سری همگرا و واگرا – از صفر تا صد

پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به دنباله‌های عددی، دنباله‌های حسابی، هندسی و ... توضیح داده شده‌اند. در این مطلب قصد داریم تا در مورد حاصل جمع جملات یک دنباله صحبت کرده و شما را با سری همگرا و واگرا آشنا کنیم.

سری مفهومی بسیار پرکاربرد در نوشتن الگوریتم‌ها است. برای نمونه مفهوم بسط تیلور که در ریاضیات بسیار پرکاربرد است،‌ در حقیقت یک سری محسوب می‌شود.

تعاریف

فرض کنید $$\left \{ { { a _ n } } \right \}$$ دنباله‌ای از اعداد باشد.

در این صورت حاصل جمع زیر را سری بینهایت یا به طور ساده‌تر سری می‌نامند.

$$\large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } } = { { a _ 1 } + { a _ 2 } + \ldots } + { { a _ n } + \ldots }$$

جمع بخشی از دنباله a_n را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ n { { a _ n } } } = { { a _ 1 } + { a _ 2 } + \ldots + { a _ n } }$$

حاصل عبارت فوق را با S_n نشان می‌دهند. در حالتی که $$n \to \infty$$ برقرار بوده و S_n به L میل کند، در این صورت سری S_n را همگرا می‌نامند. بنابراین می‌توان گفت:

$${ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = L \; \; } \kern -0.3pt { \text {if} \; \; \lim \limits _ { n \to \infty } { S _ n } = L }$$

اگر به هر نحوی رابطه فوق برقرار نباشد، سری واگرا نامیده می‌شود. به منظور تشخیص واگرا یا همگرا بودن یک سری، آزمون‌هایی وجود دارد که در ادامه آن‌ها را توضیح داده‌ایم.

آزمون جمله nام

این آزمون می‌گوید اگر سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ همگرا باشد در این صورت حد a_n در بینهایت صفر است. به عبارتی اگر سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ همگرا باشد، حد زیر نیز برقرار باشد.

$$\large \lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } = 0$$

نکته: عکس این آزمون الزاما درست نیست. در حقیقت صفر بودن حد a_n در بینهایت همگرا بودن سری را نتیجه نمی‌دهد. برای نمونه حاصل حد $$\frac {1}{n}$$ برابر با صفر است. این در حالی است که سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize }$$ واگرا است. به طور معادل اگر، $$\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0$$ یا حد نداشته باشد، سری $$a_n$$ واگرا است.

آزمون دالامبر یا آزمون نسبت

برای به‌‌کارگیری این آزمون بایستی حاصل حد $${ \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = r }$$ را بیابیم. در این رابطه اگر $$r < 1$$ باشد، در این صورت سری همگرا است. در حالتی که r=1 باشد، نمی‌توان در مورد همگرا یا واگرا بودن سری نظری قطعی داد.

ویژگی‌های سری‌های همگرا

فرض کنید دو سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = A$$ و $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } } = B$$ همگرا بوده و c عددی ثابت باشد.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در این صورت دو گذاره‌ زیر نیز برقرار خواهند بود.

• $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } + { b _ n } } \right ) }$$
• $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { c { a _ n } } = c A$$

مثال‌ها

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که مطالعه آن‌ها را به منظور درک بهتر مطلب، توصیه می‌کنیم.

مثال ۱

وضعیت همگرایی سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \sqrt [ \large n \normalsize ] { 3 } }$$ را مشخص کنید.

جهت تعیین وضعیت همگرایی سری، می‌توان از آزمون جمله nام استفاده کرد. در حقیقت حاصل حد $$\lim \limits _ { n \to \infty } \sqrt [ \large n \normalsize ] { 3 } = \lim \limits _ { n \to \infty } { 3 ^ { \large \frac { 1 } { n } \normalsize} } = 1$$ متناهی است. بنابراین سری تشکیل شده از جملات آن نیز واگرا خواهد بود.

مثال ۲

نشان دهید که حاصل سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize }$$ واگرا است.

حاصل حد $$\frac { 1 } { n }$$ در بینهایت برابر با صفر است. بنابراین نمی‌توان به‌طور قطعی گفت سری واگرا است. حاصل حد $${ \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = r }$$ نیز برابر با ۱ است. بنابراین از این آزمون نیز نمی‌توان استفاده کرد. به منظور تشخیص وضعیت سری، می‌توان جملات آن را به صورت زیر جمع زد.

$$\large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { 1 } { n } } } = { 1 + \frac { 1 } { 2 } + \underbrace {\left( { \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } } \right)}_{\frac{7}{{12}} > \frac{1}{2}} } + { \underbrace { \left ( { \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 8 } } \right ) } _ { \frac { { 5 3 3 } } { { 8 4 0 } } > \frac { 1 } { 2 } } } + { \ldots \; }$$

از استدلال فوق می‌توان نامساوی زیر را نتیجه گرفت.

$$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize } > \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } = \infty$$

بنابراین سری واگرا بوده و حاصل آن به بینهایت میل می‌کند.

مثال ۳

وضعیت همگرایی سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { { \left ( { n + \pi } \right ) \left ( { n + \pi + 1 } \right ) } } \normalsize }$$ به چه صورت است؟

در برخی از موارد، جملات یک سری دو به دو همدیگر را خنثی می‌کنند. برای نمونه جمله عمومی این سری را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\large { \frac { 1 } { { \left ( { n + \pi } \right ) \left ( { n + \pi + 1 } \right ) } } } = { \frac { 1 } { { n + \pi } } } - { \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } }$$

اگر عبارت فوق را به صورت زیر باز کنید خواهید دید که جملات سری دو به دو همدیگر را خنثی می‌کنند.

$$\large { { S _ n } = \left ( { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } – \frac { 1 } { { 2 + \pi } } } \right ) } + { \left ( { \frac { 1 } { { 2 + \pi } } – \frac { 1 } { { 3 + \pi } } } \right ) + \ldots } + { \left ( { \frac { 1 } { { n + \pi } } – \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } } - { \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } }$$

بنابراین حاصل حد S_n در حالتی که $$n \to \infty$$ میل کند، برابر است با:

$$\large { \lim \limits _ { n \to \infty } { S _ n } } = { \lim \limits _ { n \to \infty } \left ( { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } – \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } } \approx { 0 , 2 4 }$$

در نتیجه سری ارائه شده به عدد ۰.۲۴ همگرا است.