد ممکن مینیمم است. این مقدار $$\large\frac{q}{p}\normalsize$$ برای ساختن بزرگراه در مسیر $$AC$$ ضروری است.

محدودیت دیگر به جواب $$x = a$$ مربوط می‌شود:

$$\large \begin {align*} { a – \frac { b } { { \sqrt { { { \left ( { \frac { q } { p } } \right ) } ^ 2 } – 1 } } } = a , \; \; } \Rightarrow { \frac { q } { p } \to \infty .} \end {align*}$$

در این حالت، نسبت $$\large\frac{q}{p}\normalsize$$ به بی‌نهایت میل می‌کند. واضح است که در عمل این نسبت محدود است؛ یعنی نقطه تقاطع همیشه در محدوده $$0 \le x \lt a$$ قرار دارد.

مثال ۸

فرض کنید خروجی تولید $$Q$$ یک کارخانه به تعداد کارگران $$L$$ بستگی دارد و با تابع $$Q(L)$$ بیان می‌شود. نشان دهید که اگر مشتق‌های اول و دوم این تابع در شرایط زیر صدق کنند، وقتی سود حداکثر می‌شود، تعداد بهینه کارگر $${L^*}$$ وجود دارد.

$$\large Q’\left( L \right) \gt 0,\;\;\;Q^{\prime\prime}\left( L \right) \lt 0,$$

حل: شرایط $$Q’\left( L \right) > 0$$ و $$Q^{\prime\prime}\left( L \right) \lt 0$$ بیان‌گر کاهش بازده کاری کارکنان با افزایش تعداد آن‌ها است که اغلب در واقعیت نیز چنین موضوعی دیده می‌شود. با فرض اینکه هزینه‌های نیروی کار متناسب با تعداد آن‌ها باشد، می‌توان عبارت زیر را برای بیان سود نوشت:

$$\large \begin {align*} { P = P \left ( L \right ) } = { p Q \left ( L \right ) – q L – C } \end {align*}$$

که در آن، $$p$$ بهای واحد، $$Q ( L )$$ میزان تولید، $$q L$$ کل هزینه نیروی کار و $$C$$ هزینه‌های ثابت است که به تعداد کارکنان وابسته نیست. در این فرمول، $$pQ (L)$$ درآمد شرکت را برای یک دوره معین نشان می‌دهد. در نتیجه، سود $$P$$ تابعی از تعداد کارکنان ($$P(L)$$) است.

اکنون مقادیر اکسترمم این تابع را محاسبه می‌کنیم. مشتق اول تابع برابر است با:

$$\large \begin {align*} { P’ \left ( L \right ) = { \left [ { p Q \left ( L \right ) – q L – C } \right ] ^ \prime } } = { p Q’ \left ( L \right ) – q . } \end {align*}$$

نقطه بحرانی $${L^*}$$ تابع سود $$P(L)$$ به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} { p Q’ \left ( L \right ) – q = 0 , \; \; } \Rightarrow { Q’ \left ( L \right ) = \frac { q } { p } . } \end {align*}$$

از آن‌جایی که مشتق دوم برای همه مقادیر ممکن $$L$$ منفی است، نقطه بحرانی یک ماکزیمم است. بنابراین، همیشه مقدار بهینه $${L^*}$$ برای تعداد کارکنان سیستم داده شده وجود دارد که در آن، شرکت به بیشترین سود ممکن خواهد رسید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش کاربرد ریاضیات در اقتصاد
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• مشتق زنجیره ای — به زبان ساده
• مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول‌ های مشتق گیری

^^