اثبات روابط مثلثاتی – به زبان ساده

روابط مثلثاتی،‌ توابع حقیقی هستند که رابطه بین اندازه زاویه‌های مثلث قائم‌الزاویه با نسبت طول ضلع‌های آن را نمایش می‌دهند. این روابط، کاربرد بسیار گسترده‌ای در حل مسائل ریاضی و هندسی دارند. از مهم‌ترین توابع مثلثاتی می‌توان به سینوس، کسینوس و تانژانت اشاره کرد. دانش‌آموزان، مفاهیم مرتبط با روابط مثلثاتی را در دروس ریاضی پایه ۱۰ ام (دوره متوسطه) یاد می‌گیرند. یادگیری این مفاهیم، تا مقاطع کارشناسی و تحصیلات تکمیلی اغلب رشته‌های مهندسی ادامه می‌یابد. یکی از مسائلی که دانش‌آموزان و دانشجویان در طی تحصیل با آن مواجه می‌شوند، اثبات روابط مثلثاتی است. این روابط به ظاهر پیچیده می‌آیند اما با یادگیری چند نکته ساده، می‌توان آن‌ها را به‌راحتی اثبات کرد و به خاطر سپرد. در این مقاله، قصد داریم نحوه اثبات متداول‌ترین و شناخته شده‌ترین روابط مثلثاتی را به صورت گام به گام آموزش دهیم.

روابط مثلثاتی چه هستند ؟

روابط مثلثاتی یا «توابع مثلثاتی» (Trigonometric Functions)، معادلاتی هستند که رابطه بین ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نمایش می‌دهند. این روابط، کاربرد بسیار گسترده‌ای در حوزه‌های مختلف ریاضی و هندسه دارند. برای درک روابط مثلثاتی و کاربرد آن‌ها، مثلث قائم‌الزاویه زیر و یکی از زاویه‌های غیرقائم آن (مانند زاویه θ) را در نظر بگیرید.

به ضلعی که روبه‌روی زاویه θ قرار داشته باشد، «ضلع مقابل» و به ضلعی که در کنار زاویه θ قرار داشته باشد، «ضلع مجاور» می‌گوییم. توابع مثلثاتی، برای زاویه θ و بر حسب نسبت بین وتر، ضلع مقابل و ضلع مجاور تعریف می‌شوند. سینوس، کسینوس و تانژانت، سه تابع مثلثاتی اصلی هستند:

• سینوس زاویه θ، نسبت ضلع مقابل به وتر است.
• کسینوس زاویه θ، نسبت ضلع مجاور به وتر است.
• تانژانت زاویه θ، نسبت ضلع مقابل به مجاور این زاویه است.

عبارت جبری توابع مثلثاتی اصلی، به صورت زیر نمایش داده می‌شوند:

$$\sin { \theta } = \frac { O }{ H }$$

$$\cos { \theta } = \frac { A }{ H }$$

$$\tan { \theta } = \frac { O }{ A }$$

• $$\sin { \theta }$$: سینوس زاویه θ
• $$\cos { \theta }$$: کسینوس زاویه θ
• $$\tan { \theta }$$: تانژانت زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

اثبات رابطه بین تانژانت، سینوس و کسینوس

بین روابط اصلی مثلثاتی، رابطه زیر برقرار است:

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } } = \tan { \theta }$$

برای اثبات این رابطه، سینوس زاویه θ را بر کسینوس زاویه θ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } }$$

به جای سینوس و کسینوس، تعریف آن‌ها بر اساس نسبت ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را قرار می‌دهیم:

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } } = \frac { \frac { O }{ H } } { \frac { A }{ H } }$$

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } } = \frac { \frac { O }{ \not H } } { \frac { A }{ \not H } }$$

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } } = \frac { \frac { O }{ ۱} } { \frac { A }{ ۱ } }$$

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } } = \frac { O }{ A }$$

نسبت سینوس زاویه θ به کسینوس زاویه θ برابر با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور زاویه θ است. این رابطه، همان تعریف تانژانت را نمایش می‌دهد. بنابراین داریم:

$$\frac { \sin { \theta } } { \cos { \theta } } = \tan { \theta }$$

روابط مثلثاتی فرعی چه هستند ؟

در بخش‌های قبلی، با سه رابطه مثلثاتی اصلی آشنا شدیم. کتانژانت، سکانت و کسکانت، به عنوان روابط مثلثاتی فرعی در نظر گرفته می‌شوند. البته در برخی از منابع، کتانژانت را هم به عنوان یکی از روابط مثلثاتی اصلی معرفی می‌کنند. این تابع، عکس تانژانت یا همان نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل زاویه θ در مثلث قائم‌الزاویه است:

$$\cot { \theta } = \frac { ۱ } { \tan } = \frac { A }{ O }$$

سکانت، به عنوان عکس کسینوس و کسکانت نیز به عنوان عکس سینوس تعریف می‌شود:

$$\sec { \theta } = \frac { ۱ } { \cos { \theta } } = \frac { H }{ A }$$

$$\csc { \theta } = \frac { ۱ } { \sin { \theta } } = \frac { H }{ O }$$

• $$\cot { \theta }$$: کتانژانت زاویه θ
• $$\sec { \theta }$$: سکانت زاویه θ
• $$\csc { \theta }$$: کسکانت زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

اثبات روابط مثلثاتی زوایای متمم

زوایای متمم، به زاویه‌هایی می‌گویند که مجموع آن‌ها برابر با ۹۰ درجه می‌شود. در مثلث قائم‌الزاویه، یکی از زاویه‌ها همواره برابر با ۹۰ درجه است. مثلث قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.

مجموع زوایای داخلی مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است. بنابراین، داریم:

$$\alpha + \beta + ۹۰ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ }$$

$$\alpha + \beta = ۱۸۰ ^ { \circ } - ۹۰ ^ { \circ }$$

$$\alpha + \beta = ۹۰ ^ { \circ }$$

به عبارت دیگر، دو زاویه غیرقائمه در مثلث قائم‌الزاویه، متمم یکدیگر هستند. این دو زاویه را می‌توان بر حسب یکدیگر بازنویسی کرد:

$$\alpha = ۹۰ ^ { \circ } - \beta$$

$$\beta = ۹۰ ^ { \circ } - \alpha$$

توجه داشته باشید که زاویه ۹۰ درجه، بر حسب رادیان و به صورت $$\frac { \pi } { ۲ }$$ نیز نوشته می‌شود. این روابط را به خاطر داشته باشید. روابط مثلثاتی زوایای متمم عبارت هستند از:

$$\sin { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \cos { \theta }$$

$$\cos { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \sin { \theta }$$

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \cot { \theta }$$

$$\cot { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \tan { \theta }$$

$$\csc { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \sec { \theta }$$

$$\sec { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \csc { \theta }$$

برای اثبات روابط بالا، مثلث ABC را در نظر بگیرید. در این مثلث، داریم:

$$\sin { \alpha } = \sin { ( ۹۰ ^ { \circ } - \beta ) } = \frac { C B } { A C }$$

$$\cos { \beta } = \cos{ ( ۹۰ ^ { \circ } - \alpha ) } = \frac { C B } { A C }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، عبارت‌های معادله اول و عبارت‌های معادله دوم برابر است. بنابراین، داریم:

$$\sin { ( ۹۰ ^ { \circ } - \beta ) } = \cos { \beta }$$

$$\cos{ ( ۹۰ ^ { \circ } - \alpha ) } = \sin { \alpha }$$

به عبارت دیگر، سینوس و کسینوس دو زاویه متمم، با یکدیگر برابرند:

$$\sin { \alpha } = \cos{ \beta }$$

$$\sin { \beta } = \cos{ \alpha }$$

دیگر روابط مثلثاتی زوایای متمم را نیز می‌توان به روش مشابه اثبات کرد.

اثبات روابط مثلثاتی با قضیه فیثاغورس

یکی از شناخته شده‌ترین روابط مثلثاتی، عبارت است از:

$$\sin ^ ۲ { \theta } + \cos ^ ۲ { \theta } = ۱$$

رابطه بالا، با عنوان رابطه فیثاغورس برای نسبت‌های مثلثاتی شناخته می‌شود. برای اثبات این رابطه، یک مثلث قائم‌الزاویه را در نظر بگیرید.

بر اساس قضیه فیثاغورس، رابطه زیر بین ضلع‌های یک مثلث قائم الزاویه برقرار است:

$$a ^ ۲ + b ^ ۲ = c ^ ۲$$

• a: یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه
• b: ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه
• c: وتر مثلث قائم‌الزاویه

برای مثلث ABC، می‌توانیم قضیه فیثاغورس را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$AB ^ ۲ + BC ^ ۲ = AC ^ ۲$$

رابطه بالا را به خاطر بسپارید. اکنون، توابع سینوس و کسینوس را با توجه به مثلث ABC می‌نویسیم:

$$\sin { \theta } = \frac { B C } { A C }$$

• BC: ضلع مقابل زاویه θ
• AC: وتر مثلث ABC

$$\cos { \theta } = \frac { AB } { A C }$$

• AB: ضلع مجاور زاویه θ
• AC: وتر مثلث ABC

در مرحله بعد، سینوس و کسینوس را به توان ۲ می‌رسانیم:

$$\sin ^ ۲ { \theta } = \frac { B C ^ ۲ } { A C ^ ۲ }$$

$$\cos ^ ۲ { \theta } = \frac { AB ^ ۲ } { A C ^ ۲ }$$

می‌خواهیم ثابت کنیم که:

$$\sin ^ ۲ { \theta } + \cos ^ ۲ { \theta } = ۱$$

به جای عبارت‌های سمت چپ، معادل آن‌ها را با توجه به روابط مثلث ABC قرار می‌دهیم:

$$\frac { B C ^ ۲ } { A C ^ ۲ } + \frac { AB ^ ۲ } { A C ^ ۲ } = ۱$$

از کسرهای سمت چپ معادله، مخرج مشترک می‌گیریم:

$$\frac { B C ^ ۲ + AB ^ ۲} { A C ^ ۲ } = ۱$$

صورت کسر ($$B C ^ ۲ + AB ^ ۲$$)، سمت چپ قضیه فیثاغورس را برای مثلث ABC نمایش می‌دهد و حاصل آن برابر با $$B C ^ ۲ + AB ^ ۲ = A C ^ ۲$$ است. بنابراین داریم:

$$\frac { A C ^ ۲ } { A C ^ ۲ } = ۱$$

$$۱ = ۱$$

به این ترتیب، یکی دیگر روابط مثلثاتی را اثبات کردیم. روش‌های مختلفی برای اثبات روابط مثلثاتی وجود دارند. به عنوان مثال، برای $$\sin ^ ۲ { \theta } + \cos ^ ۲ { \theta } = ۱$$، می‌توانستیم از دایره واحد نیز کمک بگیریم. تصویر زیر، یک دایره واحد (دایره‌ای به شعاع ۱) را نمایش می‌دهد.

معادله دایره بر روی دستگاه مختصات دوبعدی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$x ^ ۲ + y ^ ۲ = ۱$$

نقطه‌ P‌ را در زاویه θ در نظر بگیرید. مختصات این نقطه برابر با (x, y) است. اگر از این نقطه، خطی را بر محور x عمود کرده و یک خط دیگر را به مرکز دایره وصل کنیم، یک مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود. فاصله نقطه P تا مرکز دایره، برابر با ۱ (همان شعاع دایره) بوده و زاویه مثلث قائم‌الزاویه در مرکز برابر با۲π-θ است. با توجه به رابطه بین ضلع‌ها و زاویه‌های مثلث قائم‌الزاویه، خواهیم داشت:

$$\sin { ( ۲ \pi - \theta } ) = \frac { y } { ۱ } = y$$

$$\cos { ( ۲ \pi - \theta } ) = \frac { x } { ۱ } = x$$

بر اساس روابط مثلثاتی، داریم:

$$\sin { ( ۲ \pi - \theta } ) = \sin { \theta }$$

$$\cos { ( ۲ \pi - \theta } ) = \cos { \theta }$$

بنابراین:

$$\sin { \theta } = y$$

$$\cos { \theta } = x$$

اکنون، عبارت‌های برابر با x و y را در معادله دایره قرار می‌دهیم:

$$\cos ^ ۲ { \theta } + \sin ^ ۲ { \theta }= ۱$$

به این ترتیب، رابطه فیثاغورس برای روابط مثلثاتی را به روش دایره واحد اثبات کردیم. توجه داشته باشید که برای سادگی اثبات، می‌توانستیم نقطه P و مثلث قائم‌الزاویه را در ربع اول دایره در نظر بگیریم. با این وجود، هدف ما، معرفی چند فرمول دیگر برای اثبات در بخش‌های بعدی مقاله بود. از دیگر روابط مثلثاتی مرتبط که به روش‌های مشابه اثبات می‌شوند، می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

$$۱ + \tan ^ ۲ { \theta } = \sec ^ ۲ { \theta }$$

$$۱ + \tan ^ ۲ { \theta } = \csc ^ ۲ { \theta }$$

اثبات روابط مثلثاتی جمع و تفریق سینوس، کسینوس و تانژانت

روابط مثلثاتی جمع و تفریق، عبارت هستند از:

$$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \tan { \alpha } + \tan { \beta } } { ۱ - \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \tan { \alpha } - \tan { \beta } } { ۱ + \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

برای اثبات روابط مثلثاتی بالا، دایره واحد زیر را در نظر بگیرید.

نقطه P، با راستای مثبت محور x، زاویه α می‌سازد. بنابراین، مختصات این نقطه برابر با $$( \cos { \alpha } \, \space \sin { \alpha } )$$ است. نقطه Q، با راستای مثبت محور x زاویه β می‌سازد. از این‌رو، مختصات آن برابر با $$( \cos { \beta } \, \space \sin { \beta} )$$ است. با توجه به تصویر، زاویه POQ برابر با α-β است. نقطه A و B به گونه‌ای بر روی دایره انتخاب شده‌اند که مختصات نقطه B برابر با $$( ۱ \, ۰ )$$ و مختصات نقطه A برابر با $$( \cos { ( \alpha- \beta ) } \, \space \sin { ( \alpha- \beta ) } )$$ شود. به عبارت دیگر، مثلث‌های POQ و AOB، هم‌نهشت و حاصل دوران یکدیگر هستند. بنابراین، ضلع‌های PQ و AB با هم برابرند. به عبارت دیگر، P تا Q و A تا B، فاصله یکسان دارند. فاصله بین دو نقطه از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$d = \sqrt { ( x _ ۲ - x _ ۱ ) ^ ۲ + ( y _ ۲ - y _ ۱ ) ^ ۲ }$$

بنابراین، با توجه به دایره واحد و توضیحات ارائه شده در پاراگراف قبلی، فاصله بین P تا Q یا $$d _ { P Q }$$ برابر خواهد بود با:

$$\begin {align*} d _ { P Q } & = \sqrt { { ( \cos \alpha - \cos \beta ) } ^ ۲ + { ( \sin \alpha - \sin \beta ) } ^ ۲ } \\[4pt] & = \sqrt { { \cos } ^ ۲ \alpha - ۲ \cos \alpha \cos \beta + { \cos } ^ ۲ \beta + { \sin } ^ ۲ \alpha - ۲ \sin \alpha \sin \beta + { \sin } ^ ۲ \beta } & & \\[4pt] & = \sqrt { ( { \cos } ^ ۲ \alpha + { \sin } ^ ۲ \alpha ) + ( { \cos } ^ ۲ \beta + { \sin } ^ ۲ \beta ) - ۲ \cos \alpha \cos \beta - ۲ \sin \alpha \sin \beta } \\[4pt] & = \sqrt { ۱ + ۱ - ۲ \cos \alpha \cos \beta - ۲ \sin \alpha \sin \beta } \\[4pt] & = \sqrt { ۲ - ۲ \cos \alpha \cos \beta - ۲ \sin \alpha \sin \beta } \end {align*}$$

به همین شکل، فاصله بین نقاط A و B یا $$d _ { A B }$$ را نیز تعیین می‌کنیم:

$$\begin {align*} d _ { A B } & = \sqrt { { ( \cos ( \alpha - \beta ) - ۱ ) } ^ ۲ + { ( \sin ( \alpha - \beta ) - ۰ ) } ^ ۲ } \\[4pt] & = \sqrt { { \cos } ^ ۲ ( \alpha - \beta ) - ۲ \cos ( \alpha - \beta ) + ۱ + { \sin } ^ ۲ ( \alpha - \beta ) } \\[4pt] & = \sqrt { ( { \cos } ^ ۲ ( \alpha - \beta ) + { \sin } ^ ۲ ( \alpha - \beta ) ) - ۲ \cos ( \alpha - \beta ) + ۱ } \\[4pt] & = \sqrt { ۱ - ۲ \cos ( \alpha - \beta ) + ۱ } \\[4pt] & = \sqrt { ۲ - ۲ \cos ( \alpha - \beta ) } \\[4pt] \end{align*}$$

می‌دانیم که:

$$d _ { P Q } = d _ { A B }$$

عبارت‌های به دست آمده از فرمول فاصله را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم؛

$$\sqrt { ۲ - ۲ \cos \alpha \cos \beta - ۲ \sin \alpha \sin \beta } = \sqrt { ۲ - ۲ \cos ( \alpha - \beta ) }$$

هر دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم تا از زیر رادیکال خارج شوند:

$$۲ - ۲ \cos \alpha \cos \beta - ۲ \sin \alpha \sin \beta = ۲ - ۲ \cos ( \alpha - \beta )$$

تمام عبارت‌های بالا دارای ضریب ۲ هستند. هر دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم:

$$۱ - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = ۱ - \cos ( \alpha - \beta )$$

۱ و ۱ از دو طرف حذف می‌شوند:

$$\not ۱ - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \not ۱ - \cos ( \alpha - \beta )$$

$$- \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = - \cos ( \alpha - \beta )$$

هر دو طرف را در (۱-) ضرب می‌کنیم:

$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos ( \alpha - \beta )$$

یکی از روابط جمع و تفریق مثلثاتی را اثبات کردیم. برای اثبات فرمول جمع کسینوس، به جای β، از عبارت زیر استفاده می‌کنیم:

$$\beta = - ( - \beta )$$

به این ترتیب، کسینوس جمع α و β برابر است با:

$$\cos { ( \alpha + \beta ) } = \cos { [ \alpha - ( - \beta ) ] }$$

فرمول سمت راست رابطه بالا را در بخش اول اثبات کردیم. با توجه به این فرمول (کسینوس تفریق α و β) داریم:

$$\cos { ( \alpha + \beta ) } = \cos { [ \alpha - ( - \beta ) ] } = \cos \alpha \cos ( - \beta ) + \sin \alpha \sin ( - \beta )$$

بر اساس روابط مثلثاتی، داریم:

$$\cos ( - \beta ) = \cos { \beta }$$

$$\sin ( - \beta ) = - \sin { \beta }$$

بنابراین:

$$\cos { ( \alpha + \beta ) } = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

اثبات روابط جمع و تفریق مثلثاتی سینوس

در بخش قبلی، روابط جمع و تفریق مثلثاتی کسینوس را اثبات کردیم. پیش از اثبات روابط جمع و تفریق مثلثاتی سینوس، روابط زیر را در نظر بگیرید:

$$\cos ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta ) = \sin \theta$$

این رابطه به صورت زیر اثبات می‌شود:

$$\cos ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta ) = \cos \frac { \pi } { ۲ } \cos \theta + \sin \frac { \pi } { ۲ } \sin \theta$$

$$\cos ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta ) = { ۰ \times \cos \theta } + ۱ \times \sin \theta$$

$$\cos ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta ) = \sin \theta$$

از طرفی می‌دانیم که:

$$\sin { ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta ) } = \cos { \theta }$$

عبارت‌های بالا، از روابط مثلثاتی زوایای متمم هستند. در بخش‌های قبلی، به توضیح نحوه اثبات این روابط پرداختیم. با دانستن روابط فوق، به سراغ اثبات روابط جمع و تفریق مثلثاتی سینوس می‌رویم. بر اساس رابطه بالا، داریم:

$$\sin ( \alpha + \beta ) = \cos [ \frac { \pi } { ۲ } - ( \alpha + \beta ) ]$$

عبارت داخل کسینوس را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$= \cos [ ( \frac {\pi } { ۲ } - \alpha ) - \beta ]$$

رابطه بالا را به صورت زیر باز می‌کنیم:

$$= \cos ( \frac {\pi } { ۲ } - \alpha ) \cos \beta + \sin ( \frac {\pi } { ۲ } - \alpha ) \sin \beta$$

$$= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

در نتیجه:

$$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

اکنون، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\sin ( \alpha - \beta )$$

عبارت داخل سینوس را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:

$$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin [ \alpha + (- \beta ) ]$$

با توجه به فرمول به دست آمده از بخش قبلی، داریم:

$$\sin [ \alpha + (- \beta ) ] = \sin \alpha \cos ( - \beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta )$$

روابط زیر را در نظر بگیرید:

$$\sin ( - \beta ) = - \sin \beta$$

$$\cos ( - \beta ) = \cos \beta$$

اثبات این روابط را در بخش بعدی انجام می‌دهیم. به این ترتیب:

$$\sin [ \alpha + (- \beta ) ] = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

در نتیجه:

$$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

اثبات روابط مثلثاتی با زاویه منفی

اگر علامت زاویه درون توابع مثلثاتی منفی باشد، می‌توانیم آن‌ها را با استفاده از روابط زیر، به توابع مثلثاتی مثبت تبدیل کنیم:

$$\sin ( { - \theta } ) = - \sin { \theta }$$

$$\cos ( { - \theta } ) = \cos { \theta }$$

$$\tan ( { - \theta } ) = - \tan { \theta }$$

به منظور اثبات روابط بالا، عبارت داخل توابع را به صورت زیر بازنویسی تغییر می‌دهیم:

$$- \theta = ۰ - \theta$$

اکنون، تابع سینوس منفی تتا را با توجه به عبارت بالا می‌نویسیم:

$$\sin { ( ۰ - \theta ) }$$

بر اساس فرمول‌های ارائه شده و اثبات شده در بخش‌های قبلی، می‌دانیم که:

$$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

بنابراین، داریم:

$$\sin { ( ۰ - \theta ) } = \sin ۰ \cos \theta - \cos ۰ \sin \theta$$

سینوس ۰ برابر با ۱ و کسینوس ۰ برابر با ۱ است. در نتیجه:

$$\sin { ( ۰ - \theta ) } = ( ۰ \times \cos \theta ) - ( ۱ \times \sin \theta )$$

$$\sin { ( ۰ - \theta ) } = ۰ - \sin \theta$$

$$\sin { ( ۰ - \theta ) } = - \sin \theta$$

$$\sin { ( - \theta ) } = - \sin \theta$$

برای اثبات کسینوس یک زاویه منفی نیز به همین شکل عمل می‌کنیم:

$$\cos ( { - \theta } ) = \cos ( { ۰ - \theta } )$$

$$\cos ( { ۰ - \theta } ) = \cos ۰ \cos \theta + \sin ۰ \sin \theta$$

$$\cos ( { ۰ - \theta } ) = ( ۱ \times \cos \theta ) + ( ۰ \times \sin \theta )$$

$$\cos ( { ۰ - \theta } ) = \cos \theta + ۰$$

$$\cos ( { ۰ - \theta } ) = \cos \theta$$

$$\cos ( { - \theta } ) = \cos \theta$$

در نهایت، اثبات تانژانت یک زاویه منفی نیز به صورت زیر انجام می‌گیرد:

$$\tan ( { - \theta } ) = \frac { \sin ( { - \theta } ) }{ \cos ( { - \theta } ) }$$

$$\tan ( { - \theta } ) = \frac { - \sin ( { \theta } ) }{ \cos ( { \theta } ) }$$

$$\tan ( { - \theta } ) = - \frac { \sin ( { \theta } ) }{ \cos ( { \theta } ) }$$

$$\tan ( { - \theta } ) = - \tan { \theta }$$

اثبات روابط مثلثاتی مربع توابع

برخی از مهم‌ترین روابط مثلثاتی مربوط به مربع توابع عبارت هستند از:

$$\sin ^ ۲ \theta = \frac { ۱ }{ ۱ + \cot ^ ۲ \theta }$$

$$\cos ^ ۲ \theta = \frac { ۱ }{ ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

$$\tan ^ ۲ \theta = \sec ^ ۲ \theta - ۱$$

در این بخش، به اثبات رابطه مربع سینوس و مربع کسینوس می‌پردازیم. اثبات رابطه مربع تانژانت را نیز در بخش تمرین‌ها آموزش می‌دهیم.

اثبات رابطه مربع سینوس تتا

برای اثبات فرمول مربع سینوس، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\cos ^ ۲ { \theta } + \sin ^ ۲ { \theta }= ۱$$

تمام عبارت‌های این رابطه را بر $$\sin ^ ۲ \theta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { \cos ^ ۲ { \theta } } { \sin ^ ۲ \theta } + \frac { \sin ^ ۲ { \theta } } { \sin ^ ۲ \theta } = \frac { ۱ } { \sin ^ ۲ \theta }$$

$$\cot ^ ۲ { \theta } + ۱ = \frac { ۱ } { \sin ^ ۲ \theta }$$

$$\sin ^ ۲ \theta = \frac { ۱ } { ۱ + \cot ^ ۲ { \theta } }$$

اثبات رابطه مربع کسینوس تتا

اثبات فرمول مربع کسینوس نیز مانند مربع کسینوس انجام می‌گیرد. به این منظور، رابطه مجموع مربعات سینوس و کسینوس را در نظر می‌گیریم:

$$\cos ^ ۲ { \theta } + \sin ^ ۲ { \theta }= ۱$$

اکنون، تمام عبارت‌ها را بر $$\cos ^ ۲ \theta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { \cos ^ ۲ { \theta } } { \cos ^ ۲ \theta } + \frac { \sin ^ ۲ { \theta } } { \cos ^ ۲ \theta } = \frac { ۱ } { \cos ^ ۲ \theta }$$

$$۱ + \tan ^ ۲ { \theta } = \frac { ۱ } { \cos ^ ۲ \theta }$$

$$\cos ^ ۲ \theta = \frac { ۱ } { ۱ + \tan ^ ۲ { \theta } }$$

اثبات قانون سینوس ها و قانون کسینوس ها

قانون سینوس‌ها و قانون کسینوس‌ها، روابط پرکاربردی هستند که رابطه بین توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس با ضلع‌های مثلث را نمایش می‌دهد. در این قانون‌ها، نوع مثلث اهمیتی ندارد و روابط مربوط به آن‌ها برای تمام انواع مثلث قابل استفاده هستند. مثلث مختلف‌الاضلاع زیر را در نظر بگیرید.

بر اساس قانون سینوس‌ها، رابطه زیر بین سینوس زاویه‌های داخلی و اندازه ضلع‌های مثلث ABC برقرار است:

$$\frac { \sin A }{ a } = \frac { \sin B }{ b } = \frac { \sin C }{ c }$$

• a: ضلع مقابل به راس A
• b: ضلع مقابل به راس B
• ز: ضلع مقابل به راس C

به عبارت دیگر، برای هر مثلث، نسبت سینوس زاویه‌های داخلی به اندازه ضلع مقابل به آن زاویه‌ها، مقدار ثابتی است. بر اساس قانون کسینوس‌ها، داریم:

$$a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲ - ۲ b c \cos A$$

$$b ^ ۲ = a ^ ۲ + c ^ ۲ - ۲ a c \cos B$$

$$c ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ - ۲ a b \cos C$$

در ادامه، هر یک از این روابط را اثبات می‌کنیم.

اثبات قانون سینوس ها

به منظور اثبات روابط مثلثاتی قانون سینوس‌ها، از راس C، پاره‌خطی را بر ضلع AB عمود می‌کنیم. این پاره‌خط را h و محل برخورد را D می‌نامیم. به این ترتیب، دو مثلث قائم‌الزاویه ACD و BCD به وجود می‌آیند.

راس A و مثلث قائم‌الزاویه ACD را در نظر بگیرید. h، ضلع مقابل به زاویه این راس و b، وتر مثلث قائم‌الزاویه ACD محسوب می‌شود. بر اساس تعریف، سینوس زاویه A، نسبت ضلع مقابل زاویه (h) به وتر (b) است:

$$\sin A = \frac { h }{ b }$$

اکنون، راس B و مثلث قائم‌الزاویه BCD را در نظر بگیرید. در اینجا، h، ضلع مقابل به زاویه این راس و a، وتر مثلث قائم‌الزاویه BCD محسوب می‌شود. بر اساس تعریف، سینوس زاویه B، نسبت ضلع مقابل زاویه (h) به وتر (a) است:

$$\sin B = \frac { h }{ a }$$

روابط به دست آمده را بر حسب h بازنویسی می‌کنیم:

$$h = b \sin A$$

$$h = a \sin B$$

بنابراین:

$$b \sin A = a \sin B$$

به عبارت دیگر:

$$\frac { \sin A }{ a } = \frac { \sin B }{ b }$$

یعنی نسبت سینوس زاویه راس A به ضلع مقابل راس A با نسبت سینوس زاویه راس B به ضلع مقابل راس B‌ برابر است. با روش مشابه (با رسم پاره‌خطی عمود بر ضلع AC)، می‌توانیم اثبات کنیم که نسبت سینوس زاویه راس C به ضلع مقابل راس C، با نسبت‌های بالا برابری می‌کند. در نتیجه خواهیم داشت:

$$\frac { \sin A }{ a } = \frac { \sin B }{ b } = \frac { \sin C }{ c }$$

اثبات قانون کسینوس ها

بری اثبات روابط مثلثاتی قانون کسینوس‌ها، مثلث ABC را دوباره در نظر بگیرید. این بار، برای تنوع در حل مسئله، پاره‌خطی را از راس B به ضلع AC عمود می‌کنیم. نام محل برخورد آن با ضلع مثلث را D می‌نامیم. به این ترتیب، دو مثلث قائم‌الزاویه ADB و BDC تشکیل می‌شوند.

برای شروع، راس C و مثلث قائم‌الزاویه BDC را در نظر بگیرید. در اینجا، پاره‌خط CD، ضلع مجاور زاویه راس C و a، وتر مثلث قائم‌الزاویه است. بنابراین، مطابق با تعریف، کسینوس زاویه راس C، از تقسیم ضلع مجاور (CD) به وتر (a) به دست می‌آید:

$$\cos C = \frac { C D } { a }$$

رابطه بالا را بر حسب CD بازنویسی می‌کنیم:

$$C D = a \cos C$$

بر اساس شکل، ضلع b، برابر با حاصل جمع CD و DA است:

$$b = C D + D A$$

به جای CD، معادل آن را قرار می‌دهیم:

$$b = a \cos C + D A$$

اکنون، رابطه بالا را بر حسب DA می‌نویسیم:

$$D A = b - a \cos C$$

با توجه به تعریف سینوس در مثلث قائم‌الزاویه BDC، داریم:

$$\sin C = \frac { B D } { a }$$

این رابطه را بر حسب BD بازنویسی می‌کنیم:

$$B D = a \sin C$$

در مرحله بعد، مثلث قائم‌الزاویه ADB را در نظر بگیرید. ضلع AB با اندازه c، وتر این مثلث است. قانون فیثاغورس در این مثلث به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$c ^ ۲ = B D ^ ۲ + D A ^ ۲$$

در این رابطه، به جای DA و BD، روابط به دست آمده برای آن‌ها را قرار می‌دهیم. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$c ^ ۲ = ( a \sin C ) ^ ۲ + ( b - a \cos C ) ^ ۲$$

عبارت‌های توان‌دار را باز می‌کنیم:

$$c ^ ۲ = a ^ ۲ \sin ^ ۲ C + b ^ ۲ - ۲ a b \cos C + a ^ ۲ \cos ^ ۲ C$$

عبارت‌های سمت راست را به شکل زیر مرتب می‌کنیم:

$$c ^ ۲ = a ^ ۲ \sin ^ ۲ C + a ^ ۲ \cos ^ ۲ C + b ^ ۲ - ۲ a b \cos C$$

از دو عبارت سمت، $$a ^ ۲$$ را فاکتور می‌گیریم:

$$c ^ ۲ = a ^ ۲ ( \sin ^ ۲ C + \cos ^ ۲ C ) + b ^ ۲ - ۲ a b \cos C$$

در بخش‌های قبلی اثبات کردیم که عبارت داخل پرانتز در رابطه بالا برابر با ۱ است:

$$c ^ ۲ = a ^ ۲ ( ۱ ) + b ^ ۲ - ۲ a b \cos C$$

$$c ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ - ۲ a b \cos C$$

به این ترتیب، قانون کسینوس‌ها را برای زاویه راس C اثبات کردیم. برای راس‌های A و B‌ نیز می‌توانیم خطی را از دیگر راس‌ها رسم کرده و روابط مربوط به کسینوس زاویه آن‌ها را به همین شکل اثبات عمل کنیم.

اثبات روابط مثلثاتی با زاویه مضاعف

روابط مثلثاتی با زاویه مضاعف عبارت هستند از:

$$\sin ( ۲ \theta ) = ۲ \sin \theta \cos \theta$$

$$= \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

$$\begin {aligned} \cos ( ۲ \theta ) & = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta \ & = ۲ \cos ^ ۲ \theta - ۱ \ & = ۱ - ۲ \sin ^ ۲ \theta \ & = \frac { ۱ - \tan ^ ۲ \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta } \end {aligned}$$

$$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ - \tan ^ ۲ \theta }$$

در این بخش، به اثبات رابطه سینوس زاویه مضاعف و کسینوس زاویه مضاعف می‌پردازیم. نحوه اثبات رابطه تانژانت زاویه مضاعف را نیز در بخش تمرین‌ها آموزش می‌دهیم.

اثبات روابط سینوس زاویه مضاعف

اثبات روابط بالا را از سینوس زاویه مضاعف شروع می‌کنیم. زاویه مضاعف را می‌توانیم به صورت جمع دو زاویه θ بنویسیم:

$$\sin ( ۲ \theta ) = \sin ( \theta + \theta )$$

اکنون می‌توانیم با استفاده از رابطه زیر، فرمول سینوس زاویه مضاعف را به دست بیاوریم:

$$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin ( \theta + \theta ) = \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta$$

$$\sin ( \theta + \theta ) = ۲ \sin \theta \cos \theta$$

$$\sin ( ۲ \theta ) = ۲ \sin \theta \cos \theta$$

برای اثبات دومین فرمول سینوس زاویه مضاعف، رابطه بالا را بر $$\cos ^ ۲ \theta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { \sin ( ۲ \theta ) } { \cos ^ ۲ \theta } = \frac { ۲ \sin \theta \cos \theta } { \cos ^ ۲ \theta }$$

$$\frac { \sin ( ۲ \theta ) } { \cos ^ ۲ \theta } = \frac { ۲ \sin \theta \cos \theta } { \cos \theta \cos \theta }$$

$$\frac { \sin ( ۲ \theta ) } { \cos ^ ۲ \theta } = \frac { ۲ \sin \theta} { \cos \theta } \times \frac { \cos \theta } {\cos \theta }$$

$$\frac { \sin ( ۲ \theta ) } { \cos ^ ۲ \theta } = ۲tan \theta \times ۱$$

$$\sin ( ۲ \theta ) = ۲tan \theta \cos ^ ۲ \theta$$

با توجه به فرمول مربع کسینوس، خواهیم داشت:

$$\sin ( ۲ \theta ) = ۲tan \theta \times \frac { ۱ } { ۱ + \tan ^ ۲ { \theta } }$$

$$\sin ( ۲ \theta ) = \frac { ۲tan \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ { \theta } }$$

اثبات روابط کسینوس زاویه مضاعف

برای کسینوس زاویه مضاعف نیز از روش مشابه استفاده می‌کنیم:

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ( \theta + \theta )$$

رابطه کسینوس جمع دو زاویه عبارت است:

$$\cos { ( \alpha + \beta ) } = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

بنابراین:

$$\cos ( \theta + \theta ) = \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta$$

$$\cos ( \theta + \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta$$

رابطه مثلثاتی بالا را می‌توان به شکل‌های دیگر نیز نوشت. برای این کار، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\cos ^ ۲ { \theta } + \sin ^ ۲ { \theta }= ۱$$

این رابطه را یک بار بر حسب $$\sin ^ ۲ \theta$$ بازنویسی می‌کنیم:

$$\sin ^ ۲ { \theta } = ۱ - \cos ^ ۲ { \theta }$$

سپس، آن درون رابطه کسینوس زاویه مضاعف قرار می‌دهیم:

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - (۱ - \cos ^ ۲ { \theta })$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta \space - ۱ + \cos ^ ۲ { \theta }$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۲ \cos ^ ۲ \theta \space - ۱$$

رابطه جمع مربع سینوس و کسینوس را یک بار دیگر و این‌بار بر حسب کسینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$\cos ^ ۲ { \theta } = ۱ - \sin ^ ۲ { \theta }$$

با قرار دادن این رابطه در رابطه کسینوس زاویه مضاعف خواهیم داشت:

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۱ - \sin ^ ۲ { \theta } - \sin ^ ۲ \theta$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۱ - ۲ \sin ^ ۲ { \theta }$$

برای اثبات آخرین فرمول معرفی شده برای کسینوس زاویه مضاعف، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta$$

تمام عبارت‌های بالا را بر $$\cos ^ ۲ \theta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { \cos ( ۲ \theta ) } { \cos ^ ۲ \theta } = \frac { \cos ^ ۲ \theta } { \cos ^ ۲ \theta } - \frac { \sin ^ ۲ \theta } { \cos ^ ۲ \theta }$$

$$\frac { \cos ( ۲ \theta ) } { \cos ^ ۲ \theta } = ۱ - \tan \theta$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = ( ۱ - \tan \theta ) \times \cos ^ ۲ \theta$$

بر اساس فرمول مربع کسینوس، خواهیم داشت:

$$\cos ( ۲ \theta ) = ( ۱ - \tan \theta ) \times \frac { ۱ }{ ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \frac { ۱ - \tan \theta }{ ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

اثبات روابط مثلثاتی با نیم زاویه

روابط مثلثاتی نیم‌زاویه عبارت هستند از:

$$\sin { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۲ } }$$

$$\cos { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ + \cos \theta }{ ۲ } }$$

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۱ + \cos \theta } } = \frac { \sin \theta }{ ۱ + \cos \theta } = \frac { ۱ - \cos \theta }{ \sin \theta } = \csc \theta - \cot \theta$$

$$\cot { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ + \cos \theta }{ ۱ - \cos \theta } } = \frac { \sin \theta }{ ۱ - \cos \theta } = \frac { ۱ + \cos \theta }{ \sin \theta } = \csc \theta + \cot \theta$$

در این بخش، به اثبات رابطه سینوس نیم‌زاویه و کسینوس نیم‌زاویه می‌پردازیم. اثبات رابطه تانژانت نیم‌زاویه را نیز در بخش تمرین‌ها آموزش می‌دهیم.

اثبات فرمول سینوس نیم زاویه

برای اثبات روابط مثلثاتی با نیم‌زاویه، از روابط مثلثاتی با زاویه مضاعف کمک می‌گیریم. به عنوان مثال، فرمول کسینوس زاویه مضاعف عبارت است از:

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۱ - ۲ \sin ^ ۲ \theta \$$

اگر ۲θ را برابر با متغیر دیگری مانند α در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$\alpha = ۲ \theta$$

$$\theta = \frac { \alpha } { ۲ }$$

بنابراین، رابطه کسینوس زاویه مضاعف بر حسب α به شکل زیر درمی‌آید:

$$\cos ( \alpha ) = ۱ - ۲ \sin ^ ۲ \frac { \alpha } { ۲ } \$$

اکنون، رابطه بالا را بر حسب سینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$۲ \sin ^ ۲ \frac { \alpha } { ۲ } = ۱ - \cos ( \alpha )$$

$$\sin ^ ۲ \frac { \alpha } { ۲ } = \frac { ۱ - \cos ( \alpha ) } { ۲ }$$

اکنون، از هر دو طرف رابطه جذر می‌گیریم:

$$\sin ( \frac { \alpha } { ۲ } ) = \sqrt { \frac { ۱ - \cos ( \alpha ) } { ۲ } }$$

به دلیل گرفتن جذر، علامت پشت رادیکال می‌تواند منفی یا مثبت باشد:

$$\sin ( \frac { \alpha } { ۲ } ) = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos ( \alpha ) } { ۲ } }$$

اثبات فرمول کسینوس نیم زاویه

به منظور اثبات فرمول کسینوس نیم‌زاویه، از یکی دیگر از روابط کسینوس زاویه مضاعف کمک می‌گیریم. این رابطه عبارت است از:

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۲ \cos ^ ۲ \theta - ۱$$

در ادامه، تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

$$\alpha = ۲ \theta$$

$$\theta = \frac { \alpha } { ۲ }$$

رابطه اول را بر حسب تغییر متغیرهای بالا و کسینوس نیم‌زاویه بازنویسی می‌کنیم:

$$\cos ( \alpha ) = ۲ \cos ^ ۲ ( \frac { \alpha }{ ۲ } ) \space - ۱$$

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { \alpha }{ ۲ } ) \space = \cos ( \alpha ) \space + ۱$$

$$\cos ^ ۲ ( \frac { \alpha }{ ۲ } ) \space = \frac { \cos ( \alpha ) \space + ۱ } { ۲ }$$

$$\cos ( \frac { \alpha }{ ۲ } ) \space = \sqrt { \frac { \cos ( \alpha ) \space + ۱ } { ۲ } }$$

$$\cos ( \frac { \alpha }{ ۲ } ) \space = \pm \sqrt { \frac { \cos ( \alpha ) \space + ۱ } { ۲ } }$$

اثبات روابط مثلثاتی نیم زاویه بر حسب نصف محیط مثلث

روابط مثلثاتی نیم‌زاویه، بر حسب اندازه ضلع‌ها و محیط مثلث نیز نوشته می‌شوند. برای اثبات این روابط مثلثاتی، مثلث زیر را در نظر بگیرید.

روابط مثلثاتی نیم زاویه بر حسب اندازه ضلع‌ها و محیط مثلث، عبارت هستند از:

$$\sin { ( \frac { A }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac { ( s - b ) ( s - c ) } { b c }}$$

$$\sin { ( \frac { B }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac { ( s - c ) ( s - a ) } { c a }}$$

$$\sin { ( \frac { C }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac { ( s - a ) ( s - b ) } { a b }}$$

$$\cos { ( \frac { A }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac { s ( s - a ) } { b c }}$$

$$\cos { ( \frac { B }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac { s ( s - b ) } { c a }}$$

$$\cos { ( \frac { C }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac { s ( s - c ) } { a b }}$$

$$\tan { ( \frac { A }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac {( s - b ) ( s - c ) } { s ( s - a ) }}$$

$$\tan { ( \frac { B }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac {( s - c ) ( s - a ) } { s ( s - b ) }}$$

$$\tan { ( \frac { C }{ ۲ } ) } = \sqrt {\frac {( s - a ) ( s - b ) } { s ( s - c ) }}$$

• a: ضلع مقابل به راس A
• b: ضلع مقابل به راس B
• c: ضلع مقابل به راس C
• s: محیط مثلث تقسیم بر ۲

در ادامه، به اثبات روابط مثلثاتی بالا می‌پردازیم.

اثبات رابطه مثلثاتی کسینوس نیم زاویه بر حسب نصف محیط مثلث

رابطه کسینوس نیم‌زاویه، عبارت است از:

$$\cos ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \pm \sqrt { \frac { \cos ( A ) \space + ۱ } { ۲ } }$$

هر دو طرف رابطه را به توان ۲ می‌رسانیم و آن را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = ۱ + \cos ( A ) \space$$

کسینوس زاویه راس A را بر اساس قانون کسینوس‌ها می‌نویسیم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = ۱ + \frac { b ^ ۲ + c ^ ۲ - a ^ ۲ }{ ۲ b c }$$

از عبارت‌های سمت راست، مخرج مشترک می‌گیریم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ b c + b ^ ۲ + c ^ ۲ - a ^ ۲ }{ ۲ b c }$$

سه عبارت اول در صورت کسر، اتحاد مربع دو جمله‌ای را نمایش می‌دهند. بنابراین داریم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ( b + c ) ^ ۲ - a ^ ۲ }{ ۲ b c }$$

صورت کسر تبدیل به اتحاد مزدوج شد. بر اساس این اتحاد داریم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ( b + c + a )( b + c - a ) }{ ۲ b c }$$

حاصل جمع عبارت‌های داخل پرانتز اول، برابر با محیط مثلث (۲s) است:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ s ( b + c - a ) }{ ۲ b c }$$

عبارت‌های داخل پرانتز بعدی را می‌توانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ s ( b + c - a + a - a) }{ ۲ b c }$$

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ s ( b + c + a - ۲ a ) }{ ۲ b c }$$

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ s ( ۲ s - ۲ a ) }{ ۲ b c }$$

از عدد ۲ در داخل پرانتز فاکتور می‌گیریم:

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ s ( ۲) ( s - a ) }{ ۲ b c }$$

$$۲ \cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { ۲ s ( s - a ) }{ b c }$$

ضریب ۲ در دو طرف رابطه را با یکدیگر ساده می‌کنیم:

$$\cos ^ ۲ ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \frac { s ( s - a ) }{ b c }$$

اکنون عبارت‌های دو طرف رابطه را زیر رادیکال می‌بریم:

$$\cos ( \frac { A }{ ۲ } ) \space = \sqrt { \frac { s ( s - a ) }{ b c } }$$

این رابطه برای راس‌های دیگر نیز به همین صورت اثبات می‌شود.

اثبات رابطه مثلثاتی سینوس نیم زاویه بر حسب نصف محیط مثلث

به منظور اثبات رابطه مثلثاتی سینوس نیم زاویه بر حسب ضلع‌ها و نصف محیط مثلث (s)، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\sin ( \frac { A } { ۲ } ) = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos ( A ) } { ۲ } }$$

برای شروع، این رابطه را به توان ۲ می‌رسانیم:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ - \cos ( A ) } { ۲ }$$

قانون کسینوس‌ها برای کسینوس A می‌نویسیم:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ - \frac {b ^ ۲ + c ^ ۲ - a ^ ۲ } { ۲ b c } } { ۲ }$$

پس از گرفتن مخرج مشترک در صورت کسر خواهیم داشت:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { \frac { ۲ bc - b ^ ۲ - c ^ ۲ + a ^ ۲ } { ۲ b c } } { ۲ }$$

یک‌دوم را به پشت کسر منتقل می‌کنیم:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ۲ bc - b ^ ۲ - c ^ ۲ + a ^ ۲ } { ۲ b c }$$

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { a ^ ۲ - ( b ^ ۲ + c ^ ۲ - ۲ bc ) } { ۲ b c }$$

بر اساس اتحاد مربع دو جمله‌ای، عبارت داخل پرانتز به شکل زیر در می‌آید:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { a ^ ۲ - ( b - c ) ^ ۲ } { ۲ b c }$$

بر اساس اتحاد مزدوج نیز صورت کسر به عبارت زیر تغییر می‌کند:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ( a + b - c )( a + c - b ) } { ۲ b c }$$

عبارت‌های داخل پرانتز را می‌توانیم به صورت زیر تغییر دهیم:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ( a + b - c + c - c)( a + c - b + b - b) } { ۲ b c }$$

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ( a + b + c - ۲ c )( a + c + b - ۲ b) } { ۲ b c }$$

حاصل جمع b ،a و c، همان محیط مثلث یا دو برابر نصف محیط (۲s) است:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ( ۲ s - ۲ c )(۲ s - ۲ b) } { ۲ b c }$$

از عدد دو در هر یک از پرانتزها فاکتور می‌گیریم:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ( ۲ )( s - c ) ( ۲ )( s - b) } { ۲ b c }$$

اعداد ۲ را با یکدیگر ساده می‌کنیم:

$$\sin ^ ۲ ( \frac { A } { ۲ } ) = \frac { ( s - c ) ( s - b) } { b c }$$

عبارت‌های دو طرف رابطه را زیر رادیکال می‌بریم:

$$\sin ( \frac { A } { ۲ } ) = \sqrt { \frac { ( s - c ) ( s - b) } { b c } }$$

به این ترتیب، رابطه سینوس نیم‌زاویه بر حسب ضلع‌ها و نصف محیط مثلث به دست می‌آید. با استفاده از روشی مشابه می‌توانیم فرمول سینوس نیم‌زاویه دیگر راس‌ها را نیز به دست بیاوریم.

اثبات تبدیل جمع به ضرب روابط مثلثاتی

تبدیل جمع به ضرب سینوس و کسینوس، با استفاده از فرمول‌های زیر انجام می‌گیرد:

$$\begin{aligned} & \sin A + \sin B = ۲ \sin \left ( \frac { A + B } { ۲ }\right) \cos \left ( \frac { A - B } { ۲ } \right) \ & \sin A - \sin B = ۲ \sin \left ( \frac { A - B } { ۲ }\right) \cos \left ( \frac { A + B } { ۲ } \right ) \ & \cos A - \cos B = - ۲ \sin \left ( \frac { A + B } { ۲ } \right) \sin \left ( \frac { A - B } { ۲ } \right ) \ & \cos A + \cos B = ۲ \cos \left ( \frac { A + B } { ۲ } \right ) \cos \left ( \frac { A - B } { ۲ } \right ) \end{aligned}$$

تبدیل ضرب به جمع سینوس و کسینوس نیز توسط فرمول‌های زیر انجام می‌گیرد:

$$\sin A \cos B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( A + B ) + \sin ( A - B ) ]$$

$$\cos A \sin B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( A + B ) - \sin ( A - B ) ]$$

$$\cos A \cos B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) ]$$

$$\sin A \sin B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \cos ( A - B ) - \cos ( A + B ) ]$$

برای اینکه بتوانیم روابط مثلثاتی تبدیل جمع به ضرب را اثبات کنیم، ابتدا باید روابط تبدیل ضرب به جمع را اثبات کرده باشیم.

اثبات روابط مثلثاتی تبدیل ضرب به جمع

اثبات روابط مثلثاتی تبدیل ضرب به جمع، با استفاده از عبارت‌های سمت راست این روابط و به کمک فرمول‌های توابع مثلثاتی جمع و تفریق دو زاویه انجام می‌گیرد. به عنوان مثال، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\cos A \cos B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) ]$$

در سمت راست این رابطه، جمع و نفریق کسینوس دو زاویه A و B را می‌بینیم. کسینوس جمع دو زاویه عبارت است از:

$$\cos ( A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$

فرمول کسینوس تفریق دو زاویه نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\cos ( A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

اگر حاصل این دو عبارت را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:

$$\cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B + \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

$$\cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) = \cos A \cos B \cos A \cos B$$

$$\cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) = ۲ \cos A \cos B$$

$$\frac { ۱ }{ ۲ } [ \cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) ] = \cos A \cos B$$

روابط دیگر تبدیل ضرب به جمع نیز به همین شکل اثبات می‌شوند.

اثبات روابط مثلثاتی تبدیل جمع به ضرب

یکی از رابطه‌های مثلثاتی تبدیل جمع به ضرب (مانند رابطه زیر) را در نظر بگیرید:

$$\sin A + \sin B = ۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ })$$

برای اثبات رابطه بالا، ابتدا تغییر متغیرهای زیر را در نظر بگیرید:

$$\alpha = \frac { A + B } { ۲ }$$

$$\beta = \frac { A - B } { ۲ }$$

به این ترتیب، داریم:

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = ۲ \sin ( \alpha ) \cos ( \beta )$$

عبارت‌های سمت راست، ضرب سینوس در کسینوس را نمایش می‌دهند. فرمول تبدیل ضرب سینوس در کسینوس به جمع برابر است با:

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) ]$$

بنابراین:

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = ۲ \times \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) ]$$

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta )$$

اکنون، به جای α و β، عبارت‌های اصلی را قرار می‌دهیم:

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = \sin ( \frac { A + B } { ۲ } + \frac { A - B } { ۲ } ) + \sin ( \frac { A + B } { ۲ } - \frac { A - B } { ۲ } )$$

از کسرها مخرج مشترک می‌گیریم:

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = \sin ( \frac { A + B + A - B } { ۲ } ) + \sin ( \frac { A + B - A + B } { ۲ } )$$

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = \sin ( \frac { ۲ A} { ۲ } ) + \sin ( \frac { ۲ B } { ۲ } )$$

در نتیجه:

$$۲ \sin ( \frac { A + B } { ۲ }) \cos ( \frac { A - B } { ۲ }) = \sin ( A ) + \sin ( B )$$

دیگر فرمول‌های مربوط به تبدیل جمع به ضرب روابط مثلثاتی نیز به همین روش اثبات می‌شوند.

تمرین اثبات روابط مثلثاتی

در بخش‌های قبلی، اغلب روابط مهم مربوط به سینوس و کسینوس را اثبات کردیم. در این بخش، به اثبات برخی از دیگر روابط مثلثاتی، مخصوصا روابط مثلثاتی مربوط به تانژانت می‌پردازیم.

تمرین ۱: اثبات رابطه بین تانژانت، سکانت و کسکانت

رابطه $$\tan \theta = \frac { \sec \theta }{ \csc \theta }$$ را اثبات کنید.

برای اثبات رابطه مورد سوال، از تعریف سکانت و کسکانت استفاده می‌کنیم:

$$\sec \theta = \frac { ۱ }{ \cos \theta }$$

$$\csc \theta = \frac { ۱ }{ \sin \theta }$$

روابط بالا را بر حسب سینوس و کسینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$\cos \theta = \frac { ۱ }{ \sec \theta }$$

$$\sin \theta = \frac { ۱ }{ \csc \theta }$$

می‌دانیم که تانژانت یک زاویه، از تقسیم سینوس بر کسینوس آن زاویه به دست می‌آید:

$$\tan \theta = \frac { \sin \theta }{ \cos \theta }$$

روابط سینوس و کسینوس بر حسب کسکانت و سکانت را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$\tan \theta = \frac { \frac { \sin \theta }{ \cos \theta } }{ \frac { ۱ }{ \sec \theta } }$$

$$\tan \theta = \frac { \frac { ۱ }{ \csc \theta } }{ \frac { ۱ }{ \sec \theta } }$$

با استفاده از روش «دور در دور، نزدیک در نزدیک» کسرهای صورت و مخرج را ساده می‌کنیم:

$$\tan \theta = \frac { ۱ \times \sec \theta }{ \csc \theta \times ۱ }$$

در نتیجه:

$$\tan \theta = \frac {\sec \theta }{ \csc \theta }$$

تمرین ۲: اثبات رابطه مربع تانژانت

رابطه $$\tan ^ ۲ \theta = \sec ^ ۲ \theta - ۱$$ را اثبات کنید.

برای اثبات رابطه مربع تانژانت، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\cos ^ ۲ { \theta } + \sin ^ ۲ { \theta }= ۱$$

تمام عبارت‌های رابطه بالا را بر $$\cos ^ ۲ \theta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { \cos ^ ۲ { \theta } } { \cos ^ ۲ \theta } + \frac { \sin ^ ۲ { \theta } } { \cos ^ ۲ \theta } = \frac { ۱ } { \cos ^ ۲ \theta }$$

حاصل عبارت‌های بالا از سمت چپ به راست برابر است با:

$$\frac { \cos ^ ۲ { \theta } } { \cos ^ ۲ \theta } = ۱$$

$$\frac { \sin ^ ۲ { \theta } } { \cos ^ ۲ \theta } = \tan ^ ۲ \theta$$

$$\frac { ۱ } { \cos ^ ۲ \theta } = \sec ^ ۲ \theta$$

به این ترتیب داریم:

$$۱ + \tan ^ ۲ \theta = \sec ^ ۲ \theta$$

$$\tan ^ ۲ \theta = \sec ^ ۲ \theta - ۱$$

تمرین ۳: اثبات روابط جمع و تفریق مثلثاتی تانژانت

فرمول‌های زیر، روابط تانژانت جمع و تفریق دو زاویه را نمایش می‌دهند. این فرمول‌ها را اثبات کنید.

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \tan { \alpha } + \tan { \beta } } { ۱ - \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \tan { \alpha } - \tan { \beta } } { ۱ + \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

به منظور اثبات فرمول‌های بالا، عبارت تانژانت آن‌ها بر حسب سینوس و کسینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \sin ( \alpha + \beta ) } { \cos ( \alpha + \beta ) }$$

بر اساس روابط سینوس و کسینوس جمع دو زاویه داریم:

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } { \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta }$$

صورت و مخرج کسر را بر عبارت $$\cos \alpha \cos \beta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \frac { \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } { \frac { \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } }$$

کسرهای صورت و مخرج را باز می‌کنیم:

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \frac { \sin \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } + \frac { \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } { \frac { \cos \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } - \frac { \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } }$$

کسرها را تا حدل ممکن با هم ساده می‌کنیم:

$$\frac { \sin \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } = \tan \alpha$$

$$\frac { \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } = \tan \beta$$

$$\frac { \cos \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } = ۱$$

$$\frac { \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } = \tan \alpha \tan \beta$$

بنابراین داریم:

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { ۱ - \tan \alpha \tan \beta }$$

برای اثبات فرمول تانژانت تفریق دو زاویه دو روش وجود دارد. اولین روش، بازنویسی تفریق دو زاویه به صورت جمع است. به این منظور، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \tan [ \alpha + ( - \beta ) ]$$

طرف راست رابطه، تانژانت جمع دو زاویه α و β- را نمایش می‌دهد. فرمول این تانژانت عبارت است از:

$$\tan [ \alpha + ( - \beta ) ] = \frac { \tan \alpha + \tan ( - \beta ) } { ۱ - \tan \alpha \tan ( - \beta ) }$$

از بخش اثبات روابط مثلثاتی با زاویه منفی می‌دانیم که:

$$\tan ( - \beta ) = - \tan \beta$$

بنابراین، داریم:

$$\tan [ \alpha + ( - \beta ) ] = \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { ۱ + \tan \alpha \tan \beta }$$

روش دیگر اثبات فرمول تانژانت تفریق دو زاویه، استفاده از تعریف تانژانت بر حسب سینوس و کسینوس است. به این منظور، ابتدا رابطه تانژانت رابه صورت زیر می‌نویسیم:

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \sin ( \alpha - \beta ) } { \cos ( \alpha - \beta ) }$$

با توجه به فرمول‌های سینوس و کسینوس تفریق دو زاویه، داریم:

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta } { \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta }$$

صورت و مخرج کسر را بر عبارت $$\cos \alpha \cos \beta$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \frac { \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta }{ \cos \alpha \cos \beta }} { \frac { \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta }{ \cos \alpha \cos \beta } }$$

با ساده‌سازی کسرهای صورت و مخرج، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$\tan [ \alpha + ( - \beta ) ] = \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { ۱ + \tan \alpha \tan \beta }$$

در نتیجه:

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \tan { \alpha } - \tan { \beta } } { ۱ + \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

تمرین ۴: اثبات رابطه تانژانت زاویه مضاعف

رابطه $$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ - \tan ^ ۲ \theta }$$ اثبات کنید.

برای اثبات رابطه مورد سوال، ابتدا طرف چپ آن را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { \sin ( ۲ \theta ) }{ \cos ( ۲ \theta ) }$$

از روابط اثبات شده سینوس و کسینوس زاویه مضاعف می‌دانیم که:

$$= \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \frac { ۱ - \tan ^ ۲ \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

به این ترتیب، داریم:

$$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta } }{ \frac { ۱ - \tan ^ ۲ \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta } }$$

مخرج کسر بالا با مخرج کسر پایین زده می‌شود:

$$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { \frac { ۲ \tan \theta } {۱ } }{ \frac { ۱ - \tan ^ ۲ \theta } { ۱} }$$

$$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ - \tan ^ ۲ }$$

تمرین ۵: اثبات رابطه تانژانت نیم زاویه

رابطه $$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \frac { ۱ - \cos \theta }{ \sin \theta }$$ را اثبات کنید.

رابطه اصلی تانژانت نیم‌زاویه را در نظر بگیرید:

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۱ + \cos \theta } }$$

برای خارج کردن عبارت‌های سمت راست از زیر رادیکال، از روش گویا کردن مخرج استفاده می‌کنیم:

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۱ + \cos \theta } } \times \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۱ - \cos \theta } }$$

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۱ + \cos \theta } \times \frac { ۱ - \cos \theta }{ ۱ - \cos \theta }}$$

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta ) ^ ۲ }{ ( ۱ + \cos \theta ) \times ( ۱ - \cos \theta )} }$$

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta ) ^ ۲ }{ ۱ - \cos \theta + \cos \theta - \cos ^ ۲ \theta } }$$

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta ) ^ ۲ }{ ۱ - \cos ^ ۲ \theta } }$$

بر اساس رابطه مجموع مربعات سینوس و کسینوس (قضیه فیثاغورس در توابع مثلثاتی)، مخرج کسر برابر با $$\sin ^ ۲ \theta$$ است:

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta ) ^ ۲ }{ \sin ^ ۲ \theta } }$$

عبارت‌های صورت و مخرج کسر دارای توان مشترک ( توان ۲) هستند. بنابراین:

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \pm \sqrt { ( \frac { ۱ - \cos \theta }{ \sin \theta } ) ^ ۲ }$$

اکنون می‌توانیم کسر را از زیر رادیکال خارج کنیم:

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \frac { ۱ - \cos \theta }{ \sin \theta }$$

اگر برای گویا کردن رادیکال، از ضریب زیر استفاده می‌کردیم:

$$\sqrt { \frac { ۱ + \cos \theta }{ ۱ + \cos \theta } }$$

به رابطه زیر می‌رسیدیم:

$$\tan { \frac { \theta }{ ۲ } } = \frac { \sin \theta }{ ۱ + \cos \theta }$$

روش‌های مختلفی برای اثبات روابط مثلثاتی وجود دارند. با به خاطر داشتن برخی از مهم‌ترین روابط و اصطلاحا بازی کردن با آن‌ها، می‌توانید به فرمول‌های دیگر برسید.