مشتق cotx — به زبان ساده

۲۷۸۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۵ دقیقه
مشتق cotx — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با مشتق توابع مثلثاتی آشنا شدیم. در این آموزش با تمرکز بیشتری درباره مشتق cotx بحث می‌کنیم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

997696

فرمول محاسبه مشتق cotx

فرمول محاسبه مشتق cotx به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel} { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } = - \csc ^ 2 x \end {align*}. $$

اثبات فرمول محاسبه مشتق cotx

اتحادی که سه تابع sinx \sin x ، cosx \cos x و cotx \cot x را به هم ربط می‌دهد به صورت زیر است:

cotx=cosxsinx \large \cot x = \dfrac { \cos x } { \sin x }

اکنون از قاعده خارج قسمت برای مشتق‌گیری استفاده می‌کنیم:

ddxcotx=ddx(cosxsinx)=(ddxcosx)sinxcosx(ddxsinx)sin2x \large { \dfrac { d } { d x } \cot x = \dfrac { d } { d x } ( \dfrac { \cos x } { \sin x } ) = \dfrac { { ( \dfrac { d } { d x } \cos x ) } { \sin x } - \cos x ( \dfrac { d } { d x } \sin x ) }{ \sin ^ 2 x } }

حال، از دو فرمول ddxcosx=sinx \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x و ddxsinx=cosx\dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

ddxcotx=sinxsinxcosxcosxsin2x \large { \dfrac { d } { d x } \cot x = \dfrac { { - \sin x \sin x } - \cos x \cos x } { \sin ^ 2 x } }

و با ساده‌سازی، داریم:

=sin2x+cos2xsin2x=1sin2x=csc2x \large { = - \dfrac { \sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x } { \sin ^ 2 x } = - \dfrac { 1 } { \sin ^ 2 x } = - \csc ^ 2 x }

البته، یک راه دیگر محاسبه مشتق cotx استفاده از مشتق تابع تانژانت و قاعده زنجیره‌ای است:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}  { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } & = \left ( { \frac { 1 } { { \tan x } } }   \right ) ^ \prime   = { – \frac { 1 } {  { { { \tan } ^ 2 } x } }  \cdot { \left ( { \tan x }  \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { 1 } { { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { {  { \cos } ^ 2 } x } } } }  \cdot \frac { 1 } { { { {  \cos } ^ 2 } x } }   }  = { – \frac { \cancel { { { \cos } ^ 2 } x } }{  { { { \sin } ^ 2 } x  \cdot \cancel { { {  \cos } ^ 2 } x  } } }   }   = { – \frac { 1 } { { {  { \sin } ^ 2 } x } }. }   \end {align*} $$

فرمول محاسبه مشتق cotu

اما اگر مشتق cotu را به جای مشتق cotx داشته باشیم که u خود یک تابع است، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری استفاده کنیم:

ddxcot(u(x))=(dducotu)(ddxu) \large \dfrac { d } { d x } \cot ( u ( x ) ) = ( \dfrac { d } { d u } \cot u ) ( \dfrac { d } { d x } u )

و با ساده‌سازی خواهیم داشت:

=csc2uddxu \large = - \csc ^ 2 u \dfrac { d } { d x } u

مثال‌های محاسبه مشتق cotx

در این بخش، مثال‌هایی از محاسبه مشتق cotx و cotu را حل می‌کنیم.

مثال 1 مشتق cotx

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

f(x)=cot(x32x+2) \large f ( x ) = \cot ( x ^ 3 - 2 x + 2 )

حل: تابع u(x)=x32x+2 u(x) = x^3-2x+2 و در نتیجه، ddxu=ddx(x32x+2)=3x22 \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^3-2x+2) = 3x^2-2 را در نظر می‌گیریم و از قاعده مشتق کتانژانت استفاده می‌کنیم:

ddxf(x)=csc2uddxu=csc2(x32x+2)×(3x22)=(3x22)csc2(x32x+2) \large \begin {align*} \dfrac { d } { d x } f ( x ) & = - \csc ^ 2 u \dfrac { d } { d x } u = - \csc ^ 2 ( x ^ 3 - 2 x + 2 ) \times ( 3 x ^ 2 - 2 ) \\ & = - ( 3 x ^ 2 - 2 ) \csc ^ 2 ( x ^ 3 - 2 x + 2 ) \end {align*}

مثال 2 مشتق cotx

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

g(x)=cot(ex) \large g(x) = \cot (e^x)

حل: با در نظر گرفتن u(x)=ex u(x) = e^x و در نتیجه، ddxu=ddxex=ex \dfrac { d } { d x } u = \dfrac { d } { d x } e ^ x = e ^ x و استفاده از قاعده مشتق کتانژانت، خواهیم داشت:

ddxg(x)=csc2uddxu=csc2(ex)×ex=excsc2(ex) \large \dfrac { d } { d x } g ( x ) = - \csc ^ 2 u \dfrac { d }{ d x } u = - \csc ^ 2 ( e ^ x ) \times e ^ x = - e ^ x \csc ^ 2 ( e ^ x )

مثال 3 مشتق cotx

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

h(x)=cot(2x3+2) \large h ( x ) = \cot ( \dfrac { - 2 } { x ^ 3 + 2 } )

حل: تابع u(x)=2x3+2 u(x) = \dfrac{-2}{x^3+2} و مشتق آن، ddxu=6x2(x3+2)2 \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{6x^2}{\left(x^3+2\right)^2} ، را در نظر بگیرید. از قاعده مشتق کتانژانت استفاده می‌‌کنیم:

ddxh(x)=csc2uddxu=csc2(2x3+2)×6x2(x3+2)2=6x2(x3+2)2csc2(2x3+2)=6x2(x3+2)2csc2(2x3+2) \large \begin {align*} \dfrac { d } { d x } h ( x ) & = - \csc ^ 2 u \dfrac { d } { d x } u = - \csc ^ 2 ( \dfrac { - 2 } { x ^ 3 + 2 } ) \times \dfrac { 6 x ^ 2 } { \left ( x ^ 3 + 2 \right ) ^ 2 } \\ & = - \dfrac { 6 x ^ 2 } { \left ( x ^ 3 + 2 \right ) ^ 2 } \csc ^ 2 ( \dfrac { - 2 } { x ^ 3 + 2 } ) = - \dfrac { 6 x ^ 2 } { \left ( x ^ 3 + 2 \right ) ^ 2 } \csc ^ 2 ( \dfrac { 2 } { x ^ 3 + 2 } ) \end {align*}

مثال 4 مشتق cotx

مشتق عبارت زیر را محاسبه کنید.

y=tanx2cotx2 \large y = \tan \frac{x}{2} – \cot \frac{x}{2}

حل: در اولین گام، داریم:

y(x)=(tanx2cotx2)=(tanx2)(cotx2). \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { \tan \frac { x } { 2 } – \cot \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \tan \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } – { \left ( { \cot \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } . }

روابط زیر را می‌دانیم:

(tanx)=1cos2x,      (cotx)=1sin2x, \large { { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 }{ { { { \cos } ^ 2 } x } } , \; \; \; } \kern-0.3pt { { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } = – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } , }

با استفاده از مشتق cotx و قاعده زنجیره‌ای، می‌توانیم بنویسیم:

y(x)=1cos2x2(x2)(1sin2x2)(x2)=1cos2x212+1sin2x212=sin2x2+cos2x22cos2x2sin2x2. \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } - { \left ( { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } } \right ) \cdot { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { { { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { { { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } + { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 }} } { { 2 \, { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } . } \end {align*}

برای ساده کردن عبارت، از اتحادهای مثلثاتی sin2x+cos2x=1 {\sin^2}x + {\cos ^2}x = 1 و sinx=2sinx2cosx2 \sin x = 2\sin {\large\frac{x}{2}\normalsize} \cos {\large\frac{x}{2}\normalsize} استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

y(x)=12cos2x2sin2x2=214cos2x2sin2x2=2(2cosx2sinx2)2=2sin2x. \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } = { \frac { 1 } { { 2 { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { { 2 \cdot 1 } } { { 4 { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 }{ \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left ( { 2 \cos \frac { x } { 2 } \sin \frac { x } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 2 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } . } \end {align*}

مثال 5 مشتق cotx

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

y=sin2x1+cotx+cos2x1+tanx \large y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cot x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \tan x}}

حل: تابع را برحسب سینوس و کسینوس می‌نویسیم و ساده می‌کنیم:

y=sin2x1+cotx+cos2x1+tanx=sin2x1+cosxsinx+cos2x1+sinxcosx=sin2xsinx+cosxsinx+cos2xcosx+sinxcosx=sin3xsinx+cosx+cos3xsinx+cosx=sin3x+cos3xsinx+cosx. \large \begin {align*} y & = \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \cot x } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \tan x } } = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x} } { { 1 + \frac { { \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \frac { { \sin x } } { { \cos x } } } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } }{ { \frac { { \sin x + \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { \frac { { \cos x + \sin x } } { { \cos x } } } } } = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } + \frac { { { { \cos } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x + { { \cos } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } . } \end {align*}

اکنون برای ساده کردن مجدد کسر، از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) \large { { a ^ 3 } + { b ^ 3 } } = { \left ( { a + b } \right ) \left ( { { a ^ 2 } – a b + { b ^ 2 } } \right ) }

که منجر به عبارت زیر می‌شود:

y=sin2xsinxcosx+cos2x. \large y = {\sin ^2}x – \sin x\cos x + {\cos ^2}x.

و در نهایت، جواب مسئله با استفاده از قوانین مشتق cotx و  مشتق زنجیره‌ای و ضرب و با کمک جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه به دست می‌آید:

y=(sin2x)(sinxcosx)+(cos2x)=2sincosx(sinx)cosxsinx(cosx)+2cosx(sinx)=2sinxcosxcos2x+sin2x2sinxcosx=(cos2xsin2x)=cos2x. \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { { \sin } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime - { \left ( { \sin x \cos x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = { 2 \sin \cos x } - { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime \cos x } - { \sin x \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } + { 2 \cos x \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { \cancel { 2 \sin x \cos x } } - { { \cos ^ 2 } x } + { { \sin ^ 2 } x } - { \cancel { 2 \sin x \cos x } } \\ & = { – \left ( { { { \cos } ^ 2 } x – { { \sin } ^ 2 } x } \right ) } = { – \cos 2 x . } \end {align*}

مثال 6 مشتق cotx

مشتق تابع زیر را بیابید.

2cot(x2) \large 2 \sqrt { \cot ( x ^ 2 ) }

حل: مشتق این تابع به صورت زیر محاسبه می‌شود:

y=(2cot(x2))=2(cot(x2))=212cot(x2)(cot(x2))=1cot(x2)(csc2(x2)(x2))=1cot(x2)(csc2(x2))2x=2xcsc2(x2)cot(x2)=2xsin2(x2)cos(x2)sin(x2)=2xsin(x2)sin(x2)cos(x2)sin(x2)=2xsin(x2)sin2(x2)cos(x2)sin(x2)=2xsin(x2)cos(x2)sin(x2)=2xsin(x2)22cos(x2)sin(x2)=22xsin(x2)2cos(x2)sin(x2)=22xsin(x2)sin(2x2) \large \begin {align*} y' & = \left ( 2\sqrt { \cot ( x ^ 2 ) } \right )' = 2 \left ( \sqrt { \cot ( x ^ 2 ) } \right )' = 2 \frac { 1 } { 2 \sqrt { \cot ( x ^ 2 ) } } \cdot \left (\cot (x^2)\right)' \\ & = \frac { 1 } { \sqrt { \cot ( x ^ 2 ) } } \cdot \left ( - \csc ^ 2 (x^2) \cdot (x^2)'\right) = \frac { 1 } { \sqrt { \cot ( x ^ 2 ) } } \cdot \left ( -csc ^2 (x^2)\right ) \cdot 2 x \\ & = \frac {-2x\csc ^ 2 (x^ 2) }{\sqrt { \cot ( x ^ 2 ) } } = \frac {-2x } { \sin ^ 2 ( x ^ 2 ) \cdot \sqrt \frac {\cos (x^2)}{ \sin ( x ^ 2 ) } } = \frac {-2x } { \sin ( x ^ 2 ) \cdot \sin ( x ^ 2 ) \sqrt \frac {\cos (x^2)}{\sin (x^ 2)}} \\ & = \frac {-2x } { \sin ( x ^ 2 ) \cdot \sqrt { \sin ^ 2 ( x ^ 2 ) \frac {\cos (x^2)}{\sin (x^ 2 ) } } } = \frac {-2x } { \sin ( x ^ 2 ) \cdot \sqrt { {\cos (x^2)}{\sin (x^ 2)}}} \\ &= \frac {-2x } { \sin ( x ^ 2 ) \cdot \sqrt {\frac 2 2 {\cos ( x ^ 2 ) } { \sin ( x ^ 2 ) } } } = \frac { - 2 \sqrt 2 x } { \sin ( x ^ 2 ) \cdot \sqrt { 2 { \cos ( x ^ 2 ) } { \sin ( x ^ 2 ) } } } \\ & = \frac { - 2 \sqrt 2 x } { \sin ( x ^ 2 ) \cdot \sqrt { {\sin ( 2x ^ 2 ) } { } } } \end {align*}

مثال 7 مشتق cotx 

مشتق ضمنی 3cot(x+y)=cosy2 3 \cot ( x + y ) = \cos y ^ 2 را محاسبه کنید.

حل: از تغییر متغیر u=x+y u = x + y استفاده می‌کنیم. مشتق 3cotu 3 \cot u برابر خواهد بود با:‌

3(csc2u)(dudx) \large { 3 } { \left ( - { { \csc } ^ { 2 } { u } } \right ) }{ \left ( \frac { { { d } { u } } } { { { \left . { d }{ x } \right . } } } \right ) }

مقدار u u و dudx \frac { d u } { d { x }} را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

3csc2(x+y)(1+dydx) \large - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } } { \left ( { 1 } + \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } }{ { { \left . { d } { x } \right . } } } \right ) }

در سمت راست از تغییر متغیر u=y2 u = y ^ 2 استفاده می‌کنیم. مشتق cosu \cos u برابر است با:

(sinu)(dudx) \large { \left ( - \sin { { u } } \right ) } { \left ( \frac { { { d } { u } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } \right ) }

با جایگذاری مقدار uu و محاسبه dudx \frac { d u } { d x } ، خواهیم داشت:

(siny2)(2ydydx) \large { \left ( - \sin { { y } } ^ { 2 } \right ) } { \left ( { 2 }{ y } \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } \right ) }

دو طرف را برابر قرار می‌دهیم:

3csc2(x+y)(1+dydx)=(siny2)(2ydydx) \large - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } } { \left ( { 1 } + \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } \right ) } = { \left ( - \sin { { y } } ^ { 2 } \right ) } { \left ( { 2 } { y } \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } \right ) }

با بسط جملات، می‌توان نوشت:

3csc2(x+y)3csc2(x+y)dydx=2ysiny2(dy)dx \large - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } } - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } +{ y } \right ) } } \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d }{ x } \right . } } } = - { 2 } { y } \frac { { \sin { { y } } ^ { 2 } { \left ( { \left . { d } { y } \right . } \right ) } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } }

با اضافه کردن 2ysiny2(dy)dx { 2 } { y } \frac { { \sin { { y } } ^ { 2 } { \left ( { \left .{ d } { y } \right . } \right ) } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } به دو طرف رابطه بالا، داریم:

3csc2(x+y)3csc2(x+y)dydx+2ysiny2(dy)dx=0 \large - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } } - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } +{ y } \right ) } } \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d }{ x } \right . } } } + { 2 } { y } \frac { { \sin { { y } } ^ { 2 } { \left ( { \left . { d } { y } \right . } \right ) } } } { { { \left .{ d } { x } \right . } } }= { 0 }

اکنون 3csc2(x+y) { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } } را به طرفین رابطه اخیر اضافه می‌کنیم و خواهیم داشت:

3csc2(x+y)dydx+2ysiny2(dy)dx=3csc2(x+y) \large - { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } +{ y } \right ) } } \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } + { 2 } { y } \frac { { \sin { { y } } ^ { 2 } { \left ( { \left . { d } { y } \right . } \right ) } } } { { { \left . { d } { x } \right . } } } = { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } }

از dy/dx dy / dx فاکتور می‌گیریم:

[2ysiny23csc2(x+y)]dydx=3csc2(x+y) \large { \left [ { 2 } { y } { \sin { { y } } ^ { 2 } - } { 3 }{ { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } } \right ] } \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left . { d }{ x } \right . } } } = { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } }

و در نهایت، جواب به صورت زیر است:

dydx=3csc2(x+y)2ysiny2 3csc2(x+y) \large \frac { { { \left . { d } { y } \right . } } } { { { \left .{ d } { x } \right . } } } = \frac { { { 3 } { { \csc } ^ { 2 }{ \left ( { x } + { y } \right ) } } } } { { { 2 } { y } { \sin { { y } } ^ { 2 } } } } - \ { 3 } { { \csc } ^ { 2 } { \left ( { x } + { y } \right ) } }

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *