ریاضی , علوم پایه 617 بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس در مورد مفاهیم مربوط به سری فوریه صحبت شد. در این مطلب قصد داریم تا مفهومی مرتبط با سری فوریه تحت عنوان توابع متعامد را معرفی کنیم. بدین منظور در ابتدا بایستی با توابع متناوب و توابع زوج و فرد آشنا باشید.

توابع متناوب

به تابعی، دوره‌ای با دوره تناوب T گفته می‌شود که به ازای هر xای رابطه زیر در آن برقرار باشد.

$$ \large f \left ( { x + T } \right ) = f \left ( x \right ) \, \, \hspace {0.25in} $$

نکته 1: اگر f و g هر دو دوره‌ای با دوره تناوب T باشند، در این صورت دو تابع $$ f + g $$ و $$ f g $$ نیز متناوب با دوره تناوب T هستند. در ادامه اثبات این نکته ارائه شده است.

$$\large \begin {align*} & \left( { f + g } \right ) \left ( { x + T } \right ) = f \left( { x + T } \right ) + g \left ( {x + T} \right) = f \left ( x \right ) + g \left ( x \right ) = \left ( { f + g } \right ) \left ( x \right ) \\ &
\ \ \ \ \left ( { f g } \right ) \left ( { x + T } \right ) = f \left ( { x + T } \right ) g \left ( { x + T } \right ) = f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) = \left ( { f g } \right ) \left ( x \right ) \end {align*} $$

نکته 2: دو تابع دوره‌ای معروف، توابع سینوس و کسینوس هستند که در ادامه این مطلب، بسیار از آن‌ها استفاده خواهد شد. به یاد داشته باشید که دوره تناوب دو تابع $$ \sin \left ( { \omega \, x } \right ) $$ و $$ \cos \left ( { \omega \, x } \right ) $$ برابر است با:

$$\large \displaystyle T = \frac { { 2 \pi } } { \omega } $$

توابع زوج و فرد

مفهوم دیگری که قبل از معرفی توابع متعامد، بایستی با آن‌ آشنا باشید، توابع زوج و فرد هستند. به تابعی زوج گفته می‌شود که رابطه زیر در آن برقرار باشد.

$$ \large f \left ( { – x } \right ) = f \left ( x \right ) $$

هم‌چنین تابعی فرد است که عبارت زیر برای آن صادق باشد.

$$ \large f \left ( { – x } \right ) = – f \left ( x \right ) $$

برای نمونه دو تابع $$ f ( x ) = x $$ و $$ f ( x ) = \cos x $$ به‌ ترتیب فرد و زوج هستند. مفاهیم توابع زوج و فرد در محاسبه انتگرال‌های معینی که روی بازه‌ای متقارن باشند، بسیار کاربرد دارد.

نکته 3: اگر تابع (f(x زوج باشد، در این صورت رابطه زیر در انتگرال روی بازه‌های متقارن برای آن برقرار است.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { f \left ( x \right ) \, d x } } $$

هم‌چنین اگر تابع (f(x فرد باشد، در این صورت انتگرال روی بازه‌های متقارن برای آن برابر با صفر خواهد بود. در حقیقت رابطه‌ زیر را می‌توان برای آن نوشت.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = 0 $$

توجه داشته باشید که نکته 3 تنها در مواردی کاربرد دارد که انتگرال‌گیری روی بازه‌‌ای متقارن انجام شود. حال با آشنایی با توابع زوج و فرد و توابع دوره‌ای زمان آن رسیده که توابع متعامد را معرفی کنیم.

توابع متعامد

در این قسمت تعریف عمود بودن دو تابع و چند تابع را به صورت مجزا ارائه می‌دهیم.

تعریف

به دو تابع غیر صفرِ (f(x و (g(x عمود گفته می‌شود، زمانی که در بازه $$ a \le x \le b $$ رابطه زیر بین آن‌ها برقرار باشد.

$$ \large \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) \, d x } } = 0 $$

هم‌چنین مجموعه‌ای از توابع $$ \left \{ { { f _ i } \left ( x \right ) } \right \} $$ در بازه $$ a \le x \le b $$ زمانی دوبه‌دو به یکدیگر عمود هستند که رابطه زیر بین آن‌ها برقرار باشد.

$$\large \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { { f _ i } \left ( x \right ) { f _ j } \left ( x \right ) \, d x } } = \left \{ { \begin {array} {* { 2 0 } { l } } 0 & { i \ne j } \\ { c > 0 } & { i = j } \end {array} } \right. $$

بدیهی است که در شرایطی که i=j باشد، رابطه انتگرال به صورت زیر در می‌آید.

$$ \large \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { { f _ i } \left ( x \right ) { f _ i } \left ( x \right ) \, d x } } = \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { { { \left [ { { f _ i } \left ( x \right ) } \right] } ^ 2 } \, d x } } > 0 $$

به منظور بررسی وضعیت تعامد توابع مثلثاتی نیز می‌توان از روابط زیر بهره برد.

$$ \large \begin {align*} \sin \alpha \cos \beta & = \frac { 1 } { 2 } \left [ { \sin \left( { \alpha – \beta } \right ) + \sin \left ( { \alpha + \beta } \right ) } \right ] \\ \sin \alpha \sin \beta & = \frac { 1 } { 2 } \left [ {\cos \left ( { \alpha – \beta } \right ) – \cos \left ( { \alpha + \beta } \right ) } \right ] \\ \cos \alpha \cos \beta & = \frac { 1 } { 2 } \left [ { \cos \left( { \alpha – \beta } \right ) + \cos \left ( { \alpha + \beta } \right ) } \right ] \end {align*} $$

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که به منظور مطالعه مفاهیم سری و انتگرال فوریه نیز می‌تواند برای شما مفید باشد.

مثال 1

نشان دهید که توابع $$ \left \{ { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L} } \right ) } \right \} _ { n \, \, = \, \, 0 } ^ \infty $$ به ازای nهای مختلف در بازه $$ – L \le x \le L $$ به یکدیگر عمود هستند.

به منظور پاسخ به سوال کافی است حاصل انتگرالِ مثلثاتی زیر محاسبه شود.

$$\large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } $$

تابع زیر انتگرال، زوج است. بنابراین حاصل انتگرال فوق را می‌توان به‌ صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } $$

به منظور محاسبه انتگرال فوق، سه حالت را می‌توان مورد بررسی قرار داد.

حالت اول: $$ \underline { n = m = 0 } $$

در این حالت حاصل انتگرال برابر است با:

$$\large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { d x } } = 2 L $$

حالت دوم: $$ \underline { n = m \ne 0 } $$

در این حالت بدست آوردن انتگرال اندکی مشکل‌تر است. با استفاده از روابط مثلثاتی داریم:

$$\large \begin {align*} \int _ { { – L } } ^ { L } { { { { \cos } ^ 2 } \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } & = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { { { \cos } ^ 2 } \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = \int _ { 0 } ^ { L } { { 1 + \cos \left ( { \frac { { 2 n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } \\ & = \left. { \left( {x + \frac { L } { { 2 n \pi } } \sin \left ( { \frac { { 2 n \pi x } } { L } } \right ) } \right ) } \right |_ 0 ^ L = L + \frac { L } { { 2 n \pi } } \sin \left ( { 2 n \pi } \right ) \end {align*} $$

در این قسمت بایستی بیان کنیم که n عددی صحیح محسوب می‌شود؛ بنابراین حاصل $$ \sin \left ( { 2 n \pi } \right ) = 0 $$ برقرار است. در نتیجه پاسخ انتگرال به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { { { \cos } ^ 2 } \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { { { \cos } ^ 2 } \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = L $$

دو حالت اول تنها نشان می‌دهند که به ازای n=m پاسخ انتگرال غیر صفر است. بنابراین تاکنون پاسخی مغایر با متعامد نبودن توابع یافت نشده است.

حالت سوم: $$ \underline { n \ne m } $$

با توجه به زوج بودن تابع تحت انتگرال، این حالت را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } $$

برای محاسبه انتگرال فوق می‌توان از قانون تبدیل ضرب به جمعِ توابع مثلثاتی به شکل زیر استفاده کرد.

$$ \large \begin {align*} \int _ { { – L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } & = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { L }{ { \cos \left ( { \frac { { \left ( { n – m } \right ) \pi x } } { L } } \right ) + \cos \left ( { \frac { { \left ( { n + m } \right ) \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } \\ & = \left [ { \frac { L } { { \left ( { n – m } \right ) \pi } } \sin \left ( { \frac { { \left ( { n – m } \right ) \pi x } } { L } } \right ) + \frac { L } { { \left ( { n + m } \right ) \pi } } \sin \left ( { \frac { { \left ( { n + m } \right ) \pi x } } { L } } \right ) } \right ] _ 0 ^ L \\ & = \frac { L }{ { \left ( { n – m } \right ) \pi } } \sin \left ( { \left ( { n – m } \right ) \pi } \right ) + \frac { L } { { \left ( { n + m } \right ) \pi } } \sin \left ( { \left ( { n + m } \right ) \pi } \right ) \end {align*} $$

بدیهی است که هر دو عبارت n-m و n+m اعدادی صحیح هستند. بنابراین حاصل عبارت سینوسی بدست آمده در بالا نیز برابر با صفر است. نهایتا حاصل انتگرال به ازای n≠m برابر می‌شود با:

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = 0 $$

بنابراین ما نشان دادیم که در حالتی که n و m برابر نباشند، حاصل انتگرال برابر با صفر است. لذا توابع $$ \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right )$$ و $$ \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right )$$ به یکدیگر عمود هستند.

با استفاده از این روش می‌توان نشان داد که توابع سینوس نیز به هم عمود هستند.

مثال 2

نشان دهید که توابع $$ \left \{ { \sin \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) } \right \} _ { n \, \, = \, \, 1 } ^ \infty $$ به ازای nهای مختلف در بازه $$ – L \le x \le L $$ و $$ 0 \le x \le L $$ به یکدیگر عمود هستند.

همانند مثال 1 در این حالت نیز بایستی حاصل انتگرال زیر را به ازای حالت‌های مختلف n و m بیابید.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \sin \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \sin \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } $$

تابع تحت انتگرال حاصل‌ضرب دو تابع فرد بوده که خروجی آن نهایتا تابعی زوج محسوب می‌شود. بنابراین پاسخ انتگرال را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$ \large \int _ { { – L } } ^ { L } { { \sin \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \sin \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { \sin \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \sin \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } $$

در این انتگرال دو حالت را می‌توان مورد بررسی قرار داد.

حالت اول: $$ \underline { n = m } $$

در این حالت حاصل انتگرال را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \begin {align*} \int _ { { – L } } ^ { L } { { { { \sin } ^ 2 } \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } & = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { { { \sin } ^ 2 } \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = \int _ { 0 } ^ { L } { { 1 – \cos \left ( { \frac { { 2 n \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } \\ & = \left. { \left( { x – \frac { L } { { 2 n \pi } } \sin \left( { \frac { { 2 n \pi x } } { L } } \right ) } \right ) } \right|_0^L = L – \frac { L } { { 2 n \pi } } \sin \left ( { 2 n \pi } \right ) = L \end {align*} $$

بنابراین در این حالت حاصل انتگرال برابر است با:

$$ \large \int_{{ – L}}^{L}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = L $$

حالت دوم: $$ \underline { n \ne m } $$

همانند مثال 1 می‌توان از قانون ضرب به جمع به صورت زیر استفاده کرد.

$$\large \begin {align*} \int _ { { – L } } ^ { L } { { \sin \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \sin \left( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } & = 2 \int _ { 0 } ^ { L } { { \sin \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{\left( {n – m} \right)\pi x}}{L}} \right) – \cos \left( {\frac{{\left( {n + m} \right)\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \left[ {\frac{L}{{\left( {n – m} \right)\pi }}\sin \left( {\frac{{\left( {n – m} \right)\pi x}}{L}} \right) – \frac{L}{{\left( {n + m} \right)\pi }}\sin \left( {\frac{{\left( {n + m} \right)\pi x}}{L}} \right)} \right]_0^L\\ & = \frac{L}{{\left( {n – m} \right)\pi }}\sin \left( {\left( {n – m} \right)\pi } \right) – \frac{L}{{\left( {n + m} \right)\pi }}\sin \left( {\left( {n + m} \right)\pi } \right)\end{align*} $$

با توجه به صحیح بودن اعداد n-m و n+m در این حالت نیز حاصل انتگرال برابر با صفر است. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \int_{{ – L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 0 $$

در نتیجه توابع $$ \sin \frac {n \pi} L x $$ به یکدیگر عمود هستند. مفهوم توابع متعامد، در مباحث سری و انتگرال فوریه بسیار پرکاربرد است. در ادامه تابع‌های متعامد مهم و حاصل انتگرال آن‌ها ارائه شده‌اند.

  1. $$\large \displaystyle \int _ { { – L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = \left \{ { \begin {array} {*{20}{l}}{2L}&{{\mbox{if }}n = m = 0 } \\L&{{\mbox {if } } n = m \ne 0 } \\0& {{\mbox{if } }n \ne m } \end {array} } \right. $$
  2. $$\large \displaystyle \int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}L&{{\mbox{if }}n = m = 0}\\{\frac{L}{2}}&{{\mbox{if }}n = m \ne 0}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right. $$
  3. $$\large \displaystyle \int_{{ – L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}L&{{\mbox{if }}n = m}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right. $$
  4. $$\large \displaystyle \int_{0}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{L}{2}}&{{\mbox{if }}n = m}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right. $$
  5. $$\large \displaystyle \int_{{ – L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 0 $$

با فراگیری این مطلب، می‌توانید مفاهیم سری فوریه را به خوبی درک کنید.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *