اصل آرگومان – از صفر تا صد

۲۲۳۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۳ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۷ دقیقه
دانلود PDF مقاله
اصل آرگومان – از صفر تا صداصل آرگومان – از صفر تا صد

اصل آرگومان نتیجه قضیه مانده‌ها است. این قضیه تعداد دور یک منحنی را با تعداد صفرها و قطب‌های درون آن مرتبط می‌کند. اصل آرگومان کاربردهای زیادی دارد و در مواقعی که بخواهیم مکان صفرها و قطب‌ها را بدانیم، بسیار کارساز خواهد بود.

997696

اصل آرگومان

برای بیان اصل آرگومان، ابتدا چند فرض را در نظر می‌گیریم:

  • γ\gamma یک منحنی بسته ساده است و در جهت خلاف عقربه‌های ساعت (پادساعتگرد) چرخیده است.
  • f(z)f ( z ) درون γ\gamma تحلیلی است، به جز (احتمالاً) تعداد محدودی قطب درون (و نه روی) γ\gamma و تعداد محدودی صفر درون (و نه روی) γ\gamma.
  • فرض می‌کنیم p1p _ 1، ... و pmp _ m قطب‌های تابع ff درون منحنی γ\gamma هستند.
  • فرض می‌کنیم z1z _ 1، ... و znz _ n صفرهای تابع ff درون منحنی γ\gamma هستند.
  • mult(zk)\operatorname {mult} \left ( z _ { k } \right ) را به عنوان تعداد صفرها در zkz _ k و mult(pk)\operatorname {mult} \left ( p _ { k } \right ) را به عنوان تعداد قطب‌ها در pkp _ k در نظر می‌گیریم.

ابتدا یک قضیه را بیان می‌کنیم که منجر به اصل آرگومان می‌شود.

قضیه ۱: با توجه به فرضیات بالا، داریم:

γf(z)f(z)dz=2πi(mult(zk)mult(pk))\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) }{ f ( z ) } d z = 2 \pi i \left ( \sum \operatorname {mult} \left ( z _ { k } \right ) - \sum \operatorname {mult} \left ( p _ { k } \right ) \right )

اثبات: برای اثبات این قضیه لازم است قطب‌ها و باقیمانده‌های f(z)/f(z)f' ( z )/ f ( z ) را بدانیم. با در نظر گرفتن این موضوع، فرض کنید f(z)f ( z ) یک صفر مرتبه mm در z0z _ 0 داشته باشد. سری تیلور f(z)f ( z ) حول z0z _ 0 به صورت زیر است:

f(z)=(zz0)mg(z)\large f ( z ) = ( z - z _ 0 ) ^ m g ( z )

که در آن، g(z)g ( z ) یک تابع تحلیلی است و در همسایگی کوچک z0z _ 0 هیچگاه صفر نمی‌شود. در نتیجه، داریم:

f(z)f(z)=m(zz0)m1g(z)+(zz0)mg(z)(zz0)mg(z)=mzz0+g(z)g(z)\large \begin {aligned} \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } & = \frac { m \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { m - 1 } g ( z ) + \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { m } g ^ { \prime } ( z ) } { \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { m } g ( z ) } \\ & = \frac { m } { z - z _ { 0 } } + \frac { g ^ { \prime }( z ) } { g ( z ) } \end {aligned}

از آنجا که g(z)g ( z ) هیچگاه صفر نمی‌شود، g(z)/g(z)g' ( z ) / g ( z ) در همسایگی z0z _ 0 تحلیلی است. این یعنی z0z _ 0 یک قطب ساده برای f(z)/f(z)f' (z ) / f ( z ) است و داریم:

Res(f(z)f(z),z0)=m=mult(z0).\large \operatorname {Res} \left ( \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } , z _ { 0 } \right ) = m = \operatorname {mult} \left ( z _ { 0 } \right ) .

به طور مشابه، اگر z0z _ 0 قطبی از مرتبه mm باشد، آنگاه سری لوران f(z)f ( z ) حول z0z _ 0 به شکل زیر است:‌

f(z)=(zz0)mg(z)\large f ( z ) = ( z - z _ 0 ) ^ { - m } g ( z )

که در آن، g(z)g ( z ) تحلیلی است و در همسایگی کوچک z0z _ 0 هیچگاه صفر نمی‌شود. بنابراین:

f(z)f(z)=m(zz0)m1g(z)+(zz0)mg(z)(zz0)mg(z)=mzz0+g(z)g(z)\large \begin {aligned} \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } & = - \frac { m \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { - m - 1 } g ( z ) + \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { - m } g ^ { \prime } ( z ) } { \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { - m } g ( z ) } \\ & = - \frac { m } { z - z _ { 0 } } + \frac { g ^ { \prime }( z ) } { g ( z ) } \end {aligned}

مجدداً z0z _ 0 یک قطب ساده برای f(z)/f(z)f' ( z ) / f ( z ) است و داریم:

Res(f(z)f(z),z0)=m=mult(z0)\large \operatorname {Res} \left ( \frac { f ^ { \prime } ( z ) }{ f ( z ) } , z _ { 0 } \right ) = - m = - \operatorname {mult} \left ( z _ { 0 } \right )

بنابراین، طبق قضیه مانده‌ها، خواهیم داشت:

γf(z)f(z)dz=2πi(mult(zk)mult(pk))\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = 2 \pi i \left ( \sum \operatorname {mult} \left ( z _ { k } \right ) - \sum \operatorname {mult} \left ( p _ { k } \right ) \right )

تعریف: Zf,γZ _ { f , \gamma} را به عنوان مجموع تعداد صفرهای ff درون γ\gamma تعریف می‌کنیم. به طور مشابه Pf,γP _ { f , \gamma} را مجموع تعداد قطب‌های ff درون γ\gamma می‌نامیم. بنابراین، طبق قضیه ۱، داریم:

γffdz=2πi(Zf,γPf,γ)(1)\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f } d z = 2 \pi i \left ( Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right ) \quad \quad \quad ( 1 )

تعریف: تعداد دور را با فرمول کوشی بیان می‌کنیم. اگر γ\gamma یک منحنی بسته باشد، آنگاه تعداد (یا شاخص) دور حول z0z _ 0 به صورت زیر تعریف می‌شود:

nd(γ,z0)=12πiγ1zz0dz\large \operatorname {nd} \left ( \gamma , z _ { 0 } \right ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } d z

تصویر منحنی‌ها (fγ\Large f \circ \gamma)

یکی از نمادگذاری‌های اساسی در این آموزش، تصویر یک منحنی به منحنی دیگر است. یعنی، اگر z=γ(t)z = \gamma ( t) یک منحنی و w=f(z)w = f ( z ) یک تابع باشد، آنگاه w=fγ(t)=f(γ(t))w = f \circ \gamma ( t) = f (\gamma ( t)) یک منحنی دیگر است. در این حالت، می‌گوییم ff منحنی γ\gamma را به fγf \circ \gamma تصویر می‌کند. این موضوع در اصل آرگومان بسیار مهم است. به همین دلیل، برای یادگیری بهتر آن، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱: γ(t)=eit\gamma ( t) = e ^ { i t } را با 0t2π0 \le t \le 2 \pi (دایره واحد) در نظر بگیرید. همچنین f(z)=z2f ( z ) = z ^ 2 است. منحنی fγf \circ \gamma را توصیف کنید.

حل: واضح است که وقتی tt از 00 تا 2π2 \pi تغییر می‌کند، fγ(t)=e2itf \circ \gamma ( t) = e ^ { 2 i t } دو بار دایره واحد را می‌پیماید.

مثال ۲: γ(t)=it\gamma ( t) = i t را با <t<-\infty < t < \infty (محور yy) در نظر بگیرید. با فرض f(z)=1/(z+1)f( z ) = 1 / ( z + 1 )، منحنی fγf \circ \gamma را توصیف کنید.

حل: f(z)f ( z ) یک تبدیل خطی کسری است و خط γ\gamma را به دایره گذرنده از مبدأ با مرکز 1/21 / 2 تصویر می‌کند. با بررسی چند نقطه، داریم:

f(i)=1i+1=1+i2,f(0)=1,f(i)=1i+1=1i2,f()=0\large f ( - i ) = \frac { 1 } { - i + 1 } = \frac { 1 + i } { 2 } , \quad f ( 0 ) = 1 , \quad f ( i ) = \frac { 1 } { i + 1 } = \frac { 1 - i } { 2 } , \quad f ( \infty ) = 0

می‌بینیم که وقتی tt از - \infty تا \infty می‌رود، دایره در جهت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شود.

منحنی <span class=z=γ(t)=itz = \gamma ( t) = i t به w=fγ(t)=1/(it+1)w = f \circ \gamma ( t) = 1 / ( i t + 1 ) تصویر شده است." width="810" height="233">
شکل ۱:‌ منحنی z=γ(t)=itz = \gamma ( t) = i t به w=fγ(t)=1/(it+1)w = f \circ \gamma ( t) = 1 / ( i t + 1 ) تصویر شده است.

اصل آرگومان

با در نظر گرفتن مطالبی که تا اینجا ارائه کردیم، اکنون اصل آرگومان را در قالب یک قضیه بیان می‌کنیم.

قضیه ۲ (اصل آرگومان): طبق فرضیات و نمادگذاری‌های بالا، برای ff و γ\gamma داریم:

γf(z)f(z)dz=2πiInd(fγ,0)=2πi(Zf,γPf,γ)(2)\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 ) = 2 \pi i \left ( Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right ) \quad \quad ( 2 )

اثبات: طبق قضیه ۱، داریم:

γf(z)f(z)dz=2πi(Zf,γPf,γ)\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = 2 \pi i \left ( Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right )

بنابراین، لازم است نشان دهیم انتگرال نیز برابر تعداد دور داده شده است. این کار به سادگی با تغییر متغیر w=f(z)w = f ( z ) قابل انجام است. با این تغییر متغیر، کانتور z=γ(T)z = \gamma ( T) به w=fγ(t)w = f \circ \gamma ( t) تبدیل شده و dw=f(z)dzd w = f' ( z ) d z است. بنابراین:

γf(z)f(z)dz=fγdww=2πiInd(fγ,0)\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } d z = \int _ { f \circ \gamma } \frac { d w } { w } = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 )

تساوی آخر معادله بالا از تعریف تعداد دور به دست آمده است.

توجه کنید که طبق فرض، γ\gamma از صفرهای ff عبور نمی‌کند، بنابراین، w=f(γ(t))w = f (\gamma ( t )) هیچگاه صفر نخواهد شد و 1/w1 / w در انتگرال مشکلی ایجاد نخواهد کرد.

اکنون یک نتیجه ساده برای اصل آرگومان بیان می‌کنیم که در ادامه مفید خواهد بود.

نتیجه: با فرض اینکه fγf \circ \gamma از 1- 1 عبور نکند، یعنی هیچ صفری از 1+f(z)1 + f ( z ) روی γ\gamma نباشد، داریم:

γff+1=2πiInd(fγ,1)=2πi(Z1+f,γPf,γ)(3)\large \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f + 1 } = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , - 1 ) = 2 \pi i \left ( Z _ { 1 + f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \right ) \quad ( 3 )

اثبات: با اعمال اصل آرگومان به معادله (۲) برای تابع 1+f(z)1 + f ( z )، داریم:

γ(1+f)(z)1+f(z)dz=2πiInd(1+fγ,0)=2πi(Z1+f,γP1+f,γ)\large \int _ { \gamma } \frac { ( 1 + f ) ^ { \prime } ( z ) } { 1 + f ( z ) } d z = 2 \pi i \operatorname {Ind} ( 1 + f \circ \gamma , 0 ) = 2 \pi i \left ( Z _ { 1 + f , \gamma } - P _ { 1 + f , \gamma } \right )

اکنون می‌توانیم هر یک از جملات این معادله را با جملا متناظر در معادله (۳) مقایسه کنیم:

  • γ(1+f)(z)1+f(z)dz=γf(z)1+f(z)dz\int _ { \gamma} \frac { ( 1 + f ) ^ { \prime } ( z ) } { 1 + f ( z ) } d z = \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } ( z ) }{ 1 + f ( z ) } d z زیرا (1+f)=f( 1 + f )' = f'
  • Ind(1+fγ,0)=Ind(fγ,1)\operatorname {Ind} ( 1 + f \circ \gamma , 0 ) = \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , - 1 ) (1+f1 + f حول 00 می‌چرخد، یعنی ff حول 1- 1 می‌چرخد).
  • Z1+f,γ=Z1+f,γZ _ { 1 + f , \gamma } = Z _ { 1 + f , \gamma } (مشابه در هر دو معادله)‌
  • P1+f,γ=Pf,γP _ { 1 + f , \gamma } = P _ { f , \gamma } (قطب‌های ff، قطب‌های 1+f1 + f هستند).

مثال ۳: با در نظر گرفتن f(z)=z2+zf ( z ) = z ^ 2 + z، تعداد دورهای fγf \circ \gamma را حول 00 برای هر یک از منحنی‌های زیر به دست آورید.

  • (الف) γ1\gamma _ 1 = دایره‌ای به شعاع 22.
  • (ب) γ2\gamma _ 2 = دایره‌ای به شعاع 1/21/2.
  • (پ) γ3\gamma _ 3 = دایره‌ای به شعاع 11.

حل: f(z)f ( z ) دو صفر در 00 و 1- 1 دارد و قطب ندارد. بنابراین، ff  در γ1\gamma _ 1 قطبی ندارد و دارای دو صفر است. اصل آرگومان بیان می‌کند که Ind(fγ1,0)=Zf,γ1Pf,γ1=2\mathrm{Ind}(f \circ \gamma _ 1 , 0 ) = Z _ { f , \gamma _ 1 } - P _ { f , \gamma _ 1 } = 2. به طور مشابه، ff در γ2\gamma _ 2 قطبی ندارد و تنها دارای یک صفر است. بنابراین، Ind(fγ2,0)=Zf,γ2Pf,γ2=10=1\mathrm{Ind}(f \circ \gamma _ 2, 0 ) = Z _ { f , \gamma _ 2 } - P _ { f , \gamma _ 2 } = 1-0=1. برای γ3\gamma _ 3، یک صفر ff روی منحنی قرار دارد، یعنی f(1)=0f ( - 1 ) = 0، بنابراین، نمی‌توان از اصل آرگومان استفاده کرد. تصویر γ3\gamma _ 3 در شکل زیر نشان داده شده است که از صفر می‌گذرد.

تصویر سه دایره مختلف با <span class=f(z)=z2+zf ( z ) = z ^ 2 + z." width="763" height="333">
شکل ۲: تصویر سه دایره مختلف با f(z)=z2+zf ( z ) = z ^ 2 + z.

قضیه روشه

در این بخش،‌ قضیه روشه (Rouché's Theorem) را بیان می‌کنیم.

قضیه (قضیه روشه): فرضیات زیر را در نظر بگیرید:

  • γ\gamma یک منحنی بسته ساده است.
  • ff و hh توابعی تحلیلی روی γ\gamma و درون آن هستند، جز در تعداد محدودی قطب.
  • قطبی از ff و hh روی γ\gamma نیست.
  • نامساوی h<f| h | < | f | روی γ\gamma برقرار است.

آنگاه:

 Ind (fγ,0)=Ind((f+h)γ,0)\large \begin {array} { c } \text { Ind } ( f \circ \gamma , 0 ) = \operatorname {Ind} ( ( f + h ) \circ \gamma , 0 ) \\ \end {array}

یعنی:

Zf,γPf,γ=Zf+h,γPf+h,γ(4)\large Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } = Z _ { f + h , \gamma } - P _ { f + h , \gamma } \quad \quad ( 4 )

اثبات: برای استفاده از اصل آرگومان باید تابعی داشته باشیم که صفر و قطبی روی γ\gamma نداشته باشد. بنابراین، ابتدا نشان می‌دهیم که این موضوع برای ff، f+hf + h و (f+h)/f( f + h ) / f صحیح است. آرگومان به صورت زیر تغییر می‌کند:

  • صفرها: با توجه به 0h<f0 \le |h|< | f | روی γ\gamma، بنابراین، ff صفری روی γ\gamma ندارد. همچنین، f+hf + h صفری روی γ\gamma ندارد، زیرا مقدار hh هیچگاه به اندازه کافی بزرگ نخواهد بود که ff را حذف کند. از آنجا که ff و f+hf + h صفر ندارند، (f+h)/f( f + h ) / f نیز صفر ندارد.
  • قطب‌ها: طبق فرض، ff و hh روی γ\gamma قطبی ندارند، بنابراین، f+hf + h نیز روی γ\gamma قطبی نخواهد داشت. از آنجا که ff روی γ\gamma صفری ندارد، (f+h)/f(f+ h ) / f نیز روی آن قطبی نخواهد داشت.

اکنون می‌توانیم اصل آرگومان را به ff و f+hf + h اعمال کنیم:

12πiγffdz=Ind(fγ,0)=Zf,γPf,γ(5)12πiγ(f+h)f+hdz=Ind((f+h)γ,0)=Zf+h,γPf+h,γ(6)\large \begin {array} { c } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f } d z = \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 ) = Z _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma } \quad \quad ( 5 ) \\ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } \frac { ( f + h ) ^ { \prime } } { f + h } d z = \operatorname {Ind} ( ( f + h ) \circ \gamma , 0 ) = Z _ { f + h , \gamma } - P _ { f + h , \gamma} \quad ( 6 ) \end {array}

در ادامه، طبق فرض hf<1\left | \frac { h } { f } \right | < 1، می‌توان گفت (hf)γ\left ( \frac { h } { f } \right ) \circ \gamma درون دایره واحد است. این بدین معنی است که 1+hf=f+hf1+ \frac { h } { f } = \frac { f + h } { f }، منحنی γ\gamma را به درون یک دیسک واحد با مرکز 11 تصویر می‌کند. در نتیجه:

Ind((f+hf)γ,0)=0\large \operatorname {Ind} \left ( \left ( \frac { f + h } { f} \right ) \circ \gamma , 0 \right ) = 0

تابع g=f+hfg = \frac { f + h } { f } را در نظر می‌گیریم. معادله بالا می‌گوید Ind(gγ,0)=0\mathrm {Ind} ( g \circ \gamma , 0 ) = 0 است. بنابراین، γggdz=0\int _ \gamma \frac {g'}{g} d z = 0 (در بالا نشان دادیم که gg صفر یا قطبی روی γ\gamma ندارد).

اکنون، به سادگی داریم: gg=(f+h)f+hff\frac {g'} { g } = \frac {(f+h)'}{f + h } - \frac {f'}{f}. بنابراین، خواهیم داشت:

Ind(gγ,0)=γggdz=γ(f+h)f+hdzγffdz=0Ind((f+h)γ,0)=Ind(fγ,0)\large \begin {align*} \operatorname {Ind} ( g \circ \gamma , 0 ) & = \int _ { \gamma } \frac { g ^ { \prime } } { g } d z = \int _ { \gamma } \frac { ( f + h ) ^ { \prime } } { f + h } d z - \int _ { \gamma } \frac { f ^ { \prime } } { f } d z = 0 \\ & \Rightarrow \operatorname {Ind} ( ( f + h ) \circ \gamma , 0 ) = \operatorname {Ind} ( f \circ \gamma , 0 ) \end {align*}

حال، طبق معادله‌های (۵) و (۶)، Zf,γPf,γ=Zf+h,γPf+h,γZ _ { f , \gamma } - P _ { f , \gamma} = Z _ { f + h , \gamma } - P _ { f + h , \gamma } و این یعنی ثبات قضیه روشه کامل شده است.

نتیجه: طبق فرضیات مشابه، اگر hh و ff تحلیلی (بدون قطب) باشند، آنگاه:

Zf,γ=Zf+h,γ\large Z _ { f , \gamma } = Z _ { f + h , \gamma }

اثبات: از آنجا که توابع تحلیلی هستند، هر دو مقدار Pf,γP _ { f , \gamma } و Pf+h,γP _ { f + h , \gamma } برابر با صفر خواهند بود. بنابراین، معادله (۴) نشان می‌دهد که Zf=Zf+hZ _ f = Z _ { f + h }.

hh را به عنوان یک آشفتگی کوچک برای ff در نظر می‌گیریم.

مثال ۴: نشان دهید همه پنج صفر z5+3z+1z ^ 5 + 3 z + 1 درون منحنی C2:z=2C _ 2 : |z| = 2 هستند.

حل: فرض می‌کنیم f(z)=z5f ( z ) = z ^ 5 و h(z)=3z+1h ( z ) = 3 z + 1. واضح است که هر پنج ریشه ff (در واقع یک ریشه با ۵ بار تکرار) درون C2C _ 2 قرار دارند. همچنین، واضح است که روی ff نامساوی h<7<32=f| h | < 7 < 32 = |f| را داریم. نتیجه قضیه روشه بیان می‌کند که هر ۵ ریشه f+h=z5+3z+1f + h = z ^ 5 + 3 z + 1 باید درون منحنی باشند.

مثال ۵: نشان دهید z+3+2ezz + 3 + 2 e ^ z یک ریشه در سمت چپ صفحه مختلط دارد.

حل: فرض کنید f(z)=z+3f ( z ) = z + 3 و h(z)=2ezh ( z ) = 2 e ^ z. کانتور از iR- i R تا iRi R را در طول محور yy و سپس نیم‌دایره سمت چپ به شعاع RR را که از iR- i R بر می‌گردد در نظر بگیرید. کانتور C1+CRC _ 1 + C _ R در شکل زیر نشان داده شده است.

کانتور <span class=C1+CRC _ 1 + C _ R" width="237" height="246">
شکل ۳:‌ کانتور C1+CRC _ 1 + C _ R

برای به کار بردن نتیجه قضیه روشه باید (برای RR بزرگ) نامساوی h<f| h | < | f | را روی C1+CRC _ 1 + C _ R بررسی کنیم. روی C1C _ 1، داریم:‌ z=iyz = i y. در نتیجه:

f(z)=3+iy3,h(z)=2eiy=2\large | f ( z ) | = | 3 + i y | \geq 3 , \quad | h ( z ) | = 2 \left | \mathrm { e } ^ { i y } \right | = 2

بنابراین، روی C1C _ 1، داریم: h<f| h | < | f |.

روی CRC _ R، داریم: z=x+iyz = x + i y که x<0x < 0 و z=R| z | = R است. در نتیجه، برای RR بزرگ، f(z)>R3| f ( z ) | > R - 3 است و از آنجا که x<0x < 0 است، h(z)=2ex+iy=2ex<2| h ( z ) | = 2 | e ^ { x + i y } | = 2 e ^ x < 2. بنابراین، روی CRC _ R، داریم: h<f| h | < | f |.

تنها صفر ff در z=3z = - 3 است که درون کانتور قرار دارد. بنابراین، طبق نتیجه‌گیری قضیه روشه، f+hf + h تعداد مشابهی ریشه با ff درون کانتور دارد که این تعداد ۱ است. اگر RR به بینهاست میل کند، می‌بینیم که f+gf + g تنها یک ریشه در کل نیم‌صفحه دارد.

اثبات قضیه اساسی جبر

قضیه روشه را می‌توان برای اثبات قضیه اساسی جبر نیز به کار برد. بدین منظور، فرض کنید عبارتِ

P(z)=zn+an1zn1++a0\large P ( z ) = z ^ n + a _ { n - 1 } z ^ { n - 1 } + \ldots + a _ 0

یک چندجمله‌ای مرتبه nn باشد. همچنین فرض کنید f(z)=znf ( z ) = z ^ n و h=Pfh = P - f. عدد RR را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که R>max(1,nan1,,na0)R > \max ( 1 , n | a _ { n - 1 } | , \ldots , n | a _ 0 | ). در نتیجه، روی z=R| z | = R، داریم:

han1Rn1+an2Rn2++a0RnRn1+RnRn2++Rn<Rn\large | h | \leq \left | a _ { n - 1 } \right | R ^ { n - 1 } + \left | a _ { n - 2 } \right | R ^ { n - 2 } + \ldots + \left | a _ { 0 } \right | \leq \frac { R } { n } R ^ { n - 1 } + \frac { R }{ n } R ^ { n - 2 } + \ldots + \frac { R } { n } < R ^ { n }

روی z=R| z | = R، داریم: f(z)=Rn| f ( z ) | = R ^ n. بنابراین، نشان دادیم که روی منحنی h<f| h | < | f | است. در نتیجه، طبق نتیجه قضیه روشه، f+hf + h و ff تعداد مشابهی صفر درون z=R| z | = R دارند. از آنجا که می‌دانیم ff دقیقاً nn صفر درون منحنی دارد، برای f+hf + h نیز چنین است. اکنون RR را به بینهایت میل می‌دهیم. بنابراین، نشان دادیم که دقیقاً nn صفر درون کل صفحه وجود دارد.

نکته: این اثبات یک محدوده برای صفرها ارائه می‌دهد که اندازه همه آن‌ها کوچک‌تر یا مساوی max(1,nan1,,na0)\max ( 1 , n | a _ { n - 1 }| , \ldots , n | a _ 0 | ) است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Complex Analysis with Applications
دانلود PDF مقاله
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *