استقلال انتگرال از مسیر — به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس، مفاهیم انتگرال میدان‌های برداری و اسکالر را توضیح دادیم. از طرفی برخی از این انتگرال‌ها مستقل از مسیر بوده که می‌توان از آن در بسیاری از مسائل فیزیکی بهره برد. از این رو در این مسئله، مفهوم استقلال انتگرال از مسیر را توضیح خواهیم داد. البته پیشنهاد می‌شود ابتدا به ساکن مطالب انتگرال و توابع برداری را مطالعه فرمایید.

تعریف

میدانی برداری هم‌چون $$F$$ را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ \large \overrightarrow { F } = P \overrightarrow { i } + Q \overrightarrow { j } + R \overrightarrow { k } $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

زمانی انتگرال خطی میدان فوق مستقل از مسیر است که توابع $$ P , Q $$ و $$ R $$ پیوسته بوده و تابعی اسکالر هم‌چون $$u$$ وجود داشته باشد که رابطه زیر در آن صدق کند.

$$\large {{\overrightarrow{F} = \nabla u\;\;\;}\kern-0.3pt{ \Rightarrow \;\;\frac { { \partial u } }{ { \partial x } } = P,\;\;\;} \kern-0.3pt { \frac { { \partial u } }{ { \partial y } } = Q,\;\;\;}\kern-0.3pt { \frac { { \partial u } } { { \partial z}} = R }}$$

در این صورت انتگرال خطی میدان برداری را می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \large \begin {align*} \int \limits _ C { \overrightarrow { F } \left ( \overrightarrow{r} \right) \cdot d \overrightarrow { r } } & = { \int \limits _ C { P d x + Q d y + R d z } } \\ & = { u \left ( B \right ) – u \left ( A \right ) } \end {align*} $$

هم‌چنین اگر حاصل انتگرال خطی به صورت مستقل از مسیر در نظر گرفته شود در این صورت می‌توان گفت که حاصل آن روی یک مسیر بسته برابر با صفر است. در حقیقت می‌توان رابطه زیر را عنوان کرد.

$$ \large \begin {align*} \oint \limits _ C {\overrightarrow { F } \left ( \overrightarrow { r } \right ) \cdot d \overrightarrow { r } = 0} \end {align*} $$

در این صورت به میدان برداریِ $$ \overrightarrow { F } =\overrightarrow { \nabla } u $$، میدان برداری پایستار یا میدان برداری پایسته گفته می‌شود و تابع $$ u = u \left ( { x , y , z } \right ) $$ تحت عنوان تابع پتانسیل شناخته می‌شود.

آزمونِ میدان برداری پایستار

انتگرال خطی میدان برداری $$ \overrightarrow { F } = P \overrightarrow{ i } + Q \overrightarrow{j} $$ زمانی مستقل از مسیر است که دترمینان زیر برابر با صفر باشد.

$$ \large {{\nabla× \overrightarrow{F} } = { \left| {\begin {array} {*{20}{ c } } \overrightarrow { i } & \overrightarrow { j } & \overrightarrow { k } \\ {\large { \frac { \partial } { { \partial x }} } } &{\large{\frac { \partial } { { \partial y } } } } & { \large { \frac{\partial } { { \partial z }} } } \\ P & Q & R \end{array}} \right| } = { \overrightarrow { 0 }} } $$

توجه داشته باشید که هریک از مشتقات جزئی ارائه شده در بالا، پیوسته هستند. اگر انتگرال خطی در صفحه $$xy$$ انجام شود، در این صورت فرمول زیر را می‌توان نوشت:

$$ \large {\int \limits _ C { P d x + Q d y } } = { u\left ( B \right ) – u \left( A \right) } $$

در حالت دوبعدی نیز آزمونِ میدان برداری پایستار را می‌توان مطابق با رابطه زیر بیان کرد:

$$\large \frac { { \partial P }} { { \partial y } } = \frac { { \partial Q } }{ { \partial x}} $$

توجه داشته باشید که رابطه فوق شرط لازم به منظور پایستار بودن میدان بوده و در حالت کلی نمی‌توان گفت با برقرار بودن آن، میدان نیز قطعا پایستار است. با این حال اگر ناحیه $$D$$ همبند ساده باشد، می‌توان از این شرط به عنوان شرط کافی نیز استفاده کرد.

مثال ۱

حاصل انتگرال خطی زیر را برای مسیر‌های زیر بیابید.

$$ \large \int \limits _ { A B } {\left ( { x + y } \right ) d x + x d y } $$

1. $$AB$$، برابر با پاره‌خطی از $$ A \left ( { 0 , 0 } \right ) $$ تا $$ B \left ( { 1 , 1 } \right ) $$ است.
2. $$AB$$، برابر با بخشی از سهمی $$ y = x ^ 2 $$ از نقطه $$ A \left ( { 0 , 0 } \right ) $$ تا $$ B \left ( { 1 , 1 } \right ) $$ است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

پاسخ مسیر شماره ۱: بدیهی است که اگر دو نقطه $$A$$ و $$B$$ را به یکدیگر وصل کنیم، خطی با معادله $$ y = x $$ بدست خواهد آمد. در این حالت حاصل انتگرال مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {align*} \int\limits _ {A B } { P \left ( { x ,y } \right)dx + Q\left( { x , y } \right ) d y } = \kern0pt {\int\limits _ a ^ b {\left[ {P\left( { x , y } \right) + Q\left ( { x , y } \right)\frac { { d y} }{ { dx } } } \right] d x } } \end {align*} $$

با جایگذاری عبارت‌های $$P$$ و $$Q$$ در عبارت فوق، می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ \large \begin {align*} { { I _1 } } & = { \int\limits _ { A B } { \left( {x + y} \right ) d x + x d y } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { x + x + x \cdot 1} \right ) d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { 3 x d x } } \\ & = { 3 \left[ { \left. { \left( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right)} \right|_0^1} \right] } = {\frac { 3 } { 2 } } \end {align*} $$

پاسخ مسیر شماره ۲: انتگرال خطی روی این مسیر نیز دقیقا مشابه با مسیر شماره اول، قابل محاسبه است.

$$ \large \begin {align*} { { I _ 2 } } & = { \int \limits _ { A B } { \left ( { x + y } \right ) d x + x d y } } \\ & = {\int\limits_0^1 {\left( { x + { x ^ 2 } + x \cdot 2 x } \right ) d x } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 {\left( {x + 3 { x ^ 2 } } \right ) d x } } \\ & = {\left. {\left( {\frac{ { { x ^ 2 } } } { 2 } + \frac { { 3 { x ^ 3 } } } { 3 } } \right)} \right| _ 0 ^ 1 } \\ & = {\frac{1}{2} + 1 }={ \frac{3}{2},} \end {align*} $$

هم‌چنین به منظور تعیین پایستار بودن یا نبودن میدان، باید عبارت زیر را محاسبه کرد.

$$ \large { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } = \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } \;\;} \Rightarrow {\frac { { \partial \left ( {x + y} \right ) } } { {\partial y } } = \frac { {\partial x } } { { \partial x } } \;\;} \Rightarrow {1 \equiv 1 } $$

همان‌طور که می‌بینید سمت چپ و راست در عبارت فوق با هم برابر است. بنابراین می‌توان گفت که میدان برداری $$ \overrightarrow { F } = \left ( { x + y , x } \right ) $$ پایستار است. در نتیجه این میدان مستقل از مسیر است.

مثال ۲

نشان دهید که انتگرال خطیِ $$ \int \limits _ { A B } { \left ( { 3 { x ^ 2 }y + y } \right ) d x } +{ \left( {{x^3} + x} \right)dy} $$ مستقل از مسیر بوده و مقدار آن را محاسبه کنید. مختصات نقاط را نیز برابر با $$ A \left ( { 1 , 2 } \right ) $$ و $$ B \left ( { 4 , 5 } \right ) $$ در نظر بگیرید.

توجه داشته باشید که عبارت‌های $$ P $$ و $$ Q $$ برابرند با:

$$ \large { P \left ( { x, y } \right ) = 3 { x ^ 2 } y + y \ \ ,\;\;\;} \kern0pt { Q \left( { x , y } \right ) = { x ^ 3 } + x } $$

لذا مشتقات آن‌ها نیز برابرند با:

$$ \large { { \frac { { \partial P } } { { \partial y}} = \frac{{\partial \left( {3{x^2}y + y} \right )} } { { \partial y } } } = { 3 { x ^ 2 } + 1 \;\;\;}} \\\\ \large \kern0pt {{\frac{{\partial Q}}{ { \partial x } } = \frac{{\partial \left( {{x^3} + x} \right)}}{{\partial x } } } = { 3 { x ^ 2 } + 1 }}$$

با توجه به برابر بودن $$ { \large \frac { { \partial P } } { { \partial y } } \normalsize} = {\large\frac{{\partial Q } } { { \partial x } } \normalsize} $$ می‌توان نتیجه گرفت که میدان برداری مذکور پایستار است. از این رو به منظور محاسبه انتگرال خطی آن بهتر است که عبارت $$Pdx+qdy$$ را به صورت زیر بازنویسی کنیم.

$$\large \begin {align*} { \left ( { 3 { x^ 2 } y + y } \right ) d x + \left ( { { x ^ 3 } + x } \right ) d y } & = { { \left ( { 3 { x ^2 } y d x + { x ^ 3 } d y } \right ) } + { \left ( { y d x + x d y } \right ) } } \\ & = { d \left ( { { x ^ 3 } y } \right ) + d \left ( { x y } \right ) } \\ & = {d\left ( { { x ^ 3} y + x y } \right ) } = { d u }\end {align*} $$

بنابراین تابع پتانسیل متناسب با این میدان برداری برابر با تابع اسکالر $$ u = { { x ^3 } y + x y } $$ بدست می‌آید. لذا می‌توان از فرمول زیر استفاده کرده و انتگرال خطی را به راحتی محاسبه کرد.

$$\large { { \Large \int \limits _ { A B } } { P d x + Q d y } } = { u \left ( B \right ) – u \left ( A \right ) } $$

با استفاده از این رابطه نهایتا مقدار انتگرال خطی برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*} { I = } & \kern0pt { \int \limits _ { A B } { \left ( { 3 { x ^2 } y + y } \right ) d x + \left ( { { x ^ 3 } + x } \right ) d y } } \\\\ & = { u \left ( B \right ) – u \left ( A \right ) } \\ & = { \left ( { { 4 ^ 3 } \cdot 5 + 4 \cdot 5} \right) } - { \left( { { 1^3 } \cdot 2 + 1 \cdot 2} \right) } \\ & = { 336 } \end {align*} $$

مثال ۳

آیا میدان برداری $$ \overrightarrow { F } = \left ( { y z , x z , x y } \right ) $$ پایستار است.

با توجه به عباراتِ $$ \begin {align*} P = y z \ , \ Q = x z \ , \ R = x y \end {align*} $$، می‌توان کرل میدان برداری $$F$$ را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \begin {align*} { \nabla \times \overrightarrow{F} }
& = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \overrightarrow{i} & \overrightarrow { j } & \overrightarrow { k } \\ { \frac { \partial } { { \partial x } } } & { \frac {\partial } { { \partial y } } } &{\frac { \partial } { { \partial z } } } \\ { y z } & { x z } &{ x y } \end{array}} \right| } \\\\ & = { \left( {\frac { { \partial \left( { x y } \right )} } { { \partial y } } – \frac { { \partial \left ( { x z } \right ) } } { { \partial z}}} \right)\overrightarrow{i} } + { \left( {\frac { { \partial \left ( { y z } \right ) }} { { \partial z}} – \frac{{\partial \left( { x y } \right ) } } { {\partial x}}} \right)\overrightarrow{j} } + { \left( {\frac{{\partial \left ( { x z } \right ) } } { { \partial x}} – \frac{{\partial \left( {yz} \right)}}{{\partial y}}} \right)\overrightarrow{k} } \\ & = {\left( {x – x} \right)\overrightarrow{i} }+{ \left( {y – y} \right)\overrightarrow{j} }+{ \left( {z – z} \right)\overrightarrow{k} }={ \overrightarrow{0} } \end {align*} $$

با توجه به صفر بودن کرل میدان برداری، می‌توان نتیجه گرفت، این میدان پایستار است.

مثال ۴

وضعیت پایستاری میدان $$ \begin {align*} \overrightarrow { F } \left ( { x , y } \right) = \left ( { x + y , x – y } \right) \end {align*} $$ را تعیین کنید. اگر این میدان پایستار است، پتانسیل مرتبط با آن را بیابید.

فیلم مجموعه آموزش ریاضیات – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

مشتقات پاره‌ای این تابع برابرند با:

$$ \large \begin {align*} {\frac { { \partial P } } { { \partial y } } = 1,\;\;\;}\kern-0.3pt{\frac { { \partial Q } } { { \partial x } } = 1 \;\;} \Rightarrow { \frac { { \partial P } } { { \partial y}} = \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \end {align*} $$

بنابراین میدان برداری ارائه شده، پایستار محسوب می‌شود. به منظور یافتن پتانسیل مرتبط با تابع، در ابتدا انتگرال تابع $$P(x,y)$$ را نسبت $$x$$ محاسبه می‌کنیم. توجه داشته باشید که تابع دومتغیره بوده و انتگرال آن نسبت به $$x$$ گرفته می‌شود. بنابراین ترم ثابت آن را در حالت کلی باید وابسته به $$y$$ در نظر گرفت.

$$ \large \begin {align*} {u\left( {x,y} \right) } & ={ \int {P\left( {x,y} \right)dx} + C\left( y \right) } \\ & = {\int {\left( {x + y} \right ) d x } + C \left ( y \right) } \\ & = {\frac { { { x ^ 2 } } }{ 2 } + y x + C\left( y \right ) } \end {align*} $$

حال با محاسبه مشتق عبارت فوق نسبت به $$ y $$، عبارت $$Q$$ بدست می‌آید. با انجام این کار داریم:

$$ \large \begin {align*} {\frac{{\partial u } }{ { \partial y}} } = { \frac { { \partial \left( {\frac { { { x ^2 } } } { 2 } + y x + C \left ( y \right)} \right ) } }{ { \partial y } } } = {x + C ^ { \prime } \left ( y \right ) } = { x – y } \end {align*} $$

بنابراین تابع $$ C ( y ) $$ برابر است با:

$$\large { C \left ( y \right ) = \int { \left ( { – y } \right ) d y } } = { – \frac { { {y ^ 2} } } {2 } + { C _ 1 } } $$

مقدار $$ C _ 1 $$ ثابت است؛ بنابراین تابع پتانسیل مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\large { u \left( { x ,y } \right ) = \frac { {{ x ^ 2 } } }{2} + yx – \frac{ { {y ^ 2 } }} { 2} }+{ { C _1 } } $$

مثال ۵

وضعیت پایستار بودن میدان برداری $$ \overrightarrow { F } \left ( { x , y , z } \right) = \left ( { y z , x z + 2 y , x y + 1 } \right ) $$ را تعیین کرده و پتانسیل آن را در صورت پایستار بودن بیابید.

با توجه به شکل تابع می‌توان عبارت‌های $$ P , Q , R $$ را به صورت زیر تعیین کرد.

$$ \large P = y z \ , \ Q = x z + 2 y \ , \ R = x y + 1‌ $$

بنابراین کرل میدان $$F$$ برابر است با:

$$ \begin {align*} { \nabla \times \overrightarrow{F} } &
= { \left| { \begin{array} {*{20} { c } }
\overrightarrow { i } & \overrightarrow { j } & \overrightarrow { k } \\
{ \frac { \partial } { { \partial x } } } & { \frac { \partial } { { \partial y } } } &{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\
{yz} & {xz + 2y} & {xy + 1}
\end{array}} \right| }
\\\\ & = { \left ( {\frac { { \partial \left( { x y + 1 } \right ) } } { {\partial y}} – \frac{{\partial \left( { x z + 2 y } \right ) } } { { \partial z } } } \right)\overrightarrow{i} }
+ {\left( {\frac{{\partial \left( { y z } \right ) } } { { \partial z } } – \frac{{\partial \left( {xy + 1} \right ) } } { { \partial x } } } \right ) \overrightarrow { j } }
+ { \left ( { \frac { { \partial \left( { x z + 2y} \right)}}{{\partial x}} – \frac{{\partial \left ( { y z } \right ) } }{ { \partial y } } } \right ) \overrightarrow { k } }
\\\\ & = {\left ( { x – x } \right ) \overrightarrow{i} }+{ \left ( {y – y} \right)\overrightarrow { j } } + { \left ( { z – z } \right ) \overrightarrow { k } } = { \overrightarrow { 0 } } \end {align*} $$

با توجه به صفر بودن کرل میدان فوق، می‌توان نتیجه گرفت که میدان مذکور، پایستار است. لذا برای این میدان می‌توان تابع پتانسیل تعریف کرد. به منظور محاسبه پتانسیل، در اولین قدم از تابع $$ P $$ به صورت زیر انتگرال می‌گیریم.

$$ \large \begin {align*} u \left ( { x , y , z } \right ) & = \kern0pt { \int { P \left ( { x , y , z } \right ) d x } + G \left ( { y , z } \right ) } \\ & = {\int { y z d x } + G \left ( { y , z } \right ) } = { x y z + G \left ( { y , z } \right ) } \end {align*} $$

حال با مشتق‌گیری از $$ u $$ نسبت به $$ y $$ و برابر قرار دادن آن با $$ Q $$، معادله دیفرانسیلی بدست می‌آید که با استفاده از آن $$ G $$ قابل محاسبه خواهد بود. در ادامه این کار انجام شده است.

$$ \large \begin {align*} \frac { { \partial u } } { { \partial y } } & = \frac { \partial } { { \partial y } } \left[ { x y z + G \left( { y , z } \right ) } \right] \\\\ & = { x z + { G ^ { \prime } _ y } \left ( { y , z } \right ) } = { x z + z y } \end {align*} $$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق، تابع $$ G $$ برابر می‌شود با:

$$ \large \begin {align*} G \left ( { y , z } \right ) & = \kern0pt { \int { { G ^ { \prime } _ y } \left ( { y , z } \right ) d y } + H \left ( z \right ) } \\\\ & = {\int { 2 y d y } + H \left ( z \right ) } \\\\ & = { { y ^ 2 } + H \left ( z \right ) } \end {align*} $$

تاکنون تابع $$ u $$ برابر با عبارت زیر بدست آمده است.

$$ \large \begin {align*} { u \left ( { x , y , z } \right) } = { x y z + { y ^ 2 } + H \left ( z \right ) } \end {align*} $$

با مشتق‌گیری از عبارت فوق نسبت به $$z$$ نیز تابع $$ H ( z ) $$ به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:

$$ \large { \frac { { \partial u } } { { \partial z } } } = { \frac{\partial } { { \partial z } } \left[ { x y z + { y ^ 2 } + H \left( z \right)} \right] } = {xy + H ^ { \prime } \left ( z \right ) } \\ $$

$$ \large \Rightarrow { x y + H ^ { \prime } \left ( z \right ) = x y + 1 \;\;} \Rightarrow { H ^ { \prime } \left( z \right) = 1 } \Rightarrow { H \left ( z \right ) = z + { C _ 0 } . } $$

لذا تابع $$u$$ نیز نهایتا برابر خواهد بود با:

$$ \large { u \left ( { x , y , z } \right ) = x y z + { y ^ 2 } } + { z } + { { C _ 0 } } $$

^^