انتگرال توابع گنگ – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. در این آموزش، روش محاسبه انتگرال توابع گنگ را با ارائه مثال‌های گوناگون بررسی خواهیم کرد.

برای انتگرال‌گیری از یک تابع گنگ شامل $${x^{\large\frac{m}{n}\normalsize}}$$، از تغییر متغیر $$u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}$$ استفاده می‌کنیم. همچنین، برای انتگرال‌گیری از توابعی با بیش از یک توان کسری از $$x$$، تغییر متغیر $$u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}$$ را به‌کار می‌بریم که در آن، $$n$$ کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌های توان‌‌های کسری تابع است.

برای عباراتی به‌فرم $$\sqrt[\large n\normalsize]{{\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize}}$$، از تغییر متغیر $$u = {\left( {\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize} \right)^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}$$ استفاده می‌کنیم.

مثال‌ها

در ادامه، برای درک بهتر انتگرال‌گیری از توابع گنگ، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال 1

انتگرال $${\large\int\normalsize} {{\large\frac{{\sqrt {x + 9} }}{x}\normalsize} dx}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {u = { \left( { x + 9} \right) ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize}},\;\;}\Rightarrow { x + 9 = { u ^ 2 },\;\; }\\ \large \Rightarrow { x = { u ^ 2 } – 9,\;\;\;} \kern-0.3pt{ d x = 2 u d u . }$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {\int {\frac { { \sqrt { x + 9 } } } { x } d x } } = {\int {\frac { u } { { { u ^ 2 } – 9 } } \cdot 2 u d u } } \\ \large = { 2 \int {\frac { { { u ^ 2 } } } { { { u ^ 2 } – 9 } } d u } } = {2\int {\frac{{{ u^ 2 } – 9 + 9 }} {{ { u ^ 2 } – 9 } }d u} } \\ \large = { 2 \int { \left( { 1 + \frac{ 9} {{ { u ^2 } – 9 } } } \right) d u } } = { 2\int { d u } + 18\int {\frac{{du } } { {{ u ^ 2} – {3 ^2 } } } } } \\ \large = { { 2 u + 18 \cdot \frac{ 1} { 6} \ln \left| {\frac{{ u – 3 }} { { u + 3 } } } \right| } + { C }} = { { 2\sqrt { x + 9} }+{ 3 \ln \left| {\frac{{\sqrt { x + 9} – 3}}{{\sqrt {x + 9} + 3}}} \right| }+{ C.}}$$

مثال ۲

انتگرال $$\int {{\large\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize} dx}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { \sqrt x = u ,\;\;} \Rightarrow { x = { u ^ 2 } ,\;\;\;}\;\kern-0.3pt { d x = 2 u d u . }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

انتگرال را $$I$$ می‌نامیم و در این صورت، داریم:

$$\large { I = \int { \frac { { \sqrt x – 1 } } { { \sqrt x + 1 } } d x } } = { \int {\frac { { u – 1 } } { { u + 1 } } 2 u d u } } = { 2 \int { \frac { { {u ^ 2 } – u } } { { u + 1 } } d u } . }$$

تقسیم کسر را انجام می‌دهیم:

$$\large { \frac { { { u ^ 2 } – u } } { { u + 1 } } } = { u – 2 } + { \frac { 2 } { { u + 1 } } . }$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {I }={ 2\int {\left( {u – 2 + \frac{2}{{u + 1}}} \right)du} } \\ \large = { { 2 \int { u d u} }-{ 4\int {du} }+{ 4\int {\frac{{du}}{{u + 1}}} }} \\ \large = {{\frac { { 2 { u ^ 2 } } } { 2} – 4 u } + { 4 \ln \left| {u + 1} \right| } + { C } } \\ \large = { { x – 4 \sqrt x } + { 4\ln \left| {\sqrt x + 1} \right| } + { C . } }$$

مثال ۳

انتگرال $${\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{x + \sqrt[3]{x}}}\normalsize}$$‌ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال به‌صورت زیر است:

$$\large { I = \int {\frac { { d x } } { { x + \sqrt[\large 3\normalsize] { x } } } } } = {\int {\frac{{dx}} {{ x + {x ^ { \large\frac {1}{3} \normalsize} } } } } . }$$

از آن‌جایی که کوچکترین مضرب مشترک (LCM) مخرج توان کسرها برابر با $$n = \text{LCM}\left({1,3}\right) = 3$$ است، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {u = { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } ,\;\;} \Rightarrow { x = { u ^3},\;\;\;}\kern-0.3pt{ d x = 3 { u ^ 2 } d u . }$$

بنابراین، داریم:

$$\large { I = \int {\frac { { d x}}{ { x + { x ^ {\large\frac{1}{3} \normalsize}}}}} } = {\int {\frac {{ 3{ u ^ 2} d u}} { {{ u ^ 3} + {{ \left( {{ u ^ 3}} \right)} ^ {\large\frac {1} {3} \normalsize}}}}} } \\ \large = { 3\int {\frac{{{u^2}du}} { { {u ^ 3} + u} } } } = { 3 \int {\frac { { u d u}} {{{u ^ 2} + 1 }}} .}$$

اکنون از تغییر متغیر جدید زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { { t = { u ^ 2} + 1,\;\;}\kern-0.3pt{ d t = 2u d u,}\;\;} \Rightarrow { u du = \frac{{ d t} } { 2 } . }$$

پاسخ نهایی برابر است با:

مثال ۴

انتگرال $$\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[5]{x} – 1}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large { \int { \frac { { d x}} { { \sqrt[\large 5\normalsize] { x } – 1 }} } } = { \int { \frac { {d x }} {{ { x ^ {\large\frac { 1} {5} \normalsize}} – 1}}} .}$$

از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {{ x ^ {\large\frac { 1 } { 5 }\normalsize}} = u,\;\;}\Rightarrow {{x = { u ^ 5},\;\;}\kern-0.3pt { d x = 5 { u^ 4 }d u . } }$$

انتگرال به‌صورت زیر درخواهد آمد:

$$\large {I = \int {\frac{{ d x} }{ { {x ^ {\large\frac{1}{5}\normalsize}} – 1}}} } = {\int {\frac { { 5{ u ^ 4 } du } } { { u – 1}}} } = {5\int {\frac { {{ u ^ 4 }d u } } {{ u – 1 } }} .}$$

از آن‌جایی که درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر است، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$\large {\frac{{ { u ^ 4} }} { { u – 1}} } = { { { u ^ 3} + { u ^ 2} }+{ u + 1 }+{ \frac{1} {{u – 1}}.}}$$

 انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large {I }= {{ 5\int {( {{u^3} + {u^2} + u + 1 }}+{{ \frac{1}{{u – 1}}} )du} }} \\ \large ={{ 5 ( {\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{{{u^3}}}{3} + \frac{{{u^2}}}{2} }}+{{ u + \ln \left| {u – 1} \right|} ) }+{ C}} \\ \large ={{ 5 ( {\frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^4}}}}{4} + \frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^3}}}}{3} + \frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^2}}}}{2} }}+{{ \sqrt[\large{5}\normalsize]{x} + \ln \left| {\sqrt[\large{5}\normalsize]{x} – 1} \right|} ) }+{ C.}}$$

مثال ۵

انتگرال $${\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} – \sqrt[4]{x}}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large {I = \int {\frac { { d x}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x} – \sqrt[\large 4\normalsize] { x } } }} } = {\int {\frac{{dx}}{{{x^{\large\frac { 1} { 3 }\normalsize}} – { x ^ {\large\frac{1}{4}\normalsize}}}}} .}$$

همان‌طور که می‌بینیم، کوچکترین مضرب مشترک مخرج توان جملات $$x$$، برابر با $$n= \text{LCM}\left({3,4}\right) = 12$$ است. بنابراین، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {u = { x ^ {\large\frac{1}{ { 12}}\normalsize}},\;\;}\Rightarrow {x = { u ^ { 12} },\;\;}\kern-0.3pt{dx = 12 { u ^ { 11} } d u .}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large{I }={ \int {\frac{{ 1 2{u ^ {11}} d u}}{{{{\left( {{u ^ {12}}} \right)} ^ {\large\frac{1}{3}\normalsize}} – {{\left( {{u ^ { 1 2 }} } \right)} ^ {\large\frac { 1} { 4}\normalsize}}}}} } \\ \large = {\int {\frac{{ 1 2 { u ^ { 11 } }d u } } { { {u ^ 4 } – {u ^3 }} } } } = {1 2\int {\frac {{ { u ^ 8 } d u }} { {u – 1}}} .}$$

درجه صورت، از درجه مخرج بزرگتر است. بنابراین، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$\large {\frac{{{u ^ 8 } }} { { u – 1}} } = { { u ^ 7 } + {u ^ 6 } + { u ^ 5 } }+{ {u ^ 4 } + { u^ 3 } + {u ^2 } }+ { u + 1 + \frac{1}{{u – 1}}.}$$

بعد از تبدیلات ساده، جواب نهایی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

مثال ۶

انتگرال $${\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {\sqrt x – 2} }}\normalsize}$$ را به‌دست آوردید.

حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {\sqrt x – 2 = {u^2},\;\;}\Rightarrow {\sqrt x = {u ^ 2 } + 2,\;\;} \\ \large\Rightarrow {x = {\left( {{ u ^ 2} + 2} \right) ^ 2} }={ { u ^ 4} + 4{ u ^2 } + 4,\;\;}\Rightarrow {dx = \left( { 4{ u ^ 3} + 8u} \right)du.}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {I = \int {\frac { { d x}}{{\sqrt {\sqrt x – 2} }}} } = {\int { \frac { {\left( { 4 {u ^ 3 } + 8 u } \right)d u} } { u }} } = {4\int {\left( {{ u ^2 } + 2} \right) du } } \\ \large = {\frac{{4 { u^ 3}}}{3} + 8u + C } = {{\frac{4} { 3}\sqrt {{{\left( {\sqrt x – 2} \right)} ^ 3 }} }+{ 8\sqrt {\sqrt x – 2} + C.}}$$

مثال ۷

انتگرال $${\large\int\normalsize} {\sqrt {{e^x} + 1}\,dx}$$ را محاسبه کنید.

حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {{e ^ x } + 1 = { u ^ 2 },\;\;}\Rightarrow { { e ^ x} d x = 2 u d u,\;\;} \\ \large \Rightarrow { {d x = \frac{ { 2 u du } }{ { { e ^ x }} } }= { \frac{{ 2 u d u } }{ { { u ^ 2} – 1}}.}}$$

و حاصل انتگرال به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large {I = \int {\sqrt {{ e ^ x } + 1} d x } } = {\int { u \frac { {2 u d u } } { { { u ^ 2 } – 1}}} } = { 2 \int {\frac {{ { u ^ 2 } d u }}{{{u ^ 2} – 1}}} } \\ \large = {2\int {\frac{{ { u ^ 2 } – 1 + 1 } } { { { u ^ 2} – 1 } }d u} } = {2\int {\left( {1 + \frac { 1} { { { u ^ 2} – 1 } }} \right)du} } \\ \large = { { 2 \int { d u } } - { 2\int {\frac { {d u } }{ { 1 – { u ^ 2 } } } } }} = { { 2 u } - { 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| }+{ C }} \\ \large = {{2u – \ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| }+{ C }} = {{2\sqrt {{e^x} + 1} }-{ \ln \left| {\frac{{1 + \sqrt {{e^x} + 1} }}{{1 – \sqrt {{e^x} + 1} }}} \right| }+{ C.}}$$