پوش منحنی – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پوش منحنی

دسته منحنی‌‌های صفحه‌‌ای یک پارامتری را در نظر بگیرید که با معادله زیر توصیف می‌شوند:

$$\large f \left ( { x , y, C } \right ) = 0 ,$$

که در آن، $$C$$ یک پارامتر است.

پوش این دسته منحنی‌‌ها، یک منحنی است که در هر نقطه با یکی از منحنی‌‌های دسته به طور مماس تماس پیدا می‌‌کند (شکل 1).

معادلات پارامتری پوش توسط دستگاه معادلات زیر تعیین می‌‌شود:

$$\large \left \{ \begin {array} { l } f \left ( { x , y , C } \right ) = 0 \\ { f’ _ C } \left ( { x , y , C } \right ) = 0 \end {array} \right . ,$$

این دستگاه معادلات شامل معادله اصلی دسته منحنی‌‌ها و معادله‌‌ای است که با مشتق گرفتن از معادله اصلی نسبت به پارامتر $$C$$ به دست می‌‌آید. با حذف پارامتر $$C$$ از این معادلات، می‌‌توانیم معادله پوش را به شکل صریح یا ضمنی به دست آوریم.

دستگاه معادلات فوق، شرط لازم برای وجود پوش است. علاوه بر منحنی پوش، جواب دستگاه معادلات ممکن است شامل مثلاً نقاط تکین منحنی‌‌های دسته‌‌ای باشد که متعلق به پوش نیستند. مجموعه تمام جواب‌‌های این دستگاه معادلات، منحنی مبیّن (Discriminant Curve) نامیده می‌‌شود. به طور کلی، می‌‌توان گفت که پوش قسمتی از منحنی مبیّن است.

برای یافتن معادله یکتای پوش، از شروط کافی استفاده می‌‌کنیم. فرض می‌‌شود که -علاوه بر دستگاه معادلات فوق- نامساوی‌‌های زیر برقرار باشند:

$$ \large { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { \frac { { \partial f } } { { \partial x } } } & { \frac { { \partial f } } { { \partial y } } } \\<br /> { \frac { { \partial { f’ _ C } } } { { \partial x } } } & { \frac { { \partial { f’ _ C } } } { { \partial y } } }<br /> \end {array}} \right| \ne 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt<br /> { \frac { { { \partial ^ 2 } f } } { { \partial { C ^ 2 } } } \ne 0 . } $$