«قضیه منلائوس» (Menelaus’ Theorem) درباره نسبت‌های به دست آمده از خط قطع کننده اضلاع یک مثلث است. عکس این قضیه (یعنی سه نقطه روی یک مثلث هم‌خط هستند اگر و تنها اگر در یک معیار مشخص صدق کنند) نیز صحیح است و در اثبات هم‌خط بودن سه نقطه کاربرد دارد.
«قضیه سوا» (Ceva’s Theorem) اساساً همتای این قضیه است و می‌توان از آن برای اثبات همرس بودن سه خط در یک نقطه استفاده کرد. دو قضیه ساختار مشابهی داشته و کاربرد فراوانی در طیف گسترده‌‌ای از انواع مسائل هندسه دارند.
قضیه منلائوس
قضیه منلائوس: قضیه منلائوس بیان می‌کند که اگر خطی مثلث $$ \triangle ABC $$ یا امتداد اضلاع آن را قطع کند، در نقاط $$ D $$، $$ E $$ و $$ F $$، رابطه زیر برای آن صادق است:
$$ \large \frac { A D } { D B } \times \frac { B E }{ E C } \times \frac { C F } { F A } = 1 . $$
عکس قضیه منلائوس: فرض کنید سه نقطه $$ D $$، $$ E $$ و $$ F $$ به ترتیب روی اضلاع (یا امتداد) $$ A B $$، $$ BC $$ و $$ AC $$ باشند، به گونه‌ای که یک یا سه تا از آن‌ها در امتداد اضلاع قرار گیرند. در نتیجه، نقاط $$ D $$، $$ E $$ و $$ F $$ هم‌خط هستند اگر و تنها اگر
$$ \large \frac { A D } { D B } \times \frac { B E }{ E C } \times \frac { C F } { F A } = 1 . $$
عکس قضیه در اثبات هم‌خط بودن نقاط بسیار کارآمد است.
اثبات: خطوط $$ AA’$$، $$ BB’$$ و $$ CC’$$ را رسم می‌کنیم که عمود بر خط زرد هستند.
حال از آنجا که $$ \triangle A A’ D \sim \triangle B B’ D $$، داریم:
$$ \large \frac { A D } { D B } = \frac { A A’ } { B B’ } . $$
با توجه به $$ \triangle A A’ F \sim \triangle C C’ F $$، می‌توان نوشت:
$$ \large \frac { C F } { F A } = \frac { C C’ } { A A’ } . $$
بنابراین:
$$ \large \frac { A D } { D B } \times \frac { B E }{ E C } \times \frac { C F } { F A } = \frac { A A’ } { B B’ } \times \frac { B B’ }{ C C’ } \times \frac { C C’ } { A A’ } = 1 .\ _ \square $$
نکات زیر قابل توجه است:
- حتی اگر خط زرد با مثلث تقاطع نداشته باشد، این تساوی برقرار است (این یعنی خط زرد امتداد اضلاع مثلث را قطع می‌کند).
- اگر خط زرد یکی از رئوس مثلث را قطع کند، آنگاه یک $$ 0 $$ در مخرج معادله ظاهر می‌شود که تعریف نشده است. برای حل این مشکل، می‌توان قضیه منلائوس را به صورت $$ A D \times B E \times C F = D B \times E C \times F A . $$ بازنویسی کرد.
مثالی از قضیه منلائوس
از رأس $$ C $$ زاویه قائمه مثلث $$ \triangle A B C $$، ارتفاع $$ CK $$ و همچنین نیمساز $$ C E $$ مثلث $$ \triangle ACK $$ رسم شده‌اند. خط گذرنده از نقطه $$ B $$ موازی $$ C E $$ با $$ C K $$ در نقطه $$ F $$ برخورد می‌کند. ثابت کنید خط $$ E F $$ پاره خط $$ A C $$ را به دو نیم تقسیم می‌کند.
حل: از آنجا که $$ \angle B C E = 9 0 ° – \frac { \angle B } { 2 } $$، داریم: $$ \angle B C E = \angle B E C $$ و در نتیجه، $$ B E = B C $$. بنابراین:
$$ \large C F : K F = B E : B K = B C : B K , \quad A E : K E = C A : C K = B C : B K . $$
فرض کنید $$ E F $$ خط $$ A C $$ را در نقطه $$ D $$ قطع کند. طبق قضیه منلائوس، $$ \frac { A D } { C D } \cdot \frac { C F } { K F } \cdot \frac { K E } { A E } = 1 $$. با توجه به این واقعیت که $$ C F : K F = A E : K E $$، به اثبات مورد نظر می‌رسیم.
کاربرد قضیه منلائوس
از عکس قضیه منلائوس برای اثبات قضیه لاپلاس استفاده می‌کنیم. مجدداً عکس قضیه منلائوس را بیان می‌کنیم.
معکوس قضیه منلائوس: فرض کنید سه نقطه $$ D $$، $$ E $$ و $$ F $$ روی اضلاع (یا امتداد اضلاع) به ترتیب $$ A B $$، $$ BC $$ و $$ A C $$ قرار دارند به گونه‌ای که یک یا سه تا از آن‌ها در امتدار اضلاع باشد. آنگاه نقاط $$ D $$، $$ E $$ و $$ F $$ هم‌خط هستند اگر و تنها اگر
$$ \large \frac { A D } { D B } \times \frac { B E } { E C } \times \frac { C F } { F A } = 1 . $$
از این رابطه می‌توان برای اثبات قضیه پاسکال استفاده کرد، که بیان می‌کند:
قضیه لاپلاس: شش نقطه روی یک دایره محیطی به نام‌های $$ A $$، $$ C $$، $$ E $$، $$ B $$، $$ F $$ و $$ D $$ داریم (که می‌توانند منطق بر هم نیز باشند) و تقاطع‌های $$ A B $$ و $$ D E $$، $$ A F $$ و $$ C D $$، و $$ B C $$ و $$ E F $$ هم‌خط هستند.
اثبات: فرض کنید $$ G $$ تقاطع $$ \overline{CD} $$ و $$ \overline {FA}$$ بوده و $$ H $$ تقاطع $$ \overline {AB} $$ و $$ \overline{DE}$$ و همچنین، $$I$$ تقاطع $$ \overline { BC} $$ و $$ \overline {EF} $$ باشند. اثبات خواهیم کرد که این سه نقطه هم‌خط هستند (روی یک خط قرار دارند).
فرض کنید $$ U $$ تقاطع $$ \overline { CD} $$ و $$ \overline { EF} $$ بوده و $$ V $$ تقاطع $$ \overline { AB} $$ و $$ \overline { EF} $$ و همچنین، $$ W $$ تقاطع $$ \overline { AB} $$ و $$ \overline { CD} $$ باشد. طبق قضیه منلائوس در مثلث $$ \triangle U V W $$ و خط $$ HDE $$، داریم:
$$ \large \dfrac { V H } { W H } \cdot \dfrac { W D } { U D } \cdot \dfrac { U E } { V E } = 1 . $$
همچنین، طبق قضیه منلائوس در مثلث $$ \triangle U V W $$ و خط $$ AGF $$، می‌توان نوشت:
$$ \large \dfrac { V A } { W A } \cdot \dfrac { W G } { U G } \cdot \dfrac { U F } { V F } = 1 . $$
بار دیگر، طبق قضیه منلائوس در مثلث $$ \triangle U V W $$ و خط $$ BCI $$، خواهیم داشت:
$$ \large \dfrac { V B } { W B } \cdot \dfrac { W C } { U C } \cdot \dfrac { U I } { V I } = 1 . $$
با ضرب این سه تساوی در یکدیگر، داریم:
$$ \large \dfrac { V H } { W H } \cdot \dfrac { W D } { U D } \cdot \dfrac { U E } { V E } \cdot \dfrac { V A } { W A } \cdot \dfrac { W G } { U G } \cdot \dfrac { U F } { V F } \cdot \dfrac { V B } { W B } \cdot \dfrac { W C } { U C } \cdot \dfrac { U I } { V I } = 1 . $$
با بازآرایی عبارت بالا، می‌توان نوشت:
$$ \large \dfrac { W D } { U D } \cdot \dfrac { U E } { V E } \cdot \dfrac { V A } { W A } \cdot \dfrac { U F } { V F } \cdot \dfrac { V B } { W B } \cdot \dfrac { W C } { U C } \cdot \dfrac { V H } { W H } \cdot \dfrac { W G } { U G } \cdot \dfrac { U I } { V I } = 1 . $$
طبق «قوت یک نقطه» (Power of a Point)، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {aligned} \dfrac { W D } { U D } \cdot \dfrac { U E } { V E } \cdot \dfrac { V A } { W A } \cdot \dfrac { U F } { V F } \cdot \dfrac { V B } { W B } \cdot \dfrac { W C } { U C } & = \dfrac { W D \times W C } { W A \times W B } \cdot \dfrac { V A \times V B } { V E \times V F } \cdot \dfrac { U E \times U F } { U C \times U D } \\\\ & = 1 . \end {aligned} $$
بنابراین، ضرب‌های بالا به شکل زیر ساده می‌شود:
$$ \large \dfrac { V H } { W H } \cdot \dfrac { W G } { U G } \cdot \dfrac { U I } { V I } = 1 $$
در نهایت، طبق قضیه منلائوس، $$ G $$، $$ H $$ و $$ I $$ هم‌خط هستند.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات
- آموزش هندسه فینسلر (Finsler Geometry)
- مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی
- ضرب ذهنی و سریع — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- آموزش چرتکه — به زبان ساده
- فاصله نقطه از خط — به زبان ساده
