نمودار بود (Bode Plot) – از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، برخی از جنبه‌های تحلیل سیستم‌های کنترل مانند پاسخ گذرا و خطای حالت ماندگار را بیان کردیم. همچنین با ابزارهایی مانند مکان هندسی ریشه‌ها برای تحلیل و طراحی این سیستم‌ها آشنا شدیم. در این آموزش، درباره یکی از ابزارهای مفید تحلیل و طراحی در فضای فرکانس، به نام نمودار بود (Bode Plot) که در برخی مراجع با نام‌های بوده، بودا و بودی نیز شناخته شده بحث می‌کنیم. لازم به ذکر است که در بخشی از آموزش «تابع شبکه و پاسخ فرکانسی» خلاصه‌ای از رسم نمودار بود را به زبان ساده بیان کردیم. پیشنهاد می‌کنیم آموزش مذکور را قبل از خواندن این مطلب مطالعه کنید.

فرم بود تابع تبدیل

نمودارهای بود را معمولاً برای تابع تبدیل حلقه‌باز رسم می‌کنیم. در ابتدا، باید تابع تبدیل را به فرم بود بنویسیم. فرم بودِ تابع تبدیل حلقه‌باز $$K G ( s )$$ به گونه‌ای نوشته می‌شود که یک جمله ثابت در عوامل صفر و قطب ضرب شود که مقدار DC آن‌ها برابر با ۱ است.

برای مثال، تابع تبدیل زیر را در نظر بگیرید:

$$\large K G ( s ) = K \frac { s + \color {red} { 3 } } { s( s ^ 2 + 2 s + \color {blue} { 4 } ) } ,$$

این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \begin {align*} & \frac { \color {red} { 3 } K \left ( \frac { s } {3 } + 1 \right ) } { \color {blue} { 4 } s \left ( \big ( \frac { s } { 2 } \big ) ^ 2 + \frac { s } { 2 } + 1 \right ) } \Bigg|_{ s = j \omega } \\ = \, & \underbrace { \frac { \color {red} { 3 } K } { \color {blue} { 4 } } } _ { = K _ 0 } \frac { \frac { j \omega } { 3 } + 1 } { j \omega \left ( \big ( \frac { j \omega } { 2 } \big ) ^ 2 + \frac { j \omega } { 2 } + 1 \right ) } . \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، اعداد ۳ و ۴ را از درون عوامل بیرون کشیده‌ایم و یک ضریب جدید تشکیل داده‌ایم. بنابراین، $$K$$ به $$K_0$$ تبدیل شده است.

سه نوع عامل فرم بود

توابع تبدیل به فرم بود، یکی از سه نوع (Type) عامل زیر را دارند:

• $$K_0(j\omega)^n$$ که در آن، $$n$$ یک عدد صحیح مثبت یا منفی است.
• $$(j\omega \tau + 1)^{\pm 1}$$
• $$\left [ \Big ( \dfrac { j \omega } { \omega _ n } \Big ) ^ 2 + 2 \zeta \dfrac { j \omega } { \omega _ n } + 1 \right ] ^ { \pm 1 }$$

در مثالی که در بالا ارائه کردیم، نوع عوامل تابع تبدیل به صورت زیر مشخص شده‌ است:

$$\large \begin {align*} K G ( j \omega ) & = \frac { 3 K } { 4 } \frac { \frac { j \omega } { 3 } + 1 } { j \omega \left [ \Big ( \frac { j \omega }{ 2 } \Big ) ^ 2 + \frac { j \omega } { 2 } + 1 \right ] } \\ & = \underbrace { \frac { 3 K } { 4 } ( j \omega ) ^ { - 1 } } _ { \text {Type 1} } \cdot \underbrace { \left ( \frac { j \omega } { 3 } + 1 \right ) } _ { \text {Type 2} } \cdot \underbrace { \left[ \Big ( \frac { j \omega } { 2 } \Big ) ^ 2 + \frac { j \omega } { 2 } + 1 \right ] ^ { -1 } } _ { \text {Type 3} } . \end {align*}$$

رسم نمودار بود عامل‌ها

در این بخش، شیوه رسم نمودار بود مربوط به هر یک از عوامل بالا بحث می‌کنیم. نمودارهای بود، دو نمودار اندازه (لگاریتمی) و فاز هستند که برای فرکانس‌های مختلف رسم می‌شوند.

رسم نمودار بود عامل نوع یک ($$\Large K_0(j\omega)^n$$)

اندازه این عامل برابر است با:

$$\large \begin {align*} \log M & = \log | K _ 0 ( j \omega ) ^ n | \\ & = \log | K _ 0 | + n \log \omega . \end {align*}$$

عبارت بالا یک تابع خطی از $$\log \omega$$ است. بنابراین، نمودار اندازه، خطی با شیب $$n$$ است که در $$\omega = 1$$ از نقطه $$\log |K_0|$$ عبور می‌کند.

در مثالی که ارائه کردیم، عامل $$K_0(j\omega)^{-1}$$ را داشتیم. نمودار اندازه این عامل در شکل زیر نشان داده شده است.

$$K_0(j\omega)^{-1}$$" width="530" height="329">

فاز عامل نوع ۱ برابر است با:

$$\large \begin {align*} \angle K _0 ( j \omega ) ^ n & = \angle ( j \omega ) ^ n \\ & = n \angle j \omega \\ & = n \cdot 9 0 ^ \circ. \end{align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم فاز ثابت و مستقل از $$\omega$$ است.

در مثالی که بیان شد، با عامل $$K_0(j\omega)^{-1}$$ مواجهیم که نمودار فاز آن در شکل ۲ نشان داده شده است. در این مثال، فاز برای همه $$\omega$$ها برابر با $$-90^\circ$$ است.

$$K_0(j\omega)^{-1}$$" width="535" height="330">

رسم نمودار بود عامل نوع دو ($$\Large j \omega \tau + 1$$)

این عامل مربوط به یک صفر حقیقی پایدار است. برای بررسی $$|j\omega\tau+1|$$ و $$\angle(j\omega\tau+1)$$ به عنوان تابعی از $$\omega$$، نگاهی به نمودار نایکوئیست شکل ۳ می‌اندازیم.

$$j\omega\tau + 1$$" width="376" height="304">

• برای $$\omega \tau \ll 1$$، داریم: $$j\omega\tau + 1 \approx 1$$.
• برای $$\omega\tau \gg 1$$، داریم: $$j\omega\tau + 1 \approx j\omega\tau$$. در این حالت، عامل نوع ۲ مانند عامل نوع ۱ با $$K_ 0=\tau$$ و $$n = 1$$ عمل می‌کند.
• فرکانس نقطه شکست از $$\omega\tau=1\, \Longleftrightarrow \, \omega = 1/\tau$$ به دست می‌آید.

بنابراین، برای نمودار اندازه می‌توان گفت:

• برای $$\omega$$های کوچک‌تر از نقطه شکست، $$M \approx 1$$ و نمودار اندازه یک خط افقی است.
• برای $$\omega$$های بزرگ‌تر از نقطه شکست، داریم:‌

$$\large \begin{align*} \log M &\approx \log |j\omega\tau| \\ &= \log \omega\tau \\ &= \log \tau + \log \omega. \end{align*}$$

معادله بالا، خطی با شیب ۱ را توصیف می‌کند که از نقطه $$(1/\tau,1)$$‌ روی یک نمودار با مقیاس لگاریتمی-لگاریتمی عبور می‌کند. توجه کنید که این‌ها مربوط به مجانب هستند و مقدار واقعی $$M$$ در $$\omega = 1/\tau$$ برابر با $$\sqrt{2}$$ است.

$$j\omega\tau + 1$$" width="523" height="345">

شکل ۴ نمودار اندازه یک صفر حقیقی پایدار را نشان می‌دهد که شیب آن بعد از نقطه شکست برابر با یک است.

مشابه نمودار اندازه شکل ۳، می‌توان گفت:

• برای $$\omega$$ کوچک (کوچک‌تر از نقطه شکست)، داریم: $$\phi \approx 0^\circ$$.
• برای $$\omega$$ بزرگ (بزرگ‌تر از نقطه شکست)، داریم:

$$\large \begin{align*} \phi &\approx \angle(j\omega\tau) \\ &= 90^\circ. \end{align*}$$

• در نقطه شکست ($$\omega\tau=1$$)، داریم:

$$\large \begin{align*} \phi &= \angle(j+1) \\ &= 45^\circ. \end{align*}$$

$$j\omega\tau + 1$$" width="539" height="353">

شکل ۵ نمودار فاز یک صفر حقیقی پایدار را نشان می‌دهد که در نقطه شکست، فاز زیاد شده و در ادامه به $$90^ \circ$$ رسیده است.

رسم نمودار بود عامل نوع دو ($$\Large (j\omega\tau+1)^{-1}$$)

از آنجایی که این نوع عامل معکوس عامل ۱ است که درباره آن بحث کردیم، در این حالت یک قطب پایدار داریم.

اندازه این عامل برابر است با:

$$\large \begin {align*} \log \left | \frac { 1 } { j \omega \tau + 1 } \right | = - \log \left | j \omega \tau + 1 \right | , \end {align*}$$

و فاز آن به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} \angle \frac { 1 } { j \omega \tau + 1 } = - \angle ( j \omega \tau + 1 ) . \end {align*}$$

بنابراین، نمودارهای اندازه و زاویه یک قطب پایدار، بازتاب‌هایی از نمودارهای اندازه و فاز صفر حقیقی پایدار متناظر نسبت به محور افقی هستند. به عبارت دیگر:

• در فرکانس شکست، نمودار اندازه با شیب ۱ شروع به کاهش می‌کند.
• نمودار فاز به اندازه $$90^ \circ$$ کاهش می‌یابد.

مثال ۱

تابع تبدیل حلقه باز زیر را در نظر بگیرید:

$$\large K G ( s ) = \frac { 2 0 0 0 ( s+\color {red} { 0 . 5 } ) } { s ( s + \color {green} { 1 0 }) ( s + \color {blue} { 5 0 } ) } .$$

نمودار بود $$KG(s)$$ را رسم کنید.

حل: ابتدا تابع تبدیل حلقه باز را به فرم بود در می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} K G ( j \omega ) & = \frac { 2 0 0 0 \cdot \color {red} { 0 . 5 } \cdot \left ( \dfrac { j \omega } { \color {red} { 0 . 5 } } + 1 \right ) } { \color {green} { 1 0 } \cdot \color {blue} { 5 0 } \cdot j \omega \left ( \dfrac { j \omega } { \color {green} { 1 0 } } + 1 \right ) \left ( \dfrac { j \omega } { \color {blue} { 5 0 } } + 1 \right ) } \\ & = \dfrac { 2 } { j \omega } \cdot \left ( \dfrac { j \omega }{ \color {red} { 0 . 5 } } + 1 \right ) \cdot \dfrac { 1 } { \left ( \dfrac { j \omega } { \color {green} { 1 0 } } + 1 \right ) \left ( \dfrac { j \omega } { \color {blue} { 5 0 } } + 1 \right ) } . \end {align*}$$

اکنون تابع تبدیل زیر را داریم:

$$\large \begin {align*} K G ( j \omega ) & = \dfrac { 2 } { j \omega } \cdot \left ( \dfrac { j \omega }{ \color {red} { 0 . 5 } } + 1 \right ) \cdot \dfrac { 1 }{ \left ( \dfrac { j \omega } { \color {green}{ 1 0 } } + 1 \right ) \left ( \dfrac { j \omega } { \color {blue} { 5 0 } } + 1 \right ) } . \end {align*}$$

تابع تبدیل فوق، یک عامل نوع ۱ دارد که در آن:

• $$K_0 = 2$$ و $$n=-1$$. این دو پارامتر منجر به خطی با شیب $$-1$$ می‌شوند که از نقطه $$(\omega,M) = (1, 2)$$ عبور می‌کند.
• یک مجانب فرکانس پایین وجود دارد: برای $$\omega$$های کوچک، مقدار $$M$$ بسیار بزرگ خواهد شد. برای مقادیر $$\omega$$ کوچک، نمودار نزدیک به $$M=1$$ است، زیرا $$\log 1 = 0$$.

همچنین، سه عامل نوع ۲ داریم. می‌توانیم نقاط شکست عبارات نوع ۲ را روی نمودار مشخص کنیم:‌

• $$\omega = 0.5$$ در عامل نوع ۲ نخست صفر پایدار است و شیبی با اندازه ۱ و رو به بالا ایجاد می‌کند.
• $$\omega = 10$$ در عامل نوع ۲ دوم قطب پایدار است و شیبی با اندازه ۱ و رو به پایین ایجاد می‌کند.
• $$\omega = 50$$ در عامل نوع ۲ سوم قطب پایدار است و شیبی با اندازه ۱ و رو به پایین ایجاد می‌کند.

$$KG(s)$$" width="517" height="322">

اکنون نمودار فاز را رسم می‌کنیم. برای عامل نوع ۱ داریم:

• $$n = -1$$ است و فاز از $$-90^\circ$$ شروع می‌شود.

برای عامل‌های نوع ۲ نیز داریم:

• برای $$\omega = 0.5$$ صفر پایدار، فاز با $$90^\circ$$ زیاد می‌شود و در $$\omega = 0.5$$ با $$45^\circ$$ زیاد می‌شود.
• برای $$\omega = 10$$ قطب پایدار، فاز با $$90^\circ$$ کم می‌شود و در $$\omega = 10$$ با $$45^\circ$$ کم می‌شود.
• برای $$\omega = 50$$ قطب پایدار، فاز با $$90^\circ$$ کم می‌شود و در $$\omega = 50$$ با $$45^\circ$$ کم می‌شود.

$$KG(s)$$" width="538" height="325">

رسم نمودار بود عامل نوع سه ($$\Large \left(\frac{j\omega}{\omega_n}\right)^2 + 2\zeta \frac{j\omega}{\omega_n} + 1$$)

عامل نوع ۳ قطب‌های مختلط پایدار هستند.

$$\large \begin {align*} \left ( \frac { j \omega } { \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1 = \underbrace { \left ( 1 - \left ( \frac { \omega } { \omega _ n } \right ) ^ 2 \right ) } _ { \text {real part} } + \underbrace { 2 \zeta \frac { \omega }{ \omega _ n } } _ { \text {imag. part} } j . \;\;\;\;\;\;\; (1) \end {align*}$$

شکل ۸ نمودار نایکوئیست را برای $$0 < \omega < \infty$$ نشان می‌دهد.

$$0 < \omega < \infty$$" width="617" height="270">

با نگاهی به نمودار بالا می‌بینیم که وقتی $$\omega = 0$$ است، نمودار نایکوئیست از $$1 + 0j$$ شروع می‌شود و در $$\omega = \omega_n$$ از $$0 + 2\zeta j$$ عبور می‌کند. هنگامی که $$\omega \to \infty$$، داریم:

• بخش حقیقی معادله (۱)، $$\left(1- \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2\right) \approx - (\omega/\omega_n)^2 \to - \infty$$، با مربع $$\omega$$ رابطه دارد؛
• بخش موهومی، $$2\zeta\frac{\omega}{\omega_n} = (2\zeta \frac{1}{\omega_n})\omega \to \infty$$، نسبت به $$\omega$$ رابطه خطی دارد.

اکنون می‌توانیم نمودار اندازه را رسم کنیم:

• برای فرکانس‌های کوچک $$\omega \ll \omega_n$$، داریم: $$M \approx 1 \implies \log M = 0$$ و در نتیجه نمودار یک خط افقی خواهد بود؛
• برای فرکانس‌های بزرگ $$\omega \gg \omega_n$$، داریم: $$M \approx \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2 \implies \log M \approx 2 \log \omega - 2 \log \omega_n$$. در این حالت، مجانب خطی با شیب ۲ است که از نقطه $$(\omega, M) = (\omega_n, 1)$$ می‌گذرد.

بنابراین، برای عامل نوع سه مربوط به یک صفر مختلط پایدار، اندازه با شیب ۲ از نقطه شکست شروع به افزایش می‌کند.

نمودار فاز نیز در بخش زیر که معکوس آن است بیان می‌شود.

رسم نمودار بود عامل نوع سه ($$\Large \left[\left(\frac{j\omega}{\omega_n}\right)^2 + 2\zeta \frac{j\omega}{\omega_n} + 1\right]^{-1}$$)

مشابه آنچه درباره عامل‌های نوع ۲ بیان کردیم، این حالت، برعکس عامل نوع ۳ است که با آن آشنا شدیم. در این حالت، قطب‌های مختلط پایدار داریم.

بنابراین، اندازه برابر است با:

$$\large \begin {align*} \log M & = \log \left | \frac { 1 } { \left ( \frac { j \omega }{ \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1 } \right | \\ & = - \log \left | \left ( \frac { j \omega }{ \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1 \right | . \\ \end {align*}$$

و برای فاز، داریم:‌

$$\large \begin {align*} \phi & = \angle \frac { 1 } { \left ( \frac { j \omega }{ \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1 } \\ & = - \angle \left [ \left ( \frac { j \omega }{ \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1 \right ] . \end {align*}$$

همان‌طور که مشخص است، مانند مورد قبل، نمودار اندازه (در صفحه $$M ( \omega) - \frac {\omega} { \omega _ n }$$) به مقدار $$\zeta$$ بستگی دارد.

$$M(\omega)$$ به عنوان تابعی از $$\frac{\omega}{\omega_n}$$" width="567" height="368">

نمودار اندازه در فرکانس تشدید $$\omega = \omega_r$$ به مقدار پیک $$\zeta < 1/\sqrt{2} \approx 0.707$$ می‌رسد. این فرکانس برابر است با:

$$\large \omega _ r = \omega _ n \sqrt { 1 - 2 \zeta ^ 2 } < \omega _ n .$$

برای $$\zeta$$ کوچک ($$\zeta < \frac{1}{\sqrt{2}}$$)، اندازه برابر است با:

$$\large \frac { 1 } { \left ( \frac { j \omega }{ \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1 }$$

پیک رزونانس در فرکانس زیر رخ می‌دهد:

$$\large \omega _ r = \omega _ n \sqrt { 1 - 2 \zeta ^ 2 } .$$

به طریق مشابه، اندازه

$$\large \left ( \frac { j \omega } { \omega _ n } \right ) ^ 2 + 2 \zeta \frac { j \omega } { \omega _ n } + 1$$

در $$\omega _ r$$ به کمترین مقدار خود می‌رسد.

بنابراین، برای یک قطب مختلط پایدار عامل نوع ۳، شیب اندازه به اندازه ۲ در نقطه شکست نزولی خواهد بود.

مشابه نمودارهای فاز بود برای هر دو عامل نوع سه $$\left[ \left(\frac{j\omega}{\omega_n}\right)^2 + 2\zeta \frac{j\omega}{\omega_n} + 1\right]^{\pm 1}$$، با استفاده از معادله (۱) و شکل ۸ داریم:

• برای $$\omega \ll \omega_n$$، داریم: $$\phi \approx 0^\circ$$ (نزدیک به مثبت ۱ روی محور حقیقی)؛
• برای $$\omega = \omega_n$$، داریم: $$\phi = 90^\circ$$ ($${\rm Re} = 0,\, {\rm Im} > 0$$)؛
• برای $$\omega \gg \omega_n$$، داریم: $$\phi \approx 180^\circ$$ (زیرا $${\rm Re} \sim -\omega^2$$ و $${\rm Im} \sim \omega$$ مقدار شیب این زاویه تقریباً صفر است).

بنابراین، برای عامل نوع ۳ مربوط یک صفر مختلط پایدار، فاز با شیب $$180^\circ$$ زیاد می‌شود. وقتی $$\zeta \to 0$$، گذر از نقطه شکست تیزتر شده و به شکل تابع پله میل می‌کند.

مثال ۲

نمودار بود تابع تبدیل حلقه باز زیر را رسم کنید:

$$\large \begin {align*} K G ( s ) = \frac { 0 . 0 1 \left ( s ^ 2 + 0 . 0 1 s + 1 \right ) }{ s ^ 2 \left ( \dfrac { s ^ 2 } { 4 } + 0 . 0 2 \dfrac { s } { 2 } + 1 \right ) } . \end {align*}$$

حل: همان‌طور که می‌بینیم، تابع تبدیل حلقه باز به فرم بود است. بنابراین، به سراغ رسم نمودار بود می‌رویم. برای نمودار دامنه داریم:

• عامل نوع یک $$\dfrac{0.01}{(j\omega)^2}$$ دارای پارامترهای $$K _ 0 = 0.01$$ و $$n = - 2$$ است. شیب مجانب فرکانس پایین آن برابر با $$- 2$$ است که از نقطه $$(\omega, M) = (1, 0.01)$$ می‌گذرد.
• عامل نوع سه مربوط به صفرهای مختلط دارای نقطه شکست در $$\omega_n = 1$$ و $$\zeta = 0.005$$ است. شیب آن با اندازه $$2$$ در نقطه شکست افزایش می‌یابد.
• عامل نوع سه مربوط به قطب‌های مختلط دارای نقطه شکست در $$\omega_n = 2$$ و $$\zeta = 0.01$$ است. شیب آن با اندازه $$2$$ در نقطه شکست کاهش می‌یابد.

نمودار اندازه در شکل زیر نشان داده شده است.

برای نمودار فاز نیز داریم:‌

• عامل نوع یک $$\dfrac{0.01}{(j\omega)^2}$$ دارای پارامترهای $$K_0 = 0.01$$ و $$n = -2$$ است. بنابراین، فاز در $$n \times 90^\circ = -180^\circ$$ آغاز می‌شود.
• عامل نوع سه مربوط به صفرهای مختلط دارای نقطه شکست در $$\omega_n = 1$$ و است. بنابراین، فاز به اندازه $$180^\circ$$ در نقطه شکست افزایش می‌یابد.
• عامل نوع سه مربوط به قطب‌های مختلط دارای نقطه شکست در $$\omega_n = ۲$$ است. بنابراین، فاز به اندازه $$180^\circ$$ در نقطه شکست کاهش می‌یابد.
• برای هر دو عامل نوع ۳ مربوط به قطب‌ها و صفرهای مختلط، $$\zeta$$ کوچک است، بنابراین، تغییرات بسیار تیز است.

شکل زیر نمودار فاز را نشان می‌دهد.

عامل‌هایی با صفر سمت راست

آنچه تاکنون گفتیم، برای توابع تبدیلی با صفرها و قطب‌های سمت چپ و روی محور موهومی (نوع ۱) بود. در این بخش، نمودار بود را برای صفرها و قطب‌های سمت راست بررسی می‌کنیم.

دو تابع تبدیل زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \begin {align*} G _ 1 ( s ) = \frac { s + 1 } { s + 5 } , \, G _ 2 ( s ) = \frac { s - 1 } {s + 5 } . \end {align*}$$

برای این دو تابع می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• $$G _ 1$$ یک قطب و یک صفر پایدار دارد؛ $$G _ 2$$ یک قطب پایدار و البته یک صفر سمت راست محور موهومی دارد.
• با وجود این، نمودارهای اندازه $$G _1$$ و $$G _ 2$$ مشابه‌اند؛ زیرا:

$$\large \begin {align*} | G _ 1 ( j \omega ) | & = \left | \frac { j \omega + 1 } { j \omega + 5 } \right | = \sqrt { \frac { \omega ^ 2 + 1 } { \omega ^ 2 + 5 } } , \\ | G _ 2 ( j \omega ) | & = \left | \frac { j \omega - 1 } { j \omega + 5 } \right | = \sqrt { \frac { \omega ^ 2 + 1 } { \omega ^ 2 + 5 } } . \end{align*}$$

• آنچه بین این دو تابع تبدیل متفاوت است، نمودار فاز آن‌ها است.

برای رسم $$G_1$$، آن را به فرم بود می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} G _ 1 ( j \omega ) & = \frac { j \omega + 1 } { j \omega + 5 } \\ & = \frac { 1 } { 5 } \frac { j \omega + 1 } { \dfrac { j \omega } { 5 } + 1 } . \end {align*}$$

سپس قواعدی را که برای انواع عامل‌ها با قطب‌ها و صفرهای پایدار بیان کردیم، اعمال می‌کنیم.

• عامل $$\dfrac{1}{5}(j\omega)^0$$ از نوع ۱ با $$n=0$$ است؛ بنابراین فاز از $$0^\circ$$‌ شروع می‌شود.
• عامل نوع ۲، یک صفر پایدار دارای نقطه شکست در $$\omega_n=1$$ است و سبب می‌شود فاز $$90^\circ$$ بالا رود.
• عامل نوع ۲، یک قطب پایدار دارای نقطه شکست در $$\omega_n=5$$ است و سبب می‌شود فاز $$90^\circ$$ پایین رود.

نمودار فاز $$G_1 ( s)$$ به شکل زیر است.

$$g_ 1 (s)$$" width="534" height="333">

نمی‌توانیم قوانین مربوط به صفرها و قطب‌های پایدار را برای رسم نمودار فاز $$G _ 2$$ اعمال کنیم. بنابراین، باید دوباره روی نمودار نایکوئیست یک صفر سمت راست صفحه مختلط کار کنیم. تابع تبدیل $$G _ 2 (s )$$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} G _ 2 ( j \omega ) & = \frac { j \omega - 1 } { j \omega + 5 } \\ & = \frac { 1 } { 5 } \frac { j \omega - 1 }{ \dfrac { j \omega } { 5 } + 1 } \end {align*}$$

نمودار نایکوئیست برای $$j\omega-1$$ در شکل ۱۷ نشان داده شده است.

$$j \omega - 1$$" width="223" height="309">

رفتار جدید صفرهای سمت راست به صورت زیر است:

• وقتی $$\omega \approx 0$$، آنگاه $$\phi \approx 180^\circ$$ (نزدیک به منفی یک روی محور افقی)
• وقتی $$\omega \gg 1$$، آنگاه $$\phi \approx 90^\circ$$ ($${\rm Re} =-1$$ و $${\rm Im} = \omega \gg 1$$).
• وقتی $$\omega \approx 1$$، آنگاه $$\phi \approx 135^\circ$$.

بنابراین، برای صفر سمت راست، فاز از $$180^\circ$$ شروع شده و به $$90^\circ$$ می‌رسد (فاز در نقطه شکست برابر با $$135^\circ$$ است.).

برای یک صفر سمت راست، نمودار فاز مشابه آنچه است که برای قطب سمت راست داشتیم. فاز $$90^\circ$$ کم می‌شود. توجه کنید که نمودار فاز از  $$180^\circ$$ شروع می‌شود و نه $$0^\circ$$.

$$G_ 2 ( s)$$" width="540" height="336">

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• معیار پایداری راث هرویتز — به زبان ساده
• تقلب نامه (Cheat Sheet) کنترل خطی
• پاسخ سیستم مرتبه دوم — از صفر تا صد

^^