شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
طول قوس منحنی (کاربرد انتگرال) – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۱۴۳۷۷ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۵ دی ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۳۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
در مباحث قبلی وبلاگ فرادرس، انتگرال توابع مختلف به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفت. همانطور که بیان شد یکی از کاربردهای انتگرال، محاسبه طول قوس منحنی و طول کمان است و این مفهوم کاربرد زیادی در ریاضیات و هندسه دارد. در واقع در صورتی که رابطه یک منحنی و تابع موجود باشد، طول قوس این منحنی در هر بازه به کمک انتگرالگیری قابل محاسبه است.
این مطلب به صورت دقیق به بررسی روابط مختلف مربوط به طول قوس منحنی میپردازد و با استفاده از چند مثال، شیوه استفاده از این روابط را مورد ارزیابی قرار میدهد.
طول قوس منحنی
همانطور که اشاره شد، در این بخش، ما به دنبال یافتن راهی برای محاسبه طول قوس منحنی یا طول منحنی یک تابع در یک بازه مشخص هستیم. در واقع این مطلب به دنبال یافتن طول تابع پیوسته y=f(x) در بازه [a,b] است. نکته دیگر این است که برای محاسبه طول قوس منحنی، باید فرض کنیم که مشتق تابع نیز در محدوده [a,b] به صورت یک تابع پیوسته قرار دارد.
توجه کنید که در این قسمت در ابتدا ما باید طول قوس منحنی را تخمین بزنیم. این کار را با تقسیم کردن آن به n زیر بازه مساوی انجام میدهیم. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.
در این فرایند، عرض بازههای Δx با یکدیگر برابر هستند. در واقع این منحنی به کمک نقاط Pi به n زیر بازه تقسیم شده است. در ادامه و همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، شکل منحنی را به کمک یک سری خطهای یکنواخت تخمین میزنیم. این خطهای یکنواخت به کمک وصل شدن نقاط Pi به یکدیگر به وجود آمده است. توجه کنید که شکل بالا با استفاده از ۹ نقطه رسم شده است و مقدار پارامتر n در روابط آن برابر با n=9 در نظر گرفته میشود.
در ادامه، برای محاسبه طول کلی منحنی در بازه نشان داده شده، طول هرکدام از پارهخطها یعنی ∣Pi−1Pi∣ را مورد ارزیابی قرار میدهیم. بنابراین طول کلی منحنی داده شده به شکل زیر بیان میشود.
L≈a∑b∣Pi−1Pi∣
نکته بسیار مهم این است که با بزرگ شدن مقدار پارامتر n، طول قوس منحنی این تابع به صورت دقیقتر محاسبه میشود. بنابراین پارامتر n را به سمت بینهایت میل میدهیم و رابطه بالا را به شکل حد در بینهایت و مطابق با رابطه زیر بیان میکنیم.
L=n→∞limi=1∑n∣Pi−1Pi∣
در ادامه به صورت دقیقتری به دنبال یافتن طول هرکدام از این بخشها هستیم. بنابراین در هرکدام از این بخشها به دنبال یافتن Δyi=yi−yi−1=f(xi)−f(xi−1) هستیم. بر این اساس و همانطور که در مطلب «فاصله بین دو نقطه» بیان شد، طول این خط ∣Pi−1Pi∣ به شکل زیر محاسبه میشود.
∣Pi−1Pi∣=(xi−xi−1)2+(yi−yi−1)2=Δx2+Δyi2
همانطور که در قضیه مقدار میانگین بیان شد، در هر بازه مانند [xi−1,xi]، نقطهای مانند xi∗ وجود دارد که رابطه زیر در آن برقرار است.
در ادامه به کمک تعریف انتگرال، طول قوس منحنی را میتوان با استفاده از رابطه انتگرالی زیر محاسبه کرد.
L=∫ab1+[f′(x)]2dx
البته شیوه نمایش رابطه فوق به شکل زیر، در کتب مختلف رایجتر است.
L=∫ab1+(dxdy)2dx
به صورت مشابه میتوان بیان کرد که اگر رابطه ما به شکل x=h(y) و در بازه [c,d] موجود باشد، رابطه زیر را برای محاسبه طول قوس منحنی میتوان بیان کرد.
L=∫cd1+[h′(y)]2dy=∫cd1+(dydx)2dy
همانطور که در دو رابطه بالا مشاهده میشود، عبارت زیر انتگرال در رابطه اول، مشتق y نسبت به x را بیان میکند و همچنین عبارت زیر انتگرال در رابطه دوم بیان کننده مشتق x نسبت به y است. بنابراین در این قسمت یک فرمول کلی برای محاسبه طول قوس منحنی ارائه خواهیم کرد. این فرمول به شکل زیر نشان داده میشود.
L=∫ds
$$ { \large \begin {array} { * { 2 0 } { l } } \begin {align*} d s & = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } \, d x \, \hspace { 0.25 in } { \mbox { if } } y = f \left ( x \right ) , \, \, a \le x \le b \\ d s & = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d x } } { { d y } } } \right ) } ^ 2 } } \, d y \, \hspace { 0.25 in } { \mbox { if } } x = h \left ( y \right ) , \, \, c \le y \le d \end {align*} \end {array} } $$
در ادامه به کمک چند مثال، شیوه استفاده از این فرمولها را برای محاسبه طول قوس منحنی مورد ارزیابی و مطالعه قرار میدهیم.
مثال 1
طول قوس منحنی تابع y=ln(secx) را در محدوده 0≤x≤4π محاسبه کنید.
در این حالت، باید از رابطه اول برای محاسبه طول قوس منحنی استفاده کنیم. دلیل این موضوع این است که ما رابطه y=f(x) را داریم. بنابراین ابتدا مشتق y نسبت به x را به شکل زیر محاسبه میکنیم.
dxdy=secxsecxtanx=tanx
(dxdy)2=tan2x
حال رابطه به دست آمده را در فرمول ds برای محاسبه طول قوس منحنی قرار میدهیم.
طول قوس منحنی تابع x=32(y−1)23 را در محدوده 1≤y≤4 محاسبه کنید.
همانطور که مشاهده میشود، در این مثال، رابطه x بر حسب y داده شده، بنابراین یکی از روشها این است که از رابطه طول قوس منحنی استفاده کنیم که برای تابع x=h(y) نوشته شده است. روش دیگر نیز این است که ابتدا رابطه مربوط به تابع y=f(x) را محاسبه کنیم و در نهایت با استفاده از رابطه مربوط به این تابع، طول قوس منحنی را مورد ارزیابی قرار دهیم. در این قسمت از روش اول استفاده میکنیم. بنابراین داریم:
dydx=(y−1)21
1+(dydx)2=1+y−1=y
در نهایت طول قوس منحنی به شکل زیر محاسبه میشود.
L=∫14ydy=32y2314=314
مثال 3
طول قوس منحنی تابع x=21y2 را در محدوده 0≤x≤21 محاسبه کنید. برای محاسبه این طول، فرض کنید که y مقادیر مثبت را در بر میگیرد.
برای محاسبه طول قوس منحنی، ابتدا مشتق x نسبت به y را به شکل زیر مورد محاسبه قرار میدهیم.
dydx=y
1+(dydx)2=1+y2
توجه کنید که در این حالت، نیاز به تعیین محدوده تغییرات y برای محاسبه انتگرال فوق داریم. با توجه به محدوده تغییرات x میتوان نتیجه گرفت که y در بازه زیر قرار دارد.
0≤y≤1
بنابراین میتوان بیان کرد که انتگرال مربوط به محاسبه طول قوس منحنی به شکل زیر نوشته میشود.
L=∫011+y2dy
توجه کنید که این انتگرال را به شکل زیر و با استفاده از تغییر متغیرy=tanθ میتوان مورد محاسبه قرار داد. برای این کار روندی که در ادامه توضیح داده شده را طی کنید.
y=tanθdy=sec2θdθ
yy=0=1⇒0=tanθ⇒θ=0⇒1=tanθ⇒θ=4π
1+y2=1+tan2θ=sec2θ=∣secθ∣=secθ
در ادامه، روابط محاسبه شده در بالا را در رابطه انتگرالی قرار میدهیم. بنابراین طول قوس منحنی به شکل زیر محاسبه میشود.
همانطور که مشاهده میشود، انتگرال فوق یک انتگرال مثلثی بود که برای محاسبه آن از روش تغییر متغیر استفاده شد. توجه کنید که روش تغییر متغیر به صورت دقیق در مطلب «تغییر متغیر — به زبان ساده» در وبلاگ فرادرس مورد مطالعه قرار گرفته است.
در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقهمند هستید، آموزشهای زیر به شما پیشنهاد میشوند:
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
منمنون .بسیار عالی بود
خیلی واضح و روان و right to point توضیح داده شده بود.
کاش همه مثه شما توضیح میدادن