نقطه تکین چیست؟ — به زبان ساده

در این آموزش، به تجزیه و تحلیل معادلات دیفرانسیل خطی با جواب‌ یا نقطه تکین (منفرد) می‌پردازیم.

نظریه نقاط تکین مدیون ریاضیدانان آلمانی، یعنی کارل گاوس (1777-1855)، برنهارد ریمان (1826-1866)، لازاروس فوکس (1833-1902) و گئورگ فروبنیوس (1849-1917) است. گاوس و ریمان این تحقیق را با مطالعه عمیق معادلات مرتبه دوم فوق‌هندسی آغاز کردند. معادله کلی مرتبه $$n$$ با نقاط تکین منظم توسط فوکس مورد بررسی قرار گرفت و روش او بعدها توسط فروبنیوس ساده شد. این فوکس بود که معادله‌ای را نوشت که بعداً معادله مشخصه نامیده شد. ریشه‌های این معادله رفتار جواب‌ها را در نزدیکی نقطه تکین منظم تعیین می‌کند. فوکس همچنین بیان کرد که نقاط تکین جواب‌ها باید در بین نقاط تکین ضرایب قرار گیرند و بنابراین، ثابت هستند. فروبنیوس نیز بر سهولت معرفی عوامل $$x^2$$ و $$x$$ در ضرایب معادلات مرتبه دوم تأکید کرد که امروزه گاهی گفته می‌شود به شکل نرمال فروبنیوس هستند.

تعریف نقطه تکین

ابتدا تعریف نقاط تکین را برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم بیان می‌کنیم.

تعریف ۱: فرض کنید $$R(x, y, p)$$ یک تابع پیوسته در همسایگی نقطه $$P=(x_0,y_0,y_1)$$ به‌جز خود $$P$$ باشد. این نقطه برای معادله دیفرانسیل $$ \frac {d^2y}{dx^2} = R(x, y, y') $$ یک نقطه مفرد نامیده می‌شود اگر مسئله مقدار اولیه زیر جواب یکتا نداشته باشد یا جواب آن وجود نداشته باشد یا مشتق‌های $$y'=\frac {d y }{dx}$$ و $$\frac {d^2y}{dx^2}$$ جواب آن ناپیوسته باشند:

$$ y^{\prime\prime} = R ( x , y , y' ) , \qquad y( x _ 0 ) = y _ 0 , \quad y' (x_0 ) = y_1 $$

اگر تابع $$R(x, y, p)$$ در همسایگی نقطه $$P$$ پیوسته باشد و مسئله مقدار اولیه یک جواب پیوسته و کران‌دار یکتا شامل $$y'$$ و $$y^{\prime\prime}$$ داشته باشد، این نقطه را به‌عنوان نقطه معمولی در نظر می‌گیریم.

تعریف بالا را برای یک معادله دیفرانسیل خطی می‌توان ساده کرد، زیرا معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب هموار، جواب تکین ندارند، بنابراین، مسئله مقدار اولیه متناظر همیشه یک جواب یکتا دارد. در نتیجه، یک نقطه تکین را می‌توان تنها با مقدار طول نقطه آن برای معادلات خطی به‌دست آورد.

تعریف ۲: نقطه $$x_0$$ یک نقطه تکین از معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه $$n$$ زیر نامیده می‌شود:‌

$$ \begin {equation}
y ^ { ( n ) } + a _ { n - 1 } ( x ) \, y ^ { ( n - 1 ) } + \cdots + a _ 0 ( x ) \, y ( x ) = 0 ,
\end {equation} $$

اگر حداقل یکی از ضرایب $$a_{n-1}$$ و ... و $$ a _ 0 $$ در آن نقطه یک تابع هولومورفیک نباشد. اگر در یک نقطه $$x_0$$ همه ضرایب معادله اخیر تحلیلی باشند، آن نقطه یک نقطه معمولی است.

به عبارت دیگر، نقطه تکین نقطه‌ای است که حداقل یک ضریب در آن نقطه یا تعریف نشده (ناپیوسته) یا چند مقدار داشته باشد. شرایط اولیه معمولاً در نقاط تکین مشخص نمی‌شوند، زیرا مسائل مقدار اولیه متناظر یا جوابی ندارند، یا در صورت وجود، نمی‌توان شرایط اولیه را دلخواه انتخاب کرد. به عبارت دیگر، قضایای یکتایی و وجود برای مسائل با شرایط اولیه مشخص‌شده در نقطه مفرد شناخته شده نیستند.

با تغییر یک متغیر مستقل، همیشه می‌توانیم نقطه تکین را بدون از دست دادن کلیت مسئله، در مبدأ در نظر بگیریم. حال نیاز به تعریف دیگری داریم.

تعریف 3: نقطه $$ x = 0 $$ یک نقطه تکین از معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه $$ n $$ نامیده می‌شود، اگر بتوان معادله را به فرم نرمال فروبنیوس نوشت:

$$ \begin{equation}
x^n a_n (x)\, y^{(n)} + x^{n-1} a_{n-1} (x)\, y^{(n-1)} + \cdots + a_0 (x) \, y(x) =0
\end{equation} $$

که در آن، $$ a _n(x)$$ و ... و $$ a _ 0 ( x ) $$ توابعی از تحلیلی در همسایگی مبدأ هستند. در غیر این صورت، نقطه تکین نامنظم خواهیم داشت.

فروبنیوس اولین کسی بود که استفاده از این فرم را در تجزیه و تحلیل معادلات دیفرانسیل با نقاط تکین منظم پیشنهاد کرد. تعریف فوق به ما می‌گوید که معادلات دیفرانسیل با نقاط تکین منظم شبیه معادله اویلر هستند. این معادله، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به شکل نرمال‌شده زیر است:

$$ \begin {equation}
y^{\prime\prime} + p ( x ) \, y' + q ( x ) \, y = 0
\end {equation} $$

اگر یکی یا هر دوی این ضرایب $$p(x)$$ و $$q(x)$$ در نقطه $$x = x _ 0 $$ هولومورف/تحلیلی نباشند، اما هر دو $$(x - x_0) p(x)$$ و $$ (x - x_0)^2 q(x) $$ در همسایگی $$x_0$$ هولومورف باشند، آنگاه $$x_0$$ یک نقطه تکین منظم برای معادله دیفرانسیل داده‌شده است.

نقاط تکین به دو شکل مختلف وجود دارند: منظم و نامنظم. نقاط تکین منظم رفتار خوبی دارند و در این آموزش قصد داریم آن‌ها را تحلیل کنیم. تجزیه و تحلیل نقاط تکین نامنظم بسیار دشوار است. اگر یک معادله دیفرانسیل دارای نقطه تکین $$x = 0$$ باشد، شرایط اولیه در این نقطه تعیین نمی‌شود، زیرا ممکن است جواب‌ها در نقطه تعریف‌نشده باشند. یا اگر تعریف‌شده باشد، ممکن است یکتا نباشد یا به فرم سری‌های توانی نباشد.

مثال معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه در نقطه تکین

دو مثال از معادلات دیفرانسیل تکین را بیان می‌کنیم که در تعریف جواب در نقطه تکین مشکل ایجاد می‌کنند. به عنوان مثال، معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را با نقطه تکین منظم در نظر بگیرید:

$$ \frac { { \text d } y } { { \text d } t } + \frac { p } { t } \, y = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad
\frac { { \text d } y } { y } = - \frac { p } { t } \, { \text d } t . $$

واضح است که نسبت $$\frac y t $$ در مبدأ تعیین‌نشده است و وقتی $$ t = 0 , y \neq 0$$ حاصل بی‌نهایت است.

با انتگرال‌گیری، به جواب عمومی زیر می‌رسیم:‌

$$ y ( t ) = C \, t ^ { - p } $$

که در آن، $$C$$ ثابت انتگرال‌گیری است. بنابراین، برای $$p>0$$ این تابع در مبدأ پریدگی دارد. علاوه بر این، یافتن یک مقدار محدود برای $$C$$ غیرممکن است که ما را قادر می‌سازد در $$t=0$$ مقداری غیر از $$0$$ به $$y$$ اختصاص دهیم.

اکنون، معادله دیفرانسیل با نقطه تکین نامنظم زیر را در نظر بگیرید:

$$ \frac { { \text d } y } { { \text d } x } + \frac { p } { x ^ 2 } \, y = 0 \qquad \Longrightarrow
\qquad
\frac { { \text d } y } { y } = - \frac { p } { x ^ 2 } \, { \text d } x $$

که جواب عمومی آن به‌صورت زیر است:

$$ y ( t ) = C \, e ^ { p / x } . $$

مشخص است که این تابع وقتی $$ x $$ به صفر میل می‌کند، حد ندارد. معادله دیفرانسیل $$\frac{{\text d}y}{{\text d}x} = \frac{x+y}{x} $$ یک نقطه تکین منظم در مبدأ دارد و وقتی $$x = 0 , y \neq 0 $$، بی‌نهایت می‌شود. جواب عمومی آن، یعنی $$y = x\,\ln x + C\,x $$، وقتی $$ x = 0 $$ باشد، برابر با صفر است.

با این حال، نمی‌توان جواب را در قالب یک سری مک‌لورن برحسب توان‌های $$x$$ بیان کرد. در این حالت، برای مقدار اولیه $$0$$ بی‌نهایت جواب داریم و وقتی $$x = 0$$، برای هیچ مقدار اولیه دیگری از $$y$$ جوابی نداریم.

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر را در نظر بگیرید:

$$ \frac { { \text d } ^ 2 y } { { \text d } x ^ 2 } = \frac { 2 \, y } { x ^ 2 } $$

این معادله یک نقطه تکین منظم در $$ x = 0 $$ دارد. جواب عمومی آن به‌صورت زیر است:

$$ y ( x ) = C _ 1 x ^ 2 + \frac { C _ 2 } { x } . $$

شرایط اولیه در $$ x = 0 $$ جمله دوم را حذف می‌کند و جواب کران‌دار برابر با $$ y(x) = C_1 x^2 $$ خواهد بود که $$ C _ 1 $$ یک ثابت است. بنابراین، دو شرط اولیه $$ y(0) = 0  $$ و $$y' (0) = 0 $$ نمی‌توانند ثابت $$C_1$$ را تعیین کنند و چنین مسئله‌ای تعداد بی‌نهایت جواب دارد.

از سوی دیگر، هر شرایط اولیه دیگری در مبدأ غیر از 0 را نمی‌توان برآورده کرد و مسئله مقدار اولیه جوابی ندارد.

به دو دلیل معادلات دیفرانسیل با تکینگی‌های نامنظم را در نظر نمی‌گیریم. اولاً، آن‌ها معمولاً در کاربردهای عملی رخ نمی‌دهند. همچنین برای این معادلات، قضایای وجود و یکتایی نداریم، بیشتر به این دلیل که رفتار جواب‌ها در نزدیکی نقاط تکین ناشناخته است.

مثال معادله دیفرانسیل با نقطه تکین منظم

در این بخش، مثال‌هایی از معادلات دیفرانسیلی را بررسی می‌کنیم که نقاط تکین منظم دارند.

معادله دیفرانسیل $$ \displaystyle x ^ 2 y^{\prime\prime} + \left ( \cos x - 1 \right ) y' + e ^ x \, y = 0 $$ یک نقطه تکین در مبدأ دارد.

حدهای زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$ \begin{align*}
\lim _ { x \to 0 } x \, p ( x ) & = \lim _ { x \to 0 } x \, \frac { \cos x - 1 } { x ^ 2 } = 0 \quad \mbox {according to l'Hopital rule} ,
\\
\lim _ { x \to 0 } x ^ 2 \, q ( x ) & = \lim _ { x \to 0 } x ^ 2 \ , \frac { e^ x } { x ^ 2 } = 1 < \infty .
\end{align*} $$

از آنجا که همه این حدها محدود هستند، نقطه $$ x =0 $$ یک نقطه تکین منظم است.

اکنون، معادله دیفرانسیل $$ \left ( x - 2 \right ) y^{\prime\prime} + x ^ { - 1 } y' + \left ( x + 1 \right ) y = 0 $$ را در نظر بگیرید که دو نقطه تکین منظم در $$ x = 0 $$ و $$ x = 2 $$ دارد، زیرا می‌توان آن را به‌صورت زیر نوشت:

$$ y^{\prime\prime} + \frac { 1 } { x \left ( x - 2 \right ) } \, y' + \frac { x + 1 } {x - 2 } \, y =0 $$

برای تعیین اینکه نقاط تکین منظم هستند یا نامنظم، حدهای زیر را تعریف می‌کنیم:

$$ \begin {align*}
\lim _ { x \to 0 } \left ( x \times \frac { 1 } { x \left ( x - 2 \right ) } \right ) & =
\lim _ { x \to 0 } \, \frac { 1 } { x - 2 } = - \frac {1 } { 2 } ;
\\
\lim _ { x \to 0 } \left ( x ^ 2 \times \frac { x + 1 } { x - 2 } \right ) & = \lim _ { x \to 0 } \,
\frac { x ^ 2 \left ( x + 1 \right ) } { x - 2 } = 0 .
\end {align*} $$

از آنجا که دو حد محدود هستند، نقطه تکین $$ x = 0 $$ منظم است. در ادامه، دو حد دیگر را بررسی می‌کنیم:‌

$$ \begin {align*}
\lim _ { x \to 2 } \left ( ( x - 2 ) \times \frac { 1 } { x \left ( x - 2 \right ) } \right ) & =
\lim _ { x \to 2 } \, \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 2 } ;
\\
\lim _ { x \to 2 } \left ( ( x - 2 ) ^ 2 \times \frac { x + 1 } { x - 2 } \right ) & = \lim _ { x \to 2 } \,
\left ( x + 1 \right ) ( x - 2 ) = 0 .
\end {align*} $$

بنابراین، نقطه تکین محدود $$ x = 2 $$ منظم است.

این پایان کار نیست. باید تکینگی‌ها را در بی‌نهایت نیز بررسی کنیم. زیرا این‌ها نیز یکی از نکات کلیدی در تشخیص نوع معادله دیفرانسیل معمولی هستند. بنابراین، از تغییر متغیر $$ t = \frac 1 x $$ استفاده می‌کنیم. در نتیجه، مشتقات به‌فرم زیر خواهند بود.

$$ \begin {align*}
\frac { { \text d} y } { { \text d} x } & = \frac { {\text d} y } { { \text d}t} \,
\frac { {\text d} t } { { \text d} x } = - \frac { 1 } { x ^ 2 } \, \frac { { \text d}y} { { \text d} t } = - t ^ 2 \frac { {\text d } y } { { \text d}t} ,
\\
\frac { { \text d} ^ 2 y } { { \text d} x ^ 2 } &= \frac{\text d} { { \text d}x} \left( -t^2
\frac { { \text d}y}{{\text d}t} \right) = \frac{\text d}{{\text d}t} \left ( - t ^ 2 \frac{{\text d}y}{{\text d}t} \right) \frac{{\text d} t } { { \text d} x } =
t ^ 4 \frac { { \text d}^2 y}{{\text d}t^2} + 2t^3
\frac{{\text d} y } { { \text d} t }
\end {align*} $$

با قرار دادن این مقادیر در معادله، خواهیم داشت:

$$ t ^ 4 \frac { { \text d} ^ 2 y } { { \text d } t ^ 2 } + 2 t ^ 3
\frac { { \text d} y } { { \text d } t } - \frac { t ^ 2 } { 1 - 2 t } \, t ^ 2
\frac { { \text d} y } { { \text d } t } + \frac { t+ 1 } { 1 - 2 t } \, y = 0 . $$

اکنون، برای ساده‌سازی، طرفین معادله را بر $$ t ^ 4 $$ تقسیم می‌کنیم:

$$ \frac { {\text d } ^ 2 y } { { \text d } t ^ 2 } + \frac { 2 -t } { t ( 1 - 2 t ) } \, \frac { { \text d } y } { { \text d } t } + \frac { 1 } { t^ 4 } \, \frac { t + 1}{1 -2 t } \, y = 0 . $$

در نهایت، با محاسبه حدها، تکینگی در مبدأ را بررسی می‌کنیم:

$$ \begin {align*}
\lim _ { t \to 0 } \left ( t \times \frac { 2 - t } { t ( 1 - 2 t ) } \right ) = \lim _ { t \to 0 }
\, \frac { 2 - t } { 1 - 2 t } = 0 ,
\\
\lim _ { t \to 0 } \left ( t ^ 2 \times \frac { 1 }{ t ^ 4 } \, \frac { t + 1 } { 1 - 2 t } \right ) =
\lim _ { t \to 0 } \, \frac { 1 } { t ^ 2 } \, \frac { t + 1 } { 1 - 2 t } = \infty .
\end {align*} $$

می‌بینیم که تکینگی‌ها در $$ x = \pm \infty$$ نامنظم هستند.

مثال معادلات دیفرانسیل با نقاط تکین نامنظم

پیش از هر چیز، تعریف نقطه تکین منظم را برای معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم بازنویسی می‌کنیم.

تعریف ۴: معادله دیفرانسیل زیر را داریم:

$$ \frac { { \text d} ^ 2 y } { { \text d } x ^ 2 } + p ( x ) \, \frac { { \text d } y } { { \text d } x }
+ q ( x ) y ( x ) = 0 $$

می‌گوییم این معادله یک نقطه تکین در $$ x = x _ 0 $$ دارد، اگر حداقل یکی از ضرایب $$ p (x) $$ و $$ q (x ) $$ در این نقطه هولومورفیک نباشد. این نقطه تکین منظم نامیده می‌شود اگر و تنها اگر ضرب‌های زیر توابعی هولومورفیک باشند و حدها وجود داشته و محدود باشند:

$$ \begin {equation}
\begin {split}
\lim _ { x \to x _ 0 } \left ( \left ( x - x _ 0 \right ) \times p ( x ) \right ) < \infty ,
\\
\lim _ { x \to x _ 0 } \left ( \left ( x - x _ 0 \right ) ^ 2 \times q ( x ) \right ) < \infty .
\end {split}
\end {equation} $$

در غیر این صورت، نقطه تکین نامنظم است.

تعریف بالا را می‌توان به فرم عمومی‌تری نیز نوشت. نقطه $$ x _ 0 $$ یک نقطه تکین منظم برای معادله دیفرانسیل $$ y^ {\prime \prime } + p ( x ) \, y' + q ( x ) \, y = 0 $$ است اگر و تنها اگر توابع $$\left( x- x_0 \right) p(x) $$ و $$\left( x- x_0 \right)^2 q(x) $$ در همسایگی نقطه $$ x = x _ 0 $$ هولومورفیک باشند. به عبارت دیگر، توابع $$\left( x- x_0 \right) p(x) $$ و $$\left( x- x_0 \right)^2 q(x) $$ را بتوان در بسط‌های سری توانی با شعاع همگرایی مثبت تعریف کرد:

$$ \begin {align*}
\left ( x - x _ 0 \right ) p ( x ) & = p _ 0 + p _ 1 \left ( x - x _ 0 \right ) +
p _ 2 \left ( x - x _ 0 \right ) ^ 2 + \cdots ,
\\
\left ( x - x _ 0 \right ) ^ 2 q ( x ) & = q _ 0 + q _ 1 \left ( x - x _ 0 \right ) +
q _ 2 \left ( x - x _ 0 \right ) ^ 2 + \cdots .
\end {align*} $$

مثال تکینگی‌های منظم

معادله دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید.

$$ \left ( x + 1 \right ) \left ( 3 x - 1 \right ) y^{\prime\prime} + \cos x \, y' - 3 x \, y = 0 $$

این معادله دارای دو نقطه تکین منظم (جایی که ضریب مشتق دوم حذف می‌شود) $$x = -1$$ و $$ x = -\frac13$$ است. بنابراین، نمی‌توان شرایط اولیه را در این دو نقطه مشخص کرد. اگر شرایط اولیه در مبدأ مشخص شود، شعاع همگرایی برای جواب، مجموع توانی کوچکترین فاصله تا هر نقطه تکین است. بنابراین، نتیجه می‌گیریم که جواب سری توانی مربوطه در دایره $$|x|<\frac 13$$ همگرا می‌شود.

مثال معادله پیکارد-فوکس

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$ x ^ 2 \left ( 1 - x \right ) ^ 2 \frac { { \text d } ^ 2 y } { { \text d } x ^ 2 } + x \left ( 1 - x \right ) ^ 2 \frac { { \text d } y } { { \text d } x } + \frac { 3 1 x - 4 } { 1 4 4 } \, y = 0 $$

معادله دیفرانسیل دیگری نیز وجود دارد که به آن معادله پیکارد–فوکس نیز گفته می‌شود:

$$ x \left ( x - 1 \right ) y ^ {\prime \prime} + \left ( 2 x - 1 \right ) y' + \frac {1 } { 4 } \, y = 0 $$

مثال معادله لژاندر-کومار

معادله دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید:

$$ x \left ( 1 - x ^ 2 \right ) y ^ {\prime \prime} + \left ( 1 - 3 x ^ 2 \right ) y' - x \, y = 0 $$

این معادله سه نقطه تکین منظم در $$ x = 0 $$ و $$ x = \pm 1 $$ دارد.

شرایط اولیه در یک نقطه تکین

شرایط اولیه معمولاً در یک نقطه تکین مشخص نمی‌شوند، زیرا یک مسئله مقدار اولیه متناظر ممکن است جواب‌های متعددی داشته باشد یا اصلاً جوابی نداشته باشد. در صورت وجود یک نقطه تکین نامنظم، شرایط اولیه ممکن است بی‌معنی باشد. مثلاً معادله دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید:

$$ x ^ 4 \, \frac { { \text d } ^ 2 y } { { \text d } x ^ 2 } + 2 \, x ^ 3 \, \frac { { \text d } y } { { \text d } x } + y = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x ^ 2 \frac { { \text d } }{ { \text d } x } \left ( x ^ 2 \frac { { \text d } y } { { \text d } x } \right ) + y = 0 , \quad x\ne 0 $$

این معادله دو جواب مستقل خطی دارد:

$$ u ( x ) = \sin \left ( \frac { 1 } { x } \right ) \qquad \mbox{,} \qquad v ( x ) = \cos \left ( \frac { 1 } { x } \right ) . $$

که هیچ‌کدام از آن‌ها در $$ x = 0 $$ حد ندارند.

یک اخترفیزیکدان و هواشناس سوئیسی به‌نام رابرت امدن در اوایل دهه 1900 این مسئله را بیان کرد:

اولین نقطه روی محور $$ x $$ مثبت را که جواب مسئله مقدار اولیه زیر است، تعیین کنید:

$$ x \, y^{\prime \prime} + 2 \, y' + x \, y ( x ) = 0 , \qquad y ( 0 ) = 1 , \quad y' ( 0 ) = 0 $$

مسئله او نشان می‌دهد که گاهی اوقات یک موقعیت فیزیکی مستلزم در نظر گرفتن مسائل مقدار اولیه با شرایط تحمیل شده در نقطه تکین است.

مثال معادله اویلر

معادله اویلر زیر را در نظر بگیرید:

$$ x ^ 2 y ^ {\prime\prime} + x \, y' + y =0 $$

جواب عمومی این معادله به‌‌صورت زیر است:

$$ y ( x ) = C _ 1 x + C _ 2 x ^ { -1 } $$

که در آن، $$ C _1$$ و $$ C _ 2 $$ ثابت هستند. فرض کنید شراط اولیه $$ y(0) = 1 $$ داده شده است. برای برقراری آن، باید $$ C_ 2 = 0 $$ باشد، زیرا $$ x ^ {-1}$$ در مبدأ تعریف نشده است. با این حال، این یک شرط کمکی نخواهد کرد، زیرا با هر انتخابی از $$ C _ 1 $$ نمی‌توان به شرایط اولیه دست یافت. بنابراین مسئله مقدار اولیه جوابی ندارد.

حال فرض کنید که شرط اولیه همگن است، یعنی $$ y(0) = 0 $$. بنابراین، معادله جواب عمومی زیر را دارد:

$$ y ( x ) = C _ 1 x $$

که در آن، $$ C _ 1 $$ یک ثابت دلخواه است.

با افزدون یک شرط اولیه دیگر، خواهیم داشت:

$$ x ^ 2 y ^ {\prime \prime} + x \, y' + y =0 , \qquad y(0) = 0 , \quad y' ( 0 ) = a $$

که وقتی $$ a = 0 $$، بی‌نهایت جواب $$ y = C_1 x $$ دارد و وقتی هر شرایط اولیه دیگری داشته باشیم، معادله جوابی ندارد.

یک معادله اویلر دیگر را با شرایط اولیه زیر در نظر بگیرید:

$$ x ^ 2 y ^ {\prime \prime} + 2 x \, y' = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac { { \text d } ^ 2 y } { { \text d } x ^ 2 } + \frac { 2 } { x } \, \frac { { \text d } y } { { \text d } x } = 0 , \qquad y ( 0 ) = 1 $$

جواب عمومی این معادله به‌صورت زیر است:

$$ y ( x ) = C _ 1 + C _ 2 x ^ { - 1 } $$

که در آن، $$ C _ 1 $$ و $$ C_ 2 $$ ثابت‌های دلخواهی هستند. برای آنکه شرایط اولیه برقرار باشد، باید $$ C_= 1 $$ و $$ C_ 2 = 0 $$ را داشته باشیم که به جواب زیر می‌انجامد:

$$ y(x) = 1 $$