نقطه تکین چیست؟ – به زبان ساده

در این آموزش، به تجزیه و تحلیل معادلات دیفرانسیل خطی با جواب‌ یا نقطه تکین (منفرد) می‌پردازیم.

تعریف نقطه تکین

ابتدا تعریف نقاط تکین را برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم بیان می‌کنیم.

$$y^{\prime\prime} = R ( x , y , y' ) , \qquad y( x _ 0 ) = y _ 0 , \quad y' (x_0 ) = y_1$$

اگر تابع $$R(x, y, p)$$ در همسایگی نقطه $$P$$ پیوسته باشد و مسئله مقدار اولیه یک جواب پیوسته و کران‌دار یکتا شامل $$y'$$ و $$y^{\prime\prime}$$ داشته باشد، این نقطه را به‌عنوان نقطه معمولی در نظر می‌گیریم.

تعریف ۲: نقطه $$x_0$$ یک نقطه تکین از معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه $$n$$ زیر نامیده می‌شود:‌

$$\begin {equation} y ^ { ( n ) } + a _ { n - 1 } ( x ) \, y ^ { ( n - 1 ) } + \cdots + a _ 0 ( x ) \, y ( x ) = 0 , \end {equation}$$

اگر حداقل یکی از ضرایب $$a_{n-1}$$ و ... و $$a _ 0$$ در آن نقطه یک تابع هولومورفیک نباشد. اگر در یک نقطه $$x_0$$ همه ضرایب معادله اخیر تحلیلی باشند، آن نقطه یک نقطه معمولی است.

به عبارت دیگر، نقطه تکین نقطه‌ای است که حداقل یک ضریب در آن نقطه یا تعریف نشده (ناپیوسته) یا چند مقدار داشته باشد. شرایط اولیه معمولاً در نقاط تکین مشخص نمی‌شوند، زیرا مسائل مقدار اولیه متناظر یا جوابی ندارند، یا در صورت وجود، نمی‌توان شرایط اولیه را دلخواه انتخاب کرد. به عبارت دیگر، قضایای یکتایی و وجود برای مسائل با شرایط اولیه مشخص‌شده در نقطه مفرد شناخته شده نیستند.

با تغییر یک متغیر مستقل، همیشه می‌توانیم نقطه تکین را بدون از دست دادن کلیت مسئله، در مبدأ در نظر بگیریم. حال نیاز به تعریف دیگری داریم.

تعریف 3: نقطه $$x = 0$$ یک نقطه تکین از معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه $$n$$ نامیده می‌شود، اگر بتوان معادله را به فرم نرمال فروبنیوس نوشت:

$$\begin{equation} x^n a_n (x)\, y^{(n)} + x^{n-1} a_{n-1} (x)\, y^{(n-1)} + \cdots + a_0 (x) \, y(x) =0 \end{equation}$$

که در آن، $$a _n(x)$$ و ... و $$a _ 0 ( x )$$ توابعی از تحلیلی در همسایگی مبدأ هستند. در غیر این صورت، نقطه تکین نامنظم خواهیم داشت.

$$\begin {equation} y^{\prime\prime} + p ( x ) \, y' + q ( x ) \, y = 0 \end {equation}$$

اگر یکی یا هر دوی این ضرایب $$p(x)$$ و $$q(x)$$ در نقطه $$x = x _ 0$$ هولومورف/تحلیلی نباشند، اما هر دو $$(x - x_0) p(x)$$ و $$(x - x_0)^2 q(x)$$ در همسایگی $$x_0$$ هولومورف باشند، آنگاه $$x_0$$ یک نقطه تکین منظم برای معادله دیفرانسیل داده‌شده است.

مثال معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه در نقطه تکین

دو مثال از معادلات دیفرانسیل تکین را بیان می‌کنیم که در تعریف جواب در نقطه تکین مشکل ایجاد می‌کنند. به عنوان مثال، معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را با نقطه تکین منظم در نظر بگیرید:

$$\frac { { \text d } y } { { \text d } t } + \frac { p } { t } \, y = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac { { \text d } y } { y } = - \frac { p } { t } \, { \text d } t .$$

واضح است که نسبت $$\frac y t$$ در مبدأ تعیین‌نشده است و وقتی $$t = 0 , y \neq 0$$ حاصل بی‌نهایت است.

با انتگرال‌گیری، به جواب عمومی زیر می‌رسیم:‌

$$y ( t ) = C \, t ^ { - p }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$C$$ ثابت انتگرال‌گیری است. بنابراین، برای $$p>0$$ این تابع در مبدأ پریدگی دارد. علاوه بر این، یافتن یک مقدار محدود برای $$C$$ غیرممکن است که ما را قادر می‌سازد در $$t=0$$ مقداری غیر از $$0$$ به $$y$$ اختصاص دهیم.

اکنون، معادله دیفرانسیل با نقطه تکین نامنظم زیر را در نظر بگیرید:

$$\frac { { \text d } y } { { \text d } x } + \frac { p } { x ^ 2 } \, y = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac { { \text d } y } { y } = - \frac { p } { x ^ 2 } \, { \text d } x$$

که جواب عمومی آن به‌صورت زیر است:

$$y ( t ) = C \, e ^ { p / x } .$$

مشخص است که این تابع وقتی $$x$$ به صفر میل می‌کند، حد ندارد. معادله دیفرانسیل $$\frac{{\text d}y}{{\text d}x} = \frac{x+y}{x}$$ یک نقطه تکین منظم در مبدأ دارد و وقتی $$x = 0 , y \neq 0$$، بی‌نهایت می‌شود. جواب عمومی آن، یعنی $$y = x\,\ln x + C\,x$$، وقتی $$x = 0$$ باشد، برابر با صفر است.

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر را در نظر بگیرید:

$$\frac { { \text d } ^ 2 y } { { \text d } x ^ 2 } = \frac { 2 \, y } { x ^ 2 }$$

این معادله یک نقطه تکین منظم در $$x = 0$$ دارد. جواب عمومی آن به‌صورت زیر است:

$$y ( x ) = C _ 1 x ^ 2 + \frac { C _ 2 } { x } .$$

شرایط اولیه در $$x = 0$$ جمله دوم را حذف می‌کند و جواب کران‌دار برابر با $$y(x) = C_1 x^2$$ خواهد بود که $$C _ 1$$ یک ثابت است. بنابراین، دو شرط اولیه $$y(0) = 0$$ و $$y' (0) = 0$$ نمی‌توانند ثابت $$C_1$$ را تعیین کنند و چنین مسئله‌ای تعداد بی‌نهایت جواب دارد.

از سوی دیگر، هر شرایط اولیه دیگری در مبدأ غیر از 0 را نمی‌توان برآورده کرد و مسئله مقدار اولیه جوابی ندارد.

به دو دلیل معادلات دیفرانسیل با تکینگی‌های نامنظم را در نظر نمی‌گیریم. اولاً، آن‌ها معمولاً در کاربردهای عملی رخ نمی‌دهند. همچنین برای این معادلات، قضایای وجود و یکتایی نداریم، بیشتر به این دلیل که رفتار جواب‌ها در نزدیکی نقاط تکین ناشناخته است.

مثال معادله دیفرانسیل با نقطه تکین منظم

در این بخش، مثال‌هایی از معادلات دیفرانسیلی را بررسی می‌کنیم که نقاط تکین منظم دارند.

معادله دیفرانسیل $$\displaystyle x ^ 2 y^{\prime\prime} + \left ( \cos x - 1 \right ) y' + e ^ x \, y = 0$$ یک نقطه تکین در مبدأ دارد.

حدهای زیر را محاسبه می‌کنیم: