عامل انتگرال ساز در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم و به روش حل معادلات خاص، مانند معادله دیفرانسیل چبیشف پرداختیم. همچنین دسته دیگری از معادلات دیفرانسیل را به‌نام معادلات دیفرانسیل کامل، معرفی و روش حل آن‌ها را بیان کردیم. گاهی برخی معادلات کامل نیستند، اما می‌توان آن‌ها را با ضرب در یک عامل انتگرال ساز کامل کرد و با توجه به روش‌هایی که برای به‌دست آوردن جواب معادلات دیفرانسیل کامل گفتیم، آن‌ها را حل کرد. پیشنهاد می‌کنیم قبل از مطالعه این مطلب، آموزش معادلات دیفرانسیل کامل را بررسی کنید.

عامل انتگرال ساز

معادله دیفرانسیل به‌فرم زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large { P \left(  { x , y } \right) d x  + Q \left( { x , y } \right) d y  } = {   0 , } $$

که در آن، $$ P\left( {x,y} \right) $$ و $$ Q\left( {x,y} \right) $$ توابعی از دو متغیر پیوسته $$x$$ و $$y$$ در ناحیه معین $$D$$ هستند. اگر داشته باشیم:

 $$ \large \frac { { \partial Q  } } {  { \partial x } } \ne \frac { { \partial P } } { { \partial y } } , $$

معادله دیفرانسیل، کامل نیست. در این مواقع می‌توانیم عبارتی موسوم به «عامل انتگرال‌ساز» (Integrating Factor) را پیدا کنیم که تابعی به‌فرم $$ \mu \left( {x,y} \right) $$ است و بعد از ضرب، معادله دیفرانسیل را به یک معادله دیفرانسیل کامل تبدیل می‌کند؛ به‌گونه‌ای که تساوی زیر برقرار باشد:

$$ \large { \frac { { \partial \left( { \mu Q \left( { x , y } \right) } \right) } } { { \partial x } } } = { \frac { { \partial \left( { \mu P\left( { x , y } \right) } \right) } } { { \partial y } } } $$

شرط بالا را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large { { Q \frac { { \partial \mu } } { { \partial x } } + \mu \frac { { \partial Q  } } { { \partial x } } } = { P\frac { { \partial \mu } } { { \partial y } } + \mu \frac { { \partial P  } } {  { \partial y}},\;\;}} \\ \large \Rightarrow
{ { Q\frac { { \partial \mu } } { { \partial x } } – P\frac { { \partial \mu } } { { \partial y } } } = { \mu \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right).}} $$

عبارت بالا یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول است که عامل انتگرال‌ساز $$ \mu \left( {x,y} \right) $$ را تعریف می‌کند.

متأسفانه یک روش عمومی برای یافتن عامل انتگرال‌ساز وجود ندارد. هرچند، حالت‌های خاصی از معادلات دیفرانسیل جزئی را می‌توان حل کرد و عامل انتگرال‌ساز را به‌دست آورد. در ادامه، چند مورد از این حالت‌ها را بررسی می‌کنیم.

عامل انتگرال‌ساز به متغیر $$\Large x$$ وابسته است ($$ \Large  \mu = \mu (x) $$)

در این حالت، $$ {\large\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}}\normalsize} = 0 $$ است، بنابراین، معادله را برای $$ \mu \left( {x,y} \right) $$ می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large { \frac { 1  } { \mu }\frac { { d \mu } } { { d x } }  } = { \frac { 1 } { Q } \left( { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x  } } } \right) . } $$

سمت راست معادله اخیر باید تابعی از فقط $$x$$ باشد. تابع $$ \mu \left( x \right) $$ با انتگرال‌گیری از معادله آخر به‌دست می‌آید.

عامل انتگرال‌ساز به متغیر $$\Large y$$ وابسته است ($$ \Large  \mu = \mu (y) $$)

مشابه حالت قبل، اگر تساوی $$ {\large\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}}\normalsize} = 0 $$ برقرار باشد،‌ معادله دیفرانسیل معمولی زیر را برای عامل انتگرال‌ساز $$ \mu $$ خواهیم داشت:

$$ \large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d y } } } = { -\frac { 1 } { P }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) } $$

که سمت راست آن تنها به $$y$$ وابسته است. تابع $$ \mu \left( y \right) $$ را می‌توان با انتگرال‌گیری از معادله به‌دست آورد.

عامل انتگرال‌ساز به ترکیب خاصی از متغیرهای $$\Large x$$ و $$\Large y$$ وابسته است ($$ \Large  \mu = \mu (z(x,y)) $$)

برای مثال، تابع جدید $$ {z\left( {x,y} \right)} $$ زیر در این دسته قرار دارد:

$$ \large { z = \frac { x } { y },\;\;\;}\kern-0.3pt{z = xy,\;\;\;}\kern0pt{z = { x ^ 2 } + { y ^ 2 },\;\;\;}\kern0pt{ z = x + y.  } $$

آنچه در این‌جا اهمیت دارد، آن است که عامل انتگرال‌ساز $$ \mu \left( {x,y} \right) $$ به‌صورت تابعی از متغیر $$z$$ درمی‌آید:

$$ \large \mu \left( {x,y} \right) = \mu \left( z \right) $$

و می‌توان آن را با استفاده از معادله دیفرانسیل زیر به‌دست آورد:

$$ \large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d z } } } = { \frac { { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } }  { { \partial x } } } } { { Q \frac { { \partial z } } { { \partial x  } }  – P\frac { { \partial z } } { { \partial y } } } } . }  $$

فرض می‌کنیم سمت راست معادله فقط به $$z$$ وابسته بوده و مخرج، صفر نباشد.

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌هایی را به‌فرم معادله دیفرانسیلِ

$$ \large { P\left( { x , y } \right) d x + Q \left( { x , y } \right)dy }={ 0 , } $$

بیان می‌‌کنیم که می‌توان عامل انتگرال‌ساز آن‌ها محاسبه کرد. شرایط عمومی وجود یک عامل انتگرال‌ساز، از قضیه «گروه‌های لی» (Lie Group) به‌دست می‌آید.

مثال ۱

معادله دیفرانسیل $$ \left( {1 + {y^2}} \right)dx +xydy = 0 $$ را حل کنید.

حل: ابتدا کامل بودن معادله دیفرانسیل را آزمایش می‌کنیم:

$$ \large { { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { x y } \right) } = { y,\;\;}}\kern0pt
{ { \frac { { \partial P }  } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y }  } \left( { 1 + { y ^ 2 } } \right) }={ 2 y . } } $$

همان‌طور که می‌بینیم، این معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را برای کامل شدن آن پیدا می‌کنیم.

عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { \frac { { \partial P } }  { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { 2 y – y = y . } $$

معادله زیر فقط به متغیر $$x$$ وابسته است:

$$ \large { \frac { 1 } { Q }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } }  – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) } = { \frac { 1 } { { x y } } \cdot y } = { \frac{1}{x}} $$

بنابراین، عامل انتگرال‌ساز نیز فقط بر حسب $$x$$ خواهد بود: $$ \mu = \mu \left( x \right) $$. معادله عامل انتگرال‌ساز به‌صورت زیر است:

$$ \large \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d x  } } = \frac { 1 } { x }. $$

با جداسازی متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

$$ \large { \int { \frac { { d \mu } } { \mu } } = \int { \frac { { d x } } { x } } ,\;\;}\Rightarrow
{\ln \left| \mu \right| = \ln \left| x \right|,\;\;}\Rightarrow
{ \mu = \pm x.} $$

تساوی $$ \mu = x $$ را در نظر می‌گیریم. با ضرب معادله دیفرانسیل اصلی در $$ \mu = x $$، معادله کامل می‌شود:

$$ \large \left( {x + x { y ^ 2 } } \right) d x + { x ^ 2 } y d y = 0. $$

در واقع، اکنون داریم:

$$ \large { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { { x ^ 2 } y } \right) } = { 2 x y }
= { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { x + x { y ^ 2 } }  \right) }={ 2 x y . } $$

معادله حاصل را حل می‌کنیم. تابع $$ u\left( {x,y} \right) $$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به‌دست آورد:

$$ \large \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = x + x{y^2}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2}y
\end{array} \right.. $$

از معادله اول می‌توان نوشت:

$$ \large {u\left( {x,y} \right) = \int {\left( {x + x{y^2}} \right)dx} }={ \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right).} $$

با جایگذاری این معادله در معادله دوم، می‌توانیم $$ \varphi \left( y \right) $$ را محاسبه کنیم:‌

$$ \large {{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ {x^2}y,\;\;}} \\ \large \Rightarrow
{ {x^2}y + \varphi’\left( y \right) = {x^2}y,\;\;}\Rightarrow
{ \varphi’\left( y \right) = 0.} $$

از معادله بالا $$ \varphi \left( y \right) = C $$ به‌دست می‌آید که در آن $$C$$ یک ثابت است.

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل اصلی برابر است با:

$$ \large {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} }+{ C }={ 0.} $$

مثال ۲

معادله دیفرانسیل $$ \left( {x – \cos y} \right)dx- \sin ydy= 0 $$ را حل کنید.

حل: ابتدا کامل بودن این معادله را بررسی می‌کنیم:

$$ \large {{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – \sin y} \right) }={ 0,\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {x – \cos y} \right) }={ \sin y.}} $$

می‌بینیم که معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را به‌دست می‌آوریم. عبارت‌های زیر را می‌نویسیم:

$$ \large \frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \sin y, $$

و

$$ \large {\frac{1}{Q}\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) }={ \frac{{\sin y}}{{\left( { – \sin y} \right)}} }={ – 1} $$

که برابر با عدد ثابتی است.

بنابراین، می‌توانیم عامل انتگرال‌ساز را با تابع $$ \mu \left( x \right) $$ نشان داده و با حل معادله زیر به‌دست آوریم:

$$ \large {\frac{1}{\mu }\frac{{d\mu }}{{dx}} = – 1,\;\;}\Rightarrow
{\int {\frac{{d\mu }}{\mu }} = – \int {dx} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{\ln \left| \mu \right| = – x,\;\;}\Rightarrow
{\mu = {e^{ \pm x}}.} $$

تابع $$ \mu = {e^{ – x}} $$ را انتخاب می‌کنیم و مطمئن می‌شویم که معادله با ضرب در $$ \mu = {e^{ – x}} $$ کامل شود:

$$ \large {{e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right)dx }-{ {e^{ – x}}\sin ydy }={ 0,} $$

$$ \large {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – {e^{ – x}}\sin y} \right) }={ {e^{ – x}}\sin y } \\ \large
= {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{\partial }\left( {{e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right)} \right) }={ {e^{ – x}}\sin y.} $$

جواب عمومی را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به‌دست آورد:

$$ \large \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right)\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = – {e^{ – x}}\sin y
\end{array} \right.. $$

ساده‌تر است که از معادله دوم نسبت به $$y $$ انتگرال بگیریم:

$$ \large {u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( { – {e^{ – x}}\sin y} \right)dy} }={ {e^{ – x}}\cos y + \psi \left( x \right).} $$

با جایگذاری عبارت اخیر در معادله اول دستگاه، داریم:

$$ \large \require{cancel}
{{\frac{{\partial u}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {{e^{ – x}}\cos y + \psi \left( x \right)} \right] }={ {e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right),\;\;}}\\ \large \Rightarrow
{{ – \cancel{{e^{ – x}}\cos y} + \psi’\left( x \right) }={ x{e^{ – x}} – \cancel{{e^{ – x}}\cos y},\;\;}}\Rightarrow
{ \psi’\left( x \right) = x{e^{ – x}}.} $$

انتگرال‌گیری از معادله اخیر، نتیجه می‌دهد:

$$ \large {\psi \left( x \right) = \int {x{e^{ – x}}dx} }
= {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{v’ = {e^{ – x}}}\\
{u’ = 1}\\
{v = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right] } \\ \large
= { – x{e^{ – x}} – \int {\left( { – {e^{ – x}}} \right)dx} }
= { – x{e^{ – x}} + \int {{e^{ – x}}dx} }
= { – x{e^{ – x}} – {e^{ – x}}.} $$

بنابراین، جواب عمومی معادله برابر است با:

$$ \large {{{e^{ – x}}\cos y – x{e^{ – x}} }-{ {e^{ – x}} }={ C\;\;}}\kern-0.3pt $$

یا

$$ \large {{e^{ – x}}\left( {\cos y – x – 1} \right) }={ C} $$

که در آن، $$c$$ یک عدد حقیبقی دلخواه است.

مثال ۳

معادله دیفرانسیل $$ \left( {x{y^2} – 2{y^3}} \right)dx+ \left( {3 – 2x{y^2}} \right)dy= 0 $$ را حل کنید.

حل: این معادله کامل نیست، زیرا:

$$ \large {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {3 – 2x{y^2}} \right) }={ – 2{y^2} } \ne {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {x{y^2} – 2{y^3}} \right) }={ 2xy – 6{y^2}.} $$

بنابراین، جواب عمومی آن را با استفاده از عامل انتگرال‌ساز پیدا می‌کنیم. ابتدا تفاضل زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }
= {2xy – 6{y^2} – \left( { – 2{y^2}} \right) }
= {2xy – 4{y^2}.} $$

همچنین عبارت زیر را به‌دست می‌آوریم:

$$ \large {\frac{1}{P}\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) }
= {\frac{{2xy – 4{y^2}}}{{x{y^2} – 2{y^3}}} }
= {\frac{{2\cancel{\left( {xy – 2{y^2}} \right)}}}{{y\cancel{\left( {xy – 2{y^2}} \right)}}} }
= {\frac{2}{y} } $$

انتگرال‌گیری از معادله بالا منجر به رابطه زیر می‌شود:

$$ \large {\int {\frac{{d\mu }}{\mu }} = – 2\int {\frac{{dy}}{y}} ,\;\;}\Rightarrow
{\ln \left| \mu \right| = – 2\ln \left| \mu \right|,\;\;}\Rightarrow
{\mu = \pm \frac{1}{{{y^2}}}.} $$

مثال ۴

جواب معادله دیفرانسیل $$ \left( {xy + 1} \right)dx+ {x^2}dy= 0 $$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا کامل بودن معادله را بررسی می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2}} \right) }={ 2x\; }
\ne {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {xy + 1} \right) }={ x.} $$

می‌بینیم که مشتقات جزئی مشابه نیستند، در نتیجه معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را به‌دست می‌آوریم. برای این کار ابتدا تفاضل معادله‌ها را حساب می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ x – 2x }={ – x.} $$

عامل انتگرال‌ساز را به‌صورت $$ z = xy $$ در نظر می‌گیریم. بنابراین، داریم:

$$ \large {\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = y,\;\;}\kern-0.3pt{\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = x.} $$

در نتیجه:

$$ \large {Q\frac{{\partial z}}{{\partial x}} – P\frac{{\partial z}}{{\partial y}} }
= {{x^2} \cdot y – \left( {xy + 1} \right) \cdot x }
= {\cancel{{x^2}y} – \cancel{{x^2}y} – x }={ – x,} $$

و

$$ \large {\frac{1}{\mu }\frac{{d\mu }}{{dz}} }={ \frac{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}}{{Q\frac{{\partial z}}{{\partial x}} – P\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}} }
= {\frac{{ – x}}{{ – x}} }={ 1.}$$

همان‌طور که می‌بینیم، عامل انتگرال‌ساز فقط به $$z$$ وابسته است:

$$ \large {\mu \left( {x,y} \right) = \mu \left( z \right) }={ \mu \left( {xy} \right).} $$

و می‌توانیم با انتگرال‌گیری از معادله آخر، آن را به‌دست آوریم:

$$ \large {\frac{1}{\mu }\frac{{d\mu }}{{dz}} = 1,\;\;}\Rightarrow
{ \int {\frac{{d\mu }}{\mu }} = \int {dz} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{ \ln \left| \mu \right| = z,\;\;}\Rightarrow
{ \mu = {e^{ \pm z}} = {e^{ \pm xy}}.} $$

با انتخاب تابع $$ \mu = {e^{xy}} $$، معادله دیفرانسیل اصلی را به یک معادله دیفرانسیل کامل تبدیل می‌کنیم:

$$ \large {\left( {xy + 1} \right){e^{xy}}dx }+{ {x^2}{e^{xy}}dy }={ 0.} $$

برای اطمینان، کامل بودن معادله اخیر را بررسی می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {{x^2}{e^{xy}}} \right] }
= {2x{e^{xy}} + {x^2}y{e^{xy}},} $$

$$ \large {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\left( {xy + 1} \right){e^{xy}}} \right] }
= {x{e^{xy}} + \left( {xy + 1} \right)x{e^{xy}} } \\ \large
= {x{e^{xy}} + {x^2}y{e^{xy}} + x{e^{xy}} }
= {2x{e^{xy}} + {x^2}y{e^{xy}}.} $$

همان‌طور که می‌بینیم، معادله کامل است. جواب عمومی را از دستگاه زیر پیدا می‌کنیم:

$$ \large \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \left( {xy + 1} \right){e^{xy}}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2}{e^{xy}}
\end{array} \right.. $$

با انتگرال‌گیری از معادله دوم نسبت به $$y$$ (متغیر $$x$$ را ثابت در نظر می‌گیریم)، داریم:

$$ \large {u\left( {x,y} \right) }={ \int {{x^2}{e^{xy}}dy} }
= {{x^2}\int {{e^{xy}}dy} } \\ \large
= {{x^2} \cdot \frac{1}{x}{e^{xy}} + \psi \left( x \right) }
= {x{e^{xy}} + \psi \left( x \right).} $$

حاصل جایگذاری عبارت به‌دست‌آمده فوق در معادله اول، برابر است با:

$$ \large { { \frac { { \partial u } } { { \partial x }} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ { x { e ^ { x y } } + \psi \left( x \right)} \right] }={ \left( { x y + 1 } \right){ e ^ { x y } } ,\;\;}}\\ \large \Rightarrow
{ { 1 \cdot { e ^ { x y } } + x y { e ^ { x y } } + \psi’\left( x \right) } = { \left( { x y + 1 } \right) { e ^ { x y } } ,\;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \left( { x y + 1 } \right) { e ^ { x y } } + \psi’\left( x \right) } = { \left( { x y + 1 } \right){ e ^ { x y } } ,\;\;}}\\ \large \Rightarrow
{ \psi’\left( x \right) = 0,\;\;}\Rightarrow
{\psi \left( x \right) = C.} $$

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده‌شده به‌صورت زیر است:

$$ \large x { e^{ x y } } + C = 0 $$

که در آن، $$C$$ یک عدد حقیقی است.

مثال ۵

معادله دیفرانسیل $$ ydx +\left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } – x } \right) d y= 0 $$ را با استفاده از عامل انتگرال‌ساز $$ \mu \left ( { x , y } \right ) = { x ^ 2 } + { y ^ 2 }$$ حل کنید.

حل: ابتدا مطمئن می‌شویم که این معادله کامل نیست:

$$ \large { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } – x } \right) } = { 2 x – 1 }
\ne { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( y \right) }= { 1 . } $$

تفاضل مشتقات جزئی به‌صورت زیر است:

$$ \large {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }
= {1 – \left( {2x – 1} \right) }
= {2 – 2x.} $$

با استفاده از عامل انتگرال‌ساز $$ \mu = z= { x ^ 2 } + { y ^ 2 } $$، داریم:

$$ \large { { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right) } = { 2 x,\;\;\;}}\kern-0.3pt
{ { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } } = { \frac {\partial }{ { \partial y } } \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right) } = { 2 y . } } $$

حال عبارت زیر را حساب می‌کنیم:

$$ \large { Q \frac { { \partial z } } { { \partial x } } – P \frac { { \partial z } } { { \partial y } } }
= { \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } – x } \right) \cdot 2 x – y \cdot 2 y }
= { 2 { x ^ 3 } + 2 x { y ^ 2 } – 2 { x ^ 2 } – 2 { y ^ 2 } } \\ \large
= { 2 x \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right) – 2\left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right) }
= { \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right)\left( { 2 x – 2 } \right ) . } $$

در نتیجه، معادله دیفرانسیل مربوط به $$ \mu (z) $$ ر ابه‌دست می‌آوریم:

$$ \large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d z } } }
= { \frac { { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } } { { Q \frac { { \partial z } } { { \partial x } } – P \frac { { \partial z } } { { \partial y } } } } } \\ \large
= { \frac { { 2 – 2 x } } { { \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right)\left( { 2 x – 2 } \right) } } }
= { – \frac { \cancel { 2 x – 2 } } { { z \cancel{\left( { 2 x – 2 } \right) } } } }
= { – \frac { 1 } { z } . } $$

با انتگرال‌گیری از تابع $$ \mu \left( z \right) $$، داریم:

$$ \large { \int { \frac { { d \mu } } { \mu } } = – \int { \frac { { d z } } { z } } ,\;\; }\Rightarrow
{ \ln \left| \mu \right| = – \ln \left| z \right|,\;\; }\Rightarrow
{ \mu = \pm \frac { 1 } { z } . } $$

عامل انتگرال‌ساز $$ \mu = {\large\frac{1}{z}\normalsize}= {\large\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\normalsize} $$ را انتخاب می‌کنیم. بعد از ضرب $$ \large\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\normalsize $$، معادله دیفرانسیل اصلی کامل شده است:

$$ \large { { \frac { y } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } d x } + { \frac { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } – x } } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } d y } = { 0\;\;}} $$

یا

$$ \large {{\;\;\frac { y } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } d x } + { \left( { 1 – \frac { x } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } \right) d y } = { 0 . } } $$

جواب عمومی $$ u\left( {x,y} \right) = C $$ با دستگاه معادلات زیر تعریف می‌شود:

$$ \large \left\{ \begin {array}{l}
\frac { { \partial u } } { { \partial x } } = \frac { y } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } }\\
\frac { { \partial u } } { { \partial y } } = 1 – \frac { x } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } }
\end {array} \right.. $$

حاصل انتگرال‌گیری از معادله اول نسبت به $$x$$ برابر است با:

$$ \large { u \left( { x , y } \right) } = { \int { \frac { y } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } d x } }
= { y \int { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } } \\ \large
= { y \cdot \frac { 1 } { y }\arctan \frac { x } { y } + \varphi \left( y \right) }
= { \arctan \frac { x } { y } + \varphi \left( y \right) . } $$

با جایگذاری عبارت اخیر در معادله دوم، داریم:

$$ \large { { \frac { { \partial u } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left[ { \arctan \frac { x } { y } + \varphi \left( y \right) } \right] } = { 1 – \frac { x } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } ,\;\;}} \\ \large \Rightarrow
{ { \frac { 1 } { { 1 + { { \left( { \frac { x } { y } } \right) } ^ 2 } } } \cdot \left( { – \frac { x } { { { y ^ 2 } } } } \right) } + { \varphi’\left( y \right) } = { 1 – \frac { x } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } ,\;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { – \frac { { \cancel { y ^ 2 } x } } { { \left( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right)\cancel { y ^ 2 } } } } + { \varphi’\left( y \right) } = { 1 – \frac { x } { { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } },\;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ \varphi’\left( y \right) = 1,\;\; }\Rightarrow
{ \varphi \left( y \right) = y.} $$

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل به‌فرم ضمنی زیر خواهد بود:

$$ \large \arctan \frac { x } { y } + y = C $$

که در آن، $$C $$ یک ثابت دلخواه است.