محاسبه مساحت ذوزنقه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با مساحت شکل‌هایی مانند، دایره، مستطیل، مثلث و لوزی آشنا شدیم. در این مطلب، به آموزش روش محاسبه مساحت ذوزنقه می‌پردازیم. برای این کار، چندین مثال از محاسبه مساحت شکل‌های ذوزنقه‌ای در دنیای واقعی را حل می‌کنیم.

«ذوزنقه» (Trapezoid) از دو بخش «ذو» و «زنقه» تشکیل شده است. «ذو» به معنای صاحب و دارنده است و «زنق» به معنی انحراف. بنابراین معنی تحت‌الفظی ذوزنقه «دارای انحراف» است. دلیل آن هم این است که در این شکل هندسی فقط دو ضلع موازی هستند و دو ضلع دیگر انحراف دارند. در این آموزش روش محاسبه مساحت ذوزنقه را یاد می‌گیریم.

محاسبه مساحت ذوزنقه با قاعده‌ها و ارتفاع

قبل از بیان فرمول مساحت ذوزنقه، بهتر است چند اصطلاح مربوط این شکل را بیان کنیم و با آن‌ها آشنا شویم.

فیلم آموزش محاسبه مساحت ذوزنقه (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

به شکل زیر توجه کنید.

برای یافتن مساحت هر ذوزنقه، برای سادگی ابتدا قاعده‌ها و ارتفاع آن را مشخص می‌کنیم. معمولاً ارتفاع را با $$h$$، قاعده کوچک را با $$b$$ و قاعده بزرگ‌تر را با $$a$$ نشان می‌دهیم. البته از هر نماد دلخواه دیگری نیز می‌توانید استفاده کنید. فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه به شکل زیر است:

به عبارت دیگر، مساحت ذوزنقه، برابر با یک دوم مجموع دو قاعده ضرب در ارتفاع است. از آنجا که در محاسبه مساحت به اندازه ساق‌ها نیاز نداریم، آن‌ها را نامگذاری نکرده‌ایم. البته گاهی ممکن است اندازه ساق‌ها و قاعده‌ها را بدهند و از ما مساحت را بخواهند. در ادامه، این حالت را نیز بررسی می‌کنیم.

مثال اول: محاسبه مساحت شکل ذوزنقه ای

اگر به اطراف به دقت خود نگاه کنید، اجسامی را می‌بینید که شکل آن‌ها مشابه ذوزنقه است. به عنوان مثال، تصویر زیر، نگهدارنده جای دستمال کاغذی مورد استفاده ما در مجله فرادرس را نمایش می‌دهد.

سطح جلویی جای دستمال کاغذی، شباهت زیادی به شکل ذوزنقه دارد. در تصویر زیر، این شکل را مشخص کرده‌ایم.

با استفاده از خط‌کش، اندازه قاعده‌ها و ارتفاع ذوزنقه را به دست آوردیم. تصویر زیر، مقادیر تقریبی این اندازه‌ها را نمایش می‌دهد.

می‌خواهیم مساحت ذوزنقه بالا را محاسبه کنیم. به این منظور، ابتدا فرمول مساحت ذوزنقه را می‌نویسیم:

ارتفاع × (نصف مجموع قاعده‌ها) = مساحت ذوزنقه

قاعده‌های ذوزنقه برابر با ۲۰ و ۲۶ سانتی‌متر هستند. نصف مجموع این مقادیر برابر است با:

$$\frac { ۲۰ + ۲۶ } { ۲ } = \frac { ۴۶ } { ۲ } = ۲۳$$

اندازه ارتفاع ذوزنقه برابر با ۸ سانتی‌متر است. به این ترتیب، داریم:

۱۸۴ = ۸ × ۲۳ = مساحت ذوزنقه

در نتیجه، مساحت ذوزنقه برابر با ۱۸۴ سانتی‌متر مربع است. رابطه جبری محاسبات بالا به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A = \frac { a + b } { ۲ } \times h$$

• $$A$$: مساحت ذوزنقه
• $$a$$: قاعده کوچک ذوزنقه برابر با ۲۰ سانتی‌متر
• $$b$$: قاعده بزرگ ذوزنقه برابر با ۲۶ سانتی‌متر
• $$h$$: ارتفاع ذوزنقه برابر با ۸ سانتی‌متر

$$A = \frac { ۲۰ + ۲۶ } { ۲ } \times ۸$$

$$A = \frac { ۴۶ } { ۲ } \times ۸$$

$$A = ۲۳ \times ۸ = ۱۸۴ cm ^ ۲$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

مثال دوم: محاسبه مساحت برگه ذوزنقه ای دفترچه یادداشت

یک دفترچه یادداشت، مانند دفترچه یادداشت فرادرس در شکل زیر را در نظر بگیرید.

برگه‌های دفترچه یادداشت به شکل مستطیل هستند اما اگر گوشه یکی از برگه‌ها را به صورت زیر تا بزنیم، شکل ذوزنقه (ذوزنقه قائم‌الزاویه) به وجود می‌آید.

در تصویر زیر، این ذوزنقه را مشخص کرده‌ایم. دفترچه یادداشت‌های کوچک، معمولا دارای ابعاد یک کاغذ A6 هستند. طول ضلع‌ها را با خط‌کش اندازه گرفتیم و مقدار تقریبی آن‌ها را در کنارشان نوشته‌ایم. این مقادیر بر حسب میلی‌متر هستند.

می‌خواهیم مساحت ذوزنقه تشکیل شده از تا زدن یک برگه دفترچه یادداشت فرادرس را به دست بیاوریم. برای این کار، ابتدا فرمول مساحت ذوزنقه را می‌نویسیم:

ارتفاع × (نصف مجموع قاعده‌ها) = مساحت ذوزنقه

اندازه قاعده‌ها را داریم. به این ترتیب، باید اندازه ارتفاع را مشخص کنیم. به دلیل قائم‌الزاویه بودن ذوزنقه، ضلع قائم بر قاعده‌ها، همان ارتفاع ذوزنقه خواهد بود. به این ترتیب، داریم:

$$\frac { ۵۰ + ۱۵۰ } { ۲ } = \frac { ۲۰۰ } { ۲ } = ۱۰۰$$ = نصف مجموع قاعده‌ها

۱۰۰ = ارتفاع

۱۰۰ × ۱۰۰ = مساحت ذوزنقه

۱۰۰۰۰ = مساحت ذوزنقه

در نتیجه، مساحت ذوزنقه تشکیل شده از تا زدن یک برگه دفترچه یادداشت فرادرس برابر با ۱۰۰۰۰ (ده‌هزار) میلی‌متر مربع است. روند محاسبه جبری این مساحت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A = \frac { a + b } { ۲ } \times h$$

• $$A$$: مساحت ذوزنقه
• $$a$$: قاعده کوچک ذوزنقه برابر با ۵۰ سانتی‌متر
• $$b$$: قاعده بزرگ ذوزنقه برابر با ۱۵۰ سانتی‌متر
• $$h$$: ارتفاع ذوزنقه برابر با ۱۰۰ سانتی‌متر

$$A = \frac { ۵۰ + ۱۵۰ } { ۲ } \times ۱۰۰$$

$$A = \frac { ۲۰۰ } { ۲ } \times ۱۰۰$$

$$A = ۱۰۰ \times ۱۰۰ = ۱۰۰۰۰ mm ^ ۲$$

محاسبه مساحت ذوزنقه با داشتن اضلاع

اکنون، فرض کنید تنها اضلاع ذوزنقه را در اختیار داریم و ارتفاع آن در اختیارمان قرار نگرفته است. می‌خواهیم مساحت ذوزنقه را به دست آوریم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

در این صورت، چیزی که برای محاسبه مساحت ذوزنقه لازم است، ارتفاع آن است که باید با استفاده از قضیه فیثاغورس به دست آوریدم که در مطالب قبلی مجله فرادرس به آن اشاره کردیم.

مثال سوم: محاسبه مساحت سطح ذوزنقه ای کیبورد

اغلب صفحه‌کلیدهای کامپیوتری، به شکل مستطیل هستند اما برخی از صفحه کلیدها، به شکل ذوزنقه‌ای ساخته می‌شوند. به عنوان مثال، صفحه‌کلید مورد استفاده ما در مجله فرادرس را در نظر بگیرید.

سطح صفحه‌کلید ما، شبیه به یک ذوزنقه متساوی‌الساقین است.

ما ابعاد ضلع‌های صفحه‌کلید خود را با خط‌کش اندازه گرفتیم و به مقادیر تقریبی زیر رسیدیم:

• قاعده بزرگ (ضلع بالا): ۵۰ سانتی‌متر
• قاعده کوچک (ضلع پایین): ۴۵ سانتی‌متر
• ساق‌ها (دو ضلع کناری): ۱۵ سانتی‌متر

ساختار کلی سطح ذوزنقه‌ای شکل صفحه‌کلید در نمای دید از بالا به صورت زیر است.

می‌خواهیم مساحت سطح روی صفحه‌کلید را فقط با استفاده از اندازه ضلع‌ها محاسبه کنیم. به این منظور، فرمول مساحت ذوزنقه را می‌نویسیم تا ببینیم کدام مقادیر معلوم و کدام مجهول هستند.

ارتفاع × (نصف مجموع قاعده‌ها) = مساحت ذوزنقه

اندازه قاعده‌ها معلوم بوده و اندازه ارتفاع مجهول است. برای تعیین ارتفاع، از رابطه فیثاغورس کمک می‌گیریم.

با توجه به مقادیر نمایش داده شده در تصویر بالا و رابطه فیثاغورس، داریم:

$$\sqrt { ۱۵ ^ ۲ - ۲/۵ ^ ۲}$$ = اندازه ارتفاع

$$\sqrt { ۲۲۵ - ۶/۲۵} = \sqrt { ۲۱۸/۷۵} \approx ۱۴/۷۹$$ = اندازه ارتفاع

با استفاده از روش جذر گرفتن سریع، اندازه ارتفاع ذوزنقه را تقریبا برابر با ۱۴/۷۹ سانتی‌متر به دست آوردیم. اکنون می‌توانیم از این اندازه برای محاسبه مساحت سطح صفحه‌کلید استفاده کنیم.

ارتفاع × (نصف مجموع قاعده‌ها) = مساحت ذوزنقه

$$\frac { ۴۵ + ۵۰ } { ۲ } = \frac { ۹۵ } { ۲ } = ۴۷/۵$$ = نصف مجموع قاعده‌ها

۱۴/۷۹ = ارتفاع

۱۴/۷۹ × ۴۷/۵ = مساحت ذوزنقه

۷۰۲/۵۲۵ = مساحت ذوزنقه

در نتیجه، مساحت سطح صفحه‌کلید ما در مجله فرادرس، حدود برابر با ۷۰۲/۵۲۵ سانتی‌متر مربع است. فرآیند حل این مثال به صورت جبری را در ادامه آورده‌ایم:

$$A = \frac { a + b } { ۲ } \times h$$

• $$A$$: مساحت ذوزنقه
• $$a$$: قاعده کوچک ذوزنقه برابر با ۴۵ سانتی‌متر
• $$b$$: قاعده بزرگ ذوزنقه برابر با ۵۰ سانتی‌متر
• $$h$$: ارتفاع ذوزنقه (مجهول)

$$c ^ ۲ = d ^ ۲ + h ^ ۲$$

• $$c$$: وتر مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۱۵ سانتی‌متر
• $$d$$: نصف اختلاف طول قاعده‌ها برابر با ۲/۵ سانتی‌متر ($$\frac { 50 - 45 } { 2 }$$)
• $$h$$: ارتفاع ذوزنقه

$$h ^ ۲ = c ^ ۲ - d ^ ۲$$

$$h ^ ۲ = ۱۵ ^ ۲ - ۲/۵ ^ ۲$$

$$h ^ ۲ = ۲۲۵ - ۶/۲۵$$

$$h ^ ۲ = ۲۱۸/۷۵$$

$$h = \sqrt { ۲۱۸/۷۵ }$$

$$h \approx ۱۴/۷۹$$

$$A = \frac { ۴۵ + ۵۰ } { ۲ } \times ۱۴/۷۹$$

$$A = \frac { ۹۵ } { ۲ } \times ۱۴/۷۹$$

$$A = ۴۷/۵ \times ۱۴/۷۹$$

$$A = ۷۰۲/۵۲۵$$

آزمون سنجش یادگیری مساحت ذوزنقه

در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث مساحت ذوزنقه را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

مساحت ذوزنقه زیر چند است؟

52/5 سانتی‌متر

56 سانتی‌متر

52/5 سانتی‌متر مربع

56 سانتی‌متر مربع

مشاهده گزینه صحیح

پاسخ تشریحی

مساحت ذوزنقه، با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h$$

• S: مساحت ذوزنقه
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه
• h: ارتفاع ذوزنقه (فاصله عمودی بین دو قاعده)

این فرمول به صورت «یک‌دوم مجموع قاعده‌ها ضرب در ارتفاع» بیان می‌شود. با توجه به سوال داریم:

$$S = ?$$

$$a = 3/5$$

$$b = 10/5$$

$$h = 7/5$$

با قرار دادن پارامترهای معلوم در فرمول، مساحت ذوزنقه به دست می‌آید:

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( 3/5 + 10/5 ) ( 7/5 )$$

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( 14 ) ( 7/5 )$$

$$S = ( 7 ) ( 7/5 )$$

$$S = 52/5$$

اندازه ضلع‌های ذوزنقه بر حسب سانتی‌متر بیان شده است. بنابراین، مساحت آن برابر با 52/5 سانتی‌متر مربع است.

 

کدامیک از گزینه‌ها، مساحت ذوزنقه زیر را نمایش می‌دهد؟ (یکای اعداد، متر است.)

104 متر مربع

78 متر مربع

65 متر مربع

40 متر مربع

مشاهده گزینه صحیح

پاسخ تشریحی

بر ساس فرمول مساحت ذوزنقه، داریم:

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h$$

• S: مساحت ذوزنقه
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه برابر با 18
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه برابر با 8
• h: ارتفاع ذوزنقه (فاصله عمودی بین دو قاعده) برابر با 5

اعداد معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( 18 + 8 ) ( 5 ) = \frac { 1 } { 2 } ( 26 ) ( 5 ) = 13 \times 5 = 65$$

مساحت ذوزنقه، 65 متر مربع است.

 

مساحت ذوزنقه‌ای به ارتفاه 5 واحد طول و قاعده‌های 7 و 9 واحد طول، چند است؟

20

80

60

40

مشاهده گزینه صحیح

پاسخ تشریحی

مساحت ذوزنقه، نصف مجموع قاعده‌های آن ضرب در ارتفاع آن است. بنابراین، برای ذوزنقه مورد سوال، داریم:

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( 7 + 9 ) ( 5 )$$

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( 16 ) ( 5 )$$

$$S = 8 \times 5$$

$$S = 40$$

در نتیجه، مساحت ذوزنقه، 40 واحد طول مربع است.

 

اگر اندازه یکی از قاعده‌های یک ذوزنقه برابر با 8 واحد طول، ارتفاع آن برابر با 12 واحد طول و مساحت آن برابر با 108 واحد طول مربع باشد، اندازه قاعده دیگر ذوزنقه چقدر خواهد بود؟

10

20

5

اطلاعات مسئله کامل نیست.

مشاهده گزینه صحیح

پاسخ تشریحی

برای به دست آوردن اندازه قاعده ذوزنقه از روی اندازه قاعده دیگر، ارتفاع و مساحت، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h$$

• S: مساحت ذوزنقه برابر با 108
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه برابر با 8
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه
• h: ارتفاع ذوزنقه (فاصله عمودی بین دو قاعده) برابر با 12

مقادیر معلوم را درون فرمول می‌گذاریم:

$$108 = \frac { 1 } { 2 } ( 8 + b ) 12$$

$$108 = ( 8 + b ) 6$$

$$( 8 + b ) = \frac { 108 } { 6 }$$

$$( 8 + b ) = 18$$

$$b = 18 - 8$$

$$b = 10$$

اندازه قاعده دیگر ذوزنقه برابر با 10 واحد طول است.

 

طول ساق‌های یک ذوزنقه متساوی‌الساقین برابر با 8 واحد طول و طول قاعده‌های آن برابر با 13 و 17 واحد طول است. کدامیک از گزینه‌های زیر، مساحت این ذوزنقه را نمایش می‌دهد؟

$$\sqrt { 60 }$$

$$15 \sqrt { 60 }$$

$$30 \sqrt { 60 }$$

$$15 \sqrt { 15 }$$

مشاهده گزینه صحیح

پاسخ تشریحی

مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

ورود / ثبت‌نام