انتگرال مثلثاتی – به زبان ساده + مثال و تمرین

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس با مفهوم انتگرال و روش‌های انتگرال‌گیری آشنا شدیم. در این آموزش، روش‌های محاسبه انتگرال مثلثاتی را همراه با مثال‌های متنوعی بیان می‌کنیم.

فرمول‌های مفید برای محاسبه انتگرال مثلثاتی

انتگرال مثلثاتی انتگرالی است که در آن توابع مثلثاتی وجود داشته باشد. در ریاضیات، برای محاسبه انتگرال مثلثاتی معمولاً فرمول‌هایی بیان می‌شود که در حل مسائل بسیار مفید خواهند بود. در این بخش، مهم‌ترین فرمول‌های کاربردی محاسبه انتگرال مثلثاتی را بیان می‌کنیم که مربوط به روابط توابع مثلثاتی هستند.

فرمول‌های توابع مثلثاتی اصلی: 

$$\begin {aligned} & \tan x = \frac { \sin x } { \cos x } \\ & \sec x = \frac { 1 } { \cos x } \\ & \cot x = \frac { \cos x } { \sin x } = \frac { 1 } { \tan x } \\ & \csc x = \frac { 1 } { \sin x } \end {aligned}$$

اتحادهای مثلثاتی:‌

$$\begin {aligned} \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x & = 1 \\ \sin 2 x & = 2 \sin x \cos x \\ \cos ^ { 2 } x & = \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } \\ \sin ^ { 2 } x & = \frac { 1 - \cos 2 x } { 2 } \\ \cos 2 x & = \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x \\ \tan ^ { 2 } x & = \sec ^ { 2 } x - 1 \\ \cot ^ { 2 } x & = \csc ^ { 2 } x - 1 \end {aligned}$$

فرمول تبدیل ضرب به جمع: 

$$\begin {align*} \sin(mx)\sin(nx) &= \frac12\Big[\cos\big((m-n)x\big)-\cos \big((m+n)x\big)\Big] \\[5pt]\cos(mx)\cos(nx) &= \frac12\Big[\cos\big((m-n)x\big)+\cos\big((m+n)x\big)\Big] \\[5pt]\sin ( m x ) \cos ( n x ) & = \frac 1 2 \Big[\sin\big((m-n)x\big)+\sin\big((m+n)x\big)\Big]\end{align*}$$

مشتق توابع مثلثاتی:

$$\begin{aligned} \frac { d } { d t } (\sin x) &=\cos x \\ \frac { d } { d t } (\cos x) & = -\sin x \\ \frac { d } { d t } (\tan x ) & = \sec ^{2} x \\ \frac { d } { d t } (\cot x ) & = - \csc ^{2} x \\ \frac { d } { d t } (\sec x ) & = \sec x \tan x \\ \frac { d } { d t } (\csc x ) & = - \csc x \cot x \end {aligned}$$

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

انتگرال توابع مثلثاتی مهم:

$$\begin{aligned} & \int \cos x d x = \sin x + C \\ & \int \sin x d x = - \cos x + C \\ & \int \sec ^ { 2 } x d x = \tan x + C \\ & \int \csc ^ { 2 } x d x = - \cot x + C \\ & \int \sec x \tan x d x = \sec x + C \\ & \int \csc x \cot x d x = - \csc x + C \end {aligned}$$

فرمول‌های زیر را نیز می‌توان با استفاده از تغییر متغیر به‌دست آورد:

$$\begin {aligned} & \int \tan x d x = \ln | \sec x | + C \\ & \int \cot x d x = \ln | \sin x | + C \\ & \int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C \\ & \int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C \end {aligned}$$

در ادامه، هشت حالت خاص را برای محاسبه انتگرال مثلثاتی بیان می‌کنیم.

انتگرال مثلثاتی $$\int {\cos ax\cos bxdx}$$، $$\int {\sin ax\cos bxdx}$$، $$\int {\sin ax\sin bxdx}$$

برای محاسبه انتگرال‌هایی که از ضرب سینوس و کسینوس با آرگومان‌های مختلف تشکیل شده‌اند، از اتحادهای مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$\cos ax\cos bx = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {ax + bx} \right) + \cos \left( {ax - bx} \right)} \right]\;$$

$$\sin ax\cos bx = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {ax + bx} \right) + \sin \left( {ax - bx} \right)} \right]\;$$

$$\sin ax\sin bx = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {ax + bx} \right) - \cos \left( {ax - bx} \right)} \right].$$

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}$$

در اینجا، فرض می‌کنیم $$m$$ و $$n$$ اعداد صحیح غیرمنفی باشند. برای محاسبه انتگرال‌هایی به این شکل، از تغییر متغیرهای زیر استفاده می‌کنیم.

۱. اگر $$m$$ (توان سینوس) فرد باشد، از تغییر متغیر $$u$$ استفاده می‌کنیم:

$$u = \cos x \, \;\; d u = - \sin x d x$$

و همچنین از اتحاد زیر برای بیان توان‌های زوج سینوس برحسب $$u$$ استفاده می‌کنیم:

$${ \sin ^ 2 } x + { \cos ^ 2 } x = 1$$

۲. اگر $$n$$ (توان کسینوس) فرد باشد، از تغییر متغیر $$u$$ استفاده می‌کنیم:

$$u = \sin x \, \; \; d u = \cos x d x$$

و همچنین از اتحاد زیر برای بیان توان‌های زوج کسینوس برحسب $$u$$ استفاده می‌کنیم:

$${ \sin ^ 2 } x + { \cos ^ 2 } x = 1$$

۳. اگر هر دو توان $$m$$ و $$n$$ فرد باشند، توان‌ها را با استفاده از فرمول‌‌های نصف زاویه کاهش می‌دهیم:

$${ \sin ^ 2 } x = \frac { { 1 - \cos 2 x } } { 2 } \, \; \; { \cos ^ 2 } x = \frac { { 1 + \cos 2 x } } { 2 } .$$

انتگرال‌های $$\int {{{\sin }^n}xdx}$$ و $$\int {{{\cos }^n}xdx}$$ را می‌توان با فرمول‌های کاهش توان محاسبه کرد:

$$\begin {align} \int { { { \sin } ^ n } x d x } & = - \frac { { { { \sin } ^ { n - 1 } } x \cos x } } { n } + \frac { { n - 1 } } { n } \int { { { \sin } ^ { n - 2 } } x d x } \, \\ \int { { { \cos } ^ n } x d x } & = \frac { { { { \cos } ^ { n - 1 } } x \sin x } } { n } + \frac { { n - 1 } } { n } \int { { { \cos } ^ { n - 2 } } x d x } . \end {align}$$

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\tan^n}xdx}$$

توان انتگرالده را می‌توان با استفاده از اتحاد مثلثاتی زیر کاهش داد:

$$1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x$$

و به فرمول کاهش‌یافته زیر رسید‌:

$$\begin {align} \int { { \tan ^ n } x d x } & = \int { { { \tan } ^ { n - 2 } } x \,{ { \tan } ^ 2 } x d x } \\ & = \int { { { \tan } ^ { n - 2 } } x \left ( { { { \sec } ^ 2 } x - 1 } \right ) d x } \\ & = \frac { { { { \tan } ^ { n - 1 } } x } } { { n - 1 } } - \int { { { \tan } ^ { n - 2 } } x d x } . \end {align}$$

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\cot^n}xdx}$$

توان انتگرالده را می‌توان با استفاده از اتحاد مثلثاتی زیر کاهش داد:

$$1 + {\cot^2}x = {\csc^2}x$$

و به فرمول کاهش‌یافته زیر رسید‌:

$$\begin {align} \int { { { \cot } ^ n } x d x } & = \int { { { \cot } ^ { n - 2 } } x \, { { \cot } ^ 2 } x d x } \\ & = \int { { { \cot } ^ { n - 2 } } x \left ( { { { \csc } ^ 2 } x - 1 } \right ) d x } \\ & = - \frac { { { { \cot } ^ { n - 1 } } x } } { { n - 1 } } - \int { { { \cot } ^ { n - 2 } } x d x } . \end {align}$$

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\sec^n}xdx}$$

این نوع انتگرال را می‌توان با استفاده از فرمول کاهشی این‌گونه نوشت:

$$\int { { \sec ^ n } x d x } = \frac { { { { \sec } ^ { n - 2 } } x \tan x } } { { n - 1 } } + \frac { { n - 2 } } { { n - 1 } } \int { { \sec ^ { n - 2 } } x d x } .$$

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\csc^n}xdx}$$

مشابه قسمت قبل، این انتگرال را می‌توان با کمک فرمول زیر کاهش ساده کرد:

$$\int {{\csc^n}xdx} = - \frac{{{\csc^{n - 2}}x \cot x}}{{n - 1}} + \frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int {{\csc^{n - 2}}xdx} .$$

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx}$$

۱. اگر توان سکانت، یعنی $$n$$، زوج باشد، از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x$$

و سکانت را برحسب تانژانت می‌نویسیم. عامل $${\sec ^2}x$$ جدا شده و برای تبدیل دیفرانسیل استفاده می‌شود. در نتیجه، کل انتگرال (شامل دیفرانسیل) برحسب تابع $$\tan x$$ بیان می‌شود.

۲. اگر توان‌های $$m$$ و $$n$$ فرد باشند، آنگاه عامل $$\sec x \tan x$$، که شرط لازم برای تبدیل دیفرانسیل است، جدا شده است. در نتیجه، کل انتگرال برحسب $$\sec x$$ خواهد بود.

۳. اگر توان $$n$$ سکانت فرد باشد، و توان $$m$$ تانژانت زوج باشد، آنگاه تانژانت را می‌توان با استفاده از اتحاد زیر برحسب سکانت نوشت:

$$1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x.$$

بعد از این تغییر متغیر، می‌توان انتگرال سکانت را محاسبه کرد.

انتگرال مثلثاتی $$\int {{\cot^m}x\,{\csc^n}xdx}$$

۱. اگر توان $$n$$ کسکانت زوج باشد، آنگاه از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$1 + {\cot^2}x = {\csc ^2}x$$

و تابع کسکانت را برحسب تابع کتانژانت بیان می‌کنیم. عامل $${\csc^2}x$$ جدا شده است و برای تبدیل دیفرانسل استفاده شده است. در نتیجه، انتگرالده و دیفرانسیل برحسب $$\cot x$$ بیان می‌شوند.

۲. اگر هر دو توان $$m$$ و $$n$$ فرد باشند، آنگاه عامل $$\cot x \csc x$$، که برای تبدیل دیفرانسیل ضروری است، جدا شده است. در نتیجه، انتگرال برحسب $$\csc x$$ بیان می‌شود.

۳. اگر توان $$n$$ کسکانت فرد و توان $$m$$ کتانژانت زوج باشد، آنگاه کتانژانت با استفاده از اتحاد زیر برحسب کسکانت بیان می‌شود:

$$1 + {\cot^2}x = {\csc ^2}x.$$

بعد از این تغییر متغیر، می‌توان انتگرال کسکانت را محاسبه کرد.

مثال‌های انتگرال مثلثاتی

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از انتگرال مثلثاتی بررسی می‌کنیم.

مثال اول

انتگرال $$\int \sin^5(x) \, dx$$ را محاسبه کنید.

جواب: از فرمول کاهش استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\int \sin ^ 5 ( x ) \ d x = - \frac { 1 } { 5 } \sin ^ 4 ( x ) \cos ( x ) + \frac { 4 } { 5 } \int \sin ^ 3 ( x ) \ d x .$$

باز هم از فرمول کاهش استفاده می‌کنیم و جواب نهایی را به‌دست می‌آوریم:

$$\begin {align*} \int \sin ^ 5 ( x ) \ d x & = - \frac { 1 } { 5 } \sin ^ 4 ( x ) \cos ( x ) + \frac { 4 } { 5 } \int \sin ^ 3 ( x ) \ d x \\ & = - \frac { 1 } { 5 } \sin ^ 4 ( x ) \cos ( x ) + \frac { 4 } { 5 } \left ( -\frac { 1 } { 3 } \sin ^ 3 ( x ) \cos ( x ) + \frac { 2 } { 3 } \int \sin ( x ) \ d x \right ) \\ & = - \frac { 1 } { 5 } \sin ^ 4 x \cos x - \frac { 4 } { 1 5 } \sin ^ 2 x \cos x - \frac { 8 } { 1 5 } \cos x + C . \end {align*}$$

مثال دوم

انتگرال $$\int\sin^5x\cos^8x\ dx$$ را محاسبه کنید.

جواب: توان سینوس فرد است، بنابراین، $$\sin^5x$$ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\sin ^ 5 x = \sin^ 4 x \sin x = ( \sin ^ 2 x ) ^ 2 \sin x = ( 1 -\cos ^ 2 x ) ^ 2 \sin x .$$

اکنون انتگرال $$\int (1-\cos^2x)^2\cos^8x\sin x\ dx$$ را داریم. با در نظر گرفتن تغییر متغیر $$u = \cos x$$ و در نتیجه، $$du = -\sin x\ dx$$، انتگرال به‌شکل زیر درمی‌آید:

$$\begin {align} \int ( 1 - \cos ^ 2 ) ^ 2 \cos ^ 8 x\sin x\ dx & = -\int ( 1 - u ^ 2 ) ^ 2 u ^ 8 \ d u \\ & = - \int \big ( 1 - 2 u ^ 2 + u ^ 4 \big ) u ^ 8 \ du \\ & = - \int \big ( u ^ 8 - 2 u ^ { 1 0 } + u ^ { 1 2 } \big ) \ d u . \end {align}$$

اکنون محاسبه جواب نهایی کار آسانی است:

$$\begin {align*} - \int \big ( u ^ 8 - 2 u ^ { 1 0 } + u ^ { 1 2 } \big ) \ d u & = - \frac 1 9 u ^ 9 + \frac 2 { 1 1 } u ^ { 1 1 } - \frac 1 { 1 3 } u ^ { 1 3 } + C \\[5pt] & = - \frac 1 9 \cos ^ 9 x + \frac 2 { 1 1 } \cos ^ { 1 1 } x - \frac 1 { 1 3 } \cos ^ { 1 3 } x + C . \end {align*}$$

مثال سوم

انتگرال $$\int\sin^5x\cos^9x\ dx$$ را حل کنید.

جواب: توان هر دو عبارت سینوس و کسینوس فرد است، بنابراین می‌توانیم از راهکاری که پیش‌تر گفتیم استفاده کنیم. در این مثال، با توان کسینوس کار می‌کنیم.

عبارت $$\cos^9x$$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\begin{align*} \cos^9 x &= \cos^8x\cos x \\[5pt] &= (\cos^2x)^4\cos x \\[5pt] &= (1-\sin^2x)^4\cos x \\[5pt] &= (1-4\sin^2x+6\sin^4x-4\sin^6x+\sin^8x)\cos x.\end{align*}$$

انتگرال را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:‌

$$\int\sin^5x\cos^9x\ dx = \int\sin^5x\big(1-4\sin^2x+6\sin^4x-4\sin^6x+\sin^8x\big)\cos x\ dx.$$

آکنون از تغییر متغیر $$u = \sin x$$ و در نتیجه، $$du = \cos x\ dx$$، استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\begin {align*} \int u ^ 5 ( 1 - 4 u ^ 2 + 6u ^ 4 - 4 u ^ 6 + u^ 8 ) \ du & = \int \big ( u ^ 5 - 4 u ^ 7 +6 u ^9 - 4 u ^ { 1 1 } + u ^ { 1 3 }\big)\ du \\[5pt]&= \frac16u^6-\frac12u^8+\frac 3 5 u ^ { 1 0 } - \frac 1 3 u ^ { 1 2 } + \frac { 1 } { 1 4 } u ^ { 1 4 } + C \\[5pt] &= \frac16\sin^6 x-\frac12\sin^8 x+\frac35\sin^{10} x+\ldots\\[5pt]&\phantom{=}-\frac13\sin^{12} x+\frac{1}{14}\sin^{14} x+C.\end{align*}$$

مثال چهارم

حاصل انتگرال $$\int\cos^4x\sin^2x\ dx$$ را به‌دست آورید.

جواب: توان‌های سینوس و کسینوس هر دو زوج هستند، بنابراین از فرمول‌های کاهش توان به‌صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$\begin {align*} \int \cos ^ 4 x \sin ^ 2 x \ d x & = \int \left ( \frac { 1 + \cos ( 2 x ) } { 2 } \right ) ^ 2 \left ( \frac { 1 - \cos ( 2 x ) } 2 \right ) \ d x \\[5pt] &= \int \frac { 1 + 2 \cos ( 2 x ) + \cos ^ 2 ( 2 x ) } 4 \cdot \frac { 1 - \cos ( 2 x ) } 2 \ d x \\[5pt] & = \int \frac 1 8 \big ( 1 + \cos ( 2 x ) - \cos ^ 2 ( 2 x ) - \cos ^ 3 ( 2 x ) \big ) \ d x \end {align*}$$

از جمله $$\cos(2x)$$ می‌توان به‌راحتی انتگرال گرفت. جمله $$\cos^2(2x)$$ نیز یک انتگرال با توان زوج است که برای محاسبه آن باید مجدداً از فرمول کاهش توان استفاده کنیم. جمله $$\cos^3(2x)$$ نیز یک تابع کسینوسی با توان فرد است برای حل آن باید از تغییر متغیر استفاده کنیم.

$$\int \cos ( 2 x ) \ d x = \frac 1 2 \sin ( 2 x ) + C$$

$$\int \cos ^ 2 ( 2 x ) \ d x = \int \frac { 1 + \cos ( 4 x ) } 2 \ d x = \frac 1 2 \big ( x + \frac 1 4 \sin ( 4 x ) \big ) + C$$

در نهایت، $$\cos^3(2x)$$ را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\begin {align*} \int \cos ^ 3 ( 2 x ) \ d x & = \int \big ( 1 - \sin ^ 2 ( 2 x ) \big ) \cos ( 2 x ) \ d x \\[5pt] &= \int \frac 1 2 ( 1 - u ^ 2 ) \ du\\[5pt] & = \frac 1 2 \Big ( u - \frac 1 3 u ^ 3 \Big ) + C \\[5pt] &= \frac12\Big(\sin(2x)-\frac13\sin^3(2x)\Big)+C\end{align*}$$

با در کنار هم قرار دادن قسمت‌هایی که محاسبه کردیم، داریم:‌

$$\begin{align*}\int \cos^4x\sin^2x\ dx &=\int \frac18\big ( 1 + \cos ( 2 x ) - \cos ^ 2 ( 2 x ) - \cos^3(2x)\big)\ dx \\[5pt] &= \frac18\Big[x+\frac12\sin(2x)-\frac12\big ( x + \frac 1 4 \sin ( 4 x ) \big ) - \frac 1 2 \Big ( \sin ( 2 x ) - \frac 1 3 \sin ^ 3 ( 2 x ) \Big ) \Big]+C \\[5pt] &=\frac18\Big[\frac12x-\frac 1 8 \sin ( 4 x ) + \frac16\sin^3(2x)\Big]+C\end{align*}$$

مثال پنجم

انتگرال $$\int \sin^3(x) \cos^{-2}(x) dx$$ را محاسبه کنید.

جواب: انتگرال را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:‌

$$\begin {align*} \int \sin ^ 3 ( x ) \cos ^ { - 2 } ( x ) d x & = \int \sin ^ 2 ( x ) \sin ( x ) \cos ^ { - 2 } ( x ) d x \\ & = \int ( 1 - \cos ^ 2 ( x ) ) \cos ^ { - 2 } ( x ) \sin ( x ) d x . \end {align*}$$

با در نظر گرفتن تغییر متنغیر $$u= \cos(x)$$ و در نتیجه، $$du=-\sin(x) dx$$، خواهیم داشت:

$$\begin{align*} \int \sin^3(x) \cos^{-2}(x) dx & =- \int (1- u^2) u^{-2} du \\ &= - \int ( u^{-2}-1) du\\&= -(-u^{-1}-u)+c \\&= \frac{1}{\cos(x)} +\cos(x)+c. \end{align*}$$

مثال ششم

انتگرال $$\int\sin(5x)\cos(2x)\ dx$$ را محاسبه کنید.

جواب: با استفاده از فرمول‌‌های تبدیل ضرب به جمع، می‌توانیم بنویسیم:

$$\begin {align*} \int \sin ( 5 x ) \cos ( 2 x ) \ d x & = \int \frac 1 2 \Big[\sin(3x) + \sin ( 7 x ) \Big ]\ dx \\[5pt] & = -\frac 1 6 \cos ( 3 x ) - \frac 1 { 1 4 } \cos ( 7 x ) + C\end{align*}$$

مثال هفتم

حاصل انتگرال $$\int \sec^3 x\ dx$$ را محاسبه کنید.

جواب: این انتگرال، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\int \sec^3x dx=\frac{1}{2} \sec x \tan x +\frac{1}{2} \int \sec x dx = \frac{1}{2} \sec x \tan x +\frac{1}{2} \ln(|\sec(x)+\tan(x)|) +c.$$

مثال هشتم

حاصل انتگرال $$\int \tan^2x\sec^6x\ dx$$ را به‌دست آورید.

جواب: از آنجا که توان سکانت زوج است، می‌توانیم با تغییرات اندکی در انتگرالده، انتگرال را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\begin {align*}\int \tan^2x\sec^6x\ dx &= \int\tan^2x\sec^4x\sec^2x\ dx \\[5pt] &= \int \tan ^ 2 x \big ( 1 + \tan^2x\big)^2\sec ^ 2 x \ d x \end {align*}$$

با استفاده از تغییر متغیر $$u=\tan x$$ و در نتیجه، $$du = \sec^2x\ dx$$، انتگرال به‌شکل زیر درمی‌آید:

$$=\int u^2\big(1+u^2\big)^2\ du$$

و پس از کمی عملیات جبری، جواب نهایی این‌گونه خواهد بود:

$$=\frac13\tan^3x+\frac25\tan^5x+\frac17\tan^7x+C.$$

مثال نهم

حاصل انتگرال $$\int\tan^6x\ dx$$ را به‌دست آورید.

جواب: ابتدا انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\begin{align*} \int \tan^6x\ dx &= \int \tan^4x\tan^2x\ dx \\[5pt] &= \int\tan^4x\big(\sec^2x-1\big)\ dx\\[5pt] &= \int\tan^4x\sec^2x\ dx - \int\tan^4x\ dx \end{align*}$$

انتگرال نخست را با استفاده از تغییر متغیر $$u=\tan x$$ حل کرده و انتگرال دوم را نیز مانند انتگرال اصلی بازنویسی و به دو انتگرال تبدیل می‌کنیم.

$$\begin{align*} &= \frac15\tan^5x-\int\tan^2x\tan^2x\ dx\\[5pt] &= \frac15\tan^5x-\int\tan^2x\big(\sec^2x-1\big)\ dx \\[5pt]&= \frac15\tan^5x -\int\tan^2x\sec^2x\ dx + \int\tan^2x\ dx\\[5pt] \end {align*}$$

در نهایت، از تغییر متغیر برای انتگرال نخست جواب اخیر استفاده می‌کنیم و می‌نویسیم:

$$\begin {align*} & = \frac 1 5 \tan ^ 5 x -\frac 1 3 \tan ^ 3 x + \int \big ( \sec ^ 2 x - 1 \big ) \ d x \\[5pt] & = \frac 1 5 \tan ^ 5 x - \frac 1 3 \tan ^ 3 x + \tan x - x + C . \end {align*}$$

مثال دهم

انتگرال زیر را حل کنید.

$$\int {{\tan^2}x\sec xdx}.$$

جواب: از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x.$$

سپس، داریم:

$$\begin {align*} I = \int {{\tan^2}x\sec xdx} & = \int {\left( {{\sec^2}x - 1} \right)\sec xdx} \\ & = \int {{{\sec }^3}xdx} - \int {\sec xdx} . \end {align*}$$

انتگرال نخست به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\int {{\sec^3}xdx} = \frac{{\sec x\tan x}}{2} + \frac{1}{2} \ln {\left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|}$$

و انتگرال $$\int {\sec xdx}$$ نیز برابر است با

$$\int {\sec xdx} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|\,$$

که در نهایت، جواب به‌شکل زیر خواهد بود:

$$\begin {align*} I = \int {{{\sec }^3}xdx} - \int {\sec xdx} & = \frac{{\sec x\tan x}}{2} + \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| - \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C \\ & = \frac{{\sec x\tan x}}{2} - \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C. \end {align*}$$

مثال یازدهم

حاصل انتگرال $$\int {{\tan^3}x\,{{\sec }^2}xdx}$$‌ را به‌دست آورید.

جواب: این انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\int {{\tan^3}x\,{{\sec }^2}xdx} = \int {{\tan^3}x\,d\left( {\tan x} \right)} = \frac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C.$$

مثال دوازدهم

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\int {{{\sec }^4}xdx}.$$

جواب: از فرمول کاهش زیر استفاده می‌کنیم:‌

$$\int { { { \sec } ^ n } x d x } = \frac { { { { \sec } ^ { n - 2 } } x \tan x } } { { n - 1 }} + \frac { { n - 2 } } { { n - 1 } } \int { { { \sec } ^ { n - 2 } } x d x } .$$

و در نتیجه، داریم:

$$I = \int { { { \sec } ^4 } x d x } = \frac { { { { \sec } ^ 2 } x \tan x } } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \int { { { \sec } ^ 2 } x d x } .$$

انتگرال $$\int {{{\sec }^2}xdx}$$ برابر با $$\tan x$$ است. پس، خواهیم داشت:

$$\begin {align*} I = \frac { { { { \sec } ^ 2 } x \tan x } } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \int { { { \sec } ^ 2 } x d x } & = \frac { { { { \sec } ^ 2 } x \tan x } } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \tan x + C \\ & = \frac { { \tan x } } { 3 } \left ( { { { \sec } ^ 2 } x + 2 } \right ) + C . \end {align*}$$

مثال سیزدهم

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\int{{\frac{{{{\sin }^7}x}}{{{{\cos }^4}x}}\,dx}}$$

جواب:‌ یک سینوس را حذف می‌کنیم (از آنجا که توان سینوس فرد است) و بقیه سینوس‌ها را به کسینوس تبدیل می‌کنیم. همین ایده در این مورد نیز جواب خواهد داد. یک سینوس را از صورت حذف می‌کنیم و بقیه را به‌صورت زیر به کسینوس تبدیل می‌کنیم:

$$\begin {align*} \int{{\frac{{{{\sin }^7}x}}{{{{\cos }^4}x}}\,dx}} & = \int{{\frac{{{{\sin }^6}x}}{{{{\cos }^4}x}}\,\sin x \, d x } } \\ & = \int{{\frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right ) } ^ 3 } } } { { { { \cos } ^ 4 } x } } \,\sin x\, d x } } \\ & = \int{{\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right ) } ^ 3 } } } { { { { \cos } ^ 4 } x } } \,\sin x \, d x } } \end {align*}$$

اکنون از تغییر متغیر $$u = \cos x$$ استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\begin {align*} \int { { \frac { { { { \sin } ^ 7 } x } } { { { { \cos } ^ 4 } x } } \, d x } } & = - \int { { \frac { { { { \left ( { 1 - { u^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } { { { u ^ 4 } } } \, d u } } \\ & = - \int { { { u ^ { - 4 } } - 3 { u ^ { - 2 } } + 3 - { u ^ 2 } \, d u } } \\ & = - \left ( { - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } {{ { u ^ 3 } } } + 3 \frac { 1 } { u } + 3 u - \frac { 1 } { 3 } { u ^ 3} } \right) + c \\ & = \frac { 1 } { { 3 { { \cos } ^ 3 } x }} - \frac { 3 } { { \cos x } } - 3 \cos x + \frac { 1 } {3 } { \cos ^ 3 } x + c \end {align*}$$

مثال چهاردهم

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$\int{{\cos \left( {15x} \right)\cos \left( {4x} \right)\,dx}}$$

جواب: با استفاده از فرمول‌های تبدیل ضرب به جمع، به‌راحتی می‌توان این انتگرال را محاسبه کرد:

$$\begin {align*} \int { { \cos \left ( { 1 5 x } \right ) \cos \left ( { 4 x } \right ) \, d x } } & = \frac { 1 } { 2 } \int { { \cos \left ( { 1 1 x } \right ) + \cos \left ( { 1 9 x } \right ) \, d x } } \\ & = \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { 1 } { { 1 1 } } \sin \left ( { 1 1 x } \right ) + \frac { 1 } { { 1 9 } } \sin \left ( { 1 9 x } \right ) } \right ) + c \end {align*}$$

مثال پانزدهم

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$\int{{\sin^6 x \cos^3 x\,dx}}$$

جواب: هر دو سینوس و کسینوس را داریم و توان سینوس زوج است، در حالی که توان روی کسینوس فرد است. بنابراین، می‌توانیم یک توان از کسینوس را حذف کنیم و بقیه را به سینوس تبدیل کنیم.

$$\begin {align*} \int { { \sin ^ 6 x \cos ^ 3 x \, d x } } & = \int { { \sin ^ 6 x \cos ^ 2 x \, \cos x \, d x } } \\ & = \int { { { { \sin } ^ 6 } x \left ( { 1 - { { \sin } ^ 2 } x } \right ) \, \cos x \, d x } } \hspace{0.5in}u = \sin x \\ & = \int { { { u ^ 6 } \left ( { 1 - { u ^ 2 } } \right ) \, d u } } \\ & = \int { { { u ^ 6 } - { u ^ 8 } \, d u } } \\ & = \frac { 1 }{ 7 } { \sin ^ 7 } x - \frac { 1 } { 9 } { \sin ^ 9 } x + c \end {align*}$$

مثال شانزدهم

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$\int {\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{3} dx}.$$

جواب: ابتدا انتگرالده را با استفاده از فرمول زیر به‌صورت جمع می‌نویسیم:

$$\cos ax\cos bx = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {ax + bx} \right) + \cos \left( {ax - bx} \right)} \right].$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\begin {align*} \cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{3} & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac { x} { 3 } } \right) + \cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{x}{3}} \right)} \right] \\ & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{5x}}{6} + \cos \frac { x } { 6 } } \right]. \end {align*}$$

در نتیجه، حاصل انتگرال برابر است با

$$\begin {align*} \int { \cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{3}dx} & = \frac{1}{2}\int {\left( { \cos \frac { { 5 x } } { 6 } + \cos \frac { x } { 6 } } \right ) d x } \\ & = \frac{ 1 } { 2 } \left [ { \frac { { \sin \frac { { 5 x } } { 6 } } } { { \frac { 5 } { 6 } } } + \frac { { \sin \frac { x } { 6 } }} { { \frac { 1 } { 6 } } } } \right ] + C \\ & = \frac { 3 } { 5 } \sin \frac { {5 x } } { 6 } + 3 \sin \frac { x } { 6 } + C . \end {align*}$$

مثال هفدهم

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$\int {\sin \frac{x}{3} \sin \frac{x}{4} dx}.$$

جواب: ابتدا انتگرالده را با استفاده از فرمول زیر به‌صورت جمع می‌نویسیم:

$$\sin ax\sin bx = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {ax + bx} \right) - \cos \left( {ax - bx} \right)} \right]\,$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\begin {align*} \int {\sin \frac{x}{3}\sin \frac{x}{4}dx} & = - \frac{1}{2}\int {\left( {\cos \frac{{7x}}{{12}} - \cos \frac{x}{{12}}} \right)dx} \\ & = \frac{1}{2}\int {\left( {\cos \frac{x}{{12}} - \cos \frac { {7 x } } { { 1 2 } } } \right ) d x } \\ & = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{\sin \frac { x } { { 1 2 } } } } { { \frac { 1 } { { 1 2 } } } } - \frac { { \sin \frac { { 7 x } }{ { 1 2 } } } } { { \frac { 7 } {{ 1 2 } } } } } \right] + C \\ & = 6\sin \frac{x}{{12}} - \frac{6}{7}\sin \frac{{7x}}{{12}} + C. \end {align*}$$

مثال هجدهم

حاصل انتگرال $$\int 3 \cos ^ { 2} 5 x d x$$ را به‌دست آورید.

جواب: ابتدا انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\begin{align} \int 3 \cos ^ { 2} 5 x d x & = 3 \int \cos ^{2} 5 x d x \\ & = 3 \int \frac { 1 + \cos 2 ( 5 x ) } { 2 } d x \\ & = ( 3 / 2 ) \int ( 1 + \cos 1 0 x ) d x \\ & = ( 3 / 2 ) \left ( \int 1 d x + \int \cos 10 x d x \right ) \\ & = ( 3 / 2 ) \left ( x + \int \cos 1 0 x d x \right ) \end {align}$$

در نهایت، جواب به‌صورت زیر خواهد بود:

$$( 3 / 2 ) x + ( 3 / 2 0 ) \sin 1 0 x + C$$

مثال نوزدهم

انتگرال مثلثاتی $$\int(2+\tan x)^{2} d x$$‌ را حل کنید.

جواب: ابتدا انتگرالده را ساده می‌کنیم:

$$\begin {align} \int ( 2 + \tan x ) ^ { 2 } d x & = \int \left ( 4 + 4 \tan x + \tan ^ { 2 } x \right ) d x \\ & = 4 \int 1 d x + 4 \int \tan x d x + \int \tan ^ { 2 } x d x \\ & = 4 x + 4 \int \tan x d x + \int \tan ^ { 2 } x d x \end {align}$$

اکنون به‌راحتی می‌توان جواب انتگرال را با توجه به فرمول‌هایی که گفتیم، نوشت:

$$\begin{align} & = 4 x + 4 \ln | \sec x | + \int \left ( \sec ^ { 2 } x - 1 \right ) d x \\ & = 4 x + 4 \ln | \sec x | + \int \sec ^ { 2 } x d x - \int 1 d x \\ & = 4 x + 4 \ln | \sec x | + \int \sec ^ { 2 } x d x - x \\ & = 3 x + 4 \ln | \sec x | + \int \sec ^ { 2 } x d x \\ & = 3 x + 4 \ln | \sec x | + \tan x + C \end{align}$$

مثال بیستم

انتگرال مثلثاتی $$\int \frac { \cos ^ { 2 } x } { 1 + \sin x } d x$$ را محاسبه کنید.

جواب: ابتدا انتگرال را با استفاده از اتحادها به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\int \frac { \cos ^ { 2 } x } { 1 + \sin x } d x = \int \frac { 1 -\sin ^ { 2 } x } { 1 + \sin x } d x$$

مخرج را با استفاده از اتحاد $$\left.A^2-B^{2}=(A-B)(A+B) .\right)$$ به‌صورت ضرب دو عامل می‌نویسیم:

$$\begin {align} & = \int \frac { 1 ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } x } { 1 + \sin x } d x \\ & = \int \frac { ( 1 - \sin x ) ( 1 + \sin x ) } { 1 + \sin x } d x \end {align}$$

در نهایت، با حذف $$( 1 + \sin x)$$ در صورت و مخرج، خواهیم داشت:

$$\begin {align} & = \int ( 1 - \sin x) d x\\ & = \int 1 d x - \int \sin x d x\\ & = x - ( - \cos x ) + C \\ & = x + \cos x + C \end {align}$$

تمرین‌های انتگرال مثلثاتی

در این بخش، چند تمرین چهارگزینه‌ای از انتگرال مثلثاتی را بررسی می‌کنیم.

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس با نحوه محاسبه انتگرال توابع مثلثاتی آشنا شدیم و چندین مثال و تمرین را با هم حل کردیم. نکته مهم در تسلط بر روی مبحث انتگرال مثلثاتی، حل تمرین و مثال‌های متنوع است.