سری فوریه کسینوسی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره سری فوریه و تبدیل فوریه و سری فوریه سینوسی بحث کردیم. در این آموزش قصد داریم مفاهیم سری فوریه کسینوسی را بیان کنیم.

سری فوریه برای تابع‌های زوج و فرد

در مبحث مربوط به توابع متعامد، راجع به تعامد بحث کردیم. می‌توان ثابت کرد که سیستم توابع زیر در یک بازه مشخص، متعامد است:

$$\Large \{\frac{1}{2},\qquad \cos (\frac{\pi nx}{l}), \qquad \sin (\frac{\pi nx}{l}) \quad n=1,\ldots\Bigr\}$$
معادله (۱)

این سیستم روی بازه $$J:=[x_0,x_1]$$ که در آن، $$x_1 - x_0 = 2l$$، متعامد است. بنابراین هر تابع $$f(x)$$ روی این بازه را می‌توان به فرم سری فوریه آن نوشت. به صورت زیر:

$$\Large f(x)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty \bigl( a_n\cos (\frac{\pi nx}{l})+b_n \sin (\frac{\pi nx}{l}) \bigr)$$
معادله (۲)

ضرایب این سری، با توجه به مباحث سری فوریه عبارت است از:

$$a_n=\Large \frac{1}{l}\int_{x_0}^{x_1} f(x)\cos (\frac{\pi nx}{l})\,dx \qquad n=0,1,2,\ldots,$$
معادله (۳)

و

$$b_n= \Large \frac{1}{l}\int_J f(x)\sin (\frac{\pi nx}{l})\,dx \qquad n=1,2,\ldots,$$
معادله (۴)

طبق معادله پارسوال، خواهیم داشت:

$$\Large \frac{l}{2}|a_0|^2 + \sum_{n=1}^\infty l\bigl( |a_n|^2+|b_n |^2 \bigr)=\int_J |f(x)|^2\,dx.$$
معادله (۵)

لم ۱: اگر $$J$$ یک بازه متقارن به صورت $$J=[-l,l]$$ باشد، داریم:

1. به ازای $$\forall n=1,2,\ldots$$، تابع $$f(x)$$ یک تابع زوج است، اگر و فقط اگر $$b_n=0$$.
2. به ازای $$\forall n=0,1,2,\ldots$$، تابع $$f(x)$$ یک تابع فرد است، اگر و فقط اگر $$a_n=0$$.

اثبات: می‌دانیم که $$\cos (\frac{\pi nx}{l})$$، یک تابع زوج و $$\sin (\frac{\pi nx}{l})$$، یک تابع فرد است. بنابراین اگر به ازای $$\forall n=1,2,\ldots$$ ،$$b_n=0$$ باشد، معادله (۲) فقط شامل توابع زوج خواهد بود. به طور معکوس، اگر $$f(x)$$ یک تابع زوج باشد، عبارت داخل انتگرال در معادله (۴)، یک تابع فرد است و انتگرال این تابع روی بازه متقارن برابر صفر خواهد بود.

قسمت دوم لم نیز مانند قسمت اول آن، اثبات می‌شود. بنابراین می‌توان سری فوریه را برای توابع زوج و فرد نوشت.

خواص جبری توابع زوج و فرد

اگر $$f(x)$$‌ روی بازه $$-L \leq x \leq L$$ پیوسته تکه‌ای و زوج باشد، داریم:

$$\Large \int_{-L}^L f(x) dx = 2 \int_0^L f(x) dx$$

اگر $$f(x)$$‌ روی بازه $$-L \leq x \leq L$$، پیوسته تکه‌ای و فرد باشد، داریم:

$$\Large \int_{-L}^L f(x) dx = 0$$

سری فوریه کسینوسی

تابع $$f(x)$$ را در بازه $$[0,l]$$ در نظر بگیرید. این بازه را تعمیم می‌دهیم و تابع را روی $$[-l,l]$$ زوج فرض کنیم. به گونه‌ای که در بازه $$x\in [-l,0]$$، $$f(x):=f(-x)$$ باشد. اگر بخواهیم سری کسینوسی این تابع را محاسبه کنیم، باید سری فوریه آن را بنویسیم. مشاهده می‌شود که جملات سینوسی حذف می‌شوند. به این ترتیب، به عبارت زیر خواهیم رسید:

$$\Large f(x)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos (\frac{\pi nx}{l}) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)}$$
معادله (6)

سری فوریه معادله بالا را سری فوریه کسینوسی می‌نامند. سری فوریه بیان شده در معادله بالا در بازه $$- L \le x \le L$$ به $$f(x)$$ میل می‌کند. توجه کنید که بر خلاف سری فوریه سینوسی، می‌توان این بسط را با $$n = 0$$ شروع کرد. این تجزیه بر اساس سیستم توابع متعامد زیر ساخته شده است:

$$\Large \{\frac{1}{2},\qquad \cos (\frac{\pi nx}{l}) \quad n=1,\ldots\}.$$
معادله (۷)

ضرایب سری فوریه کسینوسی

ضرایب سری فوریه کسینوسی بر اساس معادله (۳) به دست می‌آید. از آنجا عبارت زیر انتگرال در معادله (۳)، یک تابع زوج است، می‌توان بازه $$[0,l]$$ را به جای $$[-l,l]$$ در نظر گرفت و بر اساس خواص جبری توابع زوج، مقدار انتگرال را دو برابر کرد:

$$\Large a_n= \frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos (\frac{\pi nx}{l})\,dx \qquad n=0,1,2,\ldots$$
معادله (۸)

به این ترتیب، معادله (۵) به صورت زیر در خواهد آمد:

$$\Large \frac{l}{4}|a_0|^2 +\sum_{n=1}^\infty \frac{l}{2} |a_n|^2= \int_0^l |f(x)|^2\,dx.$$
معادله (9)

این سری فوریه، با دوره تناوب $$2l$$ متناوب است. ذکر این نکته ضروری است که این تابع زوج است و سری فوریه متناوب آن، ناپیوستگی ندارد.

شکل زیر، یک مثال از تبدیل فوریه کسینوسی را نشان می‌دهد: 

محاسبه ضرایب سری فوریه کسینوسی

ضرایب سری فوریه کسینوسی از تعامد تابع کسینوس به دست آمده‌اند. طبق قضیه تعامد داریم:

$$\int_{{ - L}}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2L}&{{\mbox{if }}n = m = 0}\\L&{{\mbox{if }}n = m \ne 0}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right.$$

اگر دو طرف معادله (۶) را در عبارت $$\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)$$ ضرب کنیم، خواهیم داشت:

$$\Large f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right)}$$

با انتگرال‌گیری از دو طرف معادله بالا در بازه $$x = - L$$ تا $$x = L$$، داریم:

$$\Large \begin{align*}\int_{{\, - L}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}} & = \int_{{\, - L}}^{L}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right)} }}\,dx\\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\int_{{\, - L}}^{{\,L}}{{\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}} \end{align*}$$

توجه کنید که در معادله بالا، جای سری و انتگرال عوض شده است. می‌دانیم که انتگرال سمت راست معادله بالا برابر صفر خواهد بود مگر آنکه $$n = m$$ باشد. زیرا توابع کسینوسی در بازه $$- L \le x \le L$$ متعامد هستند. اما توجه به مقدار $$m$$ (یا همان $$n$$)، در روابط بالا مهم است.

اگر $$m = 0$$ باشد، داریم:

$$\int_{{\, - L}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)dx}} = {a_{\,0}}\left( {2L} \right)\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,{a_{\,0}} = \frac{1}{{2L}}\int_{{\, - L}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}}$$

اگر $$m \ne 0$$ باشد، خواهیم داشت:

$$\int_{{\, - L}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = {a_{\,m}}\left( L \right)\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{a_{\,m}} = \frac{1}{L}\int_{{\, - L}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{m\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}$$

به طور خلاصه، سری فوریه کسینوسی برای تابع زوج $$f(x)$$ روی بازه $$- L \le x \le L$$، به صورت زیر است:

$$ f\left( x \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}\cos \left( \frac{n\,\pi x}{L} \right)} \hspace{0.25in}, \,\,\, {{a}_{n}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \displaystyle<br /> \frac{1}{2L}\int_{\,-L}^{\,L}{f\left( x \right)\,dx} & \,\,\,\,\,n=0 \\ \displaystyle<br /> \frac{1}{L}\int_{\,-L}^{\,L}{f\left( x \right)\cos \left( \frac{n\,\pi x}{L} \right)\,dx} & \,\,\,\,\,n\ne 0 \\<br /> \end{array} \right.$$

همانطور که مشخص است، $$f(x)$$ و عبارت داخل دو انتگرال معادله بالا، توابعی زوج هستند. بنابراین می‌توان ضرایب بسط فوریه کسینوسی را به صورت زیر نوشت:

$$\Large {a_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\displaystyle \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n = 0}\\{\displaystyle \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n \ne 0}\end{array}} \right.$$

با بیان یک مثال، مفهوم سری فوریه کسینوسی واضح‌تر خواهد شد.

مثال ۱

سری فوریه کسینوسی تابع $$f(x) = x^2$$ را روی بازه $$-L \leq x \leq L$$ بیابید.

حل: واضح است که تابع $$f(x)$$ یک تابع زوج  است. بنابراین ضرایب سری فوریه کسینوسی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\Large {a_0} = \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{{x^2}\,dx}} = \frac{1}{L}\left( {\frac{{{L^3}}}{3}} \right) = \frac{{{L^2}}}{3}$$

همانطور که می‌دانیم، $$a_0$$ مقدار متوسط تابع در بازه دوره تناوب است. به همین ترتیب برای $$a_n$$ داریم:

$$\Large \begin{align*}{a_n} & = \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{{x^2}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \frac{2}{L}\left. {\left( {\frac{L}{{{n^3}{\pi ^3}}}} \right)\left( {2Ln\pi x\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right) + \left( {{n^2}{\pi ^2}{x^2} - 2{L^2}} \right)\sin \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \right)} \right|_0^L\\ & = \frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}}\left( {2{L^2}n\pi \cos \left( {n\,\pi } \right) + \left( {{n^2}{\pi ^2}{L^2} - 2{L^2}} \right)\sin \left( {n\,\pi } \right)} \right)\\ & = \frac{{4{L^2}{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \end{align*}$$

پس ضرایب سری فوریه کسینوسی برای این تابع به صورت زیر است:

$${a_0} = \frac{{{L^2}}}{3}\hspace{0.25in},{a_n} = \frac{{4{L^2}{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}{\pi ^2}}},\,\,\,\,n = 1,2,3, \ldots$$

بنابراین سری فوریه تابع $$f(x)$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$${x^2} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} = {a_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} = \frac{{{L^2}}}{3} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4{L^2}{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)}$$

بسط نیم‌دامنه سری فوریه کسینوسی

حال فرض کنید بخواهیم سری فوریه کسینوسی یک تابع غیر زوج را بیابیم. همانطور که می‌دانیم، سری فوریه فقط برای توابع متناوب تعریف می‌شود، بنابراین باید تابع را گسترش دهیم تا به یک تابع زوج و متناوب تبدیل شود. تابع $$f(x)$$ روی بازه $$0 \le x \le L$$ تعریف شده است و زوج نیست. این تابع باید به بازه $$- L \le x \le L$$ گسترش یابد تا بتوان برای آن سری فوریه را نوشت. تعمیم زوج تابع $$f(x)$$ روی بازه $$- L \le x \le L$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ g\left( x \right) =\Bigg\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if }}0 \le x \le L}\\{f\left( { - x} \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if }} - L \le x \le 0}\end{array}}.$$

تابع $$g(x)$$ زوج است، زیرا:

$$g\left( -x \right)=f\left( -\left( -x \right) \right)=f\left( x \right)=g\left( x \right) \hspace{0.25in} \text{for}$$ $$0$$

مشاهده می‌شود که روی بازه $$0 \le x \le L$$ توابع $$g(x)$$ و $$f(x)$$ با هم برابر هستند. اگر $$f(x)$$ یک تابع زوج باشد، $$g(x)$$ و $$f(x)$$ در بازه $$-L \le x \le L$$ برابر هستند.

حال می‌خواهیم دریابیم چگونه می‌توان بر اساس گسترش زوج یک تابع، بسط فوریه هر تابعی را در بازه $$0 \le x \le L$$ یافت.

اگر تابع $$f(x)$$ را در نظر بگیریم، تابع $$g(x)$$ همانند بالا تعریف می‌شود. $$g(x)$$ یک تابع زوج در بازه $$-L \le x \le L$$ است. پس می‌توان سری فوریه کسینوسی آن را به صورت زیر نوشت:

$$g\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \hspace{0.25in}{a_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\displaystyle \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n = 0}\\{\displaystyle \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n \ne 0}\end{array}} \right.$$

در بازه $$0 \le x \le L$$، دو تابع $$f(x)$$‌ و $$g(x)$$ با هم برابر هستند. پس سری فوریه کسینوسی تابع $$f\left( x \right)$$ روی بازه $$0 \le x \le L$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \hspace{0.25in}{a_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\displaystyle \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n = 0}\\{\displaystyle \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n \ne 0}\end{array}} \right.$$

در ادامه به بیان چند مثال برای یافتن سری فوریه کسینوسی توابع غیر زوج، خواهیم پرداخت:

مثال ۲

سری فوریه کسینوسی تابع $$f\left( x \right) = L - x$$ را در بازه $$0 \le x \le L$$ بیابید.

حل: ابتدا باید تابع $$f(x)$$ را گسترش داد تا به یک تابع زوج تبدیل شود و بتوان سری فوریه را برای آن نوشت.

گسترش زوج تابع $$f(x)$$‌ به صورت زیر است:

$$\begin{align*}g\left( x \right) & = \Bigg\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if }}0 \le x \le L}\\{f\left( { - x} \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if }} - L \le x \le 0}\end{array}} .\\ & = \Bigg\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{L - x}&{\,\,\,\,{\mbox{if }}0 \le x \le L}\\{L + x}&{\,\,\,\,{\mbox{if }} - L \le x \le 0}\end{array}} .\end{align*}$$

در شکل زیر، تابع و گسترش زوج آن نشان داده شده است:

ضرایب سری فوریه کسینوسی به صورت زیر هستند:

$${a_0} = \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{L - x\,dx}} = \frac{L}{2}$$

$$\begin{align*}{a_n} & = \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{\left( {L - x} \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \frac{2}{L}\left. {\left( {\frac{L}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right)\left( {n\pi \left( {L - x} \right)\sin \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right) - L\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \right)} \right|_0^L\\ & = \frac{2}{L}\left( {\frac{L}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right)\left( { - L\cos \left( {n\,\pi } \right) + L} \right) = \frac{{2L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left( {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \end{align*}$$

بنابراین سری فوریه تابع $$f(x)$$ به صورت زیر است:

$$f\left( x \right) = \frac{L}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left( {1 + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)}$$

مثال ۳

سری فوریه کسینوسی تابع $$f\left( x \right) = {x^3}$$ را در بازه $$0 \le x \le L$$ بیابید.

حل: گسترش زوج این تابع به صورت زیر است:

$$\begin{align*}g\left( x \right) & = \Bigg \{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if }}0 \le x \le L}\\{f\left( { - x} \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if }} - L \le x \le 0}\end{array}} .\\ & = \Bigg \{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3}}&{\,\,\,\,{\mbox{if }}0 \le x \le L}\\{ - {x^3}}&{\,\,\,\,{\mbox{if }} - L \le x \le 0}\end{array}} .\end{align*}$$

در شکل زیر، تابع مسئله و گسترش آن نشان داده شده است:

$${a_0} = \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \frac{1}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{{x^3}\,dx}} = \frac{{{L^3}}}{4}$$

$$\begin{align*}{a_n} & = \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \frac{2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{{x^3}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \frac{2}{L}\left. {\left( {\frac{L}{{{n^4}{\pi ^4}}}} \right)\left( {n\pi x\left( {{n^2}{\pi ^2}{x^2} - 6{L^2}} \right)\sin \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right) + \left( {3L{n^2}{\pi ^2}{x^2} - 6{L^3}} \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \right)} \right|_0^L\\ & = \frac{2}{L}\left( {\frac{L}{{{n^4}{\pi ^4}}}} \right)\left( {n\pi L\left( {{n^2}{\pi ^2}{L^2} - 6{L^2}} \right)\sin \left( {n\,\pi } \right) + \left( {3{L^3}{n^2}{\pi ^2} - 6{L^3}} \right)\cos \left( {n\,\pi } \right) + 6{L^3}} \right)\\ & = \frac{2}{L}\left( {\frac{{3{L^4}}}{{{n^4}{\pi ^4}}}} \right)\left( {2 + \left( {{n^2}{\pi ^2} - 2} \right){{\left( { - 1} \right)}^n}} \right) = \frac{{6{L^3}}}{{{n^4}{\pi ^4}}}\left( {2 + \left( {{n^2}{\pi ^2} - 2} \right){{\left( { - 1} \right)}^n}} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,n = 1,2,3, \ldots \end{align*}$$

بنابراین سری فوریه کسینوسی تابع $$f(x)$$ به صورت زیر است:

$$f\left( x \right) = \frac{{{L^3}}}{4} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{6{L^3}}}{{{n^4}{\pi ^4}}}\left( {2 + \left( {{n^2}{\pi ^2} - 2} \right){{\left( { - 1} \right)}^n}} \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)}$$

در آموزش بعدی از این سری آموزش‌ها در مجله فرادرس، به بررسی سری فوریه مختلط خواهیم پرداخت.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
• مفاهیم، روش‌ های محاسبه و کاربردهای انتگرال – مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس

^^