تخمین سری در ریاضی – به زبان ساده

تخمین سری با آزمون‌های همگرایی

قبل از این که در مورد بدست آوردن مقدار یک سری صحبت کنیم، اجازه دهید تا همگرایی سری را توضیح دهیم. بدین منظور در ابتدا سری $$\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ را در نظر بگیرید. فرض کنید این سری به مقدار $$s$$ همگرا است. این همگرایی به معنای آن است که اگر دنباله $$s _ n$$ را به صورت زیر در نظر بگیریم:

$${ s _ n } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { a _ i } }$$

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } { s _ n } = s$$

$$\large { s _ n } \approx s$$

روش فوق، یکی از روش‌های حدس زدن پاسخ یک سری محسوب می‌شود. اما سوالاتی که در مورد این روش مطرح می‌شود این است که چه زمانی می‌توان از این روش بهره برد و این‌که به ازای تعداد مشخصی از جملات، پاسخ تخمین زده شده به چه میزان نسبت به پاسخ دقیق خطا دارد؟ به منظور یافتن پاسخ این سوالات در ابتدا یک سری بینهایت را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \begin {equation} \sum \limits _ { i = 1 } ^ \infty { { a _ i } } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { a _ i } } + \sum \limits _ { i = n + 1 } ^ \infty { { a _ i } } \end{equation}$$

با نگاه به رابطه فوق می‌بینید که ترمِ اول همان $$s_n$$ است. عبارت دوم در رابطه فوق نیز تحت عنوان باقیمانده شناخته شده که آن را با $$R _ n$$ نمایش می‌دهند. مقدار $$R_n$$ نشان‌دهنده خطای بین مقدار تخمینی ($$s_n$$) و مقدار واقعی ($$s$$) است. با این فرضیات رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large s = { s _ n } + { R _ n }$$

از این رو در عبارت فوق مقدار $${ R _ n }$$ به ما میزان اختلاف بین مقدار حدس زده شده و مقدار واقعی سری را نشان می‌دهد. بدیهی است که ما نمی‌توانیم مقدار دقیق $${ R _ n }$$ را تعیین کنیم. دلیل این امر آن است که مقدار دقیق $$s$$ قابل تشخیص نیست. از این رو در ابتدا باید با استفاده از آزمون‌های مطرح شده، از وضعیت همگرایی سری اطمینان حاصل کرد. پس از تعیین وضعیت همگرایی می‌توان بهتر در مورد مقدار همگرایی تصمیم گرفت.

چندین آزمون به منظور بدست آوردن مقدار باقیمانده وجود دارد. در ادامه هریک از این روش‌ها به همراه مثال بررسی شده‌اند.

آزمون انتگرال

توجه داشته باشید که تنها زمانی می‌توان از این آزمون استفاده کرد که جملات سری مثبت و کاهشی باشند. آزمون انتگرال از این واقعیت ناشی می‌شود که می‌توان حد سری را به صورت مساحت زیر تابع $$f \left ( n \right ) = { a _ n }$$ در نظر گرفت.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی برای کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

در ادامه خواهید دید که می‌توان با بدست آوردن حدود بالا و پایین باقیمانده، حدود بالا و پایینی برای $$s_n$$ نیز تعریف کرد. عکس این گزاره نیز صحیح است. در حقیقت می‌توان با محدود کردن مقدار سری در یک بازه، مقدار باقیمانده را نیز محدود کرد. در ابتدا باقیمانده را به صورت زیر باز می‌کنیم.

$$\large { R _ n } = \sum \limits _ { i = n + 1 } ^ \infty { { a_ i } } = { a _ { n + 1 } } + { a _ { n + 2 } } + { a_ { n + 3 } } + { a _ { n + 4 } } + \cdots$$

حال اگر مقدار $$x$$ را از $$x = n + 1$$ در نظر بگیریم، در این صورت می‌توان مطابق شکل زیر مستطیل‌هایی به عرض $$1$$ در نظر گرفته که ارتفاع سمت چپ مستطیل نیز برابر با مقدار تابع $$f ( n )$$ خواهد بود.

همان‌طور که در شکل فوق نیز مشخص شده، مقدار حاصل جمع مستطیل‌ها از مقدار انتگرال زیر نمودار بیشتر شده‌ است. بنابراین حد پایین مقدار باقیمانده را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \begin {equation} { R _ n } \ge \int _ { { \, n + 1 } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } \end {equation}$$

حال می‌توان نقطه شروع را از $$\large x = n$$ در نظر گرفت. در این صورت می‌توان عرض مستطیل‌ها را برابر با $$1$$ در نظر گرفته و نقاط سمت راست را برابر با ارتفاع مستطیل‌ها فرض کرد. در این صورت مساحت مستطیل‌ها کمتر از مساحت زیر منحنی خواهد بود.

هم‌چنین حد بالای باقیمانده نیز برابر خواهد بود با:

$$\large \begin {equation} { R _ n } \le \int _ { { \, n } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } \end {equation}$$

با توجه به حدود بدست آمده، مقدار باقیمانده در بازه زیر قرار خواهد داشت.

$$\large \int _ { { \, n + 1 } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } \le { R _ n } \le \int _ { { \, n }} ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

بنابراین با محاسبه دو انتگرال فوق می‌توان محدوده‌ای از مقدار باقیمانده را یافت. حال به منظور تخمین سری، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم (این رابطه در بالا توضیح داده شده).

$$\large s = { s _ n } + { R _ n }$$

در این مرحله با استفاده از نامساوی $$\begin {equation} { R _ n } \ge \int _ { { \, n + 1 } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } \end {equation}$$ می‌توان حد پایین $$s$$ را به صورت زیر بیان کرد:

$$\large s = { s _ n } + { R _ n } \ge { s _ n } + \int _ { { \, n + 1 } } ^ { { \, \infty } }{ { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

به همین صورت حد بالای $$s$$ نیز برابر است با:

$$\large s = { s _ n } + { R _ n } \le { s _ n } + \int _ { { \, n } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

با ترکیب این حدود، بازه $$s$$ برابر می‌شود با:

$$\large \boxed { \begin{equation} { s _ n } + \int _ { { \, n + 1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right) \, d x } } \le s \le { s _ n } + \int _ { { \, n } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } \end{equation}}$$

با بدست آمدن مقادیر بالا و پایین سری می‌توان میانگین این حدود را به عنوان تخمینی برای سری در نظر گرفت. البته مقدار بدست آمده دقیق نخواهد بود و تنها تخمینی از مقدار سری محسوب می‌شود.

مثال ۱

با استفاده از $$15$$ جمله اول، مقدار سری $$\displaystyle \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { 1 } { { { n ^ 2 } } } }$$ را بیابید. فرض کنید پاسخ دقیق این سری برابر با $$1.644934068$$ است.

$$15$$ جمله اول به معنای در نظر گرفتن $$n=15$$ است. حاصل جمع این جملات برابرند با:

$$\large { s _ { 1 5 } } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ { 1 5 } {\frac { 1} { {{ i ^ 2 } }}} = 1.580440283$$

همان‌طور که می‌بینید مقدار فوق به پاسخ اصلی نزدیک است، اما برابر با آن نیست. از طرفی با توجه به روابط بدست آمده، حدود بالا و پایین $$s$$ برابرند با:

$$\large \int _ { { \,15 } } ^ { { \, \infty } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } \, d x } } = \frac {1 }{ { 1 5 }}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\int_{{\,16 } } ^ { { \, \infty } } { { \frac{1}{{{ x ^2 } }}\,dx}} = \frac{1}{{16}}$$

بنابراین مقدار $$s$$ در بازه زیر قرار می‌گیرد:

$$\large \begin {align*}1.580440283 + \frac{1}{{16}} \le & s \le 1.580440283 + \frac{1} { { 15 } } \\ 1.642940283 \le & s \le 1.647106950 \end{align*}$$

از طرفی با میانگین‌گیری از حدود نامساوی فوق، مقدار $$s$$ برابر می‌شود با:

$$\large s \approx 1.6450236165$$

آزمون مقایسه

هدف از آزمون مقایسه، تعیین بیشترین خطای ممکن بین دو مقدارِ $${ s _ n } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { a _ i } }$$ و پاسخِ واقعی $$s = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } a _ i$$ است. در این روش نیز از مفهوم باقیمانده (یا همان خطا) به منظور تخمین مقدار سری استفاده می‌کنیم. باقیمانده‌‌های دو سری را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

$${ R _ n } = \sum \limits _ { i = n + 1 } ^ \infty { { a _ i } } \hspace {0.25in} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} { T_ n } = \sum \limits _ { i = n + 1 } ^ \infty { { b _ i } }$$

با توجه به نامساوی $${ a _ n } \le { b _ n }$$، نامساوی زیر را نیز می‌توان برای باقیمانده‌ها بیان کرد:

$${ R _ n } \le { T _ n }$$

معمولا در هنگام استفاده از این روش، تحلیل ترم $$b _ n$$ راحت بوده، از این رو می‌توان مقداری مناسب را برای عدد $$T_n$$ حدس زد. دقیقا همانند آزمون انتگرال، با تحلیل مقدار مساحت نیز می‌توان حد بالای $$T_n$$ را بدست آورد. بنابراین نهایتا حد بالا و پایین $$T_n$$ برابرند با: