جاذب ارتعاشات – از صفر تا صد

جاذب ارتعاشات (Vibration Absorber) که گاهی وقت‌ها جاذب دینامیکی ارتعاشات نیز نامیده می‌شود، قطعه‌ای مکانیکی است که برای کاهش یا حذف ارتعاشات ناخواسته مورد استفاده قرار می‌گیرد. جاذب ارتعاشات خودش دارای جرم و سفتی است که برای محافظت از جسم اصلی در مقابل ارتعاشات، به آن اضافه می‌شود. از این رو،‌ جرم اصلی به اضافه جرم جاذب، یک سیستم دو درجه آزادی را تشکیل می‌دهند و جاذب ارتعاشات دارای دو فرکانس اصلی خواهد بود.

کاربرد اصلی جاذب ارتعاشات در ماشین‌آلاتی است که با سرعت ثابت کار می‌کنند. زیرا این قطعات برای فرکانس مشخصی تنظیم می‌شوند و فقط در یک باند فرکانسی باریک مؤثر خواهند بود. جاذب ارتعاشات به طور گسترده در ابزارهای رفت و برگشتی (مانند چرخ‌های سنباده، اره‌ها و و ماشین‌های کامپکتور) و موتورهای احتراق داخلی که به منظور کاهش مصرف سوخت با سرعت ثابت کار می‌کنند، کاربرد دارد. در چنین سیستم‌هایی، جاذب ارتعاشات به موازنه نیروهای رفت و برگشتی کمک می‌کند. اگر از جاذب ارتعاشات استفاده نشود، نیروهای رفت و برگشتی غیر متوازن، نگه داشتن یا کنترل دستگاه را با مشکل مواجه خواهند ساخت.

از سوی دیگر، جاذب ارتعاشات در خطوط انتقال ولتاژ بالا هم کاربرد دارد. در این مورد، جاذب دینامیکی ارتعاشات، مطابق شکل زیر، مانند یک دمبل ورزشی از خطوط انتقال آویزان می‌شود تا اثرات خستگی مربوط به ارتعاشات ناشی از وزش باد را کاهش دهد.

همان‌طور که می‌دانید، اگر فرکانس نیروی تحریک نزدیک به فرکانس طبیعی ماشین باشد، ارتعاشات ماشین بسیار شدید خواهد بود. در چنین وضعیتی، می‌توان با استفاده از یک جاذب ارتعاشات یا خنثی‌کننده ارتعاشات (Vibration Neutralizer) که تنها یک سیستم جرم و فنر است، دامنه ارتعاشات را به سادگی کاهش داد. جاذب دینامیکی ارتعاشات به گونه‌ای طراحی می‌شود که فرکانس‌های طبیعی سیستم نهایی، فاصله زیادی با فرکانس تحریک داشته باشد.

جاذب ارتعاشات نامیرا

هنگامی که جرم کمکی $$\large m_2$$ را با کمک فنری با سفتی $$\large k_2$$ به جرم اصلی ماشین $$\large m_1$$ متصل می‌کنیم (منظور از جرم اصلی، جرم سیستم قبل از اضافه شدن جاذب ارتعاشات است)، سیستم نهایی دو درجه آزادی به صورت شکل زیر خواهد بود.

در این حالت، معادله حرکت جرم‌های $$\large m_1$$ و $$\large m_2$$ به صورت زیر است.

$$\large m_1 \ddot {x}_1 \:+\: k_1 x_1 \:+\: k_2 (x_1 \:-\: x_2) \:=\: F_0 \sin \omega t \\~\\ \large m_2 \ddot {x}_2 \:+\: k_2 (x_2 \:-\: x_1) \:=\: 0$$

پاسخ هارمونیک را به شکل زیر و با دامنه مقادیر $$\large j= 1,2$$ فرض می‌کنیم.

$$\large x_j= X_j \sin \omega t$$

دامنه ارتعاشات در حالت ماندگار برای جرم‌های $$\large m_1$$ و $$\large m_2$$ به ترتیب برابر با رابطه‌های ارائه شده در زیر به دست می‌آید.

$$\large X_1 \:=\: \frac {(k_2 \:-\: m_2 \omega ^2) F_0} {(k_1 \:+\: k_2 \:-\: m_1 \omega ^2) (k_2 \:-\: m_2 \omega ^2) \:-\: k_2^2}$$

(رابطه ۱)

$$\large X_2 \:=\: \frac {k_2 F_0} {(k_1 \:+\: k_2 \:-\: m_1 \omega ^2) (k_2 \:-\: m_2 \omega ^2) \:-\: k_2^2}$$

(رابطه ۲)

هدف اصلی از اضافه کردن جاذب، کاهش دامنه حرکتی ماشین یعنی $$\large X_1$$ است. لذا برای اینکه بتوانیم دامنه ارتعاشات جرم $$\large m_1$$ را حذف کنیم، کافیست تا صورت کسر را در رابطه ۱ برابر صفر قرار دهیم.

$$\large \omega ^2 \:=\: \frac {k_2} {m_2}$$

اگر ماشین، پیش از اضافه شدن جاذب ارتعاشات در حالتی نزدیک به حالت رزونانس نوسان داشته باشد، رابطه زیر را می‌توان نوشت.

$$\large \omega ^2 \:\cong\: \omega^2_1 \:=\: \frac {k_1} {m_1}$$

بنابراین، اگر جاذب ارتعاشات به صورت $$\large \omega ^2 \:=\: \frac {k_2} {m_2} \:=\: \frac {k_1} {m_1}$$‌ طراحی شود، دامنه ارتعاشات ماشین در فرکانس تشدید صفر خواهد بود. فرکانس طبیعی ماشین یا سیستم اصلی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$\large \delta _{st} \:=\: \frac {F_0} {k_1} ~~~ ~~~ ~~~ \omega_1 \:=\: \left( \frac {k_1} {m_1} \right) ^{1/2}$$

همچنین فرکانس طبیعی سیستم کمکی یا جاذب ارتعاشات را نیز به صورت $$\large \omega_2 \:=\: \left( \frac {k_2} {m_2} \right) ^{1/2}$$ در نظر بگیرید. حالا می‌توانیم رابطه‌های ۱ و ۲ را به شکل زیر بازنویسی کرد.

$$\large \frac {X_1} {\delta _{st}} \:=\: \frac {1\:-\: \left( \frac {\omega} {\omega _2} \right) ^2} {\left[ 1\:+\: \frac {k_2} {k_1} \:-\: \left( \frac {\omega} {\omega _1} \right) ^2 \right] \left[ 1\:-\: \left( \frac {\omega} {\omega _2} \right) ^2 \right] \:-\: \frac {k_2} {k_1}}$$

(رابطه ۳)

$$\large \frac {X_2} {\delta _{st}} \:=\: \frac {1} {\left[ 1\:+\: \frac {k_2} {k_1} \:-\: \left( \frac {\omega} {\omega _1} \right) ^2 \right] \left[ 1\:-\: \left( \frac {\omega} {\omega _2} \right) ^2 \right] \:-\: \frac {k_2} {k_1}}$$

(رابطه ۴)

شکل زیر، تغییرات دامنه ارتعاشات ماشین ($$\large \frac {X_1} {\delta _{st}}$$) را نسبت به سرعت ماشین ($$\large \frac {\omega} {\omega_1}$$) به خوبی نشان می‌دهد. قله‌های نشان داده شده در این نمودار با فرکانس‌های طبیعی سیستم دو درجه آزادی جدید متناظر هستند. همان‌طور که پیش‌تر نشان دادیم، در فرکانس $$\large \omega =\omega _1$$، رابطه $$\large X_1 =0$$ برقرار است. در این فرکانس، رابطه ۴ به صورت زیر خواهد بود.

$$\large X_2 \:=\: -\: \frac {k_1} {k_2} \delta _{st} \:=\: -\: \frac {F_0} {k_2}$$

به عبارت دیگر، نیروی حاصل از فنر کمکی، در خلاف جهت ($$\large k_2 X_2 =- F_0$$) بوده و آن را خنثی می‌کند. در ادامه این روند، آن‌قدر $$\large X_1$$ را کاهش می‌دهد تا مقدارش را به صفر برساند. اکنون می‌توانیم برای یافتن سایز جاذب ارتعاشات از رابطه زیر کمک بگیریم.

$$\large k_2 X_2 \:=\: m_2 \omega ^2 X_2 \:=\: -\: F_0$$

(رابطه ۵)

بنابراین، با توجه به مقدار مجاز $$\large X_2$$ قادر خواهیم بود اندازه $$\large k_2$$ و $$\large m_2$$‌ را تعیین کنیم.

با دقت در شکل قبل درمی‌یابیم که اگرچه اضافه شدن جاذب ارتعاشات توانسته دامنه ارتعاشات را در یک محدوده فرکانسی مشخص محدود یا حذف کند، ولی دو فرکانس رزونانس $$\large \Omega _1$$ و $$\large \Omega _2$$ ایجاد کرده که دامنه ماشین در این دو فرکانس به بینهایت میل می‌کند. در عمل و در کاربردهای واقعی باید محدوده فرکانس کاری را به اندازه کافی از دو فرکانس رزونانس $$\large \Omega _1$$ و $$\large \Omega _2$$ دور نگه داشت. برای یافتن مقدار این دو فرکانس، باید مخرج رابطه‌ ۳ را برابر صفر قرار دهیم. اما پیش از آن به عبارت زیر دقت کنید.

$$\large \frac {k_2} {k_1} \:=\: \frac {k_2} {m_2} \times \frac {m_2} {m_1} \times \frac {m_1} {k_1} \:=\: \frac {m_2} {m_1}\: \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2$$

حالا مخرج رابطه ۳ را مساوی با صفر می‌نویسیم.

$$\large \left( \frac {\omega} {\omega _2} \right)^4 \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right)^2 \:-\: \left( \frac {\omega} {\omega _2} \right)^2 \left[ 1\:+\: \left( 1\:+\: \frac {m_2} {m_1} \right) \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2 \right] \:+\:1 \:=\: 0$$

ریشه‌های معادله بالا برابر با عبارت‌های زیر است.

$$\large \left( \frac {\Omega _1} {\omega _2} \right)^2, \left( \frac {\Omega _2} {\omega _2} \right)^2 \:=\: \frac {1\:+\: \left( 1\:+\: \frac {m_2} {m_1} \right) \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2} {2 \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2} \\~\\ \large \mp \frac { \left\{ \left[ 1\:+\: \left( 1\:+\: \frac {m_2} {m_1} \right) \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2 \right] ^2 \:-\: 4 \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2 \right\} ^{1/2}} {2 \left( \frac {\omega _2} {\omega _1} \right) ^2}$$

(رابطه ۶)

رابطه بالا در واقع تابعی از $$\large \left( m_2 / m_1 \right)$$ و $$\large \left( \omega_2 / \omega_1 \right)$$ است. با دقت در رابطه بالا سه نتیجه مهم استخراج می‌شود.

• فرکانس‌های $$\large \Omega _1$$ و $$\large \Omega _2$$ به ترتیب از سرعت کاری ماشین (که با فرکانس طبیعی $$\large \omega _1$$ برابر است) کوچکتر و بزرگتر هستند. در نتیجه، موتور در حین راه‌اندازی و همین‌طور در هنگام توقف، حتماً از مقدار $$\large \Omega _1$$ عبور خواهد کرد. دامنه ارتعاشات در این نقطه خیلی زیاد خواهد بود.
• از آنجایی که جاذب ارتعاشات برای یک فرکانس تحریک $$\large \omega$$ تنظیم می‌شود، دامنه حالت ماندگار ماشین فقط برای این فرکانس، برابر صفر است. اگر ماشین با فرکانس‌های دیگر کار کند یا نیروی وارد به ماشین چند فرکانس داشته باشد، ممکن است دامنه ارتعاشات بزرگ شود.
• تغییرات $$\large \Omega _1/ \omega _2$$ و $$\large \Omega _2/ \omega _2$$ به عنوان تابعی از $$\large m_2/ m_1$$ و برای سه نسبت مختلف $$\large \omega_2/ \omega_1$$ در شکل زیر رسم شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، اختلاف بین $$\large \Omega_1$$ و $$\large \Omega_2$$ با زیاد شدن مقدار $$\large m_2/ m_1$$، افزایش یافته است.

مثال ۱: جاذب ارتعاشات برای موتور دیزل

سؤال: برای نگهداری یک موتور دیزل با وزن $$\large 3000 N$$ از یک تکیه‌گاه استفاده شده است. هنگامی که سرعت موتور به $$\large 6000 rpm$$ می‌رسد، ارتعاشات آن از طریق این تکیه‌گاه به محیط منتقل می‌شود. پارامترهای لازم برای یک جاذب ارتعاشات را طوری تعیین کنید که دامنه ارتعاشات را کاهش دهد. اندازه نیروی تحریک برابر $$\large 250 N$$ و دامنه حرکت جرم کمکی محدود به $$\large 2 mm$$ است.

پاسخ: ابتدا فرکانس ارتعاشات موتور را محاسبه می‌کنیم.

$$\large f\:=\: \frac {6000} {60} \:=\: 100\: Hz \\~\\ \large \omega \:=\: 628.32\: rad /s$$

از آنجایی که هدف این مسئله، صفر کردن دامنه حرکت تکیه‌گاه است، دامنه حرکت جرم کمکی باید با حرکت ناشی از نیروی تحریک مساوی و در خلاف جهت آن باشد. از رابطه شماره ۵ کمک می‌گیریم.

$$\large |F_0| \:=\: m_2 \omega ^2 X_2$$

با جایگذاری مقادیر معلوم، جرم کمکی و سپس سفتی فنر آن، به صورت زیر به دست می‌آید.

$$\large 250 \:=\: m_2 (628.32) ^2 (0.002) \\~\\ \large m_2 \:=\: 0.31665 \:kg \\~\\ \large \omega ^2\:=\: \frac {k_2} {m_2} \\~\\ \large k_2 \:=\: (628.32) ^2 \:(0.31665) \:=\: 125009\: N/m$$

مثال ۲: جاذب ارتعاشات برای مجموعه موتور-ژنراتور

سؤال: شکل زیر، یک مجموعه موتور-ژنراتور را نشان می‌دهد که برای کار در بازه $$\large 2000\: rpm$$ تا $$\large 4000\: rpm$$ طراحی شده است. به دلیل وجود نابالانسی جزئی در روتور، دامنه ارتعاشات این سیستم در سرعت $$\large 3000\: rpm$$ بسیار زیاد می‌شود. برای برطرف کردن این مشکل، پیشنهاد شده تا از یک جاذب ارتعاشات استفاده شود. بدین منظور و برای سرعت $$\large 3000\: rpm$$ به جاذب ارتعاشات با جرم $$\large 2\: kg$$ نیاز است. در این صورت، فرکانس‌های طبیعی سیستم در سرعت‌های $$\large 2500\: rpm$$ و $$\large 3500\: rpm$$ رخ می‌دهد. جرم و سفتی سیستم جاذب را طوری طراحی کنید که فرکانس‌های طبیعی آن خارج از بازه عملکرد این مجموعه موتور -- ژنراتور قرار بگیرد.

فرکانس‌های طبیعی مجموعه موتور -- ژنراتور و همچنین جاذب ارتعاشات به صورت زیر است.

$$\large \omega_1 \:=\: \sqrt { \frac {k_1} {m_1}} ~~~ ~~~ ~~~ \large \omega_2 \:=\: \sqrt { \frac {k_2} {m_2}}$$

برای به دست آوردن فرکانس‌های رزونانس $$\large \Omega_1$$ و $$\large \Omega_2$$ در سیستم نهایی، به رابطه ۶ برمی‌گردیم. از آنجایی که جرم جاذب برابر با $$\large m= 2kg$$ در نظر گرفته شده، رابطه $$\large \omega_1 = \omega_2 =314.16 \:rad/s$$ که متناظر با سرعت $$\large 3000\: rpm$$ بوده، برقرار است.

$$\large \mu \:=\: \frac {m_2} {m_1} \\~\\ \large r_1 \:=\: \frac {\Omega_1} {\omega_2} ~~~ ~~~ ~~~ r_2 \:=\: \frac {\Omega _2} {\omega _2}$$

حالا می‌توانیم رابطه ۶ را به شکل ساده زیر بنویسیم.

$$\large r_1^2 ,\: r_2^2 \:=\: \left( 1\:+\: \frac {\mu} {2} \right) \mp \sqrt {\left( 1\:+\: \frac {\mu} {2} \right) ^2\:-\: 1}$$

می‌دانیم مقدار $$\large \Omega_1$$ برابر با $$\large 261.80\: rad/s$$ (معادل $$\large 2500\: rpm$$) و مقدار $$\large \Omega_2$$ نیز برابر با $$\large 366.52\: rad/s$$ (معادل $$\large 3500\: rpm$$) است.

$$\large r_1 \:=\: \frac {\Omega _1} {\omega _2} \:=\: \frac {261.80} {314.16} \:=\: 0.8333 \\~\\ \large r_2 \:=\: \frac {\Omega _2} {\omega _2} \:=\: \frac {366.52} {314.16} \:=\: 1.1667 \\~\\ \large \Rightarrow ~~~ r_1^2 \:=\: \left( 1\:+\: \frac {\mu} {2} \right) \:-\: \sqrt {\left( 1\:+\: \frac {\mu} {2} \right) ^2 \:-\: 1} \\~\\ \large \Rightarrow ~~~ \mu \:=\: \left( \frac {r_1^4 \:+\: 1} {r_1^2} \right) \:-\: 2$$

با توجه به مقدار $$\large r_1 =0.8333$$، جواب‌های زیر به دست می‌آید.

$$\large \mu \:=\: m_2 / m_1 \:=\: 0.1345 \\~\\ \large m_1 \:=\: m_2 /0.1345 \:=\: 14.8699 \:kg$$

حد پایین برای $$\large \Omega _1$$ برابر با $$\large 2000\: rpm$$ (معادل $$\large 209.44\: rad/s$$) است.

$$\large r_1 \:=\: \frac {\Omega _1} {\omega _2} \:=\: \frac {209.44} {314.16} \:=\: 0.6667$$

با به کار بردن این مقدار به دست آمده برای $$\large r_1$$، می‌توانیم مقادیر $$\large \mu$$، $$\large m_2$$ و فرکانس دوم رزونانس را تعیین کنیم.

$$\large r_2^2 \:=\: \left( 1\:+\: \frac {\mu} {2} \right) \:+\: \sqrt {\left( 1\:+\: \frac {\mu} {2} \right) ^2 \:-\:1} \:=\: 2.2497$$

فرکانس متناظر با این مقدار برابر با $$\large \Omega_2 = 4499.4 \:rpm$$ است که اختلاف مناسبی هم با حد بالای سرعت یعنی $$\large 4000 \:rpm$$ دارد. اکنون می‌توانیم سفتی فنر مربوط به جاذب ارتعاشات را نیز به دست آوریم.

$$\large k_2 \:=\: \omega _2^2 m_2 \:=\: \left( 314.16 \right) ^2\: \left( 10.3227 \right) \:=\: 1.0188 \times 10 ^6\: N/m$$

جاذب ارتعاشات میرا

همان‌طور که تا به اینجا گفتیم، جاذب ارتعاشات نقطه ماکزیمم را در نمودار پاسخ ارتعاشی خنثی می‌کند ولی در عوض، دو نقطه ماکزیمم جدید معرفی می‌کند. بنابراین، هنگام راه‌اندازی و توقف، ماشین از نقطه ماکزیمم اول عبور کرده و نوسانات شدیدی را تجربه می‌کند.

دامنه ارتعاشات ماشین را می‌توان با اضافه کردن جاذب ارتعاشات میرا کاهش داد. شکل زیر را در نظر بگیرید. معادله حرکت مربوط به هریک از دو جرم اصلی و کمکی به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large m_1 \ddot {x}_1 \:+\: k_1 x_1 \:+\: k_2 \left( x_1 \:-\: x_2 \right) \:+\: c_2 \left( \dot {x}_1 \:-\: \dot {x} _2 \right) \:=\: F_0 \sin \omega t$$

(رابطه ۷)

$$\large m_2 \ddot {x}_2 \:+\: k_2 \left( x_2 \:-\: x_1 \right) \:+\: c_2 \left( \dot {x}_2 \:-\: \dot {x} _1 \right) \:=\:0$$

(رابطه ۸)

پاسخ معادلات بالا را به صورت زیر در نظر می‌گیریم. پارامتر $$\large j$$ می‌تواند مقادیر $$\large 1$$ یا $$\large 2$$ را اختیار کند.

$$\large x_j (t) \:=\: X_j e^ {i\omega t}$$

پاسخ حالت ماندگار رابطه‌های ۷ و ۸ به صورت زیر است.

$$\large X_1 \:=\: \frac {F_0 \left( k_2 \:-\: m_2 \omega^2 \:+\: ic_2 \omega \right)} {\left[ \left( k_1 \:-\: m_1 \omega ^2 \right) \left( k_2 \:-\: m_2 \omega ^2 \right) \:-\: m_2k_2\omega^2 \right] \:+\: i\omega c_2 \left( k_1 \:-\: m_1 \omega^2 \:-\: m_2 \omega^2 \right)} \\~\\ \large X_2 \:=\: \frac {X_1 \left( k_2 \:+\: i\omega c_2 \right)} {\left( k_2 \:-\: m_2 \omega ^2\:+\: i\omega c_2 \right)}$$

برای ادامه، تعریف‌های زیر را در نظر بگیرید.

• نسبت جرم برابر با نسبت جرم جاذب ارتعاشات به جرم اصلی است و به صورت $$\large \mu= m_2 /m_1$$ تعریف می‌شود.
• جابجایی استاتیکی برابر با $$\large \delta _{st} =F_0 /k_1$$ است.
• مربع فرکانس طبیعی جاذب ارتعاشات را با $$\large \omega _a^2 =k_2 /m_2$$ نشان می‌دهیم.
• مربع فرکانس طبیعی جرم اصلی به شکل $$\large \omega _n^2 =k_1 /m_1$$ نمایش داده می‌شود.
• نسبت فرکانس‌های طبیعی را با $$\large f$$ نشان داده و به صورت $$\large \omega _a/ \omega _n$$ تعریف می‌کنیم.
• $$\large g$$ نسبت فرکانس اجباری و برابر با نسبت $$\large \omega / \omega _n$$ است.
• به $$\large c_c$$ ثابت میرایی بحرانی می‌گوییم و آن را برابر با $$\large 2m_2 \omega _n$$ نشان می‌دهیم.
• و بالاخره اینکه نسبت میرایی هم با عبارت $$\large \zeta =c_2 /c_c$$‌ برابر است.

حالا می‌توانیم اندازه دامنه‌های $$\large X_1$$ و $$\large X_2$$ را با عبارات زیر نمایش دهیم.

$$\large \frac {X_1} {\delta _{st}} \:=\: \left[ \frac {\left( 2\zeta g \right)^2 \:+\: \left( g^2 \:-\: f^2 \right) ^2} {\left( 2\zeta g \right)^2 \left( g^2 \:-\: 1\:+\: \mu g^2 \right)^2 \:+\: \left\{ \mu f^2 g^2 \:-\: \left( g^2 \:-\: 1 \right) \left( g^2 \:-\: f^2 \right) \right\} ^2} \right] ^{1/2}$$

(رابطه ۹)

$$\large \frac {X_2} {\delta _{st}} \:=\: \left[ \frac {\left( 2\zeta g \right)^2 \:+\: f^4} {\left( 2\zeta g \right)^2 \left( g^2 \:-\: 1\:+\: \mu g^2 \right)^2 \:+\: \left\{ \mu f^2 g^2 \:-\: \left( g^2 \:-\: 1 \right) \left( g^2 \:-\: f^2 \right) \right\} ^2} \right] ^{1/2}$$

(رابطه ۱۰)

رابطه ۹ نشان می‌دهد که دامنه ارتعاشات جرم اصلی، تابعی از پارامترهای $$\large \mu$$، $$\large f$$، $$\large g$$ و $$\large \zeta$$ است. در شکل زیر، نمودار $$\large |\frac {X_1} {\delta _{st}}|$$ برحسب نسبت فرکانس اجباری برای مقادیر $$\large f= 1$$ و $$\large \mu= 1/20$$ و چند مقدار مختلف از $$\large \zeta$$ رسم شده است.

اگر میرایی برابر صفر باشد ($$\large c_2= \zeta =0$$)، آنگاه در هر دو فرکانس رزونانس نامیرای مربوط به سیستم،‌ رزونانس یا تشدید رخ خواهد داد. اگر مقدار میرایی به بی‌نهایت برسد ($$\large \zeta =\infty$$)، سیستم مانند سیستم یک درجه آزادی با جرم $$\large \left[ m_1 +m_2 = (21/20)m \right]$$ و سفتی $$\large k_1$$ رفتار می‌کند. در این حالت، رزونانس با دامنه $$\large X_1 \rightarrow \infty$$ و در نسبت فرکانس اجباری زیر اتفاق می‌افتد.

$$\large g\:=\: \frac {\omega} {\omega _n} \:=\: \frac {1} {\sqrt {1\:+\: \mu}} \:=\: 0.9759$$

در هر دو حالت $$\large c_2 =0$$ و $$\large c_2 =\infty$$، پیک نمودار $$\large X_1$$ به بی‌نهایت میل می‌کند. اما جایی بین این دو مقدار نیز، مینیمم $$\large X_1$$ اتفاق خواهد افتاد. همان‌طور که در شکل قبل مشاهده کردید، صرف نظر از مقدار میرایی، تمام نمودارها از نقاط $$\large \text {A}$$ و $$\large \text {B}$$ عبور می‌کنند. با جایگذاری مقادیر $$\large c_2 =0$$ و $$\large c_2 =\infty$$ در رابطه ۹ می‌توانیم این نقاط را بیابیم.

$$\large g^4 \:-\: 2g^2 \left( \frac {1\:+\: f^2 \:+\: \mu f^2} {2 \:+\: \mu} \right) \:+\: \frac {2f^2} {2 \:+\: \mu} \:=\:0$$

ریشه‌های این معادله، مقادیر نسبت فرکانس $$\large g_A =\omega _A/ \omega$$ و $$\large g_B =\omega _B/ \omega$$ متناظر با دو نقطه $$\large \text {A}$$ و $$\large \text {B}$$ هستند. عرض نقاط $$\large \text {A}$$ و $$\large \text {B}$$ را نیز می‌توان با جایگذاری دو نسبت فرکانس اجباری به دست آمده در رابطه ۶ محاسبه کرد. بهینه‌ترین جاذب ارتعاشات هنگامی به دست می‌آید که در آن، عرض نقاط $$\large \text {A}$$ و $$\large \text {B}$$ باهم برابر باشد. این حالت فقط در صورت برقراری رابطه زیر رخ می‌دهد.

$$\large f\:=\: \frac {1} {1\:+\: \mu}$$

(رابطه ۱۱)

با اینکه از رابطه بالا به عنوان مشخصه جاذب بهینه ارتعاشات نام برده می‌شود ولی باز هم مقدار بهینه نسبت میرایی $$\large \zeta$$ و مقدار $$\large X_1 /\delta _{st}$$ متناظر با آن مشخص نشده است. مقدار بهینه نسبت میرایی هنگامی به دست می‌آید که نمودار پاسخ $$\large X_1 /\delta _{st}$$ تا جایی که امکان‌پذیر است،‌ در دو نقطه $$\large \text {A}$$ و $$\large \text {B}$$ هموار شود. شکل زیر را در نظر بگیرید. بدین منظور، ابتدا باید رابطه ۱۱ را با رابطه ۹ ادغام کنیم. پس از آن از رابطه ۹ اصلاح شده، نسبت به پارامتر $$\large g$$ مشتق می‌گیریم تا شیب نمودار $$\large X_1 /\delta _{st}$$ به دست بیاید. سپس شیب نمودار را برابر با صفر قرار می‌دهیم تا مقادیر نسبت میرایی به دست بیاید. ابتدا مقدار نسبت میرایی را برای نقطه $$\large \text {A}$$ و سپس برای نقطه $$\large \text {B}$$ مشخص می‌کنیم.

$$\large \zeta_A^2 \:=\: \frac {\mu \left\{ 3\:-\: \sqrt { \frac {\mu} {\mu \:+\: 2}} \right\}} {8 \left( 1\:+\: \mu \right) ^3} \\~\\ \large \zeta_B^2 \:=\: \frac {\mu \left\{ 3\:+\: \sqrt { \frac {\mu} {\mu \:+\: 2}} \right\}} {8 \left( 1\:+\: \mu \right) ^3}$$

از میانگین دو مقدار بالا می‌توانیم به عنوان نسبت میرایی بهینه در طراحی استفاده کنیم.

$$\large \zeta^2 _{\text { optimal}} \:=\: \frac {3 \mu} {8 \left( 1\:+\: \mu \right) ^3}$$

از این رو، مقدار $$\large \left( \frac {X_1} {\delta _{st}} \right)$$ متناظر با نسبت میرایی بهینه به صورت زیر خواهد بود.

$$\large \left( \frac {X_1} {\delta _{st}} \right) _{\text {optimal}} \:=\: \left( \frac {X_1} {\delta _{st}} \right) _{\text {max}} \:=\: \sqrt {1\:+\: \frac {2} {\mu}}$$

به عنوان نتیجه‌ای از این بخش، موارد زیر را می‌توان در نظر گرفت.

• با دقت در رابطه 10 مشخص است که دامنه مربوط به جرم جاذب ارتعاشات یعنی $$\large X_2$$ همیشه بزرگتر از دامنه جرم اصلی ($$\large X_1$$) است. در نتیجه، در طراحی باید برای این مقادیر نیز پیش‌بینی‌های لازم انجام شود.
• از آنجایی که می‌دانیم دامنه $$\large m_2$$ بزرگ خواهد بود، در طراحی سفتی فنر جاذب ارتعاشات ($$\large k_2$$)، به موضوع خستگی هم باید دقت شود.
• معمولاً در کاربردهای واقعی از جاذب ارتعاشات نامیرا استفاده می‌شود. اگر میرایی هم به جاذب اضافه شود، قابلیت جاذب ارتعاشات در حذف نوسان‌های ناخواسته، تضعیف خواهد شد. در یک جاذب ارتعاشات میرا، دامنه نوسان‌های جرم اصلی صفر نخواهد شد و فقط در شرایطی که باند فرکانسی عملکرد جاذب،‌ باریک باشد، میرایی اضافه می‌شود.

اگر به مباحث مرتبط در زمینه مکانیک و ارتعاشات علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

• ژیروسکوپ – از صفر تا صد
• رزونانس – به زبان ساده
• ارتعاشات مکانیکی — بخش سوم: سیستم‌های دو درجه آزادی

^^