فرادرس
آزمون نسبت در سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
احتمالا با مطالعه مجموعه مقالات ریاضی وبلاگ فرادرس با مفاهیم مربوط به سری‌ها آشنا شده‌اید. همان‌طور که می‌دانید تعیین وضعیت همگرایی سری‌ها مسئله‌ای مهم در مواجه با یک سری محسوب می‌شود. در این مطلب قصد داریم تا آزمونی را معرفی کنیم که در تعیین بسیاری از سری‌ها کمک کننده است. از این آزمون همچنین می‌توان در تعیین سری‌های مطلقا همگرا نیز استفاده کرد. این آزمون با نام آزمون نسبت شناخته می‌شود.
فاکتوریل
قبل از معرفی آزمون نسبت اجازه دهید تا مفهوم فاکتوریل را مرور کنیم.
دلیل این امر مناسب بودن این آزمون برای سری‌هایی است که در آن‌ها فاکتوریل موجود است. اگر $$n$$ عددی صحیح و مثبت باشد، در این صورت $$ n ! $$ برابر است با:
$$ \large \begin {align*} n ! & = n \left ( { n - 1 } \right ) \left ( { n - 2 } \right ) \cdots \left( 3 \right ) \left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) & \hspace{0.15in} & {\mbox{if } } n \ge 1\\ 0! & = 1 & \hspace {0.15in} & { \mbox{by definition} } \end{align*} $$
در ادامه مثال‌هایی از چند فاکتوریل ارائه شده است.
$$ \begin {align*}& 1! = 1\\ & 2! = 2\left( 1 \right) = 2 \\ & 3 ! = 3 \left ( 2 \right ) \left( 1 \right) = 6 \\ & 4 ! = 4 \left( 3 \right ) \left( 2 \right)\left( 1 \right) = 24\\ & 5! = 5\left( 4 \right)\left( 3 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right) = 120\end{align*}$$
مورد آخر را در مثال‌های فوق در نظر بگیرید. همان‌طور که می‌بینید مقدار آن را می‌توان بر حسب مقادیر بالاتر از خودش بیان کرد. برای نمونه مقدار $$ \large \begin{align*}5! \end{align*} $$ را می‌توان به دو صورت زیر بیان کرد:
$$ \large \begin{align*}5! & = 5\underbrace {\left( 4 \right)\left( 3 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right ) } _ { 4 ! } = 5 \cdot 4 ! \\ 5! & = 5 \left ( 4 \right ) \underbrace {\left( 3 \right)\left( 2 \right)\left( 1 \right ) } _ { 3 ! } = 5\left( 4 \right) \cdot 3!\end{align*} $$
بنابراین مقدار $$n!$$ را نیز می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد.
$$ \large \begin {align*} n ! & = n \left ( { n - 1 } \right ) \left ( { n - 2 } \right ) \cdots \left ( { n - k } \right)\left( {n - \left ( { k + 1 } \right ) } \right) \cdots \left ( 3 \right ) \left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) \\ & = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) \cdots \left( { n - k } \right) \cdot \left( {n - \left( {k + 1} \right ) } \right ) ! \\ & = n \left( {n - 1} \right ) \left( { n - 2 } \right ) \cdots \left( {n - k} \right) \cdot \left( { n - k - 1 } \right ) ! \end{align*} $$
از بیان بالا در آزمون نسبت استفاده می‌شود. بنابراین توصیه می‌شود گزاره فوق را به خاطر بسپارید. به نماد‌گذاری‌های استفاده شده توجه کنید. برای نمونه دو عبارتِ $$ \large \left ( { 2 n } \right ) ! \ne 2\,\,n! $$ مفاهیم متفاوتی دارند. در ادامه این دو عبارت باز شده‌اند.
$$ \large \begin {align*} \left ( { 2 n } \right ) ! & = \left ( { 2 n } \right ) \left ( { 2 n - 1 } \right ) \left ( { 2 n - 2 } \right ) \cdots \left ( 3 \right ) \left( 2 \right)\left( 1 \right)\\ 2\,\,n! & = 2\left[ {\left( n \right ) \left( { n - 1 } \right ) \left ( { n - 2 } \right ) \cdots \left ( 3 \right ) \left ( 2 \right ) \left( 1 \right)} \right] \end {align*} $$
آزمون نسبت
سری تشکیل شده از دنباله $$ \large a _ n $$ به صورت $$ \large \begin {align*} \displaystyle \sum { { a _ n } } \end {align*} $$ نشان داده می‌شود. در این صورت حاصل عددی تحت عنوان $$ L $$ را به صورت زیر در نظر بگیرید.
$$ \large L = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1 }} } }{{ { a _ n} } }} \right| $$
مقدار $$L$$ تعیین کننده وضعیت همگرایی سری خواهد بود. این مقدار یکی از حالات زیر را خواهد داشت:
- اگر $$L<1$$ باشد، سری همگرای مطلق یا مطلقا همگرا خواهد بود.
- اگر $$L>1$$ باشد، سری قطعا واگرا خواهد بود.
- اگر $$L=1$$ باشد، سری می‌تواند واگرا، همگرا یا مطلقا همگرا باشد.
اثبات آزمون نسبت
در ابتدا فرض می‌کنیم که سری از $$n=1$$ شروع می‌شود. برای اثبات حالت اول یعنی $$L=1$$ با توجه به فرض صورت گرفته عددی همچون $$r$$ را می‌توان به صورتی در نظر گرفت که در نامساوی $$ \large L < r < 1 $$ صدق کند.
از طرفی قادر خواهیم بود عدد $$L$$ را به صورت زیر محاسبه کنیم.
$$ \large L = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \left| { \frac { {{ a _ { n + 1 } }} }{ { { a _ n} } }} \right| $$
همچنین با توجه به این که مقدار $$r$$ به نحوی انتخاب شده که نامساوی $$ \large L < r $$ برقرار باشد، از این رو می‌توان عددی همچون $$N$$ را یافت که اگر $$n>N$$ باشد، در این صورت گزاره زیر برقرار خواهد بود:
$$ \large \left| {\frac { { { a _ { n + 1 } } } } { {{ a _ n } } } } \right| < r\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| { { a _ { n + 1 }} } \right| < r\left| {{a_n}} \right| $$
با توجه به مقدار $$r$$ رابطه زیر را می‌توان بیان کرد:
$$ \large \begin{align*}\left| { { a _ { N + 1}}} \right| & < r\left| {{a_N}} \right|\\ \left| {{a_{N + 2}}} \right| & < r\left| { { a_ { N + 1 } } } \right| < { r ^2 } \left| {{a_N}} \right|\\ \left| { { a _ { N + 3}}} \right| & < r\left| { { a _ { N + 2 }} } \right| < {r^3}\left| {{a_N}} \right|\\ & \hspace{0.5in} \vdots \\ \left| {{ a _ { N + k } } } \right| & < r\left| {{a_{N + k - 1}}} \right| < {r^k}\left| {{a_N}} \right|\end{align*} $$
به همین صورت به ازای مقدار $$k$$ نامساوی زیر قابل بیان خواهد بود.
$$ \large \begin{align*}\left| { { a _ { N + k } } } \right| < { r ^ k} \left| {{ a _ N } } \right|\end{align*} $$
حال سوال این است که رابطه فوق به چه صورت می‌تواند مفید باشد؟ پاسخ در سری زیر است. توجه داشته باشید که سری زیر هندسی بوده و با توجه به کمتر از ۱ بودن $$r$$ همگرا است.
$$ \begin{align*} \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty { \left| { { a _N } } \right| { r ^k } } \end{align*} $$
با توجه به نامساوی $$ \large \begin{align*} \left| { {a _ { N + k} } } \right| < { r ^ k } \left| { { a _ N } } \right| \end {align*} $$ می‌توان از آزمون مقایسه استفاده کرد و گفت که دو سری زیر همگرا هستند.
$$ \large \begin{align*} \sum \limits _ { n = N + 1} ^ \infty {\left| { { a _ n } } \right|} = \sum\limits_{k = 1 } ^ \infty {\left| { { a _ { N + k } } } \right|} \end {align*} $$
از طرفی سری زیر را می‌توان بر حسب جمع دو سری بیان کرد.
$$ \large \begin{align*} \sum \limits_{n = 1} ^ \infty {\left| {{a_n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left| { { a _ n } } \right| } + \sum\limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \left| { { a _ n } } \right|} \end {align*} $$
سری $$ \begin{align*} \sum _ { n = 1 }^ {N} | a _ n | \end {align*} $$ در رابطه فوق از تعداد معدودی جمله تشکیل شده، بنابراین همگرا خواهد بود. از طرفی اثبات شد که جمله دوم نیز همگرا است. بنابراین سری سمت چپ یا همان $$ \begin{align*} \sum _ { n = 1 }^ {\infty} | a _ n | \end {align*} $$ نیز همگرای مطلق خواهد بود.
حالت دوم زمانی بود که مقدار $$L$$ به صورت $$ \begin{align*} \large L > 1 \end {align*} $$ در نظر گرفته شد. در این حالت باید واگرا بودن سری نشان داده شود. در ابتدا می‌دانیم که مقدار $$L$$ برابر با حد زیر در نظر گرفته شد.
$$ \begin{align*} \large L = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \left| { \frac { { {a _ { n + 1 } } } }{ { { a _ n }} } } \right| \end {align*} $$
با توجه به حد فوق می‌توان دریافت که عددی از $$N$$ وجود دارد که به ازای $$ \begin{align*} \large n \ge N \end {align*} $$ رابطه زیر را می‌توان بیان کرد:
$$ \begin{align*} \large \left| { \frac { { {a _{ n + 1 } } } } {{ { a _ n } } } } \right| > 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\left| { { a _ {n + 1 } }} \right| > \left| {{a_n}} \right| \end {align*} $$
البته اگر به ازای تمامی مقادیر $$ N \le n $$ رابطه فوق برقرار باشد، می‌توان گفت:
$$ \large \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \left| { { a _n } } \right| \ne 0 $$
بنابراین با توجه به غیر صفر بودن حد جمله عمومی در بینهایت می‌توان دریافت که سری بینهایت تشکیل شده از آن واگرا خواهد بود. در زیر سه نمونه سری در هر سه حالت ارائه شده است.
مثال ۱
وضعیت همگرایی یا واگرایی سری زیر را مشخص کنید.
$$ \large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { - 10 } \right )} ^ n } }}{ {{ 4 ^ { 2 n + 1 } } \left ( { n + 1 } \right ) } } } $$
واضح است که جمله عمومی این سری برابر است با:
$$ \large {a_n} = \frac { { { { \left ( { - 10 } \right )}^ n} } } { { { 4 ^ { 2 n + 1 } } \left ( { n + 1 } \right )
} } $$
با قرار دادن $$n+1$$ در رابطه فوق جمله $$a_{n+1}$$ به صورت زیر بدست خواهد آمد.
$$ \large { a _{ n + 1 } } = \frac { { { { \left ( { - 10 } \right ) } ^ { n + 1 } } } }{ { { 4 ^ { 2 \left( {n + 1} \right) + 1}}\left( {\left( {n + 1} \right) + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( { - 10} \right ) } ^ { n + 1 } } } }{{ { 4 ^ { 2 n + 3 } } \left ( { n + 2 } \right ) } } $$
بنابراین مقدار $$L$$ به صورت زیر بدست خواهد آمد.
$$ \large \begin {align*}L & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{{\left( { - 10} \right)}^{n + 1}} } } {{ {4 ^ { 2 n + 3 } } \left( { n + 2 } \right ) } } \,\,\frac{{{4^{2n + 1}}\left( {n + 1} \right) } } { { { {\left( { - 10} \right ) } ^n } } } } \right| \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{ - 10\left ( { n + 1} \right ) }} { { { 4^2}\left( {n + 2} \right)}}} \right|\\ & = \frac{{10}}{{16}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\\ & = \frac { { 10} } {{ 1 6 }} < 1\end{align*} $$
با توجه به رابطه $$L < 1$$، آزمون نسبت نشان می‌دهد که سری فوق مطلقا همگرا است.
مثال ۲
وضعیت همگرایی سری بینهایت زیر را تعیین کنید.
$$ \large \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { n + 2 } } {{ 2 n + 7 } } } $$
به منظور استفاده از آزمون ریشه داریم:
$$ \large L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n + 3}}{{2\left( {n + 1} \right) + 7}}\,\,\frac { { 2 n + 7 } } { { n + 2}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac { { \left( {n + 3} \right)\left ( { 2 n + 7 } \right ) } } { { \left( {2n + 9} \right)\left( {n + 2} \right)}} = 1 $$
همان‌طور که می‌بینید مقدار $$L=1$$ بدست آمده است. بنابراین نمی‌توان با استفاده از این آزمون وضعیت همگرایی سری را تعیین کرد. از این رو می‌توان از آزمون واگرایی به صورت زیر استفاده کرد. توجه داشته باشید که این آزمون می‌گوید اگر حد جمله عمومی در بینهایت غیر صفر باشد، در این صورت سری واگرا خواهد بود. بنابراین حد جمله عمومی را در بینهایت به صورت زیر بدست می‌آوریم.
$$ \large \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 2}}{{2n + 7}} = \frac{1}{2} \ne 0 $$
با توجه به غیرصفر بودن مقدار فوق، می‌توان نتیجه گرفت سری نیز واگرا است. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های دروس ریاضی
- مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
- سری بینهایت — به زبان ساده
- سری توانی — به زبان ساده
- سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد
^^
فیلم های آموزش آزمون نسبت در سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
فیلم آموزشی آزمون نسبت و اثبات آن
فیلم آموزشی حل مثال از آزمون نسبت
