نامساوی شوارتز — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد نامعادلات صحبت شد. از این نامعادلات می‌توان به‌منظور اثبات بسیاری از گزار‌ه‌های ریاضی استفاده کرد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد نوع خاصی از نامساوی تحت عنوان نامساوی شوارتز یا به‌طور دقیق‌تر نامساوی کوشی-شوارتز بحث کنیم.

نامساوی شوارتز

نامساوی شوارتز که به‌طور کامل‌تر تحت عنوان نامساوی کوشی-شوارتس-بونیاکوفسکی نیز شناخته می‌شود، بیان می‌کند که به ازای تمامی اعداد حقیقی $$a _ i$$ و $$b _ i$$، می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:

$$\color {white} {\left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } \right ) \left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } ^ { 2 } \right ) \geq\left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } b _ { i } \right) ^ { 2 } } \left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } \right ) \left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } ^ { 2 } \right ) \geq\left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } b _ { i } \right) ^ { 2 } \color {white} {\left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } \right ) \left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } ^ { 2 } \right ) \geq\left ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } b _ { i } \right) ^ { 2 } }$$

نامساوی فوق تنها زمانی به مساوی تبدیل می‌شود که به ازای یک مقدار ثابت $$k$$، رابطه زیر بین دو مقدار $$a$$ و $$b$$ برقرار باشد.

$$\large a _ { i } = k b _ { i }$$

از نامساوی فوق در مسائل مختلف ریاضیات، احتمال و حتی فیزیک استفاده می‌شود. برای نمونه از این نامساوی در اصل عدم قطعیت هایزنبرگ استفاده می‌شود. توجه داشته باشید که شکل‌های دیگری نیز از این نامساوی در قالب بردار یا اعداد مختلط وجود دارد. با این حال در این مطلب تنها به شکل حقیقی آن می‌پردازیم.

برای درک بهتر این نامساوی در ابتدا با $$2$$ عبارت شروع می‌کنیم. بدین منظور دو زوج $${ a , b }$$ و $${ c , d }$$ را در نظر بگیرید. برای این دو زوج، نامساوی کوشی را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large \left ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) \left ( c ^ { 2 } + d ^ { 2 } \right) \geq (a c + b d ) ^ { 2 }$$

با استفاده از اصل «همانندی فیبوناتچی-برهماگوپتا» که در زیر بیان شده، می‌توان به‌راحتی به نامساوی فوق رسید.

$$\left ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) \left ( c ^ { 2 } + d ^ { 2 } \right ) = ( a c + b‌ d ) ^ { 2 } + ( a d - b c ) ^ { 2 } \geq (a c + b d ) ^ { 2 }$$

در ادامه مثالی ارائه شده که در آن از نامساوی شوارتز استفاده شده است.

مثال ۱

اعداد حقیقی $$a _ { 1 } , a _ { 2 } \dots a _ { n } \in \mathbb { R }$$ را در نظر بگیرید، به گونه‌ای که رابطه $$a_1+a_2+\cdots+a_n=1$$ برقرار باشد. با این فرض، نامساوی زیر را اثبات کنید.

$$a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { n }$$

با توجه به نامساوی شوارتز، می‌توان نامساوی زیر را برای اعداد حقیقی فوق نوشت.

$$\left(1 \cdot a _ { 1 } + 1 \cdot a _ { 2 } + \cdots + 1 \cdot a_{n}\right)^{2} \leq \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \right ( 1 + 1 + \cdots + 1 ) )$$

با مرتب‌سازی، نامساوی فوق را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

$$a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { n }$$

نامساوی فوق نیز زمانی به تساوی تبدیل می‌شود که تمامی اعداد با هم برابر باشند.

$$a _ { 1 } = a _ { 2 } = \cdots = a _ { n } = \frac { 1 } { n }$$

مثال ۲

$$a , b , c$$ و $$d$$ را برابر با اعداد حقیقی مثبت در نظر بگیرید. هم‌چنین فرض کنید که حاصل جمع این اعداد برابر است با:

$$a + b + c + d = 1$$

با توجه به فرض فوق، مینیمم مقدار زیر چقدر خواهد بود؟

$$\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c } + \frac { 1 }{ d }$$

فیلم آموزش مبانی آنالیز عددی – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

به‌منظور حل این مسئله، ۴ عبارت را برای $$a _ i$$ها و $$b _ i$$‌ها در نظر می‌گیریم. در این صورت می‌توان طبق نامساوی شوارتز نامساوی زیر را بیان کرد.

$$\left((\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}+(\sqrt { c } ) ^ { 2 } +( \sqrt { d } ) ^ { 2 } \right) \cdot \left( \frac { 1 } { ( \sqrt { a } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( \sqrt { b } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( \sqrt { c } ) ^ { 2 } } + \frac{1}{ ( \sqrt { d } ) ^{ 2 } } \right ) \geq \\ \left( \left( ( \sqrt { a } ) \cdot \frac{1}{(\sqrt{a})}\right)+\left((\sqrt{b}) \cdot \frac{1}{(\sqrt{b})}\right)+\left((\sqrt{c}) \cdot \frac{1}{(\sqrt{c})}\right)+\left((\sqrt{d}) \cdot \frac{1}{(\sqrt{d})}\right)\right)^{2}$$

با بازنویسی نامساوی فوق، مینیمم مقدار برای عبارت $$\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c } + \frac { 1 }{ d }$$ برابر می‌شود با:

$$( a + b + c + d ) \cdot \left( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1} { c } + \frac { 1 } { d } \right) \geq (1 + 1 + 1 + 1 ) ^ { 2 } \\ \Rightarrow ( 1 ) \cdot \left( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c } + \frac { 1 } { d } \right) \geq 16 \\ \Rightarrow \left( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 }{ c } + \frac { 1 } { d } \right) \geq 16$$

بنابراین کم‌ترین مقدار برای عبارت مدنظر برابر با $$16$$ است.

مثال ۳

مطابق با شکل زیر فرض کنید مستطیلی قرمز‌رنگ در مستطیلی بزرگ‌تر قرار گرفته است. در سمت راست نیز مطابق با شکل، از دو گوشه سمت راست مستطیل قرمزرنگ، مستطیل‌هایی آبی ترسیم شده‌اند. با توجه به طول‌های مشخص‌شده، مساحت مستطیل قرمزرنگ بیشتر است یا مجموع مساحت مستطیل‌های آبی‌رنگ؟

با استفاده از قاعده فیثاغورس مساحت مستطیل قرمزرنگ برابر است با (مساحت‌های مستطیل‌های قرمز و آبی‌رنگ به‌ترتیب با $$A _ { r e d }$$ و $$A _ { blue }$$ نشان داده می‌شوند):

$$A _ { r e d} = \sqrt { \left ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) \left ( c ^ { 2 } +d ^ { 2 } \right ) }$$

با توجه به شکل سمت راست نیز می‌توان گفت که مساحت بخش آبی‌رنگ نیز برابر است با:

$$A _ { blue } = a c + b d$$

حال با توجه به نامساوی شوارتز می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:

$$\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) \left ( c ^ { 2 } + d ^ { 2 } \right) \geq ( a c + b d ) ^ { 2 }$$

با گرفتن جذر از طرفین نامساوی فوق داریم:

$$\left( \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \right ) \left ( \sqrt { c^ { 2 } + d ^ { 2} } \right) \geq (a c + b d )$$

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، نامساوی فوق زمانی به تساوی تبدیل می‌شود که نسبت $$\frac { a } { b } = \frac { c } { d }$$ برای آن برقرار باشد. در شکل فوق نیز با توجه به تشابه دو مثلث سفید‌رنگ، می‌توان همین نسبت را بیان کرد. از این رو می‌توان گفت طرفین نامساوی با هم برابر هستند؛ در نتیجه مساحت‌های دو مستطیل با هم برابر هستند.

اثبات نامساوی شوارتز

راه‌های بسیاری به‌منظور اثبات نامساوی شوارتز وجود دارد. با این حال در این مطلب یکی از اثبات‌های کوتاه را ارائه می‌دهیم. به‌منظور اثبات نامساوی در ابتدا تابعی را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

$$f ( x ) = \left ( a _ { 1 } x - b _ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left ( a _ { 2 } x - b _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \cdots + \left ( a _ { n } x - b _ { n } \right ) ^ { 2 }$$

فیلم آموزش مبانی آنالیز عددی – بخش دوم در فرادرس

کلیک کنید

تابع فوق برابر با حاصل جمع چندین عبارت مثبت است. از این رو کل عبارت نیز عددی مثبت خواهد بود. با باز کردن تابع فوق، حاصل جمع به‌صورت زیر در می‌آید.

$$f ( x ) = \left( \sum _ { i = 1} ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } - 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } b _ { i } \right) x + \left( \sum _ { i =1 } ^ { n } b _ {i } ^{ 2 } \right)$$

همانطور که مشاهده می‌کنید تابع فوق نسبت به $$x$$ از مرتبه دوم است. در حقیقت شکل تابع فوق به‌صورت یک سهمی رو به بالا است. با توجه به $$f ≥ 0$$ می‌توان گفت که این تابع یا مماس بر محور $$x$$ است و یا در بالای آن قرار می‌گیرد. این جمله به معنا‌ی این است که معادله فوق یا ریشه تکراری داشته و یا هیچ ریشه‌‌ای ندارد. از این رو دلتای این معادله همواره کمتر مساوی صفر است. در نتیجه می‌توان گفت:

$$‌ 4 \left( \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}-4\left(\sum _ {‌ i = 1 } ^ { n } a _ { i } ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } ^ { 2 } \right) \leq 0$$

با تقسیم کردن نامساوی فوق به عدد $$4$$، نامساوی شوارتز بدست می‌آید. در حالتی که معادله $$f ( x ) = 0$$، ریشه تکراری داشته باشد نامساوی فوق به تساوی تبدیل می‌شود. در آینده در مورد دیگر نامساوی‌های مهم ریاضیات مانند نامساوی مثلثی، نامساوی هولدر، نامساوی برنولی و غیره نیز صحبت خواهیم کرد.

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های فیزیک
• معادله و نامعادله در ریاضی — پیدایش و کاربردها
• رسم نامعادلات و نامساوی‌ های خطی — به زبان ساده
• مفاهیم تابع – به زبان ساده

^^