معادلات موتور DC — از صفر تا صد

۱۳۵۲۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۰ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۵ دقیقه
معادلات موتور DC — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با اصول عملکرد موتورهای DC آشنا شدیم. در این آموزش، علاوه بر بیان معادلات موتور DC ، با انواع موتورهای DC آشنا شده و این معادلات را برای آن‌ها نیز بیان می‌کنیم.

ساختار موتورهای DC

همان‌طور که می‌دانیم، موتور انرژی الکتریکی را به انرژی مکانیکی تبدیل می‌کند. موتورهای DC از مجموعه‌ای از پیچه‌ها تشکیل شده‌اند که سیم‌‌پیچ نامیده می‌شود و درون مجموعه‌ای دیگر از پیچه‌ها یا آهنرباهای دائمی قرار گرفته‌اند که استاتور نامیده می‌شود. با اعمال ولتاژ‌ به پیچه‌ها گشتاوری در آرمیچر تولید می‌شود که منجر به حرکت خواهد شد.

استاتور بخش بیرونی و ثابت موتور است و استاتورِ یک موتور DC مغناطیس دائم از دو یا چند قطعه قطب مغناطیس دائم تشکیل شده است. به جای مغناطیس دائم می‌توان یک میدان مغناطیسی را توسط یک آهنربای الکتریکی ایجاد کرد. در این حالت، یک پیچه DC (سیم‌پیچ میدان) به دور یک ماده مغناطیسی پیچانده می‌شود تا استاتور تشکیل شود.

روتور بخش داخلی موتور است که می‌چرخد و از سیم‌پیچ‌هایی تشکیل شده (به نام سیم‌پیچی آرمیچر) که از طریق یک کموتاتور مکانیکی به یک مدار خارجی متصل شده‌اند. هم استاتور و هم روتور از مواد فِرّومغناطیس ساخته شده‌اند. استاتور و روتور با یک فاصله هوایی از هم جدا شده‌اند.

یک سیم‌پیچی از اتصال سری یا موازی پیچه‌ها یا کلاف‌ها تشکیل می‌شود. سیم‌پیچی آرمیچر یک سیم‌پیچی است که ولتاژ به آن اعمال شده یا در آن القا می‌شود. سیم‌پیچی میدان یا تحریک نیز یک سیم‌پیچی است که جریانی از آن عبور داده می‌شود تا شار (برای آهنربای الکتریکی) تولید شود. سیم‌پیچی‌ها معمولاً‌ از مس ساخته می‌شوند.

اصول عملکرد موتور DC

اگر انرژی الکتریکی به یک هادی اعمال شود که عمود بر یک میدان مغناطیسی قرار دارد، برهم‌کنش جریان گذرنده از هادی و میدان مغناطیسی منجر به تولید نیروی مکانیکی (و در نتیجه، انرژی مکانیکی) خواهد شد. دو شرط لازم برای تولید نیرو روی هادی وجود دارد: هادی باید حامل جریان بوده و همچنین در یک میدان مغناطیسی باشد. وقتی این دو شرط وجود داشته باشند، نیرویی به هادی اعمال خواهد شد که تلاش می‌کند آن را در جهت عمود بر میدان مغناطیسی حرکت دهد. این دقیقاً همان اصل اساسی عملکرد یک موتور DC است.

بنابراین، می‌توان گفت که اندازه نیروی اعمالی بر هادی به صورت زیر است:

$$ \large  \overrightarrow{F} = l \overrightarrow {i} \times \overrightarrow{B} \;\;\;\;\; (1)$$

که در آن، $$\overrightarrow{B}$$ چگالی شار میدان مغناطیسی، $$l$$ طول هادی و $$\overrightarrow {i}$$ جریان گذرنده از هادی است. جهت حرکت هادی را می‌توان با استفاده از قانون دست چپ فلمینگ تعیین کرد.

قانون دست چپ فلمینگ
شکل 1: قانون دست چپ فلمینگ

در شکل بالا، انگشت اشاره جهت میدان مغناطیسی را نشان می‌دهد که از قطب شمال به قطب جنوب است. انگشت وسط جهت جریان گذرنده از هادی را نشان می‌دهد. انگشت شست نیز جهت حرکت هادی را مشخص می‌کند.

یک پیچه یا کلاف را در نظر بگیرید که در یک میدان مغناطیسی با چگالی شار $$ B $$ قرار دارد (شکل 2). وقتی دو انتهای پیچه به یک منبع ولتاژ DC متصل شوند، جریان $$I$$ از آن عبور خواهد کرد. در نتیجه برهم‌کنش میدان مغناطیسی و جریان الکتریکی، نیرویی به پیچه اعمال خواهد شد. این نیرو به گونه‌ای است که موجب حرکت پیچه می‌شود.

شکل 2: تولید گشتاور در یک موتور DC
شکل 2: تولید گشتاور در یک موتور DC

در یک موتور DC واقعی، چندین پیچه مشابه این پیچه به دور روتور پیچانده می‌شود که بر همه آن‌ها نیرو اعمال می‌گردد. هرچه جریان هادی یا میدان مغناطیسی بزرگ‌تر باشند، سرعت چرخش بیشتر خواهد بود، زیرا نیروی بیشتری ایجاد می‌شود.

همزمان با اینکه گشتاور تولید می‌شود، هادی‌ها در یک میدان مغناطیسی حرکت می‌کنند. در موقعیت‌های مختلف، شار تغییر می‌کند و سبب القای یک نیروی محرکه الکتریکی (EMF) می‌شود ($$ e = d \phi / d t $$) که در شکل ۳ نشان داده شده است. این ولتاژ با ولتاژی که سبب عبور جریان از هادی می‌شود مخالفت می‌کند و به عنوان ولتاژ مخالف یا معکوس یا نیروی ضد محرکه الکتریکی (Back EMF) شناخته می‌شود.

شکل ۳: ولتاژ‌ القایی در سیم‌پیچی آرمیچر یک موتور DC
شکل ۳: ولتاژ‌ القایی در سیم‌پیچی آرمیچر یک موتور DC

مقدار جریان گذرنده از آرمیچر به اختلاف بین ولتاژ اعمالی و این ولتاژ‌ مخالف بستگی دارد. جریان حاصل از این ولتاژ‌ مخالف، مطابق قانون لنز، با عامل ایجاد خودش مخالفت می‌کند و در نتیجه، سبب کند شدن ماشین می‌شود. در نهایت، روتور به اندازه‌ای کند می‌شود که نیروی ایجاد شده توسط میدان مغناطیسی برابر با نیروی اعمالی به بار شفت شود. در نتیجه، سیستم با سرعت ثابت حرکت خواهد کرد.

معادله گشتاور موتور DC

نیروی یک پیچه برابر با $$ \overrightarrow{F} = l \overrightarrow {i} \times \overrightarrow{B}$$ است. از آنجایی که $$ B = \phi A$$ که در آن، $$A$$ سطح پیچه کلاف است، گشتاور مربوط به چند دور سیم‌پیچ با جریان آرمیچر $$I_a$$ به صورت زیر است:

$$ T = K \phi I _ a \;\;\;\;\; (2)$$

که در آن، $$\phi$$ شار هر قطب برحسب وبر، $$K$$ ضریب ثابت وابسته به هندسه سیم‌پیچ و $$I_a$$ جریان گذرنده از سیم‌پیچی آرمیچر است. دقت کنید که گشتاور $$T$$ تابعی از نیرو و فاصله است و معادله (۲) همه پارامترهای ثابت (به عنوان مثال، طول، مساحت و فاصله) را در خود جای داده است.

توان مکانیکی تولید شده برابر با حاصل‌ضرب گشتاور ماشین و سرعت چرخش مکانیکی $$\omega _m$$ است:

$$ \large P _ m = \omega _ m T = K \omega _ m  \phi I _ a \;\;\;\;\; (3)$$

نیروی ضد محرکه الکتریکی (Back EMF)

به دلیل چرخش این سیم‌پیچ در میدان مغناطیسی، شار با تغییر موقعیت‌های مختلف برهم‌کنش دارد که سبب القای یک EMF می‌شود (شکل ۳). نیروی محرکه القایی یک پیچه تکی $$e= d \phi _c / dt $$ است.

وقتی شار از پیچه عبور می‌کند، داریم: $$\phi _c = \phi \sin \omega t $$ و بنابراین، ولتاژ القایی برابر است با:

$$ \large e = \omega \phi \cos \omega t \;\;\;\;\; (4)$$

لازم به ذکر است که معادله (۴) مربوط به EMF القایی در یک پیچه است. از آنجایی که چندین پیچه روی روتور پیچانده شده است، EMF کل برابر با مجموع EMFهای آن‌ها است.

EMF کل که با چند پیچه در موتور القا می‌شود، به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large E_b = K \phi \omega _ m \;\;\;\;\; (5)$$

که در آن، $$K$$ ثابت آرمیچر است و به هندسه و ویژگی‌های مغناطیسی موتور بستگی دارد. همچنین $$ \omega _ m $$ سرعت چرخش را نشان می‌دهد.

توان الکتریکی تولیدی ماشین نیز برابر است با:

$$ \large  P _ {dev} = E _ b I_ a = K \phi \omega _ m I _ a \;\;\;\;\; (6) $$

مدار معادل موتور DC

نمودار شماتیکی یک موتور DC‌ در شکل زیر نشان داده شده است. یک موتور DC دو مدار مجزا دارد: مدار میدان یا تحریک و مدار آرمیچر. ورودی، توان الکتریکی و خروجی توان مکانیکی است. در این مدار معادل، سیم‌‌پیچ تحریک از یک منبع ولتاژ DC جداگانه با ولتاژ $$ \text{V}_f$$ تغذیه می‌شود.

همچنین $$\text{R}_f$$ و $$ \text{L}_f$$ به ترتیب، مقاومت و اندوکتانس سیم‌پیچی میدان را نشان می‌دهند. جریان $$I_f$$ که در سیم‌پیچی تولید شده، میدان مغناطیسی لازم را برای عملکرد موتور ایجاد می‌کند. در مدار آرمیچر (روتور)، $$ V _ T $$ ولتاژ اعمالی به ترمینال‌های موتور، $$I_a$$ جریان گذرنده از مدار آرمیچر، $$R_a$$ مقاومت سیم‌پیچی آرمیچر و $$E_b$$ کل ولتاژ‌ القایی در آرمیچر است.

شکل ۴: مدار موتور DC
شکل ۴: مدار موتور DC

معادله ولتاژ

با اعمال KVL در مدار آرمیچر شکل ۴، می‌توان نوشت:

$$ \large V _ T = E _ b + I _ a R _ a \;\;\;\;\; (7)$$

که در آن، $$V_T$$ ولتاژ اعمالی به ترمینال‌های آرمیچر موتور و $$R_a$$ مقاومت سیم‌پیچی آرمیچر است.

ولتاژ القایی معمولاً با نماد $$e$$ یا $$E$$ و ولتاژ‌ ترمینال معمولاً با $$v$$ یا $$V$$ نمایش داده می‌شود. در حالت سکون، سرعت موتور صفر است؛ بنابراین، نیروی ضد محرکه الکتریکی برابر با صفر است. جریان آرمیچر در حالت راه‌اندازی بسیار بزرگ است.

با اعمال KVL در مدار میدان شکل ۷، داریم:

$$ \large V _ f = R_f I _ f \;\;\;\;\; (8)$$

که در آن، $$ V_f$$ ولتاژ‌ اعمالی به سیم‌پیچی تحریک (برای تولید میدان مغناطیسی)، $$ R_ f $$ مقاومت سیم‌پیچی میدان، و $$ I _ f $$ جریان گذرنده از سیم‌پیچی میدان است.

معادله انتقال توان

پیش‌تر معادله گشتاور تولیدی موتور را به دست آوردیم:

$$ \large T _ {dev} = K \phi I_ a $$

توان نیز توانی است که فرم مکانیکی در می‌آید و برابر است با:

$$ \large P _ {dev} = \omega _ m T _ { dev}$$

عبارت بالا، توان تحویلی به ولتاژ‌ القایی آرمیچر (ضد محرکه) است و به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large E_a I _ a = \omega _ m T _ {dec} \;\;\;\;\; (9)$$

توجه کنید که سرعت چرخش در دقیقه ($$N$$) با رابطه $$ \omega = \frac {2 \pi N}{60}$$ به سرعت زاویه‌ای $$ \omega $$ (برحسب رادیان بر ثانیه) مربوط می‌شود. $$ N $$ را می‌توان به صورت r/min یا rpm (دور در دقیقه) نوشت.

لازم به ذکر است که شار در ماشین، متناسب با جریان گذرنده از سیم‌پیچی تحریک است (یعنی $$\phi \propto I _ f $$) و می‌توانیم دو ولتاژ‌ القایی را در دو سرعت مختلف با یکدیگر مقایسه کنیم.

اگر ولتاژ القایی در سرعت $$N_1$$ و با جریان سیم‌پیچی تحریک $$ I_{f1}$$ به صورت زیر باشد:

$$ \large E _ {b1} = K (K_f I _ {f1}) (\frac{2 \pi N_1}{60}) $$

و ولتاژ القایی در سرعت $$N_2$$ و با جریان سیم‌پیچی تحریک $$ I_{f2}$$ به صورت زیر باشد:

$$ \large E _ {b2} = K (K_f I _ {f2}) (\frac{2 \pi N_2}{60}) $$

در نتیجه، ولتاژهای القایی در این نقاط کار را می‌توان به صورت زیر با هم مقایسه کرد:

$$ \large \frac { E_{b1}}{E_{b2}} = \frac { I _{f1}N_1} {I_{f2}N _ 2 } $$

این معادله در تعیین سرعت موتور DC در شرایط کاری مختلف مفید است.

انواع موتورهای DC

ماشین‌های DC را می‌توان بر اساس اتصالات الکتریکی سیم‌پیچی‌های آرمیچر و تحریک دسته‌بندی کرد.

موتور تحریک مستقل

سیم‌پیچی‌های موتور تحریک مستقل یا تحریک جداگانه از نظر الکتریکی از هم جدا هستند. سیم‌پیچی تحریک با یک منبع DC جداگانه تحریک می‌شود.

شکل ۵: موتور Dc با تحریک جداگانه
شکل ۵: مدار موتور DC با تحریک جداگانه

معادلات ولتاژ‌ و توان این موتور مشابه معادلاتی است که در بخش قبل بیان کردیم. در این نوع موتور، توان الکتریکی کل برابر با $$ V_f I _ f + V _ T I _a $$ است.

موتورهای تحریک خودی

موتورهای تحریک خودی یا خودتحریک، به جای یک منبع ولتاژ جداگانه برای تحریک، سیم‌پیچی تحریکشان به ترمینال‌های اصلی ماشین متصل است. در ادامه به انواع این موتورها پرداخته‌ایم.

موتور شنت

در موتور شنت، سیم‌پیچی‌های آرمیچر و تحریک به صورت موازی به هم متصل شده‌اند و ولتاژ‌ آرمیچر برابر با ولتاژ‌ تحریک است.

شکل ۶: موتور DC شنت
شکل ۶: موتور DC شنت

با توجه به مدار معادل شکل ۶، در این موتور، کل جریان کشیده شده از منبع برابر با $$I_L=I_f+I_a$$ و کل توان ورودی، برابر با $$ V_TI_L$$ است.

معادلات جریان، ولتاژ و توان، به ترتیب، در معادله‌های (۷)، (۸) و (۹) آورده شده‌اند.

موتور DC سری

در موتور DC سری، سیم‌پیچی‌های تحریک و آرمیچر به صورت سری به یکدیگر متصل شده‌اند. همچنین، جریان گذرنده از سیم‌پیچی‌های تحریک و آرمیچر با هم برابر است.

یک موتور تحریک سری، موتور یونیورسال (Universal) نیز نامیده می‌شود. یونیورسال به این معنی است که این موتور هم با منبع ولتاژ AC کار می‌کند و هم منبع ولتاژ DC.

شکل ۷: موتور DC سری
شکل ۷: موتور DC سری

موتور DC کمپوند

اگر از هردوی سیم‌پیچی‌های تحریک سری و شنت استفاده کنیم، یک موتور کمپوند خواهیم داشت. در یک موتور کمپوند، سیم‌پیچی تحریک سری به صورت سری با آرمیچر، و سیم‌پیچی تحریک شنت به صورت موازی متصل می‌گردند. دو نوع پیکربندی برای موتورهای کمپوند وجود دارد:

  • موتور کمپوند اضافی: شارهای مغناطیسی دو نوع این موتور، با هر دو سیم‌پیچ‌های تحریک سری و تحریک شنت که جهت یکسانی دارند تولید می‌شود (یعنی با هم جمع می‌شوند).
  • موتور کمپوند نقصانی: در این نوع موتور، دو شار سیم‌پیچ سری و شنت جهت مخالفی نسبت به یکدیگر دارند.

محاسبات عملکرد موتور DC

در اغلب کاربردها، از موتورهای DC برای جابه‌جایی بارهای مکانیکی استفاده می‌شود. در برخی موارد لازم است با تغییر بار موتور، سرعت ثابت بماند. در مواردی نیز باید سرعت در محدوده بزرگی کنترل شود. بنابراین، بررسی رابطه بین گشتاور و سرعت موتور ضروری است.

تنظیم سرعت

تنظیم سرعت به عنوان تغییر سرعت به ازای اعمال بار کامل به موتور تعریف می‌شود:

$$ \large \text{SR} = \frac {N_{no-load}-N_{full-load}}{N_{full-load}} \times 100 \% \;\;\;\;\; (10)$$

که در آن، $$ N_{no-load}$$ سرعت بی‌باری و $$ N _ {full-load}$$ سرعت در بار کامل است.

مشخصه گشتاور-سرعت

برای استفاده مؤثر از یک موتور DC در یک کاربرد مشخص، لازم است منحنی مشخصه آن را بشناسیم. برای هر موتور، یک منحنی گشتاور-سرعت و یک منحنی توان وجود دارد. رابطه بین گشتاور و سرعت در انتخاب یک موتور DC برای کاربردی خاص مهم است.

موتور DC با تحریک جداگانه

یک موتور DC با تحریک جدا را در نظر بگیرید که در شکل ۵ نشان داده است.

از معادله (۵) و (۷) دو عبارت برای ولتاژ القایی داریم:

$$ \large E _ b = K \phi \omega _m = V_T - I _a R _ a \;\;\;\;\; (11) $$

گشتاور تولیدی روتور (آرمیچر) برابر است با:

$$ \large T _ {dev} = K \phi I _a \;\;\;\;\; (12)$$

از معادله (۱۲)، می‌توان جریان آرمیچر را به دست آورد:

$$ \large I _ a = \frac {T _ {dev} }{K \phi} \;\;\;\;\; (13)$$

با جایگذاری $$I_a$$ در معادله (۱۱) و بازنویسیی عبارات، داریم:

$$ \large V _ T - K \phi \omega _ m = R _a \left ( \frac {T _{dev}}{K \phi} \right ) \;\;\;\;\; (14)$$

بنابراین، گشتاور روتور را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large T _ {dev} = \frac {K \phi} { R _a} ( V_ T - K \phi \omega _ m ) \; \; \; \; \; (15)$$

این معادله، رابطه بین گشتاور و سرعت یک موتور تحریک جداگانه را نشان می‌دهد. اگر ولتاژ‌ ترمینال $$V_T$$ و شار $$ \phi $$ ثابت نگه داشته شوند، رابطه سرعت-گشتاور یک خط راست نزولی خواهد بود.

شکل ۸: مشخصه گشتاور-سرعت یک موتور تحریک مستقل
شکل ۸: مشخصه گشتاور-سرعت یک موتور تحریک مستقل

نمودار بالا، منحنی گشتاور-سرعت یک موتور DC تحریک مستقل را نشان می‌دهد. لازم به ذکر است که گشتاور رابطه عکس با سرعت شفت دارد. به عبارت دیگر، یک مصالحه بین اندازه گشتاور و سرعت موتور القایی برقرار است. مشخصه‌های موتور به عنوان دو نقطه روی نمودار مشخص می‌شوند:

  • گشتاور سکون یا ایستایی، نقطه‌ای را روی نمودار نشان می‌دهد که در آن، گشتاور حداکثر است، اما شفت حرکتی ندارد.
  • سرعت بی‌باری، حداکثر سرعت خروجی موتور است (وقتی هیچ گشتاوری به شفت خروجی اعمال نشود).

بار موتور نقطه کار نهایی روی منحنی گشتاور را تعیین می‌کند. همان‌گونه که در تصویر زیر نشان داده شده است، وقتی بار به موتور وصل شود، برهم‌کنش بین گشتاور مورد تقاضای بار و گشتاور تولیدی موتور، نقطه کار را تعیین می‌کند.

شکل ۹: تعامل بین موتور DC و بار مکانیکی
شکل ۹: تعامل بین موتور DC و بار مکانیکی

شکل بالا تعامل بین موتور DC و بار مکانیکی را نشان می‌دهد. گشتاور راه‌اندازی موتور بزرگ‌تر از گشتاور بار است. اختلاف بین این دو گشتاور سبب چرخش موتور می‌شود. وقتی موتور شروع به چرخش کند، سرعت آن زیاد شده و گشتاور تولیدی‌اش کاهش می‌یابد. در نهایت، وقتی دو گشتاور یکدیگر را متعادل کنند، موتور به یک نقطه کار پایدار می‌رسد.

موتور DC شنت

موتور DC شنت معادلات گشتاور مشابهی با موتور تحریک مستقل دارد و مشخصه گشتاور-سرعت آن، مشابه شکل ۸ است، با این تفاوت که شیب مشخصه موتور شنت کمتر است و دو محور را قطع نمی‌کند.

موتور DC سری

مشخصه موتور DC‌ سری را می‌توان مشابه آنچه در بالا گفتیم، تحلیل کرد. در موتورهای سری، سیم‌پیچی میدان، به صورت سری با سیم‌پیچی آرمیچر قرار گرفته است (شکل ۸).

گشتاور روتور به صورت زیر است:

$$ \large T _ {dev} = K \phi I _a $$

با فرض اینکه شار رابطه مستقیمی با جریان میدان دارد (یعنی اشباع مغناطیسی وجود ندارد) و از آنجایی که در یک موتور سری، $$ I _ f = I _a $$، خواهیم داشت:‌

$$ \large \phi = K _ f I _a \;\;\;\;\; (16)$$

که در آن، $$K_f$$ یک ثابت است که به تعداد دورهای سیم‌پیچ میدان، هندسه مدار مغناطیسی و مشخصه B-H آهن بستگی دارد.

بنابراین، گشتاور تولیدی روتور را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large T _ {dev} = ( K _ f I _a) ( K I_a) = K' I_a^2 \;\;\;\;\; (17)$$

با اعمال KVL به مدار معادل (و صرف‌نظر کردن از $$L_f$$ در شرایط حالت ماندگار)، خواهیم داشت:

$$ \large V _ T = R_f I _a + R_a I_a + E_b \;\;\;\;\; (18)$$

ولتاژ‌ القایی را می‌توان به صورت $$ E_b = K \phi \omega _m = K (K_fI_a)\omega _m = K'I_a \omega _ m $$ نوشت.

با جایگذاری این رابطه در معادله (۱۸)، خواهیم داشت:

$$ \large I _ a = \frac { V_T} {R _a + R _ f + K' \omega _ m } \;\;\;\;\; (19)$$

گشتاور نیز برابر است با:

$$ \large T _ {dev} = \frac { K' V_T^2} {(R _a + R _ f + K' \omega _ m )^ 2 } \;\;\;\;\; (20)$$

اگر ولتاژ‌ ترمینال $$V_T$$ را ثابت در نظر بگیریم، گشتاور با مربع سرعت رابطه معکوس دارد (شکل ۹). در سرعت پایین یک گشتاور بالا و در سرعت بالا، گشتاور پایین به دست می‌آید.

شکل ۹: مشخصه گشتاور-سرعت یک موتور سری
شکل ۹: مشخصه گشتاور-سرعت یک موتور سری

بازده موتور DC

انتقال توان از ترمینال‌های ورودی موتور DC به (شفت) خروجی، با تلفاتی همراه است. شکل ۱۰ عبور توان در یک موتور تحریک مستقل را نشان می‌دهد.

شکل ۱۰: گذر توان در یک موتور DC
شکل ۱۰: گذر توان در یک موتور DC

بازده موتور را می‌توان به عنوان نسبت توان خروجی به کل توان ورودی تعریف کرد. با توجه به شکل ۱۰، کل توان ورودی موتور برابر است با:

$$ \large P _ {in} = V _T I_a + V_f I _ f \;\;\;\;\; (21)$$

که در آن، $$I_a$$ جریان کشیده شده از منبع توسط آرمیچر است.

توان اتلافی سیم‌پیچی میدان به نوبه خود به گرما تبدیل می‌شود و از رابطه زیر قابل محاسبه است:

$$ \large P _ {field-loss} = I _f ^ 2 R _ f \;\;\;\;\; (22) $$

$$ \large P _ {field-loss} = \left ( \frac {V_f}{R_f} \right ) ^ 2 R _f = \frac { V _ f ^ 2} {R_f} \;\;\;\;\; (23)$$

مقداری توان نیز در اثر مقاومت سیم‌پیچی آرمیچر تلف می‌شود که می‌توان آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large P _ {arm-loss} = I_a^ 2 R _a \;\;\;\;\; (24)$$

کل توانِ تلف شده مسی یا اهمی مربوط به دو سیم‌پیچ است (که از مس ساخته شده‌اند) و به عنوان تلفات مسی شناخته می‌شوند. به عبارت دیگر، تلفات مسی برابر است با مجموع تلفات میدان و تلفات آرمیچر.

بنابراین، توانِ تولیدی و تبدیل شده به توان مکانیکی، برابر است با توان ورودی منهای کل تلفات مسی. همچنین، داریم:

$$ \large P _ {dev} = I _a E _ b = \omega _ m T _ {dev} \;\;\;\;\; (25)$$

به دلیلی وجود تلفات چرخشی که شامل اصطکاک، هوا، جریان گردابی و تلفات هیسترزیس است، مقادیر توان و گشتاور خروجی کمتر از مقادیر توان و گشتاور تولیدی هستند. تلفات توان چرخشی تقریباً متناسب با سرعت موتور است. با توجه به شکل ۱۰، توان خروجی نهایی برابر است با توان تولیدی منهای تلفات چرخشی.

بازده موتور DC‌ را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \eta = \frac {P_{out}}{P_{in}} \times 100\% \;\;\;\;\; (26) $$

این معادله را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:‌

$$ \large \eta = \frac {P _ {out}} {P_{out}+ P _ {arm-loss} + P _{field-loss} + P _{rot} } \;\;\;\;\; (27)$$

که در آن، $$P_{rot}$$ تلفات چرخشی است.

لازم به ذکر است که بسته به اینکه چه اطلاعاتی داشته باشیم، کل توان ورودی و خروجی را می‌توان با استفاده از نمودار گذر توان از روش‌های مختلفی محاسبه کرد. همچنین، گشتاور ایجاد شده در روتور متفاوت از گشتاور نهایی (خروجی) است، زیرا تلفات چرخشی وجود دارد.

گذر توان موتور DC شنت

تلفات و بازده در یک موتور DC شنت را می‌توان مشابه روندی که در بالا تعریف شد محاسبه کرد، با این تفاوت که در این حالت، توان ورودی برابر با $$ V_T I _L $$ است که در آن، $$ I_L = I _a + I _ f $$.

گذر توان موتور DC سری

تلفات و بازده یک موتور DC سری را می‌توان مشابه موتور شنت محاسبه کرد، با این تفاوت که در اینجا $$ I _ f = I _ a = I _ L $$.

مشخصات موتور DC

موتورهای DC معمولاً با مشخصات زیر بیان می‌شوند:

  • ولتاژ نامی: ولتاژ‌ کاری ورودی
  • توان نامی: توان (برحسب وات یا اسب بخار) که موتور برای تحویل به بار طراحی شده است (یعنی همان توان خروجی)
  • سرعت نامی: سرعتی که موتور برای کار در آن به طور پیوسته طراحی شده است (بر حسب دور بر دقیقه)
  • بار نامی: باری است که موتور برای تحمل آن به مدت بی‌نهایت (از نظر تئوری) طراحی شده است. شرایط بار کامل یا بار نامی به عملکرد موتور در حالتی گفته می‌شود که توان نامی به بار داده شود.

توجه کنید که یک موتور همواره در توان یا سرعت نامی خود کار نمی‌کند. شرایط بالاتر از مقادیر نامی برای کارکرد موتورها توصیه نمی‌شود، زیرا موجب اضافه بار می‌شود.

مثال‌هایی از معادلات موتور DC

در این بخش، دو مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

یک موتور DC شنت با ولتاژ‌ ۲۳۰ ولت و توان ۱۰ اسب بخار، توانی را به باری در سرعت ۱۲۰۰ دور بر دقیقه تحویل می‌دهد. جریان کشیده شده آرمیچر ۲۰۰ آمپر است. مقاومت مدار آرمیچر ۰٫۲ اهم و مقاومت سیم‌پیچی میدان ۱۱۵ اهم است. اگر تلفات چرخشی ۵۰۰ وات باشد، مقدار گشتاور بار چقدر است؟‌

حل: نیروی ضد محرکه الکتریکی در آرمیچر برابر است با:

$$ \large E _ b = V _ T - I _a R _a = 230 - 0.2 \times 200 = 190 \, \text{V}$$

توان تولیدی در روتور به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large P _ {dev} = E _ b I _ a = 190 \times 200 = 38000 \, \text{W} $$

توان تحویلی به بار نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large P _ {load} = P _ {dev} - P _ {rot} = 38000-500 = 37500 \, \text{W}$$

گشتاور بار از رابطه $$ \large T_ { load} = P _ {load} / \omega _ m $$ قابل محاسبه است. سرعت $$ \omega _ m = 2 \pi N / 60 $$ بوده که در آن، $$N$$ سرعت برحسب دور بر دقیقه است. در نتیجه، گشتاور بار برابر است با:

$$ \large T _ {load} = \frac {37500} {\left ( \frac{2 \pi }{60} \times 1200 \right )} = 298.4 \, \text{N.m} $$

مثال ۲

یک موتور DC سری دارای مقاومت آرمیچر ۰٫۵ اهم و مقاومت میدان ۱٫۵ اهم است. این موتور یک بار را در سرعت ۱۲۰۰ دور بر دقیقه می‌چرخاند و جریان کشیده شده از ولتاژ‌ ترمینال ۲۲۰ ولت، برابر با ۲۰ آمپر است. اگر تلفات چرخشی ۱۵۰ وات باشد، توان خروجی و بازده موتور را به دست آورید.

حل: توان ورودی موتور برابر است با:

$$ \large P _ {in} = V _ T I _a = 220 \times 20 = 4400\, \text{W}$$

ولتاژ القایی نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large E _ b = V _ T - (R _f + R _a ) I _a = 180\, \text{V}$$

توان تحویلی به آرمیچر را نیز می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large P _ {dev} = E _ b I _a = 180 \times 20 = 3600 \, \text{W}$$

توان تحویلی به بار نیز برابر است با:

$$ \large P _ {out} = P _ {dev}  - P _ {rot} = 3600 - 150 = 3450 \, \text{W}$$

در نهایت، بازده به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \eta = \frac { P _ {out}}{P _ {in}} \times 100 \% = 78.41 \% $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۶۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
BEN M. CHEN
۱۵ دیدگاه برای «معادلات موتور DC — از صفر تا صد»

سلام مهندس . خروجي سيمهاي تخته كلم الكتروموتورDC بصورت A1 و C2 ميباشد و سيم پيچ ميدان بصورت تحريك مجزا (F1-F2)ميباشد .سوال بنده اينست كه نوع سيم بندي موتور شنت يا كمپوند ميباشد و اگر كمپوند باشد از كجا متوجه نقصاني يا افزايشي باشيم . ضمنا” موتور 47 كيلووات و توسط درايو راه اندازي ميشود. متشكرم

سلام در چه صورتی Kگشتاور و ولتاژ القایی با هم برابر می شود؟؟؟؟

سلام وقتتون بخیر
ممنون بابت توضیحاتتون
میشه لطفاً بفرمایید زمانی که میخوایم گشتاور در سیستم مکانیکی رو معادل سازی کنیم در سیستم الکتریکی, چه المانی باید جایگزین کنیم ؟

اموزشها‌روان‌هست‌ولی‌ساده‌و‌مفهوم‌نیستند‌چاره‌ای‌بیاندیشید

سلام مهندس ممنون از پاسخگویی شما ،مهندس در پیام قبلی برای اصلاح مشخصه گشتاور سرعت شنت ،من بازم مطالعه کردم و اون مشخصه ایی که شما برای موتور تحریک مستقل قرار دادید حتی برای موتور تحریک مستقل هم صحیح نیست طبق چیزی که من مطالعه کردم مشخصه موتور شنت و تحریک مستقل کاملا شبیه هم هست یعنی با شیب کم ،اما مشخصه ایی که شما معرفی کردید برای تحریک مستقل چیزی هست که جواب سوالی که من دنباش بودم هست و اون این هست که فکر میکنم بر اساس تحلیل خودم این مشخصه شما برای حالت گذرای موتور شنت و مستقل هست یعنی لحظه راه اندازی تا سرعت نامی البته در بی باری یعنی در سرعت صفر چونEaصفر هست پس Iaماکزیمم هست گشتاور بیشترین مقدار خودش هست و در سرعت نامی که چون Iaکم هست گشتاور هم کمترین مقدار خودش یعنی همون مشخصه ایی که رسم کردید ،ممنون میشم راهنمایی کنید

سلام مهندس ممنون از شما ،مهندس مشخصه گشتاور سرعت موتور شنت رو گفتید شبیه تحریک مستقل هست و خطی هست که هم محور گشتاور و هم سرعت راقطع میکنه اما من در کتاب ها و منابع دیگر برای شنت دیدم که خط تقریبا صاف که با شیب کم هست و اصلا به محور گشتاور نزیک نمیشه چه برسه به اینکه اون رو قطع کنه ،ممنون میشم راهنمایی کنید دلیلش چی هست.

سلام رسول عزیز.
نکته‌هایی که به آن اشاره کردید، به متن اضافه شد.
سپاس از همراهی و بازخوردتان.

ممنونم مهندس

سلام.
سپاس از همراهی‌تان با مجله فرادرس.
شاد باشید.

با سلام و احترام.
اگه در مورد کنترل سرعت موتور های DC هم صبحتی میشد خیلی عالی بود.با ذکر فرمول

سلام مصطفی عزیز.
پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «کنترل دور و سرعت موتورهای DC — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.
شاد و پیروز باشید.

با سلام
آیا موتور شنت dc را با منبع ac میتوان راه اندازی کرد؟
اگر با منبع ac راه اندازی شود چه تغییراتی در معادلات ایجاد میشود؟؟

سلام موتور دی سی که شامل شفت،سیم مسی،کموتاتور،آهنربای دائم می باشد علت استفاده از سلف باهسته فریت چیست که در مدار کموتاتور قرار دارد ممنون می شوم اگر جواب من را یدهید.

سلام خوب بود. ممنون.
فقط معادله (3) رو اصلاح بفرمایید

سلام.
فرمول اصلاح شد.
از همراهی و دقت نظر شما سپاسگزاریم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *