کاربرد بهینه سازی در اقتصاد — همراه با مثال

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره کاربرد بهینه‌سازی در هندسه بحث کردیم. در این آموزش، مثال‌های مختلفی از کاربرد بهینه سازی در اقتصاد را بررسی می‌کنیم.

برای حل این‌گونه مسائل، معمولاً ابتدا یک تابع مناسب تعریف می‌کنیم که بیان‌گر رابطه بین دو متغیر اقتصادی (برای مثال، بین میزان تولید و درآمد) است و مقدار اکسترمم آن را به دست می‌آوریم. این‌گونه مسائل بهینه‌سازی اقتصادی با استفاده از مشتق‌گیری حل می‌شوند.

مثال‌های بهینه سازی در اقتصاد

در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضیات برای اقتصاد 1 در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

کارخانه‌ای، قطعات نیمه‌هادی تولید می‌کند و می‌فروشد. بهای واحد، به میزان تولید بستگی دارد و شامل یک بخش ثابت $$1000$$ دلار بر قطعه و یک بخش متغیر $$2n$$ دلار بر قطعه است که، در آن‌، $$n$$ تعداد واحدهای تولیدی در ماه است. بهای هر قطعه، به نوبه خود با رابطه $$p\left( n \right) = 10000 – n$$ به میزان تولید بستگی دارد. به ازای چه مقداری از تولید، سود حداکثر می‌شود؟

حل: درآمد فروش در یک ماه، برابر است با:

$$\large R \left ( n \right ) = n p \left ( n \right ) = n \left ( { 1 0 0 0 0 – n } \right ) .$$

هزینه کل ماهیانه نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large C \left ( n \right ) = n \left ( { 1 0 0 0 + 2 n } \right ) .$$

در نتیجه، می‌توان سود را به صورت زیر به دست آورد:

$$\large \begin {align*} P \left ( n \right ) & = R \left ( n \right ) – C \left ( n \right ) = { n \left ( { 1 0 0 0 0 – n } \right ) – n \left ( { 1 0 0 0 + 2 n } \right ) } \\ & = { 1 0 0 0 0 n – { n ^ 2 } – 1 0 0 0 n – 2 { n ^ 2 } } = { 9 0 0 0 n – 3 { n ^ 2 } .} \end {align*}$$

برای آنکه میزان حداکثر سود را محاسبه کنیم، باید اکسترمم تابع اخیر را بیابیم. با فرض اینکه $$n$$ یک عدد حقیقی است و تابع سود نسبت به آن مشتق‌ پذیر است، داریم:

$$\large \begin {align*} P’ \left ( n \right ) & = { \left ( { 9 0 0 0 n – 3 { n ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = 9 0 0 0 – 6 n = { 0 , \; \; }\\ & \Rightarrow { n = \frac { {9 0 0 0 } } { 6 } = 1 5 0 0 . } \end {align*}$$

مشتق دوم نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} P ^ { \prime \prime } \left ( n \right ) = { \left ( { 9 0 0 0 – 6 n } \right ) ^ \prime } = – 6 \lt 0 . \end {align*}$$

از آن‌جایی که مشتق دوم همواره منفی است، پاسخ $$n = 1 5 0 0$$ به دست می‌آید. بنابراین تولید $$1500$$ قطعه در ماه، منجر به بیشترین سود برای شرکت خواهد شد.

مثال ۲

کارخانه‌ای برای تولید $$x$$ واحد از یک محصول به میزانِ

$$\large \begin {align*} C \left ( x \right ) = a { x ^ 2 } + b x \; \left ( \$\right ) \end {align*}$$

هزینه می‌کند که در آن، $$a$$ و $$b$$ اعدادی حقیقی هستند. محصول با بهای $$p\,\$$$ بر واحد فروخته می‌شود. کارخانه باید چه میزان فروش داشته باشد تا به حداکثر سود ممکن برسد؟

حل: وقتی $$x$$ واحد از محصول فروخته شود، درآمد کارخانه برابر خواهد بود با:

$$\large \begin {align*} R \left ( x \right ) = p x . \end {align*}$$

بنابراین، سود کارخانه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} P \left ( x \right ) = R \left ( x \right ) – C \left ( x \right ) = { p x – \left ( { a { x ^ 2 } + b x } \right ) } = { \left ( { p – b } \right ) x – a { x ^ 2 } . } \end {align*}$$

مشتق تابع سود $$P\left( x \right)$$ برابر است با:

$$\large \begin {align*} { P’ \left ( x \right ) } = { { \left [ { \left ( { p – b } \right ) x – a { x ^ 2 } } \right ] ^ \prime } } = { p – b – 2 a x . } \end {align*}$$

این مشتق در نقطه زیر برابر با صفر است:

$$\large \begin {align*} P’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { p – b – 2 a x = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 2 a x = p – b , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { { p – b } }{ { 2 a } } .} \end {align*}$$

مشتق دوم نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} P ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { p – b – 2 a x } \right ) ^ \prime } = – 2 a \lt 0 . \end {align*}$$

از آن‌جایی که مشتق دوم منفی است، نقطه $$x = {\large\frac{{p – b}}{{2a}}\normalsize}$$، نقطه ماکزیمم است، یعنی حداکثر سود کارخانه با این میزان فروش به دست می‌آید.

مثال ۳

شرکتی محصولاتش را برای تعداد زیر $$5000$$ واحد به بهای $$100\,\$$$ به ازای هر واحد می‌فروشد. این شرکت، برای فروش هر $$1000$$ واحد بیشتر از $$5000$$ عدد، تخفیف $$5\,\$$$ را در نظر گرفته است. به ازای چه میزانی از فروش، درآمد شرکت حداکثر می‌شود؟

حل: فرض می‌کنیم $$x$$ تعداد محصولات باشد. اگر $$x \le 5000$$، بهای هر واحد محصول $$100\,\$$$ است. همچنین اگر $$x \gt 5000$$، بهای هر واحد محصول به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} p \left ( x \right ) = { 1 0 0 – 5 \cdot \frac { { x – 5 0 0 0 } }{{ 1 0 0 0 } } } = { 1 0 0 – 0 . 0 0 5 x + 2 5 } = { 1 2 5 – 0 . 0 0 5 x . } \end {align*}$$

در حالت نخست، برای $$x \le 5000$$ حداکثر درآمد در $$x = 5000$$ به دست می‌آید و برابر است با:

$$\large \begin {align*} { R _ 1 } = 5 00 0 \cdot 1 0 0 = 5 0 0 0 0 0 \; \left ( \$ \right ) . \end {align*}$$

در حالت دوم، برای $$x \gt 5000$$، درآمد با تابع زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} { { R _ 2 } = R \left ( x \right ) } = { x p \left ( x \right ) } = { x \left ( { 1 2 5 – 0. 0 0 5 x } \right ) } = { 12 5 x – 0 . 0 0 5 { x ^ 2} \; \left ( \$\right).} \end {align*}$$

مشتق این تابع برابر است با:

$$\large \begin {align*} { R’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { 1 2 5 x – 0 . 0 0 5 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } = { 1 2 5 – 0 . 0 1 x . } \end {align*}$$

با صفر قرار دادن این مشتق، نقطه بحرانی به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} { R’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { 1 2 5 – 0 . 0 1 x = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { { 1 2 5 } } { {0 . 0 1 } } = 1 2 5 0 0 . } \end {align*}$$

مشتق دوم $$R\left( x \right)$$ نیز همواره منفی است:

$$\large \begin {align*} { R ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } = { { \left ( { 1 2 5 – 0 . 0 1 x } \right ) ^ \prime } } = { – 0 . 0 1 \lt 0 . } \end {align*}$$

بنابراین، نقطه بحرانی به دست آمده متناظر با مقدار ماکزیمم تابع $$R (x)$$ است. در نتیجه، درآمد شرکت وقتی حداکثر خواهد بود که $$x = 12500$$ واحد بفروشد. این مقدار درآمد حداکثر برابر است با:

$$\large \begin {align*} { { R _ { \max } } } = { 1 2 5 \cdot 1 2 5 0 0 – 0 . 0 0 5 \cdot { 1 2 5 0 0 ^ 2 } } = { 7 8 1 2 5 0 \; \left ( \$\right ) . } \end {align*}$$