تبدیل z — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

همان‌طور که می‌دانیم، برای تحلیل سیستم‌های خطی نامتغیر با زمان (LTI) پیوسته، از تبدیل لاپلاس استفاده می‌شود. در طرف مقابل، تبدیل z ابزار مناسبی برای سیستم‌های LTI گسسته است.

تبدیل z، اساساً یک ابزار عددی است که برای انتقال از حوزه زمان به حوزه فرکانس به‌کار می‌رود و یک تابع ریاضی از متغیر مختلط $$ z $$ است.

تعریف تبدیل z

تبدیل z هر سیگنال گسسته $$x[n]$$ ($$[\cdot]$$ نشان‌دهنده گسسته بودن سیگنال است) را با $$X(z)$$ نشان می‌دهند و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ \large X \left (  z \right ) = \sum\limits _ { n = - \infty } ^ { \infty }{ x \left[ n \right] { { z } ^ { - n } } }$$

فیلم آموزش تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها‎ در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$z$$ یک عدد مختلط و $$n$$ یک عدد صحیح است. در حقیقت، تبدیل z، یک سری توانی نامحدود است که اندیس جمع $$n$$ در آن، از $$-\infty$$ تا $$\infty$$ تغییر می‌کند. به‌دلیل همین بازه $$-\infty$$ تا $$\infty$$، تبدیل z بالا را تبدیل z دوطرفه می‌نامند.

اگر اندیس جمع از 0 تا $$\infty$$ باشد، تبدیل z یک‌طرفه نامیده می‌شود:

$$\large X \left ( z \right ) = \sum \limits _ { n = 0 } ^ { \infty }{ x \left[ n \right] { { z } ^ { - n } } } $$

کاربرد تبدیل z

1. تبدیل فوریه گسسته (DFT) را می‌توان به‌ کمک تبدیل z محاسبه کرد.
2. تبدیل z به طور گسترده در تحلیل انواع مختلفی از فیلترهای دیجیتال به‌کار می‌رود.
3. تبدیل z در بسیاری از زمینه‌ها مانند فیلترسازی خطی، یافتن کانولوشن خطی و همبستگی متقابل دنباله‌های مختلف کاربرد دارد.
4. با استفاده از تبدیل z می‌توان درباره مشخصه‌های سیستم (مانند پایدار/ناپایدار، علی/غیرعلی و...) بحث کرد.

ناحیه همگرایی

دانستن مقادیری از $$z$$ که به‌ازای آن‌ها، حاصل این مجموع (سری) مقداری محدود شود، در تحلیل سیستم کاربرد دارد. این مقادیر $$z$$‌ که به‌ازای آن‌ها تابع $$f(z)$$ مقداری محدود دارد، درون ناحیه‌ای قرار دارند که «ناحیه همگرایی» (Region of Convergence) یا ROC نامیده می‌شود. ناحیه همگرایی را می‌توان به‌صورت زیر تعریف کرد:

$$ \large \mathrm{ROC} = \left \{ z : \left|\sum _ { n = -\infty} ^ { \infty } x[n]z ^ { - n } \right| < \infty \right\} $$

تبدیل z، دو بخش حقیقی و موهومی دارد. نمودار مولفه موهومی در برابر مولفه حقیقی، صفحه z مختلط نامیده می‌شود. شکل زیر، نمودار صفحه مختلط را به‌همراه ناحیه همگرایی نشان می‌دهد.

از صفحه z برای نمایش ناحیه همگرایی، قطب‌ها و صفرهای یک تابع استفاده می‌شود. متغیر مختلط $$z$$ را می‌توان به‌فرم قطبی زیر نوشت:

$$ \large z = \text{ } r { {e } ^ { j  \omega }}$$

که در آن، $$r$$ شعاع دایره و $$\omega$$ فرکانس زاویه‌ای دنباله است.

کاربرد ناحیه همگرایی

1. با استفاده از آن، می‌توان درباره پایداری سیستم اظهار نظر کرد.
2. علی یا غیرعلی بودن دنباله را تعیین می‌کند.
3. محدود یا نامحدود بودن طول دنباله را می‌توان با استفاده از آن تعیین کرد.

مثال ۱

سیگنال $$ x [n] = 0.5 ^n  $$ را در نظر بگیرید. اگر این سیگنال را در بازه $$ (-\infty , \infty ) $$ باز کنیم، داریم:

$$ \large x [ n ] = \left \{ \cdots, 0.5 ^ { - 3 }, 0.5 ^ { - 2 }, 0.5 ^ { - 1 }, 1, 0.5, 0.5 ^ 2, 0.5 ^ 3, \cdots \right \} \\ \large = \left \{\cdots, 2 ^ 3, 2 ^ 2, 2, 1, 0.5, 0.5 ^ 2, 0.5 ^ 3, \cdots \right\}. $$

همان‌طور که می‌بینیم، ناحیه همگرایی وجود ندارد:

$$ \large \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x [ n ] z ^ { - n } \to \infty. $$

مثال ۲

سیگنال $$x[n] = 0.5 ^n u [n] $$ را در نظر بگیرید که در آن، $$u[n] $$ تابع پله است. اگر این سیگنال را در بازه $$ (-\infty , \infty ) $$ باز کنیم، داریم:

$$ \large x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}. $$

شعاع همگرایی را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x [ n ] z ^ { - n} = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 0.5 ^ n z ^ { - n } = \sum _ {n = 0} ^ {\infty}\left(\frac { 0 .5 }{z}\right) ^ n = \frac { 1 } { 1 - 0.5 z ^ { - 1 } }. $$

تساوی اخیر، با استفاده از مفهوم سری هندسی بی‌نهایت نوشته شده و شرط آن، $$ |0.5 z^ {-1}|<1$$ است که می‌توان آن را به‌صورت $$ |z| > 0.5 $$ نوشت. بنابراین، ROC برابر با $$ |z|> 0.5 $$ است. در این حالت، ROC خارج از دیسکی به شعاع $$ 0.5 $$ است (ناحیه آبی‌رنگ شکل زیر).

مثال 3

سیگنال $$ x[n] = - (0.5) ^ n u[-n-1]\ $$ را در نظر بگیرید. اگر این سیگنال را در بازه $$ (-\infty , \infty ) $$ باز کنیم، داریم:

$$ \large x [ n ] = \left \{ \cdots, - ( 0.5) ^ { - 3 }, - (0.5) ^ { - 2 }, - (0.5) ^ { - 1 }, 0, 0, 0, 0, \cdots \right \}. $$

بنابراین، شعاع همگرایی را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty} x [ n ] z ^ { -n } = -\sum _ { n = - \infty } ^ { -1 } 0.5 ^ n z ^ { - n } = -\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left(\frac { z } {0 .5 } \right) ^ { m } = \\ \large
-\frac { 0 . 5 ^ { - 1 } z } { 1 - 0.5 ^ { - 1 } z } = -\frac { 1 }{ 0.5 z ^ { - 1 } -1 } = \frac { 1 } { 1 - 0.5 z ^ { - 1 } } . $$

پاسخ بالا با شرط $$ |0.5 ^{-1} z | < 1 $$ نوشته شده که می‌توان آن را به‌صورت $$ |z|<0.5 $$ نیز نوشت. بنابراین، ناحیه همگرایی، داخل دیسکی به شعاع $$ 0.5 $$ است. شکل زیر، این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد.

ویژگی‌های تبدیل z:

در ادامه به ویژگی‌های تبدیل z خواهیم پرداخت.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

خطی بودن

ویژگی خطی بودن بیان می‌کند اگر $${{x}_{1}}[n]\overset{z}\leftrightarrows{{X}_{1}}(z)$$ و $${{x}_{2}}[n]\overset{z}\leftrightarrows{{X}_{2}}(z)$$ را داشته باشیم، آن‌گاه:

$$\large { { a} _{ 1} }{  {x } _ { 1} }\left[ n \right]\text{ }+\text{ }{ { a }_ { 2} }{ { x} _ { 2 }}\left[ n \right]~~\overset{z}\leftrightarrows~~{ { a }_ {1 }} { { X} _ { 1 } }\left( z \right)\text{ }+\text{ } { { a} _ { 2 } }{ {X }  _ { 2 } }\left( z \right)$$

از رابطه بالا می‌توان نتیجه گرفت که تبدیل z ترکیب خطی دو سیگنال، برابر با ترکیب خطی تبدیل z آن دو سیگنال است.

جابه‌جایی زمانی

تبدیل z زیر را در نظر بگیرید:

$$\large x \left[ n \right]~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~X\text{ }\left( z \right)$$

ویژگی جابه‌جایی زمانی، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ \large x\text{ }\left[ n-k \right]~~~~~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~~~~X\text{ }\left( z \right)\text{ }{{z}^{-k}}$$

از رابطه بالا مشخص است که جابه‌جایی تعداد k نمونه، معادل با ضرب عبارت $$z^{-k}$$ در تبدیل z آن است.

مقیاس‌بندی

این خاصیت تبدیل z بیان می‌کند که اگر $$x\left[ n \right]~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~X\text{ }\left( z \right)$$، آن‌گاه:

$$ \large {{a}^{n}}~~x\left[ n \right]\overset{z}\leftrightarrows~X\text{ }\left( z/a \right)$$

بنابراین می‌توان گفت تغییر مقیاس تبدیل z، معادل ضرب عامل $$a^n$$ سیگنال حوزه زمان آن است.

ویژگی معکوس شدن زمان

ویژگی معکوس شدن زمان بیان می‌کند که اگر داشته باشیم: $$x\left[ n \right]~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~X\text{ }\left( z \right)$$، آن‌گاه:

$$ \large ~x\text{ }\left[ -n \right]~~~~~~~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~~~~~~X\text{ }\left( {{z}^{-1}} \right)$$

این ویژگی نشان می‌دهد که اگر یک دنباله در حوزه z فشرده شود، معادل این است که $$z$$ را با $$z^{-1}$$ تعویض کنیم.

ویژگی تفاضل در حوزه z

طبق ویژگی تفاضل، اگر داشته باشیم: $$x\left[ n \right]~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~X\text{ }\left( z \right)$$، آن‌گاه:

$$ \large ~n\text{ }x\text{ }\left[ n \right]~\overset{z}\leftrightarrows~-z\text{ }\frac{d\left( X\text{ }\left( z \right) \right)}{dx}$$

قضیه کانولوشن

طبق قضیه کانولوشن، اگر $${{x}_{1}}[n]\overset{z}\leftrightarrows{{X}_{1}}(z)$$ و $${{x}_{2}}[n]\overset{z}\leftrightarrows{{X}_{2}}(z)$$، آن‌گاه

$${{x}_{1}}\left[ n \right]\text{ }*\text{ }{{x}_{2}}\left[ n \right]~\overset{z}\leftrightarrows~{{X}_{1}}\left( z \right)\text{ }{{X}_{2}}\left( z \right)$$

در حقیقت، کانولوشن دو سیگنال گسسته در حوزه زمان، معادل با ضرب تبدیل z آن‌ها در حوزه فرکانس است.

ویژگی هم‌بستگی

تبدیل z همبستگی دو سیگنال گسسته که تبدیل z آن‌ها به‌صورت $${{x}_{1}}[n]\overset{z}\leftrightarrows{{X}_{1}}(z)$$ و $${{x}_{2}}[n]\overset{z}\leftrightarrows{{X}_{2}}(z)$$ است:

$$ \large \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{x}_{1}}\left( n \right)~{ { x } _ { 2 } }\left( -n \right)~}~~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~~~{ { X  } _ { 1 } } \left( z \right)\text{ }{ { X } _ { 2 }}\left( { { z } ^ { - 1 } } \right)$$

قضیه مقدار اولیه

مطابق قضیه مقدار اولیه، اگر داشته باشیم: $$x\left[ n \right]~\overset{z}\leftrightarrows~X\text{ }\left( z \right)$$، آن‌گاه:

$$ \large x\text{ }\left[ 0 \right]~~=~{{\lim }_{z\to \infty }}\text{ }X\left( z \right)$$

قضیه مقدار نهایی

طبق قضیه مقدار نهایی، اگر $$x\left[ n \right]~~~\overset{z}\leftrightarrows~~~X\text{ }\left( z \right)$$، آن‌گاه:

$$ \large {{\lim } _ {n\to \infty }}\text{ } x\left[ n \right]~=\text{ }{{\lim }_{z\to 1\text{ }}}\left( z-1 \right)\text{ }X\left( z \right)~$$

در آموزش‌های بعدی مجله فرادرس، درباره سیستم‌های گسسته در زمان و تبدیل z بیشتر بحث خواهیم کرد. اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش پردازش سیگنال های واقعی در متلب
• تقویت کننده های الکترونیکی — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس
• انتگرال کانولوشن — به زبان ساده