مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها – از صفر تا صد

قبلاً در مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس با توابع هذلولوی یا هیپربولیک آشنا شدیم و مشتق این توابع را به‌طور بسیار خلاصه بررسی کردیم. در این آموزش، مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها را با تفصیل بیشتری بیان خواهیم کرد.

از آن‌جایی که توابع هذلولوی براساس توابع نمایی $$e^x$$ و $$e^{-x}$$ تعریف می‌شوند، محاسبه مشتق آن‌ها به‌سادگی قابل انجام است. برای مثال، قبلاً دیدیم که توابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

$${\sinh x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2},\;\;\;}\kern-0.3pt{\cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}.}$$

مشتق این توابع نیز به‌صورت زیر است:

$${{\left( {\sinh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2} = \cosh x,\;\;\;}\kern-0.3pt {{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = \sinh x.}$$

مشتق تانژانت هیپربولیک را نیز می‌توان با استفاده از تعریف به‌صورت زیر محاسبه کرد:

$${{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }\cosh x – \sinh x{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{\cosh x \cdot \cosh x – \sinh x \cdot \sinh x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{{{\cosh }^2}x – {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}}.}$$

همان‌طور که می‌دانیم، رابطه دو تابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک به‌‌صورت زیر است:‌

$${\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x = 1$$

بنابراین، مشتق تانژانت هیپربولیک را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$${{\left( {\tanh x} \right)^\prime } }={ \frac{{{{\cosh }^2}x – {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} } = {{\text{sech}^2}x.}$$

به طریق مشابه، سایر توابع هذلولوی اصلی را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$${{\left( {\coth x} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }\sinh x – \cosh x{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }}}{{{{\sinh }^2}x}} } = { – \frac{{{{\cosh }^2}x – {{\sinh }^2}x}}{{{{\sinh }^2}x}} } = { – \frac{1}{{{{\sinh }^2}x}} } = { – {\text{csch}^2}x,}$$

$${{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot \sinh x } = { – \frac{1}{{\cosh x}} \cdot \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} } = { – \text{sech}\,x\tanh x,}$$

$${{\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{1}{{\sinh x}}} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot \cosh x } = { – \frac{1}{{\sinh x}} \cdot \frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} } = { – \text{csch}\,x\coth x\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \ne 0} \right).}$$

همان‌طور که می‌بینیم، مشتق توابع هذلولوی، بسیار شبیه مشتق توابع مثلثاتی است. البته باید به تفاوت علامت‌ها دقت کنید؛ مشتق تابع کسینوس به صورت زیر است:

$${\left( {\cos x} \right)^\prime } = – \sin x$$

اما برای کسینوس هیپربولیک، علامت منفی وجود ندارد:

$${\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x.$$

برای تابع سکانت و سکانت هیپربولیک شرایط دقیقاً برعکس است:

$${{{\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x\tan x,\;\;\;}}\kern-0.3pt {{{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } }={ – \text{sech}\,x\tanh x.}}$$

مشتق معکوس توابع هذلولوی

اکنون، مشتق معکوس ۶ تابع هذلولوی را بررسی می‌کنیم. این مشتق‌ها را می‌توان با استفاده از قضیه تابع معکوس به‌دست آورد.

برای مثال، تابع معکوس سینوس هیپربولیک $$y = f\left( x \right)=\mathrm{arcsinh} \, x$$ را در نظر بگیرید. تابع سینوس هیپربولیک نیز به‌صورت $$x = \varphi \left( y \right)=\mathrm{arcsinh} \, y$$ است. این دو تابع، معکوس یک‌دیگر هستند. بنابراین، مشتق تابع معکوس سینوس هیپربولیک را می‌توانیم به‌صورت زیر محاسبه کنیم:

$${{\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sinh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\cosh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}y} }} }\\ = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.}$$

به طریق مشابه، می‌توانیم مشتق معکوس سه تابع کسینوس هیپربولیک، تانژانت هیپربولیک و کتانژانت هیپربولیک را به‌صورت زیر محاسبه کنیم:

$${{\left( {\text{arccosh}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\cosh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\sinh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}y – 1} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}\left( {\text{arccosh}\,x} \right) – 1} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}\;\;\left( {x \gt 1} \right),}$$

$${{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\tanh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}}} } = {{\cosh ^2}y.}$$

اگر از اتحاد $${\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1$$ استفاده کنیم، داریم:

$${1 – {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}\;\;}\kern-0.3pt {\text{or}\;\;{\cosh ^2}y = \frac{1}{{1 – {{\tanh }^2}y}}.}$$

بنابراین،

$${{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } }={ {\cosh ^2}y }={ \frac{1}{{1 – {{\tanh }^2}y}} } = {\frac{1}{{1 – {{\tanh }^2}\left( {\text{arctanh}\,x} \right)}} } = {\frac{1}{{1 – {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right| \lt 1} \right).}$$

به طریق مشابه، مشتق تابع $$y = f\left( x \right) = \text{arccoth}\,x$$، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$${{\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\coth y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\left( { – \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}}} \right)}} } = { – {\sinh ^2}y.}$$

با توجه به رابطه زیر:

$${{\coth ^2}y – 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}},\;\;}\Rightarrow {{\sinh ^2}y = \frac{1}{{{{\coth }^2}y – 1}},}$$

مشتق مورد نظر به‌دست می‌آید:

$${\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } ={ – {\sinh ^2}y } = { – \frac{1}{{{{\coth }^2}y – 1}} } = { – \frac{1}{{{{\coth }^2}\left( {\text{arccoth}\,x} \right) – 1}} } = { – \frac{1}{{{x^2} – 1}} } = {\frac{1}{{1 – {x^2}}}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {\left| x \right| \gt 1} \right).}$$

همان‌طور که می‌بینیم، مشتق توابع $$\text{arctanh}\,x$$ و $$\text{arccoth}\,x$$ مشابه است، اما برای بازه های متفاوتی از $$x$$ تعریف شده‌اند.

قید دامنه معکوس توابع تانژانت هیپربولیک و کتانژانت هیپربولیک، به‌ترتیب، مشابه برد توابع $$y = \tanh x$$ و $$y = \coth x,$$ است.

معکوس توابع سکانت هیپربولیک و کسکانت هیپربولیک را نیز می‌توانیم مطابق روند بالا به‌دست آوریم. برای مثال‌:

$${{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\text{sech}\,y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\text{sech}\,y\tanh y}}.}$$

عبارت $$\tanh y$$ را می‌توان برای $$y>0$$ بر حسب $$\text{sech}\,y$$ نوشت:

$${{\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1,\;\;}\Rightarrow {1 – {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}} = {\text{sech}^2}y,\;\;}\Rightarrow {{\tanh ^2}y = 1 – {\text{sech}^2}y,\;\;}\Rightarrow {\tanh y = \sqrt {1 – {{\text{sech}}^2}y}.}$$

و نتیجه به‌صورت زیر خواهد بود:

$${{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } }={ – \frac{1}{{\text{sech}\,y \tanh y}} } = { – \frac{1}{{x\sqrt {1 – {x^2}} }},\;\;}\kern-0.3pt{x \in \left( {0,1} \right).}$$

به طریق مشابه، می‌توانیم معکوس تابع کسکانت هیپربولیک را به‌دست آوریم. فرض کنید $$y = f\left( x \right)=\mathrm{arccsch}\, x$$ و $$x = \varphi \left( y \right)=\mathrm{csch} \, y$$. ابتدا شاخه $$x>0$$ را در نظر می‌گیریم. در این حالت، $$y>0$$ است. مشتق معکوس کسکانت هیپربولیک به‌صورت زیر خواهد بود:

$${{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\text{csch}\,y} \right)}^\prime }}} } = { – \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}}.}$$

از اتحادهای زیر استفاده می‌کنیم:

$${{\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1,\;\;}\Rightarrow {{\coth ^2}y – 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}} = {\text{csch}^2}y,\;\;}\Rightarrow {{\coth ^2}y = 1 + {\text{csch}^2}y,\;\;}\Rightarrow {\coth y = \pm \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y}.}$$

با فرض $$y>0$$، ریشه دارای علامت $$+$$ را انتخاب می‌کنیم. در نتیجه داریم:

$${{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } }={ – \frac{1}{{\text{csch}\,y \coth y}} } = { – \frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \gt 0} \right).}$$

اکنون معکوس را در $$x<0$$‌ در نظر می‌گیریم. با در نظر گرفتن این شرایط، برای تابع کسکانت هیپربولیک داریم $$y<0$$. در این حالت می‌توانیم از اتحاد زیر کمک بگیریم:

$${\coth y = – \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y} \;\;}\kern-0.3pt{\left( {y \lt 0} \right).}$$

در نتیجه، مشتق معکوس کسکانت هیپربولیک برای $$x<0$$ به‌شکل زیر قابل محاسبه است:

$${{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } }={ – \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}} } = {\frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \lt 0} \right).}$$

حال اگر روابط مربوط به دو شاخه را با هم ترکیب کنیم، می‌توانیم مشتق معکوس کسکانت هیپربولیک را به‌فرم فشرده زیر بنویسیم:

$${\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = { – \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \ne 0} \right).}$$

برای محاسبه مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها، می‌توان از جدول زیر کمک گرفت.

در پایان این مبحث، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

مشتق تابع $$y = \coth \frac{1}{x}$$ را محاسبه کنید.

حل:

$${y’\left( x \right) }={ {\left( {\coth \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = { – {\text{csch}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = { – {\text{csch}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {\frac{{{{\text{csch}}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right)}}{{{x^2}}}.}$$

مثال ۲

مشتق تابع $${y = \ln \left( {\sinh x} \right),\;\;}\kern-0.3pt{x \gt 0.}$$ را به‌دست آورید.

حل:

$${y’\left( x \right) }={ {\left[ {\ln \left( {\sinh x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\sinh x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} = \tanh x.}$$

مثال ۳

مشتق تابع $$y = x\sinh x – \cosh x$$ را محاسبه کنید.

حل:

$$\require{cancel}<br /> {y’\left( x \right) }={ {\left( {x\sinh x – \cosh x} \right)^\prime } }<br /> = {{\left( {x\sinh x} \right)^\prime } – {\left( {\cosh x} \right)^\prime } }<br /> = {x’\sinh x + x{\left( {\sinh x} \right)^\prime } }-{ {\left( {\cosh x} \right)^\prime } }\\<br /> = {1 \cdot \sinh x + x \cdot \cosh x }-{ \sinh x }<br /> = {\cancel{\sinh x} + x\cosh x – \cancel{\sinh x} }={ x\cosh x.}$$

مثال ۴

مشتق تابع $$y = \text{arctanh}\left( {\cos x} \right)$$ را به‌دست آورید.

حل: 

$${y’\left( x \right) }={ {\left[ {\text{arctanh}\left( {\cos x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 – {{\cos }^2}x}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cdot \left( { -\sin x} \right) } = { – \frac{{\cancel{\sin x}}}{{{{\sin }^{\cancel{2}}}x}} } = { – \frac{1}{{\sin x}} } = { – \csc x.}$$

دقت کنید باید دامنه این تابع را مشخص کنیم که به‌‌صورت زیر است:

$$x \ne {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} + \pi n,\, n \in \mathbb{Z}.$$

اگر به موضوعات مرتبط با این مطلب علاقه‌مندید، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را نیز ببینید:

• روش‌های مشتق‌گیری — به همراه مثال
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط مشتق
• مشتق توابع معکوس مثلثاتی — به زبان ساده

^^