فرادرسآزمون انتگرال در سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
اگر مجموعه مقالات ریاضی وبلاگ فرادرس را مطالعه کرده باشید، متوجه خواهید شد که یکی از مسائل مهم مرتبط با سری‌ها، تعیین وضعیت همگرایی آن‌ها است. قبلا در مقاله همگرایی مطلق و مشروط، آزمون سری متناوب یا قضیه لایب نیتز را توضیح دادیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا یکی دیگر از روش‌های بررسی وضعیت همگرایی سری‌ها تحت عنوان آزمون انتگرال را در قالب مثال مورد بررسی قرار دهیم.
آزمون انتگرال
در ابتدا تابعی هم‌چون $$ f(x) $$ را به نحوی در نظر بگیرید که در بازه $$ \large \left[ {1, + \infty } \right) $$ نزولی و پیوسته باشد. هم‌چنین فرض کنید هدف تعیین وضعیت همگرایی سری زیر است.
$$ \large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { f \left ( n \right ) } }
= { f \left ( 1 \right ) + f \left ( 2 \right ) } + { f \left ( 3 \right ) + \ldots } + { f \left ( n \right ) + \ldots } $$
در این صورت وضعیت سری فوق معادل با وضعیت انتگرال ناسره زیر خواهد بود.
$$ \large \int \limits _ 1 ^ \infty { f \left ( x \right ) d x } $$
در صورت همگرا بودن انتگرال فوق، سری همگرا و در صورت واگرا بودن آن، سری نیز واگرا خواهد بود. در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که مطالعه آن‌ها را توصیه می‌کنیم. به این روش آزمون انتگرال گفته می‌شود.
مثال ۱
وضعیت همگرایی سری $$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { { 1 + 1 0 n } } \normalsize } $$ را تعیین کنید.
جهت استفاده از آزمون انتگرال، انتگرال زیر را تشکیل می‌دهیم.
$$ \large \begin {align*} { \int \limits _ 1 ^ \infty { \frac { { d x } } { { 1 + 10 x } } } }
& = { \lim \limits _ { n \to \infty } \int\limits _1 ^ n { \frac { { d x } } { {1 + 10 x } } } }
\\ & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \left. { \left [ { \frac { 1 } { { 10 } } \ln \left ( {1 + 10 x } \right ) } \right] } \right| _ 1 ^ n }
\\ & = { \frac { 1 } { { 1 0 } } \lim \limits _ { n \to \infty } \left[ {\ln \left ( { 1 + 10 n } \right) } \right.}-{\left.{ \ln 11 } \right] } = { \infty } \end {align*} $$
همان‌طور که می‌بینید حاصل انتگرال فوق برابر با بینهایت شده است. بنابراین سری مربوط به آن نیز به بینهایت میل خواهد کرد.
مثال ۲
نشان دهید سری $$p$$ زیر به ازای مقادیر $$p>1$$ همگرا است.
$$ \large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { { { n ^ p } } } \normalsize } \end {align*} $$
انتگرال ناسره مرتبط با سری فوق برابر است با:
$$ \large \begin {align*} { \int \limits _ 1 ^ \infty { \frac { { d x } }{ { { x ^ p } } } } }
& = { \lim \limits _ { n \to \infty } \int \limits _ 1 ^ n { \frac { { d x } } { { { x ^ p } } } } }
\\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \int\limits _ 1 ^ n { { x ^ { – p } } d x } }
\\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \left. {\left( {\frac{1}{{ – p + 1}}{x^{ – p + 1}}} \right)} \right| _ 1 ^ n }
\\ & = {\frac{1}{{1 – p}}\lim\limits_{n \to \infty } \left. {\left( {\frac{1}{{{x^{p – 1}}}}} \right ) } \right|_1^n }
\\ & = {\frac{1}{{1 – p}}\lim\limits_{n \to \infty } \left( { \frac { 1 } { {{ n ^ { p – 1 } } } } – 1 } \right ) }
\\ & = {\frac { 1 } { { p – 1 } } } \end {align*} $$
همان‌طور که می‌بینید به ازای مقادیر $$p>1$$ حاصلِ رابطه‌ی فوق همگرا است. بنابراین طبق آزمون انتگرال سری مرتبط با آن نیز به ازای مقادیر $$p>1$$، همگرا خواهد بود.
مثال ۳
همگرا یا واگرا بودن سری زیر را تعیین کنید.
$$ \large \begin {align*} \sum \limits_{n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { { \left ( { n + 1} \right)\ln \left( {n + 1 } \right ) } } \normalsize} \end {align*} $$
انتگرال ناسره مرتبط با سری فوق برابر است با:
$$ \large \begin {align*} { \int \limits _ 1 ^ \infty { \frac { { d x } } { { \left ( { x + 1 } \right) \ln \left ( { x + 1 } \right ) } } } }
& = { \lim \limits _ { n \to \infty } \int \limits _ 1 ^ n { \frac { { dx } } { {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}} }
\\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \int\limits_1^n {\frac{{d\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}} }
\\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \int\limits_1^n {\frac{{d\ln \left( {x + 1} \right)}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}} }
\\ & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \left. { \left[ { \ln \ln \left( { x + 1 } \right)} \right]} \right|_1^n }
\\ & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \left[ { \ln \ln \left ( { n + 1 } \right ) } \right.} - { \left . { \ln \ln 2 } \right] } = { \infty } \end {align*} $$
حاصل انتگرال فوق به بینهایت میل می‌کند. بنابراین طبق آزمون انتگرال سری مرتبط با آن نیز واگرا خواهد بود.
مثال ۴
واگرایی یا همگرایی سری زیر را تعیین کنید.
$$ \large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { n { e ^ { – n } } } \end {align*} $$
با استفاده از آزمون انتگرال داریم:
$$ \large \begin {align*} { \int \limits _ 0 ^ \infty { x { e ^ { – x } } d x } } = { \lim \limits _ { n \to \infty } \int \limits _ 0 ^ n { x { e ^ { – x } } d x } } \end {align*} $$
با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:
$$ \large \begin {align*} {u = x \;\;dv = {e^{ – x } } d x \;\;}\Rightarrow
{ d u = d x \;\;}\kern-0.3pt { v = \int { { e ^ { – x } } d x } } = { – { e ^ { – x } } } \end {align*} $$
نهایتا حاصل انتگرال را می‌توان به حد زیر تبدیل کرد.
$$ \large \begin {align*} \lim \limits _ { n \to \infty } \int \limits _ 0 ^ n { x { e ^ { – x } } d x }
& = \lim _{n \to \infty} [ (-xe^{-x}) - \int_0^ {n} (-e^ {-x})dx ]
\\ & = \lim_ {n \to \infty} [(-xe^ {-x})+\int _ 0 ^ n e^ {-x}dx]
\\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \left. {\left( { – x{e^{ – x}} – {e^{ – x}}} \right)} \right|_0^n }
\\ & = { – \lim\limits_{n \to \infty } \left. {\left[ {{e^{ – x}}\left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_0^n }
\\ & = { – \lim\limits_{n \to \infty } \left[ {{e^{ – n}}\left( {n + 1} \right) – 1} \right] }
\\ & = {1 – \lim\limits_{n \to \infty } \frac { { n + 1 } } { { { e ^ n } } } } \end {align*} $$
به منظور رفع ابهام از قاعده هوپیتال به صورت زیر استفاده می‌کنیم.
$$ \large \begin {align*} {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{{e^n}}} \sim \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 1}}{{{e^x}}} }
= { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime } } } } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac { 1 } { { { e ^ x } } } } = { 0 } \end {align*} $$
همان‌طور که می‌بینید حاصل انتگرال ناسره عددی محدود است؛ لذا با استفاده از آزمون انتگرال می‌توان نتیجه گرفت این سری همگرا است.
در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
- سری توانی -- به زبان ساده
- سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد
- سری تیلور — از صفر تا صد
^^
فیلم های آموزش آزمون انتگرال در سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
فیلم آموزشی آزمون انتگرال
فیلم آموزشی حل چند مثال از آزمون انتگرال
