معادله خط در فضا — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره معادله خط در صفحه بحث کردیم. در این آموزش با معادله خط در فضا (فضای سه‌بعدی $${\mathbb{R}^3}$$) آشنا می‌شویم. همان‌گونه که می‌دانیم، معادله $$y = m x + b$$ یک خط را در $${\mathbb{R}^3}$$ توصیف نمی‌کند و در واقع، معادله خط در یک صفحه است. البته این بدین معنی نیست که نتوانیم معادله این خط را در فضای سه‌بعدی بنویسیم.

فرم‌های مختلف معادله خط در فضا

برای نوشتن معادلات خط در فضای سه‌بعدی ابتدا باید با توابع برداری آشنا شویم. این کار را با یک مثال انجام می‌دهیم. تابع برداری زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \overrightarrow r \left ( t \right ) = \left \langle { t , 1 } \right \rangle$$

تابع برداری تابعی است که یک یا چند متغیر را می‌گیرد و یک بردار را نتیجه می‌دهد. دقت کنید که یک تابع برداری می‌تواند تابعی از دو یا چند متغیر باشد. البته در چنین حالت‌هایی ممکن است تابع یک منحنی در فضا را نشان ندهد. برداری که تابع ارائه می‌دهد می‌تواند یک بردار با هر بعدی باشد که ما به آن نیاز داریم. در مثال بالا، تابع یک بردار را در فضای $${\mathbb{R}^2}$$ نشان می‌دهد.

اکنون می‌خواهیم منحنی تابع برداری بالا را تعیین کنیم. برای یافتن منحنی تابع فرض می‌کنیم تابع برداری بردار موقعیت یک نقطه روی منحنی را مشخص می‌کند. بردار $$\overrightarrow v = \left\langle {a,b} \right\rangle$$ برداری است که از مبدأ مختصات شروع شده و انتهای آن نقطه $$( a , b )$$ است.

بنابراین، برای به دست آوردن نمودار یک تابع برداری، تمام چیزی که نیاز داریم، این است که مقادیر مختلف متغیر را قرار داده و سپس نقطه متناظر با آن را که بردار نتیجه می‌دهد، رسم کنیم. برای مثالی که گفتیم، داریم:

$$\large \overrightarrow r \left ( { - 3 } \right) = \left\langle { - 3,1} \right\rangle \quad \overrightarrow r \left ( { - 1 } \right ) = \left \langle { - 1 , 1 } \right \rangle \quad \overrightarrow r \left ( 2 \right ) = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle \quad \overrightarrow r \left ( 5 \right ) = \left \langle { 5 , 1 } \right \rangle$$

بنابراین، هرکدام از این بردارهای موقعیت نقاطی را روی منحنی تابع برداری نشان می‌دهند. این نقاط به صورت زیر هستند:

$$\large \left ( { - 3 , 1} \right ) \quad \left ( { - 1 , 1 } \right ) \quad \left ( { 2 , 1 } \right ) \quad \left ( { 5 , 1 } \right )$$

اگر بخواهیم تعداد نقاط بیشتری را مشخص کنیم، به نموداری مشابه شکل زیر می‌رسیم.

اکنون مثال دیگر $$\overrightarrow r\left( t \right) = \left\langle {6\cos t,3\sin t} \right\rangle$$ را در نظر بگیرید. منحنی این تابع برداری یک بیضی مطابق شکل زیر است.

در فضای $${\mathbb{R}^3}$$ نیز مانند فضای دوبعدی به شیب خط نیاز داریم، با این تفاوت که در اینجا شیب یک عدد ساده مانند آنچه در فضای دوبعدی بود، نیست. در اینجا باید بدانیم که خط می‌تواند یک شیب سه‌بعدی داشته باشد. بنابراین، لازم است یک جهت تعریف کنیم که اساساً سه‌بعدی است.

فرض کنید نقطه $${P_0} = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$$ روی خط را می‌دانیم و بردار $$\overrightarrow v = \left\langle {a,b,c} \right\rangle$$ برداری موازی خط مورد نظر است. نیازی نیست $$\overrightarrow { v }$$ روی خود خط باشد و فقط لازم است $$\overrightarrow { v }$$ موازی با خط قرار گیرد. در نهایت، $$P = \left( {x,y,z} \right)$$ را به عنوان یک نقطه دلخواه روی خط در نظر می‌گیریم.

اکنون از آنجا که شیب یک بردار است، دو نقطه روی خط را به عنوان یک بردار نشان می‌دهیم. بنابراین، $$\overrightarrow {r _ 0 }$$ و $$\overrightarrow {r  }$$ را به ترتیب، به عنوان بردارهای موقعیت برای $$P _ 0$$ و $$P$$ در نظر می‌گیریم. همچنین، $$\overrightarrow {a }$$ بردار نشان دهنده $$\overrightarrow {P_0P}$$ است.

شکل زیر نقاط و بردارها را نشان می‌دهد.

بردای $$\overrightarrow { r }$$ را به صورت زیر می‌نویسم:

$$\large \overrightarrow r = \overrightarrow { { r _ 0 } } + \overrightarrow a$$

بردارهای $$\overrightarrow a$$ و $$\overrightarrow v$$ موازی هستند. بنابراین، عدد $$t$$ به گونه‌ای وجود دارد که رابطه زیر برقرار باشد:‌

$$\large \overrightarrow a = t \, \overrightarrow v$$

بنابراین، داریم:

$$\large \overrightarrow r = \overrightarrow { { r _ 0 } } + t \, \overrightarrow v = \left \langle { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right \rangle + t \left \langle { a , b , c } \right \rangle$$

رابطه بالا فرم برداری معادله خط نامیده می‌شود. تنها بخش معلوم این معادله $$t$$ است. توجه کنید که $$t \overrightarrow { v }$$ برداری خواهد بود که در خط صدق می‌کند و مشخص می‌کند که چقدر از نقطه مبداء فاصله داریم. اگر $$t$$ مثبت باشد، از نقطه مبداء در جهت $$\overrightarrow { v }$$ دور شده‌ایم. به ازای تغییر $$t$$ برای همه مقادیر ممکن، خط به طور کامل پوشش داده می‌شود. شکل زیر این وابستگی به $$t$$ را نشان می‌دهد. چند فرم دیگر برای معادله یک خط وجود دارد. برای به دست آوردن اولین جایگزین، ابتدا با فرم برداری شروع می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \overrightarrow r & = \left \langle { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right \rangle + t \left \langle { a , b , c } \right \rangle \\ \left \langle { x , y , z } \right \rangle & = \left \langle { { x _ 0 } + t a , { y _ 0 } + t b , { z _ 0 } + t c } \right \rangle \end {align*}$$

تنها راه برای برابر بودن دو بردار، برابری مؤلفه‌های آن‌ها است. به عبارت دیگر، باید داشته باشیم:

$$\large \begin {align*} x & = { x _ 0 } + t a \\ y & = { y_ 0 } + t b \\ z & = { z _ 0 } + t c \end {align*}$$

این مجموعه معادلات فرم پارامتری معادله خط نامیده می‌شوند. دقت کنید که معادلات فوق چیزی جز گسترش معادلات پارامتری دوبعدی نیستند. تنها تفاوت این است که در اینجا به جای دو بعد با سه بعد سر و کار داریم.

برای به دست آوردن یک نقطه روی خط تنها چیزی که لازم است این است که مقدار $$t$$ را در هر فرم معادله قرار دهیم. همان‌طور که می‌دانیم، در فرم برداری خط، یک بردار موقعیت برای نقطه داریم و در فرم پارامتری آن مختصات واقعی نقطه را می‌دانیم.

یک فرم دیگر نیز برای بیان معادله خط وجود دارد که آن را بررسی می‌کنیم. اگر فرض کنیم $$a$$، $$b$$ و $$c$$ اعداد غیرصفری باشند، می‌توانیم هریک از معادلات پارامتری خط را برای $$t$$ حل کنیم. بدین منظور، همه مقادیر را برابر با یکدیگر قرار دهیم، زیرا $$t$$ در هریک از معادلات مقدار یکسانی است. با انجام این کار خواهیم داشت:

$$\large \frac { { x - { x _ 0 } } } { a } = \frac { { y - { y _ 0 } } } { b } = \frac { { z - { z _ 0 } } } { c }$$

این معادلات را معادلات متقارن خط می‌نامند.

اگر $$a$$، $$b$$ و $$c$$ صفر شوند، باز هم می‌توانیم معادلات متقارن را بنویسیم. برای بررسی این موضوع، فرض کنید $$b = 0$$ باشد. در این حالت، $$t$$ در معادله پارامتری برای $$y$$ وجود نخواهد داشت و بنابراین، معادلات پارامتری $$x$$ و $$z$$ را برای $$t$$ حل می‌کنیم. سپس، آن‌ها را برابر قرار داده و معادله پارامتری را برای $$y$$ به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \frac { { x - { x _ 0 } } } { a } = \frac { { z - { z _ 0 } } } { c } \hspace{0.25in} \hspace{0.25in} y = { y _ 0 }$$

مثال ۱

معادله خطی را بنویسید که از نقاط $$\left( {2, - 1,3} \right)$$ و $$\left( {1,4, - 3} \right)$$ عبور می‌کند. هر سه فرم معادله خط را بنویسید.

حل: برای انجام این کار به بردار $$\overrightarrow { v }$$ موازی با خط نیاز داریم. این بردار می‌تواند هر بردار موازی با خط باشد. به طور کلی، $$\overrightarrow { v }$$ می‌تواند در خود خط صدق نکند. هرچند در این حالت صدق خواهد کرد. تمام چیزی که نیاز داریم، بردار $$\overrightarrow v$$ است که از نقطه دوم شروع شده و در نقطه اول به پایان برسد. از آنجا که این دو نقطه روی خط هستند، بردار بین آن‌ها نیز در خط صدق می‌کند و در نتیجه، موازی با خط است. بنابراین:

$$\large \overrightarrow v = \left \langle { 1 , - 5 , 6 } \right \rangle$$

توجه کنید که ترتیب نقاط برای کاهش تعداد علامت‌های منها در بردار انتخاب شده است. برای استفاده از فرم برداری به یک نقطه روی خط نیاز داریم. دو نقطه داریم و می‌توانیم از هر کدام از آن‌ها استفاده کنیم. از نقطه اول استفاده می‌کنیم. فرم برداری خط به صورت زیر است:

$$\large \overrightarrow r = \left \langle { 2 , - 1 , 3 } \right \rangle + t \left \langle { 1 , - 5 , 6 } \right \rangle = \left \langle { 2 + t , - 1 - 5 t , 3 + 6 t } \right \rangle$$

با داشتن این فرم می‌توانیم دو فرم دیگر را نیز به دست آوریم. بنابراین، معادلات پارامتری خط به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} x & = 2 + t \\ y & = - 1 - 5 t \\ z & = 3 + 6 t \end {align*}$$

فرم متقارن نیز به شکل زیر خواهد بود:

$$\large \frac { { x - 2 } } { 1 } = \frac { { y + 1 } } { { - 5 } } = \frac { { z - 3 } } { 6 }$$

مثال ۲

آیا خطی که از $$\left( {0, - 3,8} \right)$$ عبور کند و موازی با خط $$x =  10 + 3 t$$، $$y = 12 t$$ و $$z = - 3 - t$$ باشد، از صفحه $$x z$$ عبور می‌کند؟ اگر جواب مثبت است، مختصات نقطه را به دست آورید.

حل: برای پاسخ به پرسش نخست، لازم است معادله خط را بنویسیم. می‌دانیم که یک نقطه روی خط قرار دارد و فقط لازم است یک بردار موازی به دست آوریم. همچنین می‌دانیم که خط جدید باید موازی با خطی باشد که معادلات پارامتری آن داده شده است. این بدین معنی است که هر برداری موازی با خط داده شده است، باید موازی با خط جدید نیز باشد.

دوباره تأکید می‌کنیم که در فرم پارامتری خط، اعدادی که در $$t$$ ضرب می‌شوند، مؤلفه‌هایی از بردار هستند که موازی با خط است. بنابراین، بردارِ

$$\large \overrightarrow v = \left \langle { 3 , 1 2 , - 1 } \right \rangle$$

موازی خط داده شده است و باید موازی خط جدید نیز باشد.

معادله خط جدید به صورت زیر است:

$$\large \overrightarrow r = \left \langle { 0 , - 3 , 8 } \right \rangle + t \left \langle { 3 , 1 2 , - 1 } \right \rangle = \left \langle { 3 t , - 3 + 1 2 t , 8 - t } \right \rangle$$

اگر خط از صفحه $$x z$$ عبور کند، مؤلفه $$y$$ آن باید صفر باشد. بنابراین، مؤلفه $$y$$ را برابر با صفر قرار داده و $$t$$ را به دست می‌آوریم:

$$\large - 3 + 1 2 t = 0 \hspace {0.5in} \Rightarrow \hspace {0.5in} t = \frac { 1 } { 4 }$$

در نتیجه، می‌توان گفت که خط از صفحه $$x z$$ می‌گذرد. برای به دست آوردن مختصات کامل نقطه باید $$t = \frac{1}{4}$$ را قرار داده و سایر مؤلفه‌های را به دست آوریم که در این صورت، داریم:

$$\large \overrightarrow r = \left \langle { 3 \left ( { \frac { 1 } { 4 } } \right ) , - 3 + 1 2 \left ( { \frac { 1 } { 4 } } \right ) , 8 - \frac { 1 } { 4 } } \right \rangle = \left \langle { \frac { 3 } { 4 } , 0 , \frac { { 3 1 } } { 4 } } \right \rangle$$

لازم به یادآوری است که بردار اخیر، بردار موقعیت نقطه روی خط را نشان می‌دهد و بنابراین، نقطه‌ای که خط از صفحه $$x z$$ می‌گذرد $$\left( {\frac{3}{4},0,\frac{{31}}{4}} \right)$$ است.

جمع‌بندی و فرمول‌های معادله خط در فضا

۱. جهت نقطه، معادله خط $${ \frac { { x – { x _ 1 } } } { a } \normalsize } = { \frac { { y – { y _ 1 } } } { b } \normalsize } = { \frac { { z – { z _ 1 } } } { c } \normalsize }$$ را شکل می‌دهد که در آن، نقطه $${P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$$ در خط راست صدق می‌کند و بردار $$\mathbf{s}\left( {a,b,c} \right)$$ بردار جهت خط است.

فیلم آموزش هندسه 3 – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

۲. دو نقطه معادله یک خط را تشکیل می‌دهند:

$${ \large \frac { { x – { x _ 1 } } } { { { x _ 2 } – { x _ 1 } } } \normalsize} = { \large \frac { { y – { y _ 1 } } } { { { y _ 2 } – { y _ 1 } } } \normalsize } = { \large \frac { { z – { z _ 1 } } } { { { z _ 2 } – { z _ 1 } } } \normalsize }$$

۳. معادله یک خط راست به فرم پارامتریِ

$$\large \left \{ \begin {aligned} x & = { x _ 1 } + t \cos \alpha \\ y & = { y _ 1 } + t \cos \beta \\ z & = { z _ 1 } + t \cos \gamma \end {aligned} \right .$$

است که در آن، $${P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$$ در خط صدق می‌کند و $$\cos \alpha$$، $$\cos \beta$$ و $$\cos \gamma$$ کسینوس‌های بردار جهت خط هستند و پارامتر $$t$$ می‌تواند هر عدد حقیقی باشد.

۴. زاویه بین دو خط راست به صورت زیر است:

$$\large \cos \varphi = { \large \frac { { { { s _ 1 } } \cdot { { s _ 2 } } } } { { \left | { { { s _ 1 } } } \right | \cdot \left | { { { s _ 2 } } } \right | } } \normalsize } = { \large \frac { { { a _ 1 } { a _ 2 } + { b _ 1 } { b _ 2 } + { c _ 1 } { c _ 2 } } } { { \sqrt { a _ 1 ^ 2 + b _ 1 ^ 2 + c _ 1 ^ 2 } \cdot \sqrt { a _ 2 ^ 2 + b _ 2 ^ 2 + c _ 2 ^ 2 } } } \normalsize }$$

که در آن، $${ \mathbf { s _ 1 } } \left ( { { a _ 1 } , { b _ 1 } , { c _ 1 } } \right )$$ و $${ \mathbf { s _ 2 } } \left ( { { a _ 2 } , { b _ 2 } , { c _ 2 } } \right )$$ بردارهای جهت خطوط هستند.

۵. دو خط موازی هستند، اگر بردارهای جهت $${ \mathbf { s  }_1 } \left ( { { a _ 1 } , { b_ 1} , { c _ 1 } } \right )$$ و $${ \mathbf { s } _2} \left ( { { a _ 2 } , { b _ 2 } , { c _ 2 } } \right )$$ همراستا باشند:

$$\large {\mathbf{s}_1}\parallel {\mathbf{s}_2}$$   یا  $${ \large \frac { { { a _ 1 } } } { { {a _ 2 } } } \normalsize } = { \large \frac { { { b _ 1 } } } { { { b _ 2 } } } \normalsize } = { \large \frac { { { c _ 1 } } } { { { c _ 2 } } } \normalsize }$$

۶. دو خط بر هم عمود هستند، اگر ضرب نقطه‌ای بردارهای جهت $${\mathbf{s}_1}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)$$ و $${\mathbf{s}_2}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)$$ آن‌ها برابر با صفر باشد:

$$\large {\mathbf{s}_1} \cdot {\mathbf{s}_2} = 0$$   یا  $$\large { a _ 1 } { a _ 2 } +{ b _ 1 } { b _ 2 }+ { c _ 1 }{ c _ 2 } = 0$$

۷. دو خط $${ \frac { { x – { x _ 1 } } } { { { a _ 1 } } } \normalsize } = { \frac { { y – { y _ 1 } } } {{ { b _ 1 } } } \normalsize } = { \frac { { z – { z _ 1 } } } { { { c _ 1 } } } \normalsize }$$ و $${ \frac { { x – { x _ 2 } } } { { { a _ 2 } } } \normalsize } = { \frac { { y – { y _ 2 } } } { { { b _ 2 } } } \normalsize } = { \frac { { z – { z _ 2 } } } { { { c _ 2 } } } \normalsize }$$ با هم تقاطع دارند، اگر شرط زیر برقرار باشد:

$$ \large \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { x _ 2 } – { x _ 1 } } & { { y _ 2 } – { y _ 1 } } & { { z _ 2 } – { z _ 1 } } \\<br /> { { a _ 1 } } & { { b _ 1 } } & { { c _ 1 } } \\<br /> { { a _ 2 } } & { { b _ 2 } } & { { c _ 2 } }<br /> \end {array} } \right | = 0 . $$

۸. خط راست $${ \frac { { x – { x _ 1 } } } { { a } } \normalsize } = { \frac { { y – { y _ 1 } } } { { b } } \normalsize } = { \frac { { z – { z _ 1 } } } { { c } } \normalsize }$$ و صفحه $$A x + B y + C z + D = 0$$ موازی هستند، اگر $$\mathbf { n } \cdot \mathbf { s } = 0$$ یا $$A a + B b + C c = 0$$.

۹. خط راست $${ \frac { { x – { x _ 1 } } } { { a } } \normalsize } = { \frac { { y – { y _ 1 } } } { { b } } \normalsize } = { \frac { { z – { z _ 1 } } } { { c } } \normalsize }$$ و صفحه $$A x + B y + C z + D = 0$$ بر هم عمود هستند، اگر $$\mathbf{n}\parallel \mathbf{s}$$ یا $${ \frac { A } { a } \normalsize } = { \frac { B } { b } \normalsize } = { \frac { C } { c } \normalsize }$$.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• توابع صعودی و نزولی — به زبان ساده
• مجانب تابع — به زبان ساده
• توابع محدب و مقعر — از صفر تا صد

^^