مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

مثال ۴: مشتق e به توان sinx

مشتق $$e ^ { ( \sin { x } ) }$$ را به دست بیاورید.

توان e در تابع مورد سوال (عبارت $$\sin x$$)، تابعی از x است. به عبارت دیگر:

$$\sin x = f ( x )$$

به این ترتیب، می‌توانیم تابع مورد سوال را به صورت زیر بنویسیم:

$$e ^ { f ( x ) }$$

بر اساس قواعد مشتق توابع مثلثاتی، مشتق این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\frac { d } { d x } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }$$

f'(x) عبارت است از:

$$f ' ( x ) = \frac { d } { d x } \sin x = \cos x$$

f(x) و f'(x) را درون رابطه مشتق تابع قرار می‌دهیم:

$$\frac { d } { d x } e ^ { \sin x } = ( \cos x )e ^ { \sin x }$$

مشتق معکوس e چگونه بدست می آید ؟

معکوس تابع نمایی e^x، یک تابع لگاریتمی بر مبنای e است. این تابع با عنوان لگاریتم طبیعی شناخته شده و با ln نمایش داده می‌شود:

$$f ( x ) = e ^ { x } \longrightarrow f ^ { - 1 } ( x ) = \log _ { e } ( x ) = \ln ( x )$$

مشتق معکوس e^x یا همان مشتق لگاریتم طبیعی $$\ln ( x )$$، عبارت است از:

$$\frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { 1 } { x }$$

در صورت وجود ضریب ثابت عددی (مانند ضریب c) در کنار x، فرمول مشتق معکوس e، تغییری نخواهد کرد:

$$\frac { d } { d x } \ln ( c x ) = \frac { 1 } { x }$$

اگر به جای x در ln، تابعی مانند f(x) قرار داشته باشد، فرمول مشتق به شکل زیر درمی‌آید:

$$\frac { d } { d x } \ln [ f ( x ) ] = \frac { f ' ( x ) } { f ( x ) }$$

مثال ۵: تعیین مشتق ln

مشتق $$f ( x ) = \ln ( 4 x ^ 3 + x ^ 2 - 14 x + 35 )$$ را به دست بیاورید.

تابع مورد سوال، یک لگاریتم طبیعی است. در این لگاریتم، یک چندجمله‌ای قرار دارد. اگر چندجمله‌ای را برابر با g(x) قرار دهیم:

$$g ( x ) = 4 x ^ 3 + x ^ 2 - 14 x + 35$$

مشتق تابع از رابطه زیر به دست خواهد آمد:

$$f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }$$

برای استفاده از تابع بالا، ابتدا باید مشتق g(x) را تعیین کنیم:

$$g ' ( x ) = ( 3 \times 4 ) x ^ { 3 - 1 } + ( 2 x ^ { 2 - 1 } ) - 14 + 0$$

$$= 12 x ^ 2 + 2 x - 14$$

اکنون، عبارت‌های g(x) و g'(x) را درون رابطه مشتق ln قرار می‌دهیم:

$$f ' ( x ) = \frac { 12 x ^ 2 + 2 x - 14 } { 4 x ^ 3 + x ^ 2 - 14 x + 35 }$$

به این ترتیب، مشتق تابع لگاریتم طبیعی را به دست آوردیم.

اثبات فرمول مشتق e با حد و پیوستگی

در این بخش، قصد داریم مشتق تابع e^x (رابطه زیر) را اثبات کنیم:

$$\frac { d } { d x } e ^ x = e ^ x$$

برای شروع، تعریف حدی مشتق را در نظر می‌گیریم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }$$

تابع اصلی در اینجا عبارت است از:

$$f ( x ) = e ^ x$$

بنابراین:

$$f ( x + \Delta x ) = e ^ { ( x + \Delta x ) }$$

با جایگذاری این عبارت‌ها درون رابطه حدی مشتق، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { ( x + \Delta x ) } - e ^ { ( x ) } } { \Delta x }$$

با توجه به خواص توان در ریاضی، می‌توانیم عبارت $$e ^ { ( x + \Delta x ) }$$ را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$e ^ { ( x + \Delta x ) } = e ^ x e ^ { \Delta x }$$

به این ترتیب، داریم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { e ^ x e ^ { \Delta x } - e ^ { ( x ) } } { \Delta x }$$

از عبارت e^x در صورت کسر، فاکتور می‌گیریم:

$$f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ x ( e ^ { \Delta x } - 1 ) } { \Delta x }$$

از آنجایی که e^x در Δx ظاهر نمی‌شود، می‌توانیم آن را به پشت حد انتقال دهیم:

$$f ' ( x ) = e ^ x \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { \Delta x } - 1 } { \Delta x }$$

جواب نهایی مشتق بالا، با تعیین حد زیر به دست می‌آید:

$$\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { \Delta x } - 1 } { \Delta x }$$

برای تعیین حد بالا، ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

$$n = e ^ { \Delta x } - 1$$

در عبارت بالا، اگر Δx به صفر میل کند، عبارت e^Δx برابر با ۱ و متغیر n برابر با ۰ می‌شود. به عبارت دیگر:

$$\lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } n = 0$$

جواب حد بالا را به خاطر داشته باشید. اکنون، تغییر متغیر را بر حسب e^Δx بازنویسی می‌کنیم:

$$e ^ { \Delta x } = n + 1$$

از هر دو طرف معادله بالا، ln می‌گیریم:

$$\ln { ( e ^ { \Delta x } ) } = \ln { ( n + 1 ) }$$

سمت چپ معادله بالا را بر اساس فرمول مشتق ln ساده می‌کنیم:

$$\ln { ( e ^ { \Delta x } ) } = e ^ { \Delta x }$$

$$e ^ { \Delta x } = \ln { ( n + 1 ) }$$

عبارت بالا را به همراه تغییر متغیر در رابطه حدی مشتق قرار می‌دهیم:

$$\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { \Delta x } - 1 } { \Delta x } = \lim _ { n \rightarrow 0 } \frac { n } { \ln { ( n + 1 ) } }$$

عبارت سمت راست را بازنویسی می‌کنیم:

$$= \lim _ { n \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \frac { 1 } { n } \ln { ( n + 1 ) } }$$

بر اساس قانون توان در لگاریتم، می‌توانیم ضریب پشت ln را به عنوان توان عبارت داخل آن در نظر بگیریم:

$$= \lim _ { n \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \ln { ( n + 1 ) } ^ { \frac { 1 } { n } } }$$

با توجه به قانون تقسیم در حد، عبارت‌های بالا را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$= \frac { \lim _ { n \rightarrow 0 } 1 } { \lim _ { n \rightarrow 0 } \ln { ( n + 1 ) } ^ { \frac { 1 } { n } } }$$

صورت کسر بالا برابر با ۱ است. بر اساس قانون حد ترکیب توابع می‌توانیم مخرج کسر را به صورت ترکیب حد بازنویسی کنیم:

$$= \frac { 1 } { \ln [ \lim _ { n \rightarrow 0 } { ( n + 1 ) } ^ { \frac { 1 } { n } } ]}$$

جواب حد در مخرج کسر بالا، یکی از تعریف‌های ثابت اویلر (e) است:

$$e = \lim _ { n \rightarrow 0 } { ( n + 1 ) } ^ { \frac { 1 } { n } }$$

از این‌رو، به جای این حد، عبارت e را قرار می‌دهیم:

$$\frac { 1 } { \ln [ \lim _ { n \rightarrow 0 } { ( n + 1 ) } ^ { \frac { 1 } { n } } ]} = \frac { 1 } { \ln ( e ) }$$

در نتیجه:

$$\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { \Delta x } - 1 } { \Delta x } = \frac { 1 } { \ln ( e ) }$$

جواب حد را در آخرین رابطه حدی مشتق قرار می‌دهیم:

$$f ' ( x ) = e ^ x \lim _ { \Delta x \to 0 } d\frac { e ^ { \Delta x } - 1 } { \Delta x } = e ^ x \times 1 = e ^ x$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مشتق e^x برابر با خودش (e^x) شد.

سوالات متداول در رابطه با مشتق e

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با مبحث مشتق e به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

e چیست ؟

e، ثابت عددی اویلر و برابر با ۲/۷۱۸۲۸ است.

مشتق e به توان x چیست ؟

مشتق e به توان x یا e^x، برابر با خودش (e^x) است.

مشتق کدام تابع برابر با خودش است ؟

مشتق دو تابع f(x)=۰ و f(x)=e^x برابر با خودش است.

فرمول مشتق e به توان f(x) چیست ؟

فرمول مشتق e به توان f(x) برابر با f'(x)e^(f(x) است.

معکوس e به توان x چیست ؟

تابع معکوس e به توان x، لگاریتم طبیعی ln x است.

مشتق معکوس e به توان x چیست ؟

مشتق معکوس e به توان x (مشتق ln x)، برابر با یک بر روی x یا یک x ام است.