فیلتر میان گذر پسیو — از صفر تا صد

فیلتر میان گذر پسیو (Passive Band Pass Filter) را می‌توان با استفاده از اتصال یک فیلتر پایین گذر پسیو (Passive Low Pass Filter) و یک فیلتر بالا گذر پسیو (Passive High Pass Filter) پیاده‌سازی کرد. در این مطلب قصد داریم به بررسی این نوع از فیلترهای پسیو بپردازیم.

فیلتر میان گذر پسیو را می‌توان برای ایزوله کردن و یا فیلتر کردن فرکانس‌های خاص موجود در یک پهنای باند یا بازه فرکانسی مورد استفاده قرار داد. فرکانس قطع (Cut Off Frequency) یا نقطه $$f_c$$ در یک مدار RC پسیو ساده را می‌توان با دقت بالایی کنترل کرد. برای این کار باید از یک مقاومت تکی به صورت سری با خازن غیر قطبی استفاده کرد و بسته به این که نحوه اتصال به چه صورت باشد، یک فیلتر بالا گذر و یا پایین گذر به دست می‌آید.

فیلم آموزش طراحی فیلتر و سنتز مدار در فرادرس

کلیک کنید

به عنوان یک استفاده ساده برای این نوع فیلترهای پسیو، می‌توان به کاربردهای تقویت‌کننده صوتی (Audio Amplifier) یا مداراتی مانند فیلترهای هم‌گذری بلندگو (Loudspeaker Crossover Filters) یا کنترل صدا پیش تقویت‌کننده‌ (Pre-amplifier Tone Control) اشاره کرد.

گاهی اوقات لازم است که یک بازه فرکانسی خاص را فیلتر کرد که از 0 هرتز (DC) شروع نمی‌شوند، بلکه از یک فرکانس پایین خاص شروع می‌شوند و تا یک فرکانس قطع بالای خاص دیگر ادامه می‌یابند. به عبارت دیگر فرکانس‌هایی که در یک بازه یا باند فرکانسی (باریک یا پهن) قرار داشته باشند، عبور داده می‌شوند و بقیه فرکانس‌ها فیلتر می‌شوند.

از طریق اتصال آبشاری یک مدار فیلتر پایین گذر و مدار فیلتر بالا گذر، می‌توان نوع دیگری از فیلترهای RC پسیو را تولید کرد که یک بازه یا باند فرکانسی از قبل انتخاب شده را از خود عبور می‌دهند. این باند عبور فرکانسی می‌تواند باریک (Narrow) و یا پهن (Wide) باشد. در یک مدار میان گذر، تمام فرکانس‌های خارج از باند عبور فرکانسی تضعیف می‌شوند. این نوع جدید از آرایش فیلتر پسیو یک فیلتر انتخاب‌گر فرکانس را ایجاد می‌کند که با نام فیلتر میان گذر یا BPF شناخته می‌شود.

مدار فیلتر میان گذر پسیو

در تصویر زیر می‌توان نمایی از مدار یک فیلتر میان گذر پسیو را مشاهده کرد.

برخلاف فیلتر پایین گذر که فقط بازه فرکانس‌های پایین را عبور می‌دهد و یا فیلتر بالا گذر که فقط به فرکانس‌های باند فرکانسی بالا اجازه عبور می‌دهد، یک فیلتر میان گذر سیگنال‌های با باند یا گستردگی معین فرکانسی را از خود عبور می‌دهد، بدون اینکه سیگنال ورودی را دچار اعوجاج کند و یا نویز اضافه را به آن بیفزاید. عرض این باند فرکانسی می‌تواند هر مقدار دلخواه را داشته باشد و به آن عرض باند یا پهنای باند (Bandwidth) می‌گویند.

فیلم آموزش طراحی فیلتر و سنتز مدار در فرادرس

کلیک کنید

پهنای باند معمولا به صورت بازه فرکانسی موجود در بین دو فرکانس قطع ($$f_c$$) مشخص تعریف می‌شود. فرکانس‌های قطع، در واقع دو فرکانس هستند که دامنه‌ آن‌ها ۳ دسیبل پایین‌تر از دامنه خروجی بیشینه یا پیک رزونانس قرار داشته باشد. تمام فرکانس‌های موجود در خارج پهنای باند، توسط فیلتر میان گذر تضعیف یا رد می‌شوند. بنابراین برای فرکانس‌های با توزیع گسترده می‌توانیم پهنای باند یا BW را به سادگی برابر با اختلاف بین فرکانس قطع پایین ($$f_{C\; ( LOWER) }$$) و فرکانس قطع بالا ($$f_{C\; ( HIGHER) }$$) تعریف کنیم. به عبارت دیگر، رابطه زیر در یک فیلتر میان گذر برقرار است:

$$BW = f_ H - f_L$$

واضح است که در یک فیلتر میان گذر برای عملکرد صحیح باید فرکانس قطع فیلتر پایین گذر، بالاتر از فرکانس قطع فیلتر بالا گذر باشد. یک فیلتر میان گذر ایده‌آل همچنین می‌تواند برای ایزوله کردن و یا فیلتر کردن فرکانس‌های مشخص موجود در یک باند فرکانسی مورد استفاده قرار گیرد. به عنوان مثال، در کاربرد حذف نویز (Noise Cancellation) از فیلتر میان گذر استفاده می‌شود. فیلترهای میان گذر را معمولا با نام فیلترهای مرتبه دو (دو قطب) نیز می‌شناسند؛ زیرا دارای دو المان پسیو یا غیرفعال (Reactive Component) یعنی خازن در طراحی مداری خود هستند. در مدار فیلتر میان گذر، یک خازن در فیلتر پایین گذر و یک خازن دیگر در مدار فیلتر بالا گذر قرار دارد.

پاسخ فرکانسی یک فیلتر میان گذر پسیو مرتبه دو

نمودار بود (Bode Plot) یا منحنی پاسخ فرکانسی یک فیلتر میان گذر در تصویر زیر نشان داده شده است.

در نمودار فوق، ویژگی‌های یک فیلتر میان گذر به خوبی به تصویر کشیده شده است. مشاهده می‌کنید که در این فیلتر، سیگنال‌های با فرکانس پایین تضعیف می‌شوند و خروجی با شیب $$+20\;dB/Decade$$ یا $$6\;dB/Octave$$ افزایش می‌یابد تا به نقطه فرکانس قطع پایین یعنی $$f_L$$ برسد. در این فرکانس، ولتاژ خروجی برابر با $$\frac {1} {\sqrt{2}} = 70.7 \%$$ از مقدار سیگنال ورودی و یا ۳- دسیبل ($$20 *log (V_{OUT} / V_{IN})$$) سیگنال ورودی است.

خروجی با بیشینه بهره ادامه پیدا خواهد کرد تا به فرکانس قطع بالا یعنی $$f_H$$ برسد. در این نقطه خروجی با شیب $$-20\;dB/Decade$$ یا $$6\;dB/Octave$$ کاهش می‌یابد و در واقع هر سیگنال فرکانس بالایی تضعیف می‌شود. نقطه بهره خروجی بیشینه، همان طور که از شکل نیز مشخص است، برابر با میانگین هندسی دو مقدار ۳ دسیبل، بین فرکانس قطع پایین و فرکانس قطع بالا است و به آن فرکانس مرکزی (Center Frequency) یا پیک رزونانس (Resonant Peak) می‌گویند و در تصویر با $$f_ {center}$$ مشخص شده است. میانگین هندسی را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

$$f_{ center } ^ 2 = f_{(UPPER)} \times f_ {(LOWER)}$$

همان طور که قبلا هم اشاره کردیم، یک فیلتر میان گذر را می‌توان به عنوان یک نوع فیلتر مرتبه دو (دو قطب) در نظر گرفت؛ زیرا در ساختار مداری خود دارای دو عنصر غیرفعال است. بنابراین، زاویه فاز دو برابر فیلترهای نوع اول، یعنی ۱۸۰ درجه است. زاویه فاز سیگنال خروجی تا فرکانس مرکزی، به اندازه ۹۰+ درجه بر زاویه فاز سیگنال ورودی مقدم (LEAD) است. در فرکانس مرکزی، زاویه فاز برابر با صفر درجه می‌شود و از آن فرکانس به بعد، با افزایش فرکانس خروجی، ورودی به اندازه ۹۰- درجه تاخیر (LAG) می‌یابد.

نقاط فرکانس قطع پایین و فرکانس قطع بالا برای یک فیلتر میان گذر را می‌توان با فرمول مشابه با فیلتر پایین گذر و بالا گذر به دست آورد:

$$f_ c = \frac {1} {2 \pi R C} \; HZ$$

عرض باند گذر فیلتر میان گذر را می‌توان با استفاده از موقعیت دو فرکانس قطع فیلتر بالا گذر و فیلتر پایین گذر کنترل کرد.

مثال ۱

یک فیلتر میان گذر مرتبه دوم با استفاده از المان‌های مقاومت و خازن (RC) ساخته شده است. این فیلتر فقط به فرکانس‌های بالاتر از ۱ کیلو هرتز و فرکانس‌های زیر ۳۰ کیلو هرتز اجازه عبور می‌دهد. فرض کنید که هر دو مقاومت دارای مقادیر ۱۰ کیلو اهم باشند. در این شرایط، مقدار دو خازن مورد استفاده در مدار فیلتر میان گذر را به دست آورید.

حل

ابتدا محاسبات را برای طبقه فیلتر بالا گذر انجام می‌دهیم. مقدار خازن $$C_1$$ مورد نیاز برای داشتن فرکانس قطع پایین ۱ کیلو هرتز با مقاومت ۱۰ کیلو اهم به صورت زیر به دست می‌آید:

$$C_1 = \frac {1} {2 \pi f_L R} = \frac {1} {2 \pi \times 1000 \times 10000 } = 15.9 \; n F$$

بنابراین مقدار خازن $$C_1$$ و مقاومت $$R_1$$ مورد نیاز در طبقه فیلتر بالا گذر برای داشتن فرکانس قطع در حدود ۱ کیلو هرتز به دست می‌آیند. مقاومت برابر با $$R_1 = 10 \; K  \Omega$$ و خازن با نزدیک‌ترین مقدار یعنی $$C_1 = 15 \; n F$$ است.

حال محاسبات را برای طبقه فیلتر پایین گذر انجام می‌دهیم.  مقدار خازن $$C_2$$ مورد نیاز برای داشتن فرکانس قطع بالای $$f_H$$ در حدود ۳۰ کیلو هرتز با مقاومت ۱۰ کیلو اهمی به صورت زیر به دست می‌آید:

$$C_2 = \frac {1} {2 \pi f_H R} = \frac {1} {2 \pi \times 30000 \times 10000 } = 530 \; p F$$

بنابراین مقدار خازن و مقاومت مورد نیاز برای ایجاد طبقه فیلتر پایین گذر برابر با $$R_2 = 10 \; K \Omega$$ و $$C_2 = 530 \; p F$$ خواهد بود. البته نزدیک‌ترین مقدار به خازن $$C_2 = 530 \; p F$$ برابر با $$C_2 = 560 \; p F$$ است که می‌توان از آن استفاده کرد.

بنابراین مقدار مقاومت برای هر دو فیلتر بالا گذر و پایین گذر برابر با ۱۰ کیلو اهم است و مقدار خازن در فیلتر بالا گذر برابر با $$C_1 = 15 \; n F$$ و مقدار خازن در مدار فیلتر پایین گذر برابر با $$C_2 = 560 \; p F$$ به دست می‌آید. مدار این فیلتر میان گذر ساده با توجه به مقادیر به دست آمده مانند شکل زیر خواهد بود.

فرکانس رزونانس فیلتر میان گذر پسیو

در فیلتر میان گذر می‌توان فرکانس رزونانس یا فرکانس مرکزی $$f_r$$ یا $$f_ {center }$$ را هم به دست آورد. در این فرکانس، بهره خروجی در مقدار بیشینه یا پیک خود قرار دارد. بر خلاف انتظار، مقدار فرکانس مرکزی برابر با میانگین ریاضی نقاط قطع ۳- دسیبل بالا و پایین نیست، بلکه این مقدار را با استفاده از میانگین هندسی مقادیر به دست می‌آورند.

فیلم آموزش الکترونیک 3 – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

میانگین هندسی این مقدار را مطابق با فرمول $$f_r ^ 2 = f_{c \; (upper)} \times f_{c \; (lower) }$$ محاسبه می‌کنند. بنابراین مقدار فرکانس مرکزی برابر است با:

$$f_r = \sqrt{f_L \times f_H}$$

در این رابطه، $$f_r$$ برابر با فرکانس رزونانس یا مرکزی، $$f_L$$ برابر با فرکانس قطع ۳- دسیبل پایین و $$f_H$$ برابر با فرکانس قطع ۳- دسیبل بالا است. در مثال ساده فوق، فرکانس‌های قطع با استفاده از مقادیر محاسبه شده برابر با ۱۰۶۰ هرتز و ۲۸۴۲۰ هرتز به دست می‌آیند. حال با استفاده از این فرکانس‌های قطع و جایگذاری آن‌ها در رابطه فوق، می‌توان فرکانس رزونانس فیلتر میان گذر را به دست آورد. بنابراین داریم:

$$f_r = \sqrt{f_L \times f_H} = \sqrt{1060 \times 28420} = 5.48 KHZ$$

فیلتر میان گذر پسیو با درجات بالاتر

همان طور که گفتیم، یک فیلتر میان گذر پسیو، به عنوان یک فیلتر مرتبه دو طبقه‌بندی می‌شود. زیرا در مدار خود درای دو عنصر غیرفعال، یعنی خازن است. این فیلتر از دو مدار RC ساخته شده است که هر کدام خود فیلتری مرتبه اول هستند. اگر فیلتر‌های بیشتری با یکدیگر به صورت آبشاری متصل شوند، آن‌گاه مدار حاصل تحت عنوان فیلتر مرتبه n شناخته می‌شود که در آن n نشان دهنده تعداد عناصر غیر فعال و در نتیجه قطب‌های موجود در مدار فیلتر است. مثلا یک فیلتر میان گذر می‌تواند از مرتبه ۲، ۴، ۱۰ و ... باشد.

هر چقدر تعداد طبقات یک فیلتر بیشتر باشد، مقدار شیب آن به اندازه n ضرب در $$-20 \; dB/decade$$ تندتر خواهد شد. البته توجه کنید که یک مقدار خازن که از اتصال سری دو یا تعداد بیشتری خازن به یکدیگر ایجاد شود، باز هم یک خازن محسوب می‌شود و در مرتبه فیلتر به اندازه یک واحد تاثیر خواهد گذاشت.

مدار ایزولاسیون در فیلتر میان گذر پسیو

در بخش قبل، منحنی پاسخ فرکانسی خروجی یک فیلتر میان گذر ایده‌آل را مشاهده کردیم. در یک فیلتر ایده‌آل، در باند گذر، بهره ثابت و در باند توقف، بهره صفر است. اما در کاربردهای عملی، پاسخ فرکانسی یک مدار فیلتر میان گذر به این صورت نیست؛ زیرا راکتانس ورودی مدار فیلتر بالا گذر روی پاسخ فرکانسی مدار فیلتر پایین گذر (و بلعکس) تاثیر خواهد گذاشت. المان‌ها به صورت سری یا موازی به یکدیگر متصل شده‌اند. یک راه برای غلبه بر این مشکل، این است که از نوعی مدارات ایزولاسیون الکتریکی بین دو مدار فیلتر بالا گذر و پایین گذر استفاده شود. در تصویر زیر نمونه‌ای از یک مدار بافر بین طبقات فیلتر میان گذر نشان داده شده است.

همان طور که گفتیم، یک فیلتر میان گذر پسیو دارای بهره ولتاژ کمتر از یک است. برای به دست آوردن سیگنال خروجی با بهره ولتاژ بزرگ‌تر از یک، در طراحی مدار به نوعی از تقویت‌کننده‌ها نیاز است. نکته‌ جالبی که در این قسمت باید به ذکر آن بپردازیم این است که یک راه برای ترکیب کردن دو مدار تقویت‌کننده و مدار ایزولاسیون استفاده از تقویت‌کننده عملیاتی (Operational Amplifier) یا اپ امپ است. برای آشنایی با نحوه عملکرد یک اپ امپ، می‌توانید به مطلب «تقویت کننده عملیاتی یا آپ امپ — به زبان ساده» در مجله فرادرس مراجعه کنید. انواع دیگری از مدارات فیلترها نیز وجود دارند که در طراحی آن‌ها از اپ امپ استفاده شده است. در این صورت، نه تنها بهره مدار را می‌توان کنترل کرد، بلکه بین طبقات مختلف ایزولاسیون الکتریکی برقرار می‌شود. این نوع از فیلترها را با نام فیلترهای اکتیو (Active Filters) می‌شناسند.

خلاصه فیلتر میان گذر پسیو

یک فیلتر میان گذر پسیو را با اتصال آبشاری یک فیلتر بالا گذر و یک فیلتر پایین گذر به یکدیگر می‌سازند. بازه فرکانسی بین نقاط قطع ۳- دسیبل بالا و پایین از مدار RC را پهنای باند فیلتر میان گذر پسیو می‌گویند. پهنای باند بر حسب واحد هرتز بیان می‌شود. پهنای باند یک فیلتر میان گذر پسیو می‌تواند بسیار باریک و گزینشی و یا پهن و غیرگزینشی باشد. در واقع پهنای باند فیلتر به مقادیر مقاومت‌ها و خازن‌های طبقات بالا گذر و پایین گذر موجود در آن بستگی دارد.

فیلم آموزش الکترونیک 3 – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

در یک فیلتر میان گذر پسیو، فرکانس مرکزی یا رزونانس برابر با میانگین هندسی نقاط قطع بالا و پایین است. در فرکانس مرکزی، سیگنال خروجی در مقدار بیشینه خود قرار دارد و شیفت فاز سیگنال خروجی برابر با شیفت فاز سیگنال ورودی است. دامنه سیگنال خروجی از یک فیلتر میان گذر پسیو و یا هر فیلتر پسیو RC دیگر، همواره کمتر از دامنه سیگنال ورودی به آن فیلتر است. به عبارت دیگر، یک فیلتر پسیو را می‌توان یک تضعیف‌کننده به حساب آورد که دارای بهره ولتاژ کمتر از یک است. برای به دست آوردن سیگنال خروجی با بهره ولتاژ بزرگ‌تر از یک، در طراحی مدار به نوعی از تقویت‌کننده‌ها نیاز است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، مطالب و آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های مهندسی برق
• آموزش الکترونیک ۳
• مجموعه آموزش‌‌های مهندسی مخابرات
• آموزش طراحی فیلتر و سنتز مدار
• تقویت کننده های الکترونیکی — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس
• اشمیت تریگر با اپ امپ — از صفر تا صد
• نسبت سیگنال به نویز چیست؟ — از صفر تا صد

^^