قضیه سوا – به زبان ساده

«قضیه سوا» (Ceva's Theorem) قضیه‌ای مربوط به مثلث‌ها در هندسه اقلیدسی است. این قضیه درباره نسبت اندازه اضلاع یک مثلث تقسیم بر سویان یا چویان (Cevian) است. سویان خطی است که از یک رأس مثلث و همچنین ضلع مقابل آن عبور می‌کند. قضیه منلائوس ساختار بسیار مشابهی با این قضیه دارد. هر دو قضیه در المپیادهای هندسه مورد استفاده قرار می‌گیرند. قضیه سوا در اثبات همرسی سویان‌ها در مثلث کاربرد دارد.

قضیه سوا

مثلث $$\triangle ABC$$ را با نقطه $$P$$ درون آن در نظر بگیرید.

امتداد خطوط $$AP$$، $$B P$$ و $$CP$$ را برای برخورد با $$BC$$، $$CA$$ و $$AB$$ در $$D$$، $$E$$ و $$F$$ رسم می‌کنیم.

قضیه سوا بیان می‌کند:

$$\large \dfrac { A F } { F B } \cdot \dfrac { B D } { D C } \cdot \dfrac { C E } { E A } = 1 .$$

عکس قضیه سوا نیز صحیح است. اگر $$D$$، $$E$$ و $$F$$ روی اضلاع $$B C$$، $$C A$$ و $$AB$$ باشند به گونه‌ای که $$\frac { A F } { F B } \cdot \frac { B D } { D C } \cdot \frac { C E } { E A } = 1$$، آنگاه $$A D$$، $$BE$$ و $$CF$$ در نقطه $$P$$ متقاطع یا همرس هستند.

اثبات قضیه سوا

اثبات‌های مختلفی برای قضیه سوا وجود دارد. در این آموزش، با استفاده از مساحت مثلث آن را اثبات می‌کنیم. مجدداً شکل بالا را در نظر بگیرید. در این شکل، داریم:

$$\large \dfrac { A F } { F B } = \dfrac { [ A F P ] }{ [ F B P ] } = \dfrac { [ A F C ] } { [ F B C ] }$$

از آنجا که $$\triangle AFP$$ و $$\triangle FBP$$ ارتفاع یکسانی دارند (همچنین برای دو مثلث دیگر).

با کم کردن مساحت‌های مثلث در تساوی دوم و تساوی اول، خواهیم داشت:

$$\large \dfrac { A F } { F B } = \dfrac { [ A P C ] } { [ B P C ] } .$$

به طور مشابه، داریم:

$$\large \dfrac { B D } { D C } = \dfrac { [ A P B ] }{ [ A P C ] } , \qquad \dfrac { C E } { E A } = \dfrac { [ B P C ] } { [ A P B ] } .$$

با ضرب سه معادله قبلی در یکدیگر، به رابطه مورد نظر خواهیم رسید:

$$\large \dfrac { A F } { F B } \cdot \dfrac { B D } { D C } \cdot \dfrac { C E } { E A } =\dfrac { [ A P C ] } { [ B P C ] } \cdot \dfrac { [ A P B ] } { [A P C ] } \cdot \dfrac { [ B P C ] }{ [ A P B ] } = 1 . \ _\square$$

مثال اول قضیه سوا

ثابت کنید اگر $$X$$، $$Y$$ و $$Z$$ نقاط میانی اضلاع باشند، سه سویان همرس هستند.

حل: در این حالت، $$D$$، $$E$$ و $$F$$ نقاط میانی اضلاع مربوطه هستند. بنابراین، $$AE = EC$$، $$CD = DB$$ و $$BF = FA$$ است، در نتیجه، قضیه سوا وجود تقاطع را نشان می‌دهد که همان مرکز است.

مثال دوم قضیه سوا

ثابت کنید سویان‌های عمود بر اضلاع مقابل، همرس هستند.

حل: فرض کنید $$D$$، $$E$$ و $$F$$ نقطه برخود ارتفاع‌ها با ضلع مقابل باشند. تشابه $$\triangle B F C \sim \triangle B D A$$ و به طور مشابه، $$\triangle AEB \sim \triangle AFC$$ و $$\triangle CDA \sim \triangle CEB$$ را خواهیم داشت. بنابراین:

$$\large \frac { B F } { B D } = \frac { B C } { B A } , \frac { A E } { A F } = \frac { A B } { A C } , \frac { C D } { C E } = \frac { C A } { B C } .$$

با ضرب این سه معادله در یکدیگر، می‌توان نوشت:

$$\large \frac { B F } { B D } \cdot \frac{ A E } { A F } \cdot \frac { C D } { C E } = \frac { B C } { B A } \cdot \frac { A B }{ A C } \cdot \frac { C A } { B C } = 1 .$$

با بازنویسی سمت چپ، داریم:

$$\large \frac { A F } { F B } \cdot \frac { B D } { D C } \cdot \frac { C E } { E A } = 1 .$$

بنابراین، سه ارتفاع در یک نقطه واحد به نام مرکز عمود (Orthocenter) به هم می‌رسند.