ریاضی

انتگرال و محاسبات آن – به زبان ساده

۱۴۴۳
۱۴۰۴/۰۲/۶
۵ دقیقه
PDF
آموزش متنی جامع
نمونه سوال و تمرین + پاسخ تشریحی
آزمون سنجش یادگیری
امکان دانلود نسخه PDF

در این مطلب از مجله فرادرس با مفهوم انتگرال و محاسبات آن به زبان ساده آشنا می‌شویم. از مهم‌ترین ابزارهای ریاضیاتی تاریخ علم، که بشر تاکنون به آن دست یافته، «انتگرال» (Integral) است. از این مفهوم می‌توان به‌منظور محاسبه مساحت، حجم و طول استفاده کرد. نماد استفاده شده برای توصیف انتگرال، s کشیده است. این حرف مخفف کلمه لاتین «Sum» به معنای جمع است. برای شروع، با استفاده از مساحت سطح زیر نمودار، به معرفی این مفهوم می‌پردازیم. به‌منظور درک مفهوم انتگرال در ابتدا بایستی با مشتق آشنایی داشته باشید. در ادامه مفاهیمی مرتبط با انتگرال همچون انتگرال سطحی، انتگرال دوگانه و انتگرال توابع مثلثاتی را توضیح خواهیم داد.

انتگرال و محاسبات آن – به زبان سادهانتگرال و محاسبات آن – به زبان ساده
997696

سوال:

مساحت سطح زیر نمودار تابع (y=f(x چقدر است؟

integral

تقسیم‌بندی مساحت

همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌بینید، به‌منظور محاسبه مساحت سطحِ زیر یک نمودار می‌توان آن را چند قسمت کرد. برای راحتی کار عرض تمامی این بخش‌ها، یکسان و برابر با Δx\Delta x در نظر گرفته می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + مرور و حل تست کنکور کارشناسی ارشد + گواهینامه در فرادرس
کلیک کنید

integral

بنابراین همان‌گونه که در بالا بیان شد، با محاسبه مستطیل‌های فرض‌ شده، می‌توان مساحت زیر نمودار را بدست آورد. احتمالا شما نیز متوجه شده‌اید که مساحت محاسبه شده با مقدار مدنظر تفاوت خواهد داشت. همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌بینید، نواحی قرمز رنگ، اختلاف مساحت مدنظر و مساحت محاسبه شده را نشان می‌دهند. به نظر شما چطور می‌توان مقدار بدست آمده را به مقدار واقعی نزدیک‌تر کرد؟

integral

حال با همان روش قبلی، سطوح را تقسیم‌بندی کنید، اما این بار فواصل Δx\Delta x را کوچک‌تر در نظر بگیرید. در شکل زیر نیز مشخص است که با کوچک کردن این فواصل، مساحت محاسبه شده و مساحت مدنظر به یکدیگر نزدیک‌تر شده‌اند.

integral

بر همین مبنا، مطابق شکل زیر اگر Δx\Delta x به صفر میل کند، (مساحت به بینهایت بخش تقسیم شود) مساحت مد نظر ما نیز بدست می‌آید.

integral

محاسبه مساحت

به نظر می‌رسد با محاسبه مساحت بینهایت مستطیل، می‌توان سطح زیر یک نمودار را بدست آورد. اما سوال این‌جا است که به راستی چگونه می‌توان بینهایت عدد را محاسبه کرد؟ واقعیت این است که نیازی نیست تمامی این مساحت‌ها را بدانیم، چراکه نیوتن راه کوتاه‌تری را به ما نشان داده. او اثبات کرده که انتگرال و مشتق عکس هم هستند. برای درک بهتر به مثال‌های زیر توجه فرمایید.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس
فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس
کلیک کنید

توجه داشته باشید که به منظور حل یک انتگرال می‌توان از تکنیک‌های مختلفی استفاده کرد. در مطالب پیشین مجله فرادرس در مورد مهم‌ترین تکنیک‌های حل انتگرال صحبت کردیم. معروف‌ترینِ این روش‌ها، جزء به جزء، تغییر متغیر، روش‌‌های عددی و تجزیه کسر (کسرهای جزئی) هستند؛ البته در این لینک به کلیات روش‌های حل نیز اشاره شده است.

مثال ۱

انتگرال تابع y=2x را بیابید.

می‌دانیم که مشتق تابع x2x^2 برابر با ۲x است. بنابراین انتگرال 2x برابر با x2 می‌شود.

integral-derivation

در بخش دوم در مورد قوانین حاکم در حل انتگرال یک تابع، بیشتر بحث خواهیم کرد. توجه داشته باشید که مساحت را می‌توان با استفاده از انتگرال دوگانه نیز بدست آورد.

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس
کلیک کنید

نماد انتگرال

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، نماد استفاده شده به منظور توصیف انتگرال، حرف s کشیده است. پس از این نماد، تابعی قرار می‌گیرد که هدف ما محاسبه انتگرال آن است. سپس dx قرار می‌گیرد که نشان دهنده عرض هر‌کدام از مستطیل‌ها است.

integral

در حالت کلی قالب نوشتن یک معادله انتگرالی به شکل زیر است.

integral

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی + گواهینامه در فرادرس
فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی + گواهینامه در فرادرس
کلیک کنید

C به چه معنا است؟

در مثال شماره ۱، پاسخ را برابر با x2x^2 بدست آوردیم، اما چرا در جواب نهایی، آن را با C جمع کردیم؟ عدد C ثابت انتگرال است. دلیل قرار گرفتن C این است که اگر تابع x2x^2 را با هر عدد ثابتی جمع کنیم و سپس از آن مشتق بگیریم، همچنان 2x ظاهر می‌شود. در حقیقت مشتق توابع x2+9,x2+1025,x2+4x^2+9 ,x^2+1025,x^2+4 همگی برابر با ۲x هستند، در نتیجه تمامی آن‌ها را می‌توان به عنوان پاسخ انتگرال مثال ۱ در نظر گرفت.

integral

از این رو به‌منظور بیان این اعداد از ثابت C استفاده می‌کنیم.

مخزن آب

انتگرال‌گیری را می‌توان مشابه با مخزن آبی دانست که توسط یک شیر در حال پر شدن است. تابع ورودی، همان نرخ جریان آب در هر لحظه است. با انتگرال‌گیری از این نرخ (جمع زدن مقادیر آب اضافه شده در هر لحظه)، می‌توان حجم آب موجود درون مخزن را یافت.

اگر نرخ جریان ورودی مطابق با تابع 2t تغییر کند، حجم کلی آب موجود در مخزن، در زمان t برابر با t2t^2 است. [ با فرض این‌که در حالت اولیه مخزن خالی بوده باشد.]

integral-انتگرال

مثال ۲

مخزنی را در نظر بگیرید که جریان آب با نرخ 2t liters2t \space {liter \over s} به آن ریخته می‌شود. با فرض این‌که مخزن در حالت اولیه خالی بوده باشد، حجم آب موجود در مخزن پس از گذشت زمان ۳ و ۴ ثانیه چقدر است؟

پس از گذشت زمان ۳ ثانیه، نرخ جریان ورودی به مخزن برابر است با:

2t=2×3=6liters\large 2t = 2×3 = 6 \enspace {liter \over s}

هم‌چنین برای محاسبه حجم آب ریخته شده به مخزن، می‌توان از تابع 2t، به شکل زیر انتگرال گرفت.

  =∫2tdt=t2=32=9\large = \int 2t dt=t^2 = 3^2 = 9

در نتیجه حجم آب موجود در مخزن، در لحظه ۳ ثانیه برابر با ۹ لیتر است. به همین شکل در لحظه t=4 نیز حجم آب وارد شده به مخزن، برابر با لیتر ۴2=16۴^2=16 خواهد بود.

همین فرآیند را می‌توان برعکس نیز انجام داد. یعنی با داشتن مقدار آب درون مخزن، در هر لحظه، نرخ جریان ورودی به آن را در همان لحظه بدست آورد. برای مثال فرض کنید در یک لحظه مشخص میزان آب درون مخزن برابر با ۱۶ لیتر باشد. از آنجایی که حجم آب درون مخزن با استفاده از رابطه V=t2V=t^2 محاسبه می‌شود، می‌توان گفت:

V=t2=16→t=16=4s\large V=t^2=16 \rightarrow t= \sqrt {16} = 4 \enspace s

→2t=2×4=8lits\large \rightarrow \enspace \enspace 2t=2×4=8 \enspace {lit \over s}

integral-انتگرال

در حقیقت دو بیان زیر معادل هم هستند.

انتگرال نرخ جریان ورودی، حجم آب موجود در مخزن را محاسبه می‌کند ≡ شیب حجم آب موجود در مخزن، نرخ جریان ورودی به آن را نشان می‌دهد.

انتگرال دیگر توابع

در بالا به اندازه کافی در مورد تابع 2x صحبت کردیم. در این قسمت قصد داریم تا در مورد نحوه انتگرال‌گیریِ دیگر توابع بحث کنیم.

فیلم انتگرال چیست؟ + تعریف و نحوه محاسبه (فیلم آموزش رایگان) در فرادرس
کلیک کنید

مثال ۳

انتگرال تابع f(x)=cos(x)f(x)=cos(x) را بیابید.

همان‌طور که می‌دانید برای محاسبه انتگرال این تابع، بایستی به دنبال رابطه‌ای بگردیم که مشتق آن برابر با (cos (x شود. احتمالا می‌دانید که تابع مد‌نظر (sin (x است، چراکه مشتق آن برابر با (cos (x می‌شود. بنابراین می‌توان گفت:

∫cos(x)dx=sin(x)+C\large \int cos (x) dx= sin(x)+C

integral-انتگرال

مثال ۴

به نظر شما انتگرال تابعی که به شکل f(x)=xnf(x)=x^n باشد، به چه صورت است.

برای محاسبه چنین انتگرالی بایستی فکر کنید که مشتق چه تابعی برابر با f(x)=xnf(x)=x^n می‌شود. تابعی به شکل زیر را در نظر بگیرید:

xn+1n+1+C\large {{x^{n+1} \over {n+1}} +C}

مشتق این تابع برابر با f′(x)=xnf'(x)=x^n است. بنابراین می‌توان گفت:

∫xndx=xn+1n+1\large \int \enspace x^n dx = {x^{n+1} \over {n+1}}

مثال ۵

حاصل ∫x3dx\int x^3 dx را بیابید.

با جایگذاری ۳ به‌جای n در معادله بالا داریم:

→∫x3dx=x44+C\large \rightarrow \int x^3 dx={x^4 \over 4} + C

انتگرال معین و نامعین

تاکنون انتگرال‌هایی که محاسبه شد، همگی نامعین بودند. انتگرال معین اصطلاحی است که به منظور محاسبه انتگرال در بازه‌ای مشخص استفاده می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس
فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس
کلیک کنید

در حقیقت انتگرال معین، مساحت زیر منحنی در بازه مفروض را (مثلا a تا b) محاسبه می‌کند. شکل زیر مفهوم انتگرال معین را نشان داده است.

integral

در بخش آینده، روش‌هایی را ارائه خواهیم داد (مانند روش تجزیه کسر) که با استفاده از آن‌ها قادر خواهید بود تا انتگرال توابع مختلف را محاسبه کنید. در آینده انتگرال دوگانه و نحوه محاسبه طول قوس منحنی به کمک انتگرال را نیز توضیح خواهیم داد. هم‌چنین در صورت علاقه‌مندی می‌توانید نحوه بدست آوردن انتگرال توابع مثلثاتی را نیز مطالعه فرمایید.

قبل از شروع آزمون، چند نکته مهم در رابطه با ویژگی‌های انتگرال را با یکدیگر مرور می‌کنیم:

  1. ∫abf(x)dx=− ∫baf(x)dx\int_{a}^{b} f( x ) d x = - \ \int_{b}^{a} f( x ) d x
  2. ∫aaf(x)dx=0\int_{a}^{a} f( x ) d x = 0
  3. ∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx\int_{a}^{b} c f( x ) d x = c\int_{a}^{b} f( x ) d x
  4. ∫abf(x)±g(x)dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\int_{a}^{b} f( x ) \pm g ( x ) d x = \int_{a}^{b} f( x ) d x \pm \int_{a}^{b} g( x ) d x
  5. ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_{a}^{b} f( x ) d x = \int_{a}^{c} f( x ) d x + \int_{c}^{b} f( x ) d x

آزمون انتگرال و محاسبات آن

در این قسمت به منظور درک بهتر مفهوم انتگرال و محاسبات آن، تعدادی پرسش چهار گزینه‌ای به صورت آزمون تهیه شده است.

تمرین و آزمون

اگر مقدار انتگرال‌های ∫12−10f(x)dx=6\int_{ 12 }^{ - 10 }f ( x ) d x = 6 و ∫100−10f(x)dx=−2\int_{ 100 }^{ - 10 }f ( x ) d x = -2 و ∫100−5f(x)dx=4\int_{ 100 }^{ -5 }f ( x ) d x = 4  را داشته باشیم، مقدار انتگرال ∫−512f(x)dx\int_{ -5 }^{ 12 }f ( x ) d x برابر است با: 

۱۲-

۱۲+

۸+

۸-

پاسخ تشریحی

برای حل این مسئله از رابطه انتگرالی زیر استفاده می‌کنیم:

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_{a}^{b} f( x ) d x = \int_{a}^{c} f( x ) d x + \int_{c}^{b} f ( x ) dx

۵- یکی از حدهای انتگرال ∫100−5f(x)dx=4\int_{ 100 }^{ -5 }f ( x ) d x = 4 است. از آنجا که ۵- حد پایین انتگرال ذکر شده نیست، می‌توانیم آن را به صورت زیر به حد پایین انتگرال منتقل کنیم: 

∫100−5f(x)dx=4∫−5100f(x)dx=−4\int_{ 100 }^{ -5 }f ( x ) d x = 4 \\ \int_{ -5 }^{ 100 }f ( x ) d x = -4

با توجه به رابطه $$$$\int_{a}^{b} f( x ) d x = \int_{a}^{c} f( x ) d x + \int_{c}^{b} f ( x ) dx $$$$، انتگرال ∫−512f(x)dx\int_{ -5 }^{ 12 }f ( x ) d x را می‌توانیم به صورت زیر بشکنیم و مقدارهای داده شده را جایگزین کنیم: 

∫−512f(x)dx=∫−5100f(x)dx+∫100−10f(x)dx+∫−1012f(x)dx∫−512f(x)dx=−∫100−5f(x)dx+∫100−10f(x)dx−∫12−10f(x)dx=−4−2−6=−12\int_{ -5 }^{ 12 }f ( x ) d x = \int_{ -5 }^{ 100 }f ( x ) d x + \int_{ 100 }^{ -10 }f ( x ) d x + \int_{ -10 }^{ 12 }f ( x ) d x \\ \int_{ -5 }^{ 12 }f ( x ) d x = - \int_{ 100 }^{ -5 }f ( x ) d x + \int_{ 100 }^{ -10 }f ( x ) d x - \int_{ 12 }^{ -10 }f ( x ) d x = -4 -2 - 6 = -12

با توجه به مقدارهای دو انتگرال ∫6−10f(x)dx=23\int_{ 6 }^{ -10 }f ( x ) d x = 23 و ∫−106g(x)dx=−9\int_{ -10 }^{ 6 } g ( x ) d x = -9، حاصل عبارت ∫−106(2f(x)−10g(x))dx\int_{ -10 }^{ 6 } ( 2 f ( x) - 10 g ( x ) ) dx برابر است با:

۱۳۶

۴۴

۴۴-

۱۴۶-

پاسخ تشریحی

برای حل این مسئله از دو ویژگی زیر برای انتگرال‌ها استفاده می‌کنیم:

  1. ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_{ a }^{ b } f( x) dx = - \int_{ b }^{ a } f( x) dx
  2. ∫ab(f(x)±g(x))dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\int_{ a }^{ b } (f( x) \pm g( x) ) dx = \int_{a}^{b} f( x) dx \pm \int_{a}^{b} g( x ) d x 

با توجه به ویژگی ۲، انتگرال ∫−106(2f(x)−10g(x))dx\int_{ -10 }^{ 6 } ( 2 f ( x) - 10 g ( x ) ) dx را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم: 

∫−106(2f(x)−10g(x))dx=∫−1062f(x)dx−∫−10610g(x)dx\int_{ -10 }^{ 6 } ( 2 f ( x) - 10 g ( x ) ) dx = \int_{ -10 }^{ 6 } 2 f( x) d x - \int_{ -10 }^{ 6 } 10 g ( x) dx

با توجه به آن‌که عدد ثابت می‌تواند بدون تغییر از انتگرال خارج شود، عبارت فوق را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

∫−106(2f(x)−10g(x))dx=∫−1062f(x)dx−∫−10610g(x)dx=2∫−106f(x)dx−10∫−106g(x)dx\int_{ -10 }^{ 6 } ( 2 f ( x) - 10 g ( x ) ) dx = \int_{ -10 }^{ 6 } 2 f( x) d x - \int_{ -10 }^{ 6 } 10 g ( x) dx \\ = 2 \int_{ -10 }^{ 6 } f( x) d x - 10 \int_{ -10 }^{ 6 } g ( x) dx

با توجه به آن‌که حد پایین انتگرال در عبارت فوق برابر ۱۰- و حد بالا برابر ۶ است، انتگرال ∫6−10f(x)dx=23\int_{ 6 }^{ -10 }f ( x ) d x = 23 را به صورت زیر می‌نویسیم:

∫−106f(x)dx=−23\int_{ -10 }^{ 6 }f ( x ) d x = -23

در نتیجه، مقدار انتگرال ∫−106(2f(x)−10g(x))dx\int_{ -10 }^{ 6 } ( 2 f ( x) - 10 g ( x ) ) dx برابر است با: 

∫−106(2f(x)−10g(x))dx=∫−1062f(x)dx−∫−10610g(x)dx=2∫−106f(x)dx−10∫−106g(x)dx2(−∫6−10f(x)dx)−10∫−106g(x)dx=2(−23)−10(−9)=44\int_{ -10 }^{ 6 } ( 2 f ( x) - 10 g ( x ) ) dx = \int_{ -10 }^{ 6 } 2 f( x) d x - \int_{ -10 }^{ 6 } 10 g ( x) dx \\ = 2 \int_{ -10 }^{ 6 } f( x) d x - 10 \int_{ -10 }^{ 6 } g ( x) dx \\ 2 (-\int_{ 6 }^{ -10 } f( x) d x) - 10 \int_{ -10 }^{ 6 } g ( x) dx \\ = 2(-23)-10 (-9) =44

مقدار انتگرال ∫40t(t−2)dt\int_{ 4 }^{ 0 } \sqrt { t } ( t -2 ) dt برابر است با:

− 3215- \ \frac { 32 } { 15 }

− 1532- \ \frac { 15 } { 32 }

− 3212- \ \frac { 32 } { 12 }

− 3615- \ \frac { 36 } { 15 }

پاسخ تشریحی

ابتدا t\sqrt { t } را به صورت $$ t ^ { \frac{ 1 } { 2 } $$

t(t−2)=t12(t−2)=t32−2t12\sqrt { t } ( t -2 ) = t ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t - 2 ) = t ^ { \frac { 3} { 2 } } - 2 t ^ { \frac { 1 } { 2 } }

بنابراین، انتگرال ∫40t(t−2)dt\int_{ 4 }^{ 0 } \sqrt { t } ( t -2 ) dt را می‌توانیم به صورت زیر حل کنیم:

∫40t(t−2)dt=∫40(t32−2t32)dt=(23t52−43t32)∣400−(23(4)52−43(4)32)=− 3215\int_{ 4 }^{ 0 } \sqrt { t } ( t -2 ) dt = \int_{ 4 }^{ 0 } ( t ^ {\frac { 3 } { 2 } } - 2 t ^ { \frac { 3 } { 2 } }) d t \\ = ( \frac { 2 } { 3 } t ^ { \frac { 5 } { 2 } } - \frac { 4 } { 3 } t ^ {\frac { 3 } { 2 }})|_ { 4} ^ { 0 } \\ 0 - ( \frac { 2 } { 3 } (4) ^ { \frac { 5 } { 2 } } - \frac { 4 } { 3 } ( 4 ) ^ {\frac { 3 } { 2 }}) = - \ \frac { 32 } { 15 }

مقدار انتگرال ∫0π3(2sinθ−5cosθ)dθ\int_{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } (2 sin \theta - 5 cos \theta) d \theta برابر است با:

1+5321 + \frac {5 \sqrt { 3 } } { 2 }

2−5322 - \frac {5 \sqrt { 3 } } { 2 }

1−5321 - \frac {5 \sqrt { 3 } } { 2 }

1−321 - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }

پاسخ تشریحی

به هنگام حل انتگرال داده شده باید به علامت‌ها بسیار دقت داشته باشیم:

∫0π3(2sinθ−5cosθ)dθ=∫0π32sinθdθ−∫0π35cosθdθ=2∫0π3sinθdθ−5∫0π3cosθdθ=(−2cosθ−5sinθ)∣0π3=−2cos(π3)−5sin(π3)−(−2cos(0)−5sin(0))=−1−532+2=1−532\int_{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } (2 sin \theta - 5 cos \theta) d \theta= \int_{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } 2 sin \theta d \theta - \int_{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } 5 cos \theta d \theta \\ = 2 \int_{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } sin \theta d \theta - 5 \int_{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } cos \theta d \theta \\ = ( - 2 cos \theta - 5 sin \theta )|_ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \\ = -2 cos (\frac { \pi } { 3 } ) - 5 sin (\frac { \pi} { 3 } ) - ( -2cos ( 0) - 5 sin ( 0 ) ) = -1 -\frac { 5 \sqrt { 3 } } { 2 } + 2 \\ = 1 - \frac {5 \sqrt { 3 } } { 2 }

اگر ∫x−1x3 dx=12x2f(x)+C\int \frac { x - 1 } { x ^ 3 } \ dx = \frac { 1 } { 2 x ^ 2 } f ( x) + C باشد، آن‌گاه f(x)f ( x ) برابر است با: 

−2x+1- 2 x + 1

−x+2- x + 2

x−2x - 2

2x−12 x - 1

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

اگر f(x)=x−∣x−2∣f ( x ) = x - | x - 2 | باشد، حاصل ∫04f(x)dx\int_{ 0 }^{ 4 } f ( x ) dx  کدام است؟ 

۲

۳

۴

۵

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

مشتق انتگرال زیر نسبت به xx برابر است با:

∫3x2−1et−1tdt\int_{3 x ^ 2 }^{ -1 } \frac { e ^ t - 1 } { t } dt

2−2e3x22x\frac { 2 - 2 e ^ { 3 x ^ 2 } } { 2x }

2−2e3x2x\frac { 2 - 2 e ^ { 3 x ^ 2 } } { x }

2−2ex2x\frac { 2 - 2 e ^ { x ^ 2 } } { x }

1−e3x2x\frac { 1 - e ^ { 3 x ^ 2 } } { x }

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
محصول، خدمات یا برند خود را در مجله فرادرس معرفی کنید.
کلیک کنید
بر اساس رای ۱۲۴۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.
منابع:
Mathisfun
PDF
مجید عوض زاده
مجید عوض زاده (+)
«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.
مطالب مرتبط
استدلال ریاضی چیست؟ – به زبان ساده + ۱۰ نمونه سوال
استدلال ریاضی چیست؟ – به زبان ساده + ۱۰ نمونه سوال
جبر خطی چیست؟ – مفاهیم پایه به زبان ساده
جبر خطی چیست؟ – مفاهیم پایه به زبان ساده
آموزش حسابان یازدهم – از صفر تا صد + حل مثال و تمرین
آموزش حسابان یازدهم – از صفر تا صد + حل مثال و تمرین
ماتریس مجاورت چیست؟ – به زبان ساده + انواع گراف و حل مثال
ماتریس مجاورت چیست؟ – به زبان ساده + انواع گراف و حل مثال
جدول دایره مثلثاتی چیست؟ – روش محاسبه + حل مثال
جدول دایره مثلثاتی چیست؟ – روش محاسبه + حل مثال
نحوه محاسبه درصد – حل مثال و توضیح به زبان ساده
نحوه محاسبه درصد – حل مثال و توضیح به زبان ساده
مساحت کره چطور محاسبه می شود؟ – به زبان ساده + فرمول و مثال
مساحت کره چطور محاسبه می شود؟ – به زبان ساده + فرمول و مثال
آهنگ تغییرات در ریاضی چیست؟ – به زبان ساده + حل با مشتق
آهنگ تغییرات در ریاضی چیست؟ – به زبان ساده + حل با مشتق
تفاوت مشتق و دیفرانسیل چیست؟‌ – به زبان ساده + تعریف، کاربرد و مثال
تفاوت مشتق و دیفرانسیل چیست؟‌ – به زبان ساده + تعریف، کاربرد و مثال
الگوی مثلثی چیست؟ – به زبان ساده با مثال و تمرین
الگوی مثلثی چیست؟ – به زبان ساده با مثال و تمرین
۶۵ دیدگاه برای «انتگرال و محاسبات آن – به زبان ساده»
ق. حسن زاده

سلام. ممنون از مطالب مفیدتان.
میشه لطفا بگین چرا فایل پی دی اف در دسترس نیست و دانلود نمیشه

پاسخ
فهیمه سکاکی

سلام خدمت شما همراه گرامی؛

فایل پی‌دی‌اف تمام مطالب مجله فرادرس در انتهای مطلب و با کلیک روی گزینه Pdf قابل دانلود است. در مورد این مطلب نیز مشکلی وجود ندارد.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

kave

با سلام
تشکر بابت توضیح مفید و مختصر تون.
جسارتا مثال سوم اشتباه حل نشده؟

پاسخ
حسین زبرجدی دانا

با سلام و وقت بخیر؛

در نظرات قبلی به طور کامل در مورد مثال سوم توضیح داده شده است. در این مثال، منظور ما نرخ افزایش یا کاهش سرعت بر واحد ثانیه است. بنابراین، برای به دست آوردن حجم مخزن بر اساس آن، ابتدا باید از رابطه بر حسب زمان (t) انتگرال بگیریم تا بُعد رابطه از لیتر بر ثانیه به لیتر تغییر کند.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

کاوه

سلام از سایت فرادرس واقعا دستتون درد نکنه من که ریاضی اصلا بلد نبودم با سایت شما خیلی خوب دارم یاد میگیرم مطالبتون خیلی روان ساده و خوب بیان شده تشکر

پاسخ
صاد

مرسی واقعااااا
یه ترم گذشت ما سر کلاس هیچی از این انتگرال نفهمیدیم … ممنون از توضیح روون و عالی تون

پاسخ
امین

سلام از نظر فرمولی و محاسبات زیر نمودار 2t در ثانیه مثلاً سوم ۶ لیتر به مخزن وارد می شود و حجم ۹ لیتر است ولی برای من یک پارادوکس ذهنی پیش امده و مانند دوست عزیزی که در پایین گفته باید در ثانیه ۴ مقدار ۲۰ لیتر آب در مخزن باشد ولی جواب 16 است گفتید حجم خطی نیست من خطی را نفهمیدم ذهن من هم می گوید در ثانیه اول ۲ لیتر آب به مخزن ریختم ثانیه دوم ۴ لیتر در مخزن ریختم تا حالا می شود ۶ لیتر در ثانیه سوم ۶ لیتر به مخزن ریختم تا حالا می شود ۱۲ لیتر در ثانیه چهارم 8 لیتر به مخزن ریختم تا حالا باید 20 لیتر آب جمع شده باشد ولی فرمول ها می گویند 16لیتر لطفاً این پارادوکسی که برای من ایجاد شده کسی پاسخ دارد تشکر

حسین زبرجدی دانا

با سلام و وقت بخیر؛

پاسخ دادن به سوال شما، نیازمند صحبت در مورد مفهوم غیرخطی «نرخ» (Rate) و تفاوت آن با مفاهیم خطی دیگر مانند «سرعت» (Velocity) است. نرخ، به صورت میزان تغییرات یک واحد نسبت به واحد دیگر (معمولا زمان) تعریف می‌شود. به عنوان مثال، وقتی از شتاب یک جسم صحبت می‌کنیم، منظور ما نرخ افزایش یا کاهش سرعت بر واحد ثانیه است. اگر شتاب جسمی که از حالت سکون شروع به حرکت می‌کند برابر با ۱ متر بر مجذور ثانیه باشد، آن جسم پس از ۱ ثانیه، ۰/۵ متر، پس از ۲ ثانیه، ۲ متر و پس از ۳ ثانیه، ۴/۵ متر را طی خواهد کرد (رابطه بین شتاب و جابجایی خطی نیست که با ضرب کردن زمان در آن بتوان میزان جابجایی را به دست آورد). مثال ۲ این مقاله، در مورد نرخ تغییرات جریان صحبت کرده و رابطه آن با زمان را به صورت Q=2t تعریف می‌کند. توجه کنید که این رابطه، نرخ (افزایش یا کاهش سرعت) پر شدن مخزن را نمایش می‌دهد. ما در مورد نرخ پر شدن صحبت می‌کنیم نه سرعت پر شدن. برای درک بهتر موضوع، به این سوال پاسخ دهید: یکای نرخ جریان چیست؟ لیتر بر ثانیه. اکنون نرخ جریان در ثانیه اول را محاسبه کنید. به چه جوابی رسیدیم؟ نرخ جریان در ثانیه ۱، برابر با ۲ لیتر بر ثانیه است. دقت داشته باشید که جواب شما، ۲ لیتر نیست، ۲ لیتر بر ثانیه است. اکنون، به این سوال پاسخ دهید: یکای حجم مخزن چیست؟ لیتر. ما در مثال ۲، یک فرمول داریم که خروجی آن، یکای لیتر بر ثانیه را می‌دهد. برای اینکه بتوانیم با استفاده از آن، حجم مخزن را به دست بیاوریم، از این رابطه بر حسب زمان (t) انتگرال می‌گیریم تا بعد رابطه از لیتر بر ثانیه به لیتر تغییر کند. به طور خلاصه، جوابی که در اینجا به دست آورده‌اید (عدد ۲۰ لیتر) در واقع ۲۰ لیتر بر ثانیه است و نمی‌توان آن را به عنوان حجم (لیتر) در نظر گرفت.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم

ناصر

سلام و عرض ادب
من بعد مدتها تصمیم گرفته ام مجددا ریاضی بخوانم . آنهم از ابتدا. و از آنجا که باید با دلیل و منطق پیشروی کنم تا مطالب را خوب درک کنم.این شد که مجبور شدم سوال بنویسم.
در مثال دوم
زمانی که مثلا در ثانیه سوم ! ۶ لیتر آب در ثانیه عبور کرده و به مخزن ریخته شده است ! پس قاعدتا و طبق هر دلیل و برهانی باید ۶ لیتر آب در مخزن باشد. و در ثانیه چهارم ۴ هم قطعا باید ۸ لیتر آب در مخزن باشد.
ولی چرا حجم بدست آمده در زمان سوم ۹ لیتر و در زمان ۴ برابر ۱۶ لیتر است.
بهرحال نرخ عبور متغیر نیست و کاملا مشخص است. مگر اینکه هر لحظه فشار آب هم بیشتر بشود.

آیا اشتباه میکنم ؟

Tagstar

واقعا یه بخش عظیمی از دانسته های خودمو مدیون فرادرس هستم ( به خصوص جناب آقای مجید عوض زاده ).
یک دنیا ممنون.

پاسخ
عیدالطیف

سلام ع من برنامه شما را تعقیب میکنم سپاس اززحمات تان خیلی مفید تمام گشته برایم امید است تا ویدیوها انتگرال معین را نیز در دسترس مان قرار دهید وسلام

سهیل بحر کاظمی

با سلام؛

خوشحالیم که مطالب مجله فرادرس برای شما مفید بوده است.

با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

MAHDI morshedloo

عالی بود

پاسخ
Diyana

مرسییی خیلی خوب توضیح دادین🌸✨

محمد

سلام ممنونم .خیلی عالی بود.من فقط یک سوال داشتم.میخواستم بدونم نیوتن چطوری متوجه شد که انگرال گیری و مشتق گیری عکس هم هستن.و چطور متوجه شد که با بدست اوردن تابع اولیه و جاگذاری بازه میشه مسات زیر نمودار رو خیلی راحت بدست اورد؟ممنونم

پاسخ
Sky

دقت کنید در ثانیه سوم نرخ جریان آب 6لیتر بر ثانیه است نه اینکه تا ثانیه سوم فقط 6لیتر آب خارج شده.
امیدوارم مطلب و رسونده باشم

عیدالطیف

خیللی عالی است برنامه تان سپاس بسبار از خدمت تان

Tagstar

به این دید نگاه کنید که مشتق تفاضل کلی نقطه و انتگرال جمع کلی نقطه هستش.

مهدی

من هم همین موضوع را متوجه نشدم که چطور مشتق و انتگرال میتوانند عکس هم باشند در حالی که مشتق شیب نمودار و انتگرال مساحت زیر نمودار میباشد؟

roya1379noroozi

عالی بود 🙂

پاسخ
roya1379noroozi

عالی بود مرسی ازتون:)

پاسخ
niloofar

عالی بود مرسی.خیلی خوب بود خداقوت

پاسخ
امیر

با سپاس از مثالی که زدید و بسیار زیبا تحلیل شد… ممنون از فرادرس

niloofar

عالی بود مرسی

پاسخ
عیدالطیف

ویدیو های اموزشی انتگرال معین را در دسترس مان قرار دهید

slamshojaie

خیلی عالی متشکر

پاسخ
زھرا

عالی
من سیزدہ سالمہ و کامل فھمیدم ممنون

پاسخ
زهرا

مطالب بسیار قابل فهم ودرک توضیح داده شده ممنون از شما

فرهاد

واقعا نمیدونم چطوری ازتون تشکر کنم

پاسخ
شاهین

سلام
لطفاً در صورت امکان در مورد محاسبه تعداد حالات ممکن تهیه 12000 تومان با استفاده از سکه های 200 و 500 تومانی راهنمایی بفرمایید.
همچنین چگونه می شود با استفاده از انتگرال گیری از زیر ناحیه 12000 و دو خط برای سکه های 500 و 200 تومانی به نتیجه رسید؟

پاسخ
پرهام جانجان

سلام برای حل این سوال باید بدونیم که ۲۰۰ رو جوری استفاده کنید که ضرب در مضرب ۵ باشه چرا که در غیر این صورت عدد مورد نظر رو نمیسازه خب حالا ما اینجوری حساب میکنیم ۰ تا ۲۰۰ بقیش ۵۰۰ ۵ تا ۲۰۰ بقیش ۵۰۰. ۱۰ تا ۲۰۰ بقیش ۵۰۰ و…. تا به ۱۲۰۰۰ برسی میشه حالت های ممکنت

yasin asghari

این مسئله رو میشه با استفاده از معادله سیاله حل کرد

پارسا

سلام ، این مسئله اول به سادگی با معادله سیاله قابل حل است

فریبرز هومتا

بسیار خوب بود سپاس

پاسخ
انجینر فریدون

یک جهان سپاس و تشکر از شما به خاطر مطالب ارزشمندی که در سایت تان درج می نمایید تا همگان استفاده نمایند. موفق و موئد باشید

پاسخ
ریحون

سلام من بیشتر مطالب فرادرسو دنبال میکنم و خیلی برام مفیده فقط لطفا صدای موزیک متنو کمتر کنید و بجای خواندن از روی راه حل ها تایپشون کنید سپاس

پاسخ
شکوفه

بسیار عالی بود. خیلی وقت بود که دنبال یه مطلب جامع برای انتگرال بودم. بازهم از ریاضی و بحث دیفرانسیل و انتگرال مطلب بذارید

پاسخ
محدثه

واقعا عالی
خیلی خیلی دستتون درد نکنه

پاسخ
Keramat

بسیار عالی بود وارزش دیدن وخواندن مطالب را داشت

پاسخ
مژده

خیلی عالی بود تشکر

پاسخ
زهرا مودتی بافکر

بسمه تعالی عالی بود سپاس

پاسخ
مهدی

۲۰

پاسخ
مهسا

عالی عالی …ممنونم

پاسخ
سوده

لطفاً نگاه دقیق تری بندازید و اگه نمیتونید بهتر هست که بگید؛ xبه توان دو انتگرالش میشه یک دوم ضربدر x

پاسخ
بینام

نه جواب 2x میشه

سارا عینلو

سلام این ویدئو ها کامل یاد میدن انتگرال هارو؟

زهرا

عالی
جواب انتگرال w^2.r/g dr چیست

پاسخ
مجید عوض زاده

با سلام؛ در تصویر زیر نحوه محاسبه این انتگرال ارائه شده است.

محمد آریا

خیلی خوب بود
ممنون

پاسخ
کیمیا

با سلام.. ببخشید من در مورد بازه انتگرال سوال داشتم. که برای X>0 و Y>0 و X+Y<2 بازه انتگرال گیری برای محاسبه مساحت چی میشه؟؟

پاسخ
Physics

عالیییییی. همش تو فکر انتگرال دوگانه بودم

مجید عوض زاده

با سلام و تشکر از توجه شما.
این نامساوی نشان دهنده ناحیه محدود به محورهای مختصات و تابع y=2-x است. لذا برای محاسبه آن باید از بازه ۰ تا ۲ از این تابع انتگرال گرفته شود. در تصویری که در ادامه ارائه شده، روند حل مسئله توضیح داده شده است.

زهرا

مگه میشه به این سادگیی انتگرال رو توضیح داد عالی عالی عالی

پاسخ
سیدعلی

سلام سایتتون رو بوکمارک کردم برام جالبه که جواب سوالات رو هم میدید ! دنبال یه چیزی میگشتم که شروع کنم به خوندنش تا بفهمم این فرمول هایی که حفظ کردم برای چیه ؟ گلی

پاسخ
نوید

با تشکر از توضیحات خوبتان فقط من یک چیز رو در مثال مخزن متوجه نمی شوم، با توجه به فرمول نرخ ورد آب مجموع آب وارد شده به مخزن
طی 4 ثانیه می‌شود 8+6+4+2 که می‌شود 20 لیتر آب پس چجوری حجم مخزن 16 می‌شود؟

پاسخ
بهمن ماهی

سلام
حجم آب ورودی در ثانیه ۴فقط برابر ۸لیتر بر ثانیه است تو هر ثانیه ۲ لیتر اضافه میشه وبرای به دست آوردن انتگرال کافیه اونو یک مستطیل ۴در ۸در نظر بگیرم و تقسیم بر ۲کنیم یا به عبارتی از مثلث انتگرال بگیریم

علی

چیزی که شما محاسبه کردید یعنی اینکه سرعت ورود آب به مخزن در طول هر ثانیه ثابت باشه در حالیکه اینطور نیست و سرعت در هر لحظه تابع زمانه، اگه بصورت ترسیمی چیزی که نوشتید رو نشون بدید یک نمودار پله ای میشه که با تابع 2t کاملاً متفاوته، البته اینم بگم که روش شما همون اصول پایه انتگراله و در واقع شما فرمول انتگرال ریمان رو نوشتید ولی چون تقسیم بندی زمانی شما 1 ثانیه ای بوده، باعث خطای بوجود اومده شده، اگه فواصل زمانی رو کوچیکتر کنید میبینید اختلافش با عدد 16 کمتر میشه و جواب به سمت جواب صحیح میل میکنه.

مجید عوض زاده

با سلام و ممنون از بازخورد ارائه شده.
روشی که شما استفاده کرده‌اید درست و البته جالب است. اما توجه داشته باشید که تنها در صورت افزایش حجم به صورت خطی، می‌توان از این روش استفاده کرد. برای نمونه اگر نرخ ورود جریان به مخزن برابر با ۲ باشد، میزان حجم آب پس از ۴ ثانیه برابر با ۲+۲+۲+۲=۸ می‌شود که برابر با حاصل انتگرال است.

علی دورقی

معرکه بود

پاسخ
نیوشا

عااااالی عالی.خیلی مممنون

پاسخ
علی

خدا خیرتان دهد

پاسخ
علی

خدا پدرومادرتان را بیامرزد

پاسخ
Mr_boss

خداپدرومادرتو بیامرزه عالی بود

عمقی وساده

پاسخ
فاطمه کریمیان

مرسی از آموزش خودتان با اینکه رشته ام علوم انسانی ولی خداروشکر متوجه شدم

پاسخ
علی

سلام ممنون بابت توضیحات خوبتون
ساده، مفید و قابل فهم بود.

پاسخ
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برچسب‌ها
integral
مشتق
مساحت
Integration
انتگرال
انتگرال cos x
انتگرال تابع
انتگرال گیری
انتگرال معین
ریاضی عمومی 1
انتگرال‌گیری
ریاضی دانشگاه
انتگرال نامعین
فرمول‌های انتگرال
فرمول‌ های انتگرال
ریاضیات پایه دانشگاه