در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با دترمینان و همچنین روش‌های محاسبه دترمینان ماتریس‌های ۳ در ۳ آشنا شدیم. در این آموزش، برخی از مهم‌ترین خواص دترمینان را معرفی می‌کنیم.

۱. دترمینان ماتریس مربعی $$ \left[ {{a_{ij}}} \right] $$‌ با اندازه $$ n$$، یک چندجمله‌ای متشکل از درایه‌های این ماتریس شامل $$ n ! $$ جمله به فرم $$ { \left ( { – 1 } \right ) ^ s } { a _ { 1 { k _ 1 } } } { a _ { 2 { k _ 2 } } } \cdots { a _ { n { k _ n } } } $$ است. هر یک از این جملات متناظر با یکی از $$n!$$ ترتیب $$k_ 2 $$، … و $$k _ n$$ از $$s $$ از زوج جایگشت‌های عناصر مجموعه $$ 1 $$، $$ 2$$، … و $$ n $$ است. مقدار دترمینان با ترکیب‌های خطی از سطرها یا ستون‌ها یا ترانهاده ماتریس تغییری نمی‌کند.

۲. دترمینان یک ماتریس مرتبه $$n$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large \det A = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ { 11 } } } & { { a _ { 1 2 } } } & \ldots & { { a _ { 1j } } } & \ldots & { { a _ { 1 n } } } \\
{ { a _ { 2 1 } } } & { { a _ { 2 2 } } } & \ldots & { { a _ {2 j } } } & \ldots & { { a _ { 2n } } } \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
{ { a _ { i 1 } } } & { { a _ { i 2 } } } & \ldots & { { a _ { ij } } } & \ldots & { { a _ { i n } } } \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
{ { a _ { n 1 } } } & { { a _ { n 2 } } } & \ldots & { { a _ { n j } } } & \ldots & { { a _ { n n } } }
\end {array} } \right | $$

۳. دترمینان ماتریس مرتبه دوم شامل دو جمله است که هریک از آن‌ها شامل ضرب دو درایه ماتریس هستند:

$$ \large \det A = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ { 1 1 } } } & { { a _ { 1 2 } } } \\
{ { a _ { 2 1 } } } & { { a _ { 2 2 } } }
\end {array} } \right | = { a _ { 1 1 } } { a _ { 2 2 } } – { a _ { 1 2 } } { a _ { 2 1 } } $$

۴. دترمینان ماتریس مرتبه سوم شامل ۶ جمله است که هریک از آن‌ها شامل ضرب سه درایه ماتریس هستند:

$$ \large \begin {align*} \det A = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ { 1 1 } } } & { { a _ { 1 2 } } } & { { a _ { 1 3} } } \\
{ { a _ { 2 1 } }} & { { a _ { 2 2 } } } & { { a _ { 2 3 } } } \\
{ { a _ { 3 1 } } } & { { a _ {3 2 } } } & { { a _ { 3 3 } }}
\end {array} } \right | & = { a _ { 1 1 } } { a _ { 2 2 } } { a _ { 3 3 } } + \; { a _ { 1 2 } } { a _ { 2 3 } } { a _ { 3 1 } } + \; { a _ { 1 3 } } { a _ { 2 1 } } { a _ { 3 2 } } \\ & \;\;\;\;\; – \; { a _ { 1 1 } } { a _ {2 3 } } { a _ { 32 } } – \; { a _ { 1 2 } }{ a _ { 2 1 } } { a _ { 3 3 } } – \; { a _ { 1 3 } } { a _ { 2 2 } } { a _ { 3 1 } } \end {align*} $$

۵. دترمینان ماتریس مرتبه سوم را می‌توان با استفاده از روش ساروس نیز محاسبه کرد. سه تا از شش جمله با علامت مثبت درج شده و سه جمله دیگر با علامت منفی در نظر گرفته می‌شوند. درایه‌های سه‌تایی با هم به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده‌اند.

خواص دترمینان

۶. کهاد $$ M _ { i j } $$ متناظر با درایه $$ a _ { i j } $$ از ماتریس مرتبه $$n$$اُم $$ A $$، دترمینان مرتبه $$(n – 1 ) $$ به دست آمده از ماتریس $$ A $$ با حذف سطر $$ i$$اُم و ستون $$j$$اُم است.

7. الحاقی $$ A _ { i j } $$ کهاد $$ M _ { i j } $$ ضرب در $$ – 1 $$ به توان $$ ( i + j )$$ است:

$$ \large { A _ { i j } } = { \left ( { – 1 } \right ) ^ { i + j } } { M _ { i j } } $$

۸. دترمینان مرتبه $$ n$$ را می‌توان با استفاده از فرمول لاپلاس نیز محاسبه کرد. در این صورت، با گسترش دترمینان در سطر $$ i $$اُم، فرمول آن به صورت زیر است:

$$ \large \det A = \sum \limits _ { j = 1 } ^ n { { a _ { i j } }{ A _ { i j } } } , \; i = 1 , 2 , \ldots , n $$

هنچنین، با گسترش دترمینان در ستون $$ j $$اُم، خواهیم داشت:

$$ \large \det A = \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { a _ { i j } } { A _ { i j } } } , \; \; j = 1 , 2 , \ldots , n $$

۹. دترمینان ترانهاده یک ماتریس مربعی برابر با دترمینان ماتریس اصلی است:

$$ \large \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ 1 } } & { { a _ 2 } } \\
{ { b _ 1 } } & { { b _ 2 } }
\end {array} } \right | = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ 1 } } & { { b _ 1 } } \\
{ { a _ 2 } } & { { b_ 2 } }
\end {array} } \right | $$

۱۰. اگر جای دو سطر یا ستون را تعویض کنیم، علامت دترمینان تغییر می‌کند:

$$ \large \left | { \begin {array} { * { 2 0 } {c } }
{ { a _ 1 } } & { { b _ 1 } } \\
{ { a _ 2 } } & { { b _ 2 } }
\end {array} } \right | = – \left | { \begin {array} { * { 20 } { c } }
{ { a _ 2 } } & { { b _ 2 } } \\
{ { a _ 1 } } & { { b _ 1 } }
\end {array}} \right |$$

۱۱. اگر یک ماتریس دو سطر یا ستون برابر داشته باشد، دترمینان آن صفر خواهد بود:

$$ \large \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ 1 } } & { { a _ 1 } } \\
{ { a _ 2 } } & { { a _ 2 } }
\end {array} } \right | = 0 $$

۱۲. ضرب درایه‌های یک سطر (یا ستون) در یک عدد، معادل با ضرب دترمینان در آن عدد است. به عبارت دیگر، یک عامل ثابت از درایه‌های هر سطر (یا ستون) را می‌توان از دترمینان بیرون آورد:

$$ \large \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ k { a _ 1 } } & { k {b _ 1 } } \\
{ { a _ 2 }} & { { b _ 2 } }
\end {array} } \right | = k \left | { \begin {array} { * { 2 0 } {c } }
{ { a _ 1 } } & { { b _ 1 } } \\
{ { a _ 2 } } & { { b _ 2 } }
\end {array} } \right | $$

13. اگر درایه‌های هر سطر (یا ستون) در یک عدد ثابت ضرب شده و با درایه‌های متناظر سطر (یا ستون) دیگر جمع شوند، آنگاه مقدار دترمینان تغییری نخواهد کرد:

$$ \large \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ 1 } + k { b _ 1 } } & { { b _ 1 } } \\
{ { a _ 2 } + k { b _ 2 } } & { { b _ 2 } }
\end {array} } \right | = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ 1 } } & { { b _ 1 } } \\
{ { a _ 2 } } & { { b _ 2 } }
\end {array} } \right | $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۲۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *