قضیه استوارت – به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با قضایایی در هندسه، از قبیل قضیه پاسکال، قضیه سوا و قضیه منلائوس آشنا شدیم. در این آموزش، «قضیه استوارت» (Stewart's Theorem) را معرفی خواهیم کرد.

در هندسه، قضیه استوارت رابطه‌ای بین طول اضلاع و طول سویان یا چویان (Cevian) یک مثلث را بیان می‌کند (سویان خطی است که از یک رأس مثلث و همچنین ضلع مقابل آن عبور می‌کند). قضیه استوارت را می‌توان با کمک قانون کسینوس‌ها و همچنین با استفاده از قضیه معروف فیثاغورس اثبات كرد. قضیه استوارت به افتخار ریاضیدان اسکاتلندی، «متیو استوارت» (Matthew Stewart)، نامگذاری شده که در سال ۱۷۴۶ آن را منتشر کرد.

قضیه استوارت

شکل زیر را در نظر بگیرید. در $$\triangle ABC$$، نقطه $$D$$ نقطه‌ای روی ضلع $$B C$$ است و $$A B = c$$، $$AC = b$$، $$B D = u$$ و $$A D = t$$.

قضیه استوارت بیان می‌کند که در این مثلث، معادله زیر برقرار است:

$$\large t ^ 2 = \frac { b ^ 2 u + c ^ 2 v } { u + v } - u v .$$

اثبات قضیه استوارت با قضیه کسینوس‌ها

طبق قضیه کسینوس‌ها، داریم:

$$\large \begin {aligned} b ^ 2 & = v ^ 2 + t ^ 2 - 2 v t \cos \theta & \qquad ( 1 ) \\ c ^ 2 & = u ^ 2 + t ^ 2 + 2 u t \cos \theta . & \qquad ( 2 ) \end {aligned}$$

اکنون $$u$$ را در $$(1)$$ و $$v$$ را در $$(2)$$ ضرب می‌کنیم تا $$\cos \theta$$ حذف شود:

$$\large \begin {aligned} b ^ 2 u & = u v ^ 2 + u t ^ 2 - 2 u v t \cos \theta & \qquad ( 3 ) \\ c ^ 2 v & = u ^ 2v + v t ^ 2 + 2 u v t \cos \theta . & \qquad ( 4 ) \end {aligned}$$

با انجام $$(3)+(4)$$، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} b ^ 2 u + c ^ 2 v & = u v ( u + v ) + t ^ 2 ( u + v ) \\ \Rightarrow t ^ 2 & = \frac { b ^ 2 u + c ^ 2 v } { u + v } - u v . \ _ \square \end {aligned}$$

 قضیه استوارت را گاهی به صورت $$b ^ 2 u + c ^ 2 v = (u + v) ( u v + t ^ 2 )$$ نیز می‌نویسند.

اثبات قضیه استوارت با قضیه فیثاغورس

فرض کنید همان‌گونه که در شکل بالا نشان داده شده، $$\angle B$$ و $$\angle C$$ هر دو حاده باشند و $$u < v$$. بنابراین، داریم:

$$\large \begin {aligned} t ^ 2 & = h ^ 2 + x ^ 2 \\ b ^ 2 & = h ^ 2 + ( v - x ) ^ 2 \Rightarrow b ^ 2 u = h ^ 2 u + u v^ 2 - 2 u v x + u x ^ 2 \\ c ^ 2 & = h ^ 2 + ( u + x ) ^ 2 \Rightarrow c ^ 2 v = h ^ 2 v + u ^ 2 v + 2 u v x + v x ^ 2 , \end {aligned}$$

که نتیجه می‌دهد:

$$\large \begin {aligned} b ^ 2 u + c ^ 2 v & = h ^ 2 u + h ^ 2 v + u v ^ 2 + u ^ 2 v - 2 u v x + 2 u v x + u x ^ 2 + v x ^ 2 \\ & = ( u + v ) ( h ^ 2 + u v + x ^ 2 ) \\ & = ( u + v ) ( t ^ 2 + u v ) \\ & = a \cdot ( t ^ 2 + u v ) . \ _ \square \end {aligned}$$

حالت خاص قضیه استوارت

در حالتی که $$\Delta A B C$$ متساوی‌الساقین است (شکل زیر)، قضیه استوارت به صورت ساده زیر در می‌آید:

$$\large \begin {aligned} a \cdot ( t ^ 2 + u v ) & = b ^ 2 u + c ^ 2 v \\ & = b ^ 2 u + b ^ 2 v \\ & = b ^ 2 ( u + v ) \\ & = a b ^ 2 \\ \Rightarrow b ^ 2 & = t ^ 2 + u v . \end {aligned}$$

این قضیه در محاسبه طول سویان‌های استاندارد مانند میانه، نیمساز زاویه و... بسیار مفید است.

مثال اول قضیه استوارت

برای مثلث $$ABC$$ اطلاعات $$\angle B = 90 ^ \circ$$، $$BE = 3$$ و $$BD= 4$$ را داریم. اگر $$AE=ED=DC$$ باشد، آنگاه اندازه $$AC$$ را می‌توان به صورت $$a\sqrt { b }$$ نوشت، که در آن، $$a$$ و $$b$$ اعداد صحیح مثبتی هستند. مقدار $$a + b$$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از دو معادله زیر می‌توانیم $$AB$$ و $$BC$$ را به دست آوریم:

$$\large { \left ( \frac { 2 } { 3 } A B \right ) } ^ { 2 }+{ \left ( \frac { 1 } { 3 } B C \right ) } ^ { 2 } = { 3 } ^ { 2 }\\ { \left ( \frac { 1 } { 3 } A B \right ) } ^ { 2 } + { \left ( \frac { 2 } { 3 } BC \right ) } ^ { 2 } = { 4 } ^ { 2 }$$

بنابراین، $$AB=2\sqrt { 3 }$$ و $$BC=\sqrt { 33 }$$ به دست می‌آید که منجر به $$AC=3\sqrt { 5 }$$ خواهد شد. در نتیجه، $$a+b=3+\sqrt 5$$ است.

مثال دوم قضیه استوارت

مثلث $$ABC$$ دارای مرکزوار (مرکز تلاقی سه میانه) $$G$$ و اضلاع $$AB=15$$، $$BC=18$$ و $$AC=25$$ است. $$D$$ نیز نقطه میانی $$BC$$ است.

طول $$GD$$ را می‌توان به صورت $$\frac{a\sqrt d}{b}$$ نوشت، که در آن، $$a$$ و $$b$$ اعداد صحیح متباین (نسبت به هم اول) هستند و $$d$$ یک عدد صحیح مثبت است که جذر آن عدد صحیحی نیست. مقدار $$a+b+d+1$$ را محاسبه کنید.

حل: مقدار $$AD$$ را با استفاده از فرمول میانه‌ها که از قضیه استوارت نتیجه شده به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} A D & = \dfrac { \sqrt { 2 ( A B ^ 2 + A C^ 2 ) - B C ^ 2 } } { 2 } \\ A D & = \dfrac { \sqrt { 2 ( 1 5 ^ 2 + 2 5 ^ 2 ) - 1 8 ^ 2 }} { 2 } \\ A D & = \dfrac { \sqrt { 1 3 76 } } { 2 } = 2 \sqrt { 8 6 } \end {align*}$$

اکنون، از آنجا که میانه‌ها خودشان را در مرکزوار با نسبت ۲:۱ از رأس به نقطه میانی قطع می‌کنند، خواهیم داشت:

$$\large G D = \dfrac { A D } { 3 } = \dfrac { 2 \sqrt { 8 6 } }{ 3 }$$

بنابراین، $$a=2$$، $$b = 3$$ و $$d = 86$$ است. در نتیجه، مقدار $$a +b +d+1= 92$$ به دست خواهد آمد.