مساحت مکعب مستطیل و محاسبه آن | به زبان ساده

مکعب مستطیل یکی از احجام هندسی است که در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با آن آشنا شدیم. همچینن روش محاسبه حجم مکعب مستطیل را بیان کردیم. در این آموزش روش محاسبه مساحت مکعب مستطیل را فرا می‌گیریم.

مکعب مستطیل و ویژگی‌های آن

«مکعب مستطیل» (Cuboid) یک شکل هندسی سه‌بعدی است که شش رویه یا وجه مستطیل شکل دارد.

همه زوایای مکعب مستطیل قائمه هستند. مکعب مربع یا همان مکعب، حالت خاصی از مکعب مستطیل است.

ویژگی‌های مکعب مستطیل به شرح زیر است:

• مکعب مستطیل دارای ۸ رأس، ۱۲ ضلع و ۶ وجه است.
• تمام وجه‌های روبه‌رو در مکعب مستطیل برابر هستند.
• مکعب مستطیل دارای مقاطع مستطیلی است.

فرمول مساحت مکعب مستطیل

مکعب مستطیل شکل زیر را در نظر بگیرید که طول، عرض و ارتفاع آن مشخص شده است.

فیلم آموزش محاسبه مساحت مستطیل (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

از آنجا که وجه‌های روبه‌رو یکسان هستند، مساحت مکعب مستطیل را می‌توان به صورت زیر نوشت:

[ (ارتفاع× طول) + (عرض × ارتفاع) + (عرض × طول) ] × ۲ = مساحت مکعب مستطیل

در واقع، اگر مکعب مستطیل را باز کنیم، شش مستطیل خواهیم داشت که دو به دو با هم برابر هستند و مساحت سطح مکعب مستطیل، برابر با مجموع مساحت این مستطیل‌ها است. اگر طول را با $$l$$، عرض را با $$w$$ و ارتفاع را با $$h$$ نشان دهیم، شکل باز شده مکعب مستطیل و فرمول مساحت آن را می‌توان به صورت زیر نشان داد و بیان کرد.

مساحت مکعب مستطیل برابر با مجموع مساحت قاعده‌ها و مساحت جانبی مکعب مستطیل است.

فرمول مساحت مکعب مربع

همان‌طور که پیش‌تر گفتیم، اگر طول، عرض و ارتفاع مکعب مستطیل با هم برابر باشند، به آن مکعب مربع یا به طور خلاصه، مکعب می‌گوییم.

اگر فرض کنیم $$l = w = h = a$$، مساحت مکعب مربع برابر به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

$$\large \begin {align*} A & = 2 ( w l + l h + h w ) = 2 ( a \cdot a + a \cdot a + a \cdot a ) \\ & = 2 (a^2+a^2+a^2) = 2 (3a^2) = 6 a ^ 2 \end {align*}$$

بنابراین، مساحت مکعبی به اضلاع $$a$$، برابر با $$6a^2$$ خواهد بود.

مثال‌های محاسبه مساحت مکعب مستطیل

مثال ۱: عرض، طول و ارتفاع یک مکعب مستطیل، به ترتیب، $$30$$، $$15$$ و $$20$$ سانتی‌متر است. مساحت مکعب مستطیل را به دست آورید.

حل: با استفاده از فرمولی که در بالا معرفی کردیم، به سادگی می‌توانیم مساحت مکعب مستطیل را محاسبه کنیم.

$$\large \begin {align*} A & = 2 ( w l + l h + h w ) = 2 ( 30 \cdot 15 + 15 \cdot 20 + 20 \cdot 30 ) \\ & = 2 (450+300+600) = 2 (1350) = 2700 \; \text{cm}^ 2 \end {align*}$$

مثال ۲: جعبه‌ای مکعبی شکل داریم که طول هر یک از اضلاع آن برابر با $$45\; \text{cm}$$ مربع است. مساحت سطوح این جعبه را به دست آورید.

حل: با توجه به اینکه اضلاع جعبه برابرند، یک مکعب داریم. اگر طول هر ضلع $$a$$ باشد، مساحت مکعب مربع برابر با $$6 a ^ 2$$ خواهد بود. بنابراین، مساحت سطوح جعبه برابر است با:

$$\large \begin {align*} A & = 6 a ^ 2 = 6 ( 4 5 ) ^ 2 = 6 ( 2025) = 12150 \; \text{cm}^ 2 \end {align*}$$

مثال ۳: حجم و مساحت مکعب مستطیل شکل زیر را بیابید.

حل:‌ همان‌طور که می‌دانیم، حجم مکعب مستطیل از حاصل‌ضرب اضلاع آن به دست می‌آید:

$$\large V = l w h =\mathrm{ 1 4 } \cdot 9 \cdot 1 7 =2,142$$

طبق آنچه در این آموزش فرا گرفتیم، مساحت مکعب مستطیل نیز به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

$$\large \begin {align*} A & = 2 l h +2 l w + 2 w h \\& = 2 \left ( 1 4 \times 1 7 \right ) + 2 \left ( 1 4 \times 9 \right ) + 2 \left ( 9 \times 1 7 \right ) \\ & = 1,034 \end {align*}$$