سیستم دینامیک چیست؟ | مبانی سیستم های وابسته به زمان — به همراه مثال

سیستم دینامیک یا پویا، سیستمی است که رفتار و مشخصات آن در طی زمان تغییر می‌کند. سیستم‌های دینامیک، بخش جدایی‌ناپذیر پدیده‌های اطراف ما هستند. در این مقاله، به معرفی مبانی، انواع و مثال‌های سیستم‌های دینامیک می‌پردازیم.

سیستم دینامیک چیست؟

سیستم پویا یا سیستم دینامیک، مجموعه‌ای از المان‌ها است که وضعیت آن با گذر زمان و مطابق با قواعد مشخص تغییر می‌کند. در ریاضیات، این نوع سیستم و توابع معرف آن، به منظور نمایش وابستگی زمانی یک نقطه در فضای هندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

فیلم آموزش مدل سازی و شناسایی سیستم های دینامیکی با استفاده از مدل ARX و شبکه فازی عصبی ANFIS (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

از مثال‌های شناخته شده سیستم‌های دینامیک می‌توان به حرکت آونگ، جریان آب در لوله و تغییر تعداد آبزیان درون رودخانه اشاره کرد. سیستم دینامیک در مقابل سیستم استاتیک قرار دارد.

تفاوت سیستم دینامیک با سیستم استاتیک چیست؟

سیستم پایا یا استاتیک، سیستمی است که خروجی آن به زمان بستگی ندارد. در واقع، خروجی این نوع سیستم در هر لحظه از زمان، صرفا تابعی از مقدار ورودی در آن لحظه است. سیستم استاتیک، به عنوان یک سیستم بدون حافظه در نظر گرفته می‌شود؛ چراکه رفتار آن در گذشته یا آینده، تاثیری بر روی رفتار فعلی آن ندارد.

از مثال‌های سیستم استاتیک می‌توان به مجموعه کتاب‌های موجود در یک قفسه، آب پشت سد و وزنه روی ترازو اشاره کرد. تا زمانی که تغییری در پارامترهای ورودی (تعداد کتاب، میزان آب و تغییر وزنه) رخ ندهد، رفتار سیستم تغییر نمی‌کند. به محض تغییر در پارامترهای ورودی، خروجی سیستم (وزن تحمل شده توسط قفسه، فشار هیدرواستاتیک پشت سد و عدد ترازو) تغییر خواهد کرد. به علاوه، این تغییر ارتباطی با خروجی‌های قبلی ندارد. به عنوان مثال، ترازو، فقط وزن جسم روی خود را نمایش می‌دهد. اینکه وزن جسم قبلی چقدر بوده یا وزن جسم بعدی چقدر خواهد بود، هیچ تاثیری بر روی مقدار فعلی نمایش داده شده نخواهد داشت. در صورتی که در سیستم‌های دینامیک، اینگونه نیست. به عنوان مثال، موقعیت بعدی کره زمین نسبت به خورشید، به موقعیت فعلی آن وابسته است.

کاربرد سیستم دینامیک چیست؟

سیستم‌های دینامیک، توصیف کننده بسیاری از پدیده‌های اطراف ما هستند. به همین دلیل این سیستم‌ها در اکثر علوم مهندسی (عمران، برق، مکانیک، معدن، کشاورزی، هوافضا)، علوم پایه (ریاضی، فیزیک، شیمی، زیست شناسی)، علوم انسانی (مدیریت، اقتصاد، تاریخ، جغرافیا) و علوم پزشکی کاربرد دارند. سیستم دینامیک بخش مهمی از نظریه آشوب، مدل‌های لجستیک، فرآیندهای خودسامانی و خودسازماندهی، نظریه انشعاب و مفهوم مرز آشوب است. اصول این سیستم در مطالعه دینامیک سازه نیز به طور گسترده و برای پیش‌بینی رفتار سازه در مقابل بارهای لرزه‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد.

اهمیت مطالعه سیستم دینامیک در چیست؟

مطالعه سیستم‌های دینامیک شامل مطالعه مدل‌های ریاضی ارائه شده توسط محققان حوزه‌های مختلف می‌شود. برخی از سیستم‌های دینامیک از اصول ابتدایی علوم پایه اقتباس و آزمایش شده‌اند. با وجود ابتدائی بودن، دقت تجربی برخی از این اصول به اندازه‌ای است که می‌توان سیستم‌های دینامیک ارائه شده بر پایه آن‌ها را به عنوان مبنای تکنولوژی‌های امروزی در نظر گرفت. از این‌رو، مطالعه سیستم دینامیک از اهمیت بالایی در پیشرفت تکنولوژی‌ حوزه‌های مختلف برخوردار است.

اصول سیستم دینامیک چه هستند؟

سیستم‌های دینامیک بر پایه مفاهیم فیزیکی و مدل‌های ریاضی بنا شده‌اند. از اصول ابتدائی پرکاربرد در این سیستم‌ها می‌توان به قوانین حرکت نیوتون اشاره کرد. قوانین نیوتون از دقت بسیار بالایی در شرایط مشخص بهره می‌برند. به علاوه، این قوانین می‌توانند سیستم‌های دینامیک را به خوبی توصیف کنند.

فیلم آموزش دینامیک مهندسی – مرور و حل سوالات در فرادرس

کلیک کنید

به عنوان مثال، مسائل مکانیک کلاسیک را می‌توان به صورت یک سیستم دینامیک و به گونه‌ای نوشت که سرعت و مکان یک ذره یا حتی یک محیط پیوسته به عنوان متغیر حالت و قوانین نیوتون به عنوان قاعده به‌روزرسانی (تکامل زمانی) سیستم باشند. در این حالت، سیستم دینامیک به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل تبدیل می‌شود. مدل‌های فیزیکی، بخشی از سیستم‌های دینامیک را تشکیل می‌دهند. با استفاده از برخی از این مدل‌ها می‌توان محیط اطراف و رفتار سیستم‌های واقعی را به طور کمی مورد تحلیل قرار داد.

برخی از سیستم‌های دینامیک، به دلیل ساده‌سازی‌های بیشتر، از دقت عددی کمتری برخوردار بوده و قادر به پیش‌بینی دقیق مقادیر نیستند. با این وجود، این سیستم‌ها تعریف عمیق‌تری را از رفتار کلی پدیده‌های فیزیکی ارائه می‌کنند. به عنوان مثال، به منظور درک واکنش‌های شیمیایی نوسانی، نیازی به دانستن مقادیر دقیق چگالی مواد شیمیایی در هر نقطه از مکان و در هر لحظه از زمان نیست. با وجود اینکه می‌توان مقادیر دقیق چگالی‌ها را توسط یک سیستم دینامیک با متغیر حالت معرف چگالی مواد شیمیایی تعیین کرد، به دست آوردن جواب دقیق برای اینگونه مسائل، به سیستم‌های پیچیده‌ای نیاز دارد که حل آن‌ها یا حتی درک آن‌ها دشوار است. در عوض، دستگاه معادلات دیفرانسیل برای مدل واکنش بلوسوف-ژابوتینسکی، با استفاده از یک سیستم دینامیک ساده، اطلاعات جالبی را در مورد واکنش‌های شیمیایی نوسانی در اختیار محققین قرار می‌دهد. هدف از این مثال، بیان اهمیت ساده‌سازی به منظور حل مسائل دینامیک بود.

مولفه های سیستم دینامیک چه هستند؟

به منظور تعریف یک سیستم دینامیک و ارائه مدل ریاضی آن، باید با مفاهیم فضای حالت و تکامل زمانی آشنا شد. در ادامه به معرفی هر یک از این موارد می‌پردازیم.

فضای حالت چیست؟

در یک سیستم دینامیک، به منظور نزدیک‌تر شدن به مدل واقعی، باید متغیرهایی را انتخاب کرد که بتوانند مدل ریاضی را به طور کامل توصیف کنند. این متغیرها با عنوان «متغیر حالت» (State Variable) شناخته می‌شوند. به مجموعه تمام مقادیر ممکن برای متغیرهای حالت، «فضای حالت» (State Space) می‌گویند. با تعیین مقادیر متغیرهای حالت در یک لحظه از زمان، رفتار سیستم در آن لحظه به طور کامل قابل تشخیص خواهد بود. به عنوان مثال، تغییرات فصل‌ها در طی سال را در نظر بگیرید. در این مثال، فضای حالت شامل چهار فصل بهار، تابستان، پاییز و زمستان می‌شود. گذر زمان باعث تغییر این فصل‌ها خواهد شد. به علاوه، با مشخص بودن فصل فعلی، فصل بعدی قابل پیش‌بینی است.

اولین قدم در ایجاد یک سیستم دینامیک، تعیین پدیده‌ای است که قصد داریم تغییرات آن در گذر زمان را مورد بررسی قرار دهیم. به این منظور باید، متغیرهایی را تعریف کنیم که قادر به توصیف کامل رفتار سیستم در هر لحظه از زمان باشند. منظور از توصیف کامل رفتار سیستم، مدل‌سازی جزئیات دقیق آن مطابق با دنیای واقعی نیست. با این وجود، متغیرها باید حالت‌های مختلف سیستم را توسط روابط ریاضی به طور کامل تعریف کنند. فضای حالت به دو نوع گسسته و پیوسته تقسیم می‌شود:

• فضای حالت گسسته: در فضای حالت گسسته، مقادیر متغیرهای حالت به صورت مجزا هستند. به عنوان مثال، مقدار متغیر حالت فقط می‌تواند از مجموعه اعداد صحیح باشد.
• فضای حالت پیوسته: در فضای حالت پیوسته، هیچ محدودیتی برای مقادیر متغیرهای حالت وجود ندارد. به عنوان مثال، مقدار متغیر حالت می‌تواند از مجموعه اعداد حقیقی باشد.

فضای حالت پیوسته با بعد محدود، با عنوان «فضای فاز» (Phase State) شناخته می‌شود. در این فضا، تعداد متغیرهای حالت با تعداد بعدهای سیستم دینامیک برابر است.

اصل تکامل زمانی چیست؟

«تکامل زمانی» (Time Evolution)، تغییر حالت ناشی از تغییر زمان است. زمان در تکامل زمانی می‌تواند به صورت پیوسته، گسسته و حتی محدود باشد. در فیزیک کلاسیک، تکامل زمانی مجموعه‌ای از اجسام صلب، با توجه به قوانین مکانیک کلاسیک نظیر قوانین حرکت نیوتون تعریف می‌شود. تعیین نحوه تکامل زمانی، دومین قدم برای ایجاد یک سیستم دینامیک است. نحوه تکامل زمانی باید به گونه‌ای باشد که متغیرهای حالت بتوانند رفتار سیستم را به طور کامل توصیف کنند. در بحث تکامل زمانی سیستم‌های دینامیک، باید به نکات زیر توجه داشت:

• مقدار متغیر حالت در یک زمان مشخص باید قادر به توصیف نحوه تکامل زمانی تمام حالت‌های بعدی باشد.
• سیستم نباید به متغیری خارج از فضای حالت، وابستگی زمانی داشته باشد.

در صورت عدم رعایت نکات بالا، باید با تغییر قواعد یا بسط فضای حالت توسط متغیرهای ضروری، مدل ریاضی را به یک سیستم دینامیک تبدیل کرد.

انواع سیستم دینامیک کدام هستند؟

سیستم دینامیک از نظر تکامل زمانی به دو نوع گسسته و پیوسته تقسیم می‌شود. البته با در نظر گرفتن نوع تابع مورد استفاده برای نمایش تغییرات، این سیستم‌ها را می‌توان به دو نوع خطی و غیر خطی نیز تقسیم‌بندی کرد. پیش از تعریف سیستم‌های دینامیک خطی و غیر خطی، به معرفی سیستم‌های دینامیک گسسته و پیوسته می‌پردازیم.

فیلم آموزش مدل سازی سیستم های دینامیکی با نرم افزار ونسیم Vensim در فرادرس

کلیک کنید

سیستم دینامیک گسسته چیست؟

تغییر رفتار سیستم دینامیک گسسته، طی گام‌های زمانی مجزا (معمولا با مقادیر حقیقی t=0,1,2,...,n) انجام می‌شود. در این نوع سیستم‌، فاصله بین گام‌های زمانی قابل توجه است. به این ترتیب می‌توان حالت سیستم در یک زمان مشخص مانند t را با یک مقدار معین مانند x_t نمایش داد. این سیستم اطلاعات کمی را در اختیار محققین قرار می‌دهد. با این وجود، عملکرد آن در توصیف بسیاری از پدیده‌ها قابل قبول است. به علاوه، آشنایی با سیستم دینامیک گسسته برای مطالعه سیستم‌های دینامیک غیر خطی ضروری است.

در بسیاری از موارد، اصل تکامل زمانی بر اساس تابعی است که حالت سیستم در یک زمان را به عنوان ورودی دریافت کرده و حالت سیستم در گام بعدی زمان را به عنوان خروجی مشخص می‌کند. به این ترتیب، با شروع وضعیت اولیه سیستم در حالت x₀ در زمان t=0، می‌توان تابعی را برای تعیین حالت x₁=f(x₀) در زمان t=1، حالت x₂=f(x₁) در زمان t=2 و تمام حالت‌های بعدی تعریف کرد. در نهایت، مجموعه‌ای از حالت‌های سیستم دینامیک (مسیر بین نقاط x₀ تا x_n) به دست می‌آید. در این روش، حالت سیستم در تمام زمان‌ها با توجه به تابع f و حالت اولیه x₀ تعیین می‌شود. به این سیستم، «سیستم دینامیک گسسته» (Discrete Dynamical System) می‌گویند.

سیستم دینامیک پیوسته چیست؟

در کنار سیستم دینامیک گسسته، «سیستم دینامیک پیوسته» (Continuous Dynamical System) وجود دارد. در این سیستم، فاصله گام‌های زمانی به قدری کوچک است که می‌توان از آن صرف نظر کرد. به عبارت دیگر، تغییر زمان به صورت پیوسته در نظر گرفته می‌شود. درک رفتار سیستم‌های پیوسته، نیازمند آشنایی با حسابان و معادلات دیفرانسیل است. معادلات دیفرانسیل، اطلاعات مفید زیادی را برای مدل‌های ساده فراهم می‌کنند. البته با افزایش المان‌های مدل، توصیف رفتار سیستم توسط این معادلات دشوار می‌شود.

در سیستم‌های دینامیک پیوسته، به دلیل یکپارچه بودن زمان در تکامل زمانی، رفتار سیستم به آرامی در فضای حالت تغییر می‌کند. با تکامل زمان، حالت x(t) در زمان t را می‌توان به عنوان یکی از نقاط گذرنده از فضای حالت در نظر گرفت. اصل تکامل زمانی با مشخص کردن سرعت نقطه x(t)، نحوه جابجایی آن را مشخص می‌کند. این کار توسط تابع v(t)=F(x(t)) انجام می‌گیرد. در این تابع، v(t)، سرعت نقطه در زمان t است. به این ترتیب، با شروع در حالت اولیه x(0) در زمان t=0، مسیر تمام حالت‌های بعدی x(t)، یک منحنی گذرنده از فضای حالت خواهد بود.

سیستم دینامیک خطی چیست؟

سیستم دینامیک خطی، یکی از انواع سیستم‌های دینامیک با توابع خطی است. به طور کلی، راه‌حل‌های فرم بسته رفتار سیستم‌های دینامیک را به طور دقیق توصیف نمی‌کنند. با این وجود، مدل‌های سیستم دینامیک خطی برای ساده‌سازی مناسب هستند. این سیستم، یک درک کلی از رفتار کیفی (تقریبی) را فراهم می‌کند. مبانی سیستم دینامیک خطی، محاسبه مقدار متغیرها در نقاط تعادل و تقریب خطی تغییر رفتار سیستم در فاصله بین این نقاط است.

سیستم دینامیک غیر خطی چیست؟

سیستم دینامیک غیر خطی، رابطه بین ورودی و خروجی را به طور غیر خطی نمایش می‌دهد. به عبارت دیگر، مقادیر هر نقطه در این سیستم را نمی‌توان با استفاده از درون‌یابی یا بیرون‌یابی مقادیر نقاط کناری بیان کرد. سیستم‌های غیر خطی، توصیف بهتری از رفتار پدیده‌ها را فراهم می‌کنند. با این وجود، بر خلاف سیستم‌های خطی، نحوه تغییر متغیرهای سیستم‌های غیر خطی در گذر زمان، پیچیده، غیر قابل پیش‌بینی یا حتی غیر قابل درک به نظر می‌رسند. حل سیستم‌های دینامیک غیر خطی دشوار و نیازمند توان محاسباتی بالا است. به همین دلیل، این سیستم‌ها معمولا توسط مجموعه‌ای از معادلات خطی و به صورت تقریبی مورد ارزیابی قرار می‌گیرند.

دینامیک سیستم چیست؟

«دینامیک سیستم» (System Dynamics)، یکی از روش‌های موجود برای درک و ارزیابی رفتار غیر خطی سیستم‌های دینامیک پیچیده در طول زمان است. در این روش از نمودارهای انباشت و جریان، حلقه‌های بازخورد، توابع جدولی و تاخیرات زمانی برای نمایش تغییرات مبتنی بر زمان سیستم استفاده می‌شود. دینامیک سیستم، کاربرد بسیار گسترده‌ای در علوم انسانی و مهندسی دارد.

مثال سیستم دینامیک در حوزه های مختلف

مثال‌های سیستم دینامیک را می‌توان در هر حوزه‌ای مشاهده کرد. در این بخش، به منظور درک بهتر این نوع سیستم به معرفی دو مثال ساده در حوزه‌های زیست‌شناسی و فیزیک می‌پردازیم. این مثال‌ها برای تمام علوم دیگر قابل تعمیم هستند. در نتیجه، مطالعه آن‌ها می‌تواند شروعی برای گرفتن ایده به منظور نعریف و حل مسائل دینامیک در حوزه‌های دیگر باشد.

سیستم دینامیک در زیست شناسی

یکی از مثال‌های سیستم دینامیک در زیست‌شناسی، مدل‌سازی رشد و تکثیر باکتری است. در این مثال، فرض کنید اندازه جمعیت b_t، تعداد باکتری‌ها در زمان t است. در صورتی که b_t بتواند دارای مقادیر صحیح و غیر منفی باشد، این مقادیر فضای حالت را به وجود می‌آورند. به این ترتیب، طبیعتا فضای حالت گسسته خواهد بود.

با تبدیل یک باکتری به دو باکتری، جمعیت باکتری‌ها افزایش می‌یابد. در این مثال، فرض می‌کنیم تکثیر تمام باکتری‌ها به صورت همزمان رخ می‌دهد. با این کار می‌توانیم گام زمانی تکثیر را مشخص کنیم. برای این مدل، از بازه زمانی بین هر چرخه تکثیر صرف نظر شده و یک واحد زمانی اختصاصی (گام زمانی بین تکثیرها) تعریف می‌شود. بنابراین، یک سیستم دینامیک گسسته شکل می‌گیرد. این سیستم نیازمند قاعده‌ای برای تعیین اندازه جمعیت b_t در زمان‌های t=1,2,3,...,n بر اساس اندازه اولیه b₀ در زمان t=0 است.

به دلیل تبدیل هر باکتری به دو باکتری در هر گام زمانی، رفتار و اصول سیستم نسبتا ساده است. در این سیستم، اندازه جمعیت b_t در هر گام دو برابر می‌شود. در هر لحظه از زمان t=n، اندازه جمعیت در گام بعدی b_n+1 دو برابر اندازه جمعیت در گام قبلی b_n خواهد بود. به عبارت دیگر رابطه b_n+1=f(b_n)=2b_n برقرار است. ترکیب این رابطه با اندازه اولیه جمعیت (b0 در t=0)، اندازه جمعیت در آینده (t) را به طور کامل تعیین خواهد کرد. از این‌رو می‌توان گفت که تعریف این سیستم دینامیک پیشنهادی به خوبی انجام شده است.

تصویر بالا، مسیر رفتار سیستم دینامیک تکثیر باکتری را نمایش می‌دهد. در این مدل، b₀=1 در نظر گرفته شده است. به این ترتیب، با دو برابر شدن تعداد باکتری‌ها در هر گام زمانی، اندازه جمعیت در زمان t=9 برابر با 512 خواهد بود. در این مثال، فضای حالت را به صورت اعداد صحیح غیر منفی در نظر گرفتیم. اگر اندازه جمعیت می‌توانست با هر مقدار حقیقی بیان شود، اصول ریاضی مدل تغییری نمی‌کرد. با این وجود، تفسیر رشد و تکثیر باکتری در آن حالت دشوار می‌شد. در هر حال، با یادگیری بیشتر تحلیل سیستم‌های دینامیک،‌ نحوه گسترش فضای حالت برایتان ساده‌تر خواهد شد. به این ترتیب می‌توانید اعداد حقیقی را نیز در فضای حالت در نظر بگیرید و تحلیل ریاضی را ساده‌تر کنید.

سیستم دینامیک در فیزیک

از مثال‌های ساده برای درک سیستم‌های دینامیک در فیزیک، آونگ نامیرا با ارتعاش متناوب است. در این مثال، آونگ بدون هیچ اصطکاکی، به طور پیوسته و تا بی‌نهایت ارتعاش پیدا می‌کند. آونگی مشابه تصویر زیر را در نظر بگیرید. این آونگ از یک میله صلب متصل به یک نقطه ثابت و یک گلوله متصل به انتهای میله تشکیل می‌شود. آونگ می‌تواند آزادانه نسبت به نقطه ثابت دوران کند.

در این مثال، محل قرارگیری آونگ با زاویه θ (زاویه بین میله و راستای عمود) تعیین می‌شود. عمودی شدن میله به همراه قراگیری گلوله در پایین به معنای زاویه θ=0 و عمودی شدن آن به همراه قرارگیری گلوله در بالا به معنای θ=±π است. اگر θ بین 0 و π باشد، آونگ در سمت راست و اگر بین 0 و π- باشد، آونگ در سمت چپ قرار دارد. به این ترتیب، θ به طور کامل محل قرارگیری آونگ را مشخص می‌کند. از این‌رو، ممکن است در ابتدا تصور کنید که θ می‌تواند حالت سیستم دینامیک را نیز به طور کامل توصیف کند. با این وجود نمی‌توان θ را به عنوان تنها متغیر حالت سیستم در نظر گرفت. برای درک بهتر این موضوع، دوباره به تصویر بالا نگاه کنید. موقعیت قرارگیری آونگ مشخص است اما جهت حرکت آن به سمت بالا یا پایین مشخص نیست. به عبارت دیگر، جای متغیری که بیانگر جهت حرکت آونگ باشد در سیستم دینامیک خالی است.

با اولین نگاه به تصویر بالا شاید تصور کنید که آونگ به سمت چپ (پایین) حرکت خواهد کرد. این تصور از فرض ثابت بودن آونگ در هنگام شروع حرکت (لحظه ثبت تصویر) نشات می‌گیرد. در حالی که اگر به شما گفته می‌شد در لحظه ثبت تصویر بالا، حرکت آونگ به صورت پادساعتگرد بوده، پیش‌بینی شما از محل قرارگیری آن در لحظه بعد تغییر می‌کرد. در نتیجه، به منظور تعریف رفتار آونگ در گام‌های بعدی، به یک متغیر دیگر برای تعیین جهت‌گیری نیاز خواهد بود. این متغیر، سرعت زاویه‌ای است.

به این ترتیب، استفاده از متغیرهای θ (زاویه) و ω (سرعت زاویه‌ای) می‌تواند فضای حالت مثال آونگ نامیرا را به خوبی توصیف کند. هر دوی این متغیرها در طول زمان تکامل می‌یابند. به علاوه، مقدار آن‌ها در یک زمان معلوم، مقدار بعدی را مشخص می‌کند. این سیستم برخلاف سیستم تکثیر باکتری، دو بعدی (به دو متغیر وابسته) است. علاوه بر این، به دلیل تغییر پیوسته مقادیر زاویه و سرعت زاویه‌ای، مدل تعریف شده به عنوان یک سیستم مکانیک پیوسته خواهد بود.

فیلم آموزش کاربرد متلب در دینامیک سازه ها در فرادرس

کلیک کنید

در سیستم دینامیک تکثیر باکتری، فضای حالت توسط یک منحنی تک بعدی نمایش داده شد. در سیستم دینامیک آونگ نامیرا می‌توان فضای حالت دو بعدی را به صورت یک صفحه (مانند تصویر زیر) رسم کرد. این صفحه معمولا با عنوان «صفحه فاز» (Phase Plane) شناخته می‌شود. در صفحه فاز زیر، θ(t) بر روی محور افقی و ω(t) بر روی محور عمودی رسم شده است. به این ترتیب، حالت فعلی سیستم، نقطه‌ای با مخصات (θ(t),ω(t)) بر روی صفحه فاز خواهد بود. نقطه آبی، حالت اولیه در مختصات (θ₀,ω₀)=(θ(0),ω(0)) را نمایش می‌دهد. فلش‌های خاکستری نیز به درک بهتر نحوه تغییر مکان جسم در فضای حالت کمک می‌کنند. جهت این فلش‌ها، معرف جهت حرکت و طول آن‌ها، معرف سرعت حرکت است.

به دلیل متناوب بودن زاویه θ (در بازه 2π)، فضای حالت واقعا صفحه‌ای نیست. لبه سمت چپ صفحه در θ=-π با لبه سمت راست صفحه در θ=π، یک موقعیت را برای آونگ نمایش می‌دهند. اگر صفحه سمت چپ را بپیچانیم و آن را به شکل یک استوانه در بیاوریم، این دو زاویه بر روی یکدیگر منطبق می‌شوند. به همین دلیل، استوانه گزینه بهتری برای نمایش فضای حالت در این مثال خواهد بود. برای سرعت زاویه‌ای، مقادیر مثبت بیانگر حرکت ساعتگرد و مقادیر منفی نشان دهنده حرکت پادساعتگرد هستند. نمودار سمت راست تصویر بالا نیز، تغییرات زاویه در طول زمان را نمایش می‌دهد. از آنجایی که فضای حالت دوبعدی است؛ امکان رسم ساده تغییرات (θ(t),ω(t)) نسبت به زمان بر روی یک صفحه وجود ندارد.

سخن آخر

پیش از اختراع کامپیوتر، پیدا کردن نحوه تغییر رفتار (مسیر رفتاری) سیستم‌ها نیازمند روش‌های پیچیده ریاضی بود. به علاوه، این روش‌ها فقط برای سیستم‌های کوچک مورد استفاده قرار می‌گرفتند. با ظهور کامپیوترها و به کارگیری روش‌های عددی در نرم افزارهای کامپیوتری، تعیین مسیر رفتاری سیستم‌های دینامیک ساده‌تر شد. در سیستم‌های ساده، تعیین این مسیر برای درک سیستم کفایت می‌کند. با این وجود، اکثر سیستم‌های دینامیک به قدری پیچیده هستند که فقط با تعیین مسیر رفتاری قابل درک نخواهند بود. به همین دلیل، توجه به نکات زیر می‌تواند دید خوبی را از نحوه برخورد با سیستم‌های دینامیک فراهم کند:

• مطالعه سیستم‌های دینامیک، اغلب به صورت تقریبی است؛ چراکه امکان تشخیص و تعریف تمام پارامترها در مدل وجود ندارد.
• تشخیص نوع مسیر رفتار سیستم از اهمیت بالایی برخوردار است. به عنوان مثال، برخی از سیستم‌ها به طور متناوب رفتار می‌کنند. دسته‌بندی و تعیین نوع رفتار، به پیدا کردن راه‌حل مناسب کمک خواهد کرد.
• در برخی از موارد، تعیین رفتار سیستم، نیازمند تعریف تابعی از یک پارامتر مشخص است. با تغییر این پارامتر، نقاط انشعاب در رفتار کیفی سیستم به وجود می‌آیند. از این‌رو، نیازی به پیچیده کردن مسئله با تعریف متغیرها و پارامترهای بیشتر نیست.
• در برخی از موارد، سیستم دینامیک ظاهرا به صورت تصادفی و آشفته رفتار می‌کند. در این موارد، باید میانگینی از مسیرهای رفتاری را محاسبه کرد.