همگرایی سری فوریه — از صفر تا صد

قبلاً در آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با سری فوریه آشنا شدیم. در این آموزش، درباره همگرایی سری فوریه بحث می‌کنیم. ابتدا چند تعریف را ارائه می‌کنیم.

تعاریف

تابع تکه‌ای پیوسته (Piecewise Continuous): تابع $$f\left( x \right)$$ در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ تکه‌ای پیوسته نامیده می‌شود، اگر در این بازه به جز در تعدادی نقاط محدود پیوسته باشد (شکل ۱).

تابع تکه‌ای هموار (Piecewise Smooth): تابع $$f\left( x \right)$$ را در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ تکه‌ای هموار می‌نامیم، اگر $$f\left( x \right)$$ و مشتق آن تکه‌ای پیوسته باشند.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مجموع جزئی سری فوریه: مجموع جزئی فوریه یا سری جزئی فوریه $${f_N}\left( x \right)$$ تابع $$f\left( x \right)$$ در بازه $$\left[ {-\pi, \pi} \right]$$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large { { f _ N } \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . }$$

فرم مختلط مجموع جزئی $$n$$اُم تابع $${f_N}\left( x \right)$$ روی بازه $$\left[ {-\pi, \pi} \right]$$ به شکل زیر است:

$$\large { { f _ N } \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = – N } ^ N { { c _ n } { e^ { i n x } } } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \left ( { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \sum \limits _ { n = – N } ^ N { { e ^ { i n \left ( { x – y } \right ) } } } } \right ) f \left ( y \right ) d y } }$$

هسته دیریکله: تابعِ

$$\large { { D _ N } \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = – N } ^ N { { e ^ { i n x } } } } = { \frac { { \sin \left ( { N + \frac { 1 } { 2 } } \right ) x } } { { \sin \frac { x } { 2 } } } }$$

هسته دیریکله (Dirichlet Kernel) نامیده می‌شود. در شکل ۲، هسته دیریکله برای $$n = 10$$ نشان داده شده است.

مجموع جزئی فوریه $$f\left( x \right)$$ را می‌توان با هسته دیریکله بیان کرد:

$$\large { { f _ N } \left ( x \right ) } = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( { x – y } \right ) f \left ( y \right ) d y } } = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( y \right ) f \left ( { x – y } \right ) d y } . }$$

در ادامه، سه نوع همگرایی را بررسی می‌کنیم: نقطه‌ای، یکنواخت و $$L_2$$.

همگرایی نقطه‌ای سری فوریه

فرض کنید $$f\left( x \right)$$ یک تابع تکه‌ای هموار روی بازه $$\left[ {-\pi, \pi} \right]$$ باشد. آنگاه برای هر $${x_0} \in \left[ { – \pi ,\pi } \right]$$، داریم:

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی – حل سوالات کنکور ارشد و دکتری در فرادرس

کلیک کنید

$$\large { \lim \limits _ { N \to \infty } { f _ N } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \text { = } } \kern0pt { \begin {cases} f \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \text {if} \, f \left ( x \right ) \, \; \text {is continuous on} \, \left[ { – \pi ,\pi } \right ] \\ \frac { { f \left ( { { x _ 0 } – 0 } \right ) + f \left ( { { x _ 0 } + 0 } \right ) } } { 2 } , \; \text {if} \, f \left ( x \right ) \, \text {has a jump discontinuity at} \, { { x _ 0 } } \end {cases}}$$

که در آن، $${f\left( {{x_0} – 0} \right)}$$ و $${f\left( {{x_0} + 0} \right)}$$ حد چپ و حد راست در نقطه $$x _ 0$$ را نشان می‌دهند.

همگرایی یکنواخت سری فوریه

دنباله مجموع جزئی $$\left\{ {{f_N}\left( x \right)} \right\}$$ را همگرای یکنواخت به تابع $$f ( x)$$ می‌نامیم، اگر سرعت همگرایی مجموع جزئی $${{f_N}\left( x \right)}$$ به $$x$$ وابسته نباشد (شکل ۳).

سری فوریه تابع $$f (x)$$ را همگرای یکنواخت به این تابع می‌‌گوییم، اگر داشته باشیم:

$$\large { \lim \limits _ { N \to \infty } \left[ { \max \limits _ { x \in \left[ { – \pi , \pi } \right] } \left| { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | } \right ] } = { 0 . }$$

قضیه: سری فوریه یک تابع پیوسته و تکه‌ای هموار با دوره تناوب $$2 \pi$$، به صورت یکنواخت همگرا می‌شود.

همگرایی سری فوریه در نرم $$\LARGE L _ 2$$

فضای $${L_2}\left( { – \pi ,\pi } \right)$$ با توابعی شکل می‌گیرد که:

$$\large \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \left | { f \left ( x \right ) } \right | } ^ 2 } d x } < \infty .$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

تابع $$f (x)$$ را انتگرال‌پذیر مربعی گوییم، اگر به فضای $$L_2$$ متعلق باشد. اگر تابع $$f(x)$$ انتگرال‌پذیر مربعی باشد، آنگاه:

$$\large { \lim \limits _ { N \to \infty } \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \left | { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | } ^ 2 } d x } } = { 0 , }$$

و مجموع جزئی $${f_N}\left( x \right)$$ در نرم $$L_2$$ به $$f (x)$$ همگراست.

همگرایی یکنواخت، همگرایی نقطه‌ای و همگرایی $$L_2$$ را نشان می‌دهد. اما، عکس آن برقرار نیست؛ یعنی همگرایی $$L_2$$ به معنای همگرایی نقطه‌ای و یکنواخت نیست. همچنین نمی‌توان از همگرایی نقطه‌ای، همگرایی یکنواخت و همگرایی $$L_2$$ را نتیجه گرفت.

پدیده گیبس

اگر یک ناپیوستگی جهشی وجود داشته باشد، مجموع جزئی سری فوریه در نزدیک جهش نوسان‌هایی دارد که ممکن است بیشینه مجموع جزئی تابع را افزایش دهد. این پدیده، پدیده گیبس (Gibbs Phenomenon) نامیده می‌شود. دامنه فراجهش در هر نقطه جهش یک تابع تکه‌ای هموار تقریباً ۱۸ درصد بزرگ‌تر از جهش تابع اصلی است (شکل ۴).

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره همگرایی سری فوریه بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی فیزیک 1 + مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید