پاد مشتق چیست؟ – به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مشتق‌ و روش‌های مختلف مشتق‌گیری آشنا شدیم. در این آموزش، خواهیم آموخت که عکس عمل مشتق چیست و چگونه باید آن را انجام داد. پاد مشتق (Antiderivative) عکس مشتق‌ است و در این آموزش به همراه مثال‌های متعدد به آن خواهیم پرداخت.

تعریف پاد مشتق

تابع $$F$$ یک پادمشتق برای تابع $$f$$ است، اگر برای همه $$x$$ها در دامنه $$f$$ داشته باشیم:

$$\large F^ \prime(x)=f(x)$$

برای مثال، تابع $$f ( x ) = 2 x$$ را در نظر بگیرید. با دانستن قانون توان مشتق‌گیری، نتیجه می‌گیریم که $$F ( x) = x ^ 2$$ یک پادمشتق برای $$f$$ است.

اما آیا $$f$$ پادمشتق دیگری نیز دارد؟ بله؛ از آنجایی که مشتق هر عدد ثابت $$C$$ برابر با صفر است، $$x ^ 2 + C$$ نیز یک پادمشتق برای $$2 x$$ است. بنابراین، $$x ^ 2 + 5$$ و $$x ^ 2 - \sqrt { 2 }$$ نیز پادمشتق‌های $$2 x$$ هستند. حال این پرسش پیش می‌آید که آیا پادمشتق دیگری جز $$x ^ 2 + C$$ وجود دارد؟ پاسخ این پرسش خیر است. با توجه به قضیه مقدار میانگین، می‌دانیم که $$F$$ و $$G$$ توابعی مشتق پذیر هستند، به طوری که $$F^\prime(x)=G^\prime(x)$$، آنگاه برای هر عدد ثابت $$C$$ رابطه $$F ( x ) - G ( x ) = C$$ برقرار است. این واقعیت، منجر به قضیه مهم زیر می‌شود.

فرم عمومی پاد مشتق

فرض کنید $$F$$ پادمشتق $$f$$ در بازه $$I$$ باشد. آنگاه:

1. برای هر ثابت $$C$$، تابع $$F ( x ) + C$$ نیز پادمشتق $$f$$ در $$I$$ است.
2. اگر $$G$$ یک پادمشتق $$f$$ در $$I$$ باشد، یک ثابت $$C$$ وجود دارد به طوری که رابطه $$G( x) = F ( x) + C$$ روی بازه $$I$$ برقرار است.

به عبارت دیگر، عمومی‌ترین فرم پادمشتق $$f$$ روی $$I$$ به صورت $$F ( x ) + C$$ است.

از این قضیه و دانسته‌هایمان درباره مشتق برای یافتن همه پادمشتق‌های توابع مختلف استفاده می‌کنیم.

پاد مشتق و مسائل مقدار اولیه

یافتن پاد مشتق $$f ( x)$$ معادل با حل معادله دیفرانسیل زیر است:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = f \left ( x \right ) }$$ یا $$\large y ^ \prime\left( x \right) = f\left( x \right)$$

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

یک معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه $$y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}$$ یک مسئله مقدار اولیه نامیده می‌شود.

عمومی‌ترین فرم پادمشتق $$F ( x) + C$$ تابع $$f ( x)$$، جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$\large{\frac{{dy}}{{dx}}}\normalsize = f\left( x \right)$$ را نتیجه خواهد داد.

جواب خصوصی مسئله مقدار اولیه نیز تابعی است که هم در معادله دیفرانسیل و هم در شرایط اولیه صدق می‌کند. برای یافتن جواب خصوصی، باید شرایط اولیه را اعمال و ثابت $$C$$ را تعیین کنیم.

پاد مشتق و انتگرال نامعین

انتگرال نامعین تابع $$f$$ به صورت زیر بیان می‌شود:

$$\large \int f(x)dx$$

که عمومی‌ترین پاد مشتق $$f$$ است. اگر $$F$$ یک پادمشتق برای $$f$$ باشد، آنگاه:

$$\large \int f(x)dx=F(x)+C$$

که $$f ( x)$$ انتگرالده و $$x$$ متغیر انتگرال‌گیری است.

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌های متنوعی را درباره پاد مشتق حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

همه پادمشتق‌های توابع زیر را پیدا کنید.

(الف) $$f ( x) = 3 x ^ 2$$

(ب) $$f ( x ) = \frac { 1 } { x }$$

(ج) $$f ( x) = \cos x$$

(د)‌ $$f ( x) = e ^ x$$

حل (الف): از آنجایی که $$\dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2$$، تابع $$F ( x ) = x ^ 3$$ یک پادمشتق برای $$3 x ^ 2$$ است. بنابراین، هر پادمشتق $$3 x ^ 2$$ به فرم $$x ^ 3 + C$$ خواهد بود.

حل (ب): فرض کنید $$f(x)=\ln |x|$$ باشد. بنابراین، برای هر $$x > 0$$، داریم: $$f ( x ) = \ln ( x )$$ و $$\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}$$.

برای $$x < 0$$ نیز، روابط $$f(x)=\ln (−x)$$ و $$\dfrac{d}{dx}(\ln (−x))=−\dfrac{1}{−x}=\dfrac{1}{x}$$ برقرارند.

در نتیجه، $$F(x)=\ln |x|$$ یک پادمشتق برای $$\dfrac{1}{x}$$ است. همه پادمشتق‌های $$\dfrac{1}{x}$$ نیز به فرم $$\ln |x|+C$$ هستند که در آن، $$C$$ یک عدد ثابت است.

حل (ج): رابطه زیر را داریم:

$$\large \dfrac { d } { d x } ( \sin x ) = \cos x$$

بنابراین، $$F(x)=\sin x$$ یک پادمشتق برای $$\cos x$$ است. همچنین، همه پادمشتق‌های $$\cos x$$ به فرم $$\sin x + C$$ هستند.

حل (د): از آنجایی که $$\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x$$، تابع $$F(x)=e^x$$ یک پادمشتق برای $$e ^ x$$ است. در نتیجه، هر پادمشتق $$e ^ x$$، به فرم $$e ^ x + C$$ خواهد بود.

مثال ۲

پاد مشتق تابع $$f \left ( x \right ) = \large { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } \normalsize$$ را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌دانیم، مشتق تابع $${{\frac{1}{{{x^3}}}}}\normalsize$$ به صورت زیر است:

$$\large { \left ( { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime = \left ( { { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } = { – 3 { x ^ { – 3 – 1 } } } = { – 3 { x ^ { – 4 } } } = { – \frac { 3 } { { { x ^ 4 } } } . }$$

بنابراین، یک پاد مشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$\large F \left ( x \right ) = – \frac { 1 } { { 3 { x ^ 3 } } } .$$

با مشتق‌گیری می‌توانیم صحت جواب را تحقیق کنیم:

$$\large \begin {align*} F ^ \prime \left ( x \right ) & = \left ( { – \frac { 1 } { { 3 { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime = { – \frac { 1 } { 3 } \left ( { { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } \\ &= { – \frac { 1 } { 3 } \cdot \left ( { – 3 } \right ) { x ^ { – 4 } } } = { { x ^ { – 4 } } } = { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } = { f \left ( x \right ) . } \end {align*}$$

مثال ۳

پاد مشتق تابع $$f ( x ) = e ^ { 2 x }$$ را بیابید.

حل: به سادگی می‌توان دید که رابطه زیر برقرار است:

$$\large { \left ( { { e ^ { 2 x } } } \right ) ^ \prime = { e ^ { 2 x } } \cdot \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime } = { 2 { e ^ { 2 x } } . }$$

بنابراین، پاد مشتق به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large F \left ( x \right ) = \frac { { { e ^ { 2 x } } } } { 2 } .$$

که با مشتق‌گیری می‌توانیم صحت آن را بررسی کنیم:

$$\large { F ^ \prime \left ( x \right ) = \left ( { \frac { { { e ^ { 2 x } } } } { 2 } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { e ^ { 2 x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 { e ^ { 2 x } } } = { { e ^ { 2 x } } } = { f \left ( x \right ) . }$$

مثال ۴

پادمشتق تابع $$f\left( x \right) = \large{\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}}\normalsize$$ را به دست آورید.

حل: تساوی زیر را داریم:

واضح است که یک پادمشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$\large F \left ( x \right ) = \frac { { 3 \sqrt [ 3 ] { { {x ^ 2 } } } } } { 2 }$$

زیرا:

مثال ۵

جواب مسئله مقدار اولیه $${ \frac { { d z } } { { d t } } } \normalsize = \cos t – 2 \sin t , z \left ( 0 \right ) = 5$$ را بیابید.

حل: پاد مشتق عمومی تابع $$\cos t – 2\sin t$$، به صورت زیر است:

$$\large z \left ( t \right ) = \sin t + 2 \cos t + C .$$

با جایگذاری شرایط اولیه $$z ( 0 ) = 5$$، مقدار $$C$$ به دست می‌آید:

$$\large { \sin 0 + 2 \cos 0 + C = 5 , } \; \; \Rightarrow { 0 + 2 \cdot 1 + C = 5 , } \;\; \Rightarrow { C = 3 . }$$

بنابراین، جواب مسئله مقدار اولیه به صورت زیر خواهد بود:

$$\large z \left ( t \right ) = \sin t + 2 \cos t + 3 .$$

مثال ۶

تابع $$y ( x)$$ در معادله دیفرانسیل $${\frac{{dy}}{{dx}}}\normalsize = \large{\frac{1}{x}}\normalsize + 2x$$ با شرایط اولیه $$y ( 1 ) = 0$$ صدق می‌کند. مقدار تابع را در $$x = e$$ به دست آورید.

حل: پاد مشتق عمومی تابع $${\frac{1}{x}}\normalsize + 2x$$ به صورت زیر است:

$$\large y = \ln x + {x^2} + C.$$

با استفاده از شرایط اولیه $$y ( 1 ) = 0$$، ثابت $$C$$ را تعیین می‌کنیم:

$$\large { y \left ( 1 \right ) = 0 , } \; \; \Rightarrow { \ln 1 + { 1 ^ 2 } + C = 0 , } \; \; \Rightarrow { 0 + 1 + C = 0 , } \; \; \Rightarrow { C = – 1 . }$$

در نتیجه، تابع $$y ( x)$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$\large y = \ln x + { x ^ 2 } – 1 .$$

بنابراین، مقدار تابع در $$x = e$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { \require {cancel} y \left ( e \right ) = \ln e + { e ^ 2 } – 1 } = { \cancel { 1 } + { e ^ 2 } – \cancel { 1 } } = { { e ^ 2 } . } $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد
• کاربرد‌ها، روش‌ های محاسبه و مفاهیم مشتق — مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول‌ های مشتق گیری

^^