دنباله فیبوناچی چیست؟ — اعداد فیبوناچی، الگوی فیبوناچی
در ریاضیات، دنبالهها و رفتار آنها بسیار مورد توجه قرار گرفته است. بخصوص دنبالهها و سریهایی که در طبیعت نیز به وضوح دیده میشوند. یکی از این سریها، دنباله فیبوناچی است که در بسیاری از تناسبها (مثل اعداد طلایی) دیده میشود. در این متن از سری مطالب ریاضی مجله فرادرس میخواهیم بدانیم که دنباله فیبوناچی چیست ؟ اعداد فیبوناچی، الگوی فیبوناچی هر یک به چه معنی است و به چه کار میآیند.
برای آشنایی بیشتر با مباحث به کار رفته در این متن بهتر است مطالب دیگری از مجله فرادرس با عنوان الگوها و دنباله های متداول عددی — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد و آموزش فیبوناچی در تحلیل تکنیکال بورس | به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.
دنباله فیبوناچی چیست ؟
اعداد فیبوناچی برای ایجاد شاخصهای فنی با استفاده از توالی ریاضی ساخته و توسط ریاضیدان ایتالیایی، «لئونارد پیزانو بوگولو» (Leonardo Pisano Bogollo) در ابتدای قرن سیزدهم معرفی شد. البته نام خانوادگی او در سالهای بعد به «فیبوناچی» (Fibonacci) تغییر یافت. در واقع فیبوناچی لقب وی به معنی «پسر بوناچی» بوده است. فیبوناچی علاوه بر شهرتی که به خاطر دنباله فیبوناچی دارد، به علت گسترش اعداد هندی – عربی (همان اعداد معمول در ریاضی امروزی 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) نیز مشهور شده است.
روز 23 نوامبر (2 آذر) به نام روز فیبوناچی نامگذاری شده است. چرا که این روز در تقویم میلادی به صورت 11/23 نشان داده میشود که ابتدای دنباله فیبوناچی است.
نکته: باید اشاره کنیم که فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده است و این دنباله صدها سال پیش از وی در هند شناخته شده و به کار میرفت.
توالی اعداد در سری یا دنباله فیبوناچی، با صفر و یک شروع میشود، با جمع کردن دو عدد قبلی در هر گام، یک عدد دیگر از این دنباله ایجاد خواهد شد. به عنوان مثال، قسمت اولیه دنباله 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377 و غیره است. همانطور که میبینید از سمت راست به چپ، جمع هر دو عدد متوالی، عدد بعدی را ساخته است. این توالی را میتوان به نسبتهایی تقسیم کرد که برخی معتقدند سرنخی را درباره مکان حرکت یک بازار مالی مشخص ارائه میدهد. در مورد این موضوع در ادامه متن صحبت خواهیم کرد.
نکته: جالب است که بدانید، دنباله فیبوناچی ابتدا برای مشخص کردن جمعیت خرگوشها به کار رفت. لئونارد پیزانو، قصد داشت بداند در پایان یک سال با داشتن یک زوج خرگوش، چند خرگوش زاد و ولد کرده و تعدادشان به چه عددی میرسد.
اعداد فیبوناچی
اگر بخواهیم این دنباله را به بیان ریاضی نمایش دهیم، از رابطههای زیر کمک خواهیم گرفت. در اینجا عدد فیبوناچی در گام یا مرحله ام است.
به این ترتیب اگر مقدار را از صفر آغاز کنیم، دنباله یا سری فیبوناچی تولید خواهد شد.
نکته: در دنبالهای که شخص فیبوناچی ابداع کرد، از مقدار ۱ آغاز میشود و داریم .
براساس رابطههای گفته شده میتوانیم ۲۱ عدد ابتدایی دنباله فیبوناچی را به صورت زیر در نظر بگیریم.
F0 | 0 | F11 | 89 |
F1 | 1 | F12 | 144 |
F2 | 1 | F13 | 233 |
F3 | 2 | F14 | 377 |
F4 | 3 | F15 | 610 |
F5 | 5 | F16 | 987 |
F6 | 8 | F17 | 1597 |
F7 | 13 | F18 | 2584 |
F8 | 21 | F19 | 4181 |
F9 | 34 | F20 | 6765 |
F10 | 55 |
در تصویر زیر نمایش میزان رشد اعداد فیبوناچی را مشاهده میکنید. این نمودار را به سادگی در اکسل میتوانید ترسیم کنید.
همین دنباله را میتوان برای اعداد منفی نیز ساخت. در این صورت رابطه بین مقادیر این دنباله به صورت زیر خواهد بود.
به این ترتیب دنبالهای به شکل زیر خواهیم داشت.
F−8 | −21 | F0 | 0 |
F−7 | 13 | F1 | 1 |
F−6 | −8 | F2 | 1 |
F−5 | 5 | F3 | 2 |
F−4 | −3 | F4 | 3 |
F−3 | 2 | F5 | 5 |
F−2 | −1 | F6 | 8 |
F−1 | 1 | F7 | 13 |
— | — | F8 | 21 |
این بار نمودار مربوط به این دادهها را ترسیم کرده و با شکل قبلی مقایسه میکنیم.
به خوبی تناوب یا تغییر مقادیر مثبت به منفی در مجموعه مقادیر منفی دنباله فیبوناچی دیده میشود. ولی برای اعداد مثبت در دنباله فیبوناچی، تناوب وجود ندارد.
به این ترتیب مشخص شد که اعداد فیبوناچی چیست و الگوی فیبوناچی به چه شکلی است. در ادامه در مورد نسبت طلایی حاصل از همگرایی نسبت اعداد فیبوناچی صحبت خواهیم کرد و در انتها نیز یکی از کاربردهای این نسبت طلایی و اعداد الگوی فیبوناچی را در بازارهای مالی و بخصوص بورس مورد بررسی قرار میدهیم.
نسبت طلایی و الگوی فیبوناچی
دنباله فیبوناچی به دلیل آن که یک نسبت خاص بین اعداد متوالی آن وجود دارد، اهمیت زیادی پیدا کرده است. این نسبت که به نام نسبت اعداد طلایی نیز شناخته میشود برابر است با 1٫618. واضح است که این نسبت از تقسیم عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر در دنباله فیبوناچی بدست میآید.
برای مثال دو عدد متوالی (به جز صفر) را در نظر بگیرید. در اینجا ۵ و ۸ را مثال میزنیم. نسبت یا تقسیم ۸ بر ۵ برابر است با تقریبا ۱٫۶۱۸ با سه رقم اعشار. البته این عدد یک عدد گویا نیست و باید آن را از جمله مقادیر گنگ یا اصم در نظر گرفت. نکته جالب این است که این عدد اصم یا نسبت طلایی، براساس اعداد صحیح یا طبیعی ساخته شده است. به نتیجه تقسیم و بدست آمدن اعداد طلایی بعدی در ادامه توجه کنید.
سلام.عالی و کاربردی .با ارزوی توفیق روزافزون.منتظر امزش های بعدی شما هستم.با تشکرو احترام فراوان
ممنون از شما
سلام
وقت بخیر
در همه جا نوشته که نسبت طلایی برابر است با ۱.۶۱۸۰۳۳ و… اما کتابی را مطالعه میکنم که تاکید دارد نسبت طلایی برابر است با ۰.۶۱۸ ، بالاخره ۱.۶۱۸ است یا ۰.۶۱۸ ؟
در قسمتی هم میگوید اگر عدد ۰.۶۱۸ را در هر یک از اعداد ضرب کنید، عدد ماقبل را بدست میآورید در صورتی که اکثر حاصل بدست آمده تقریبا نزدیک است به عدد ماقبل و دقیقا خود آن عدد نیست. مثلا ۱.۸۵۴=۰.۶۱۷×۳
ممنون میشم در این دو سوال من را راهنمایی کنید.
با احترام
با سلام؛
نسبت طلایی و دنبالههای بعد از آن همگی با عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۵ تعریف میشوند.
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس
عالی و بسیار کاربردی
متشکرم