شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
همانطور که میبینیم، سرعت در لحظات t=2s و t=4s برابر با صفر است. بنابراین، جهت حرکت ذره در این زمانها تغییر میکند.
مثال ۳
ذرهای با معادله x(t)=2t3+6t2–6t+1 روی محور x در حال حرکت است که در آن، زمان t≥0 بوده و برحسب ثانیه است. زمانی را پیدا کنید که در آن، سرعت و شتاب ذره با هم برابرند.
حل: از تابع مکان دو بار مشتق میگیریم تا توابع سرعت و شتاب به دست آیند:
v(t)=x′(t)=(2t3+6t2–6t+1)′=6t2+12t–6
a(t)=v′(t)=(6t2+12t–6)′=12t+12.
با برابر قرار دادن v و a، خواهیم داشت:
6t2+12t–6=12t+12,
6t2=18,
یا
t2=3.
این معادله دارای ریشه مثبت t=3 است. در نتیجه، جواب مسئله t=3s است.
مثال ۴
تابع مکان ذرهای که در طول محور x حرکت میکند، x(t)=t3–4t2+5t–2 است (t≥0). بازهای را پیدا کنید که در آن، ذره به سمت چپ حرکت میکند.
حل: سرعت ذره با مشتقگیری از تابع مکان به دست میآید:
جسمی با معادله مکان x(t)=–6t3+2t2–1 روی محور x حرکت میکند. در چه زمانی شتاب صفر است؟ سرعت جسم را در این لحظه (شتاب صفر) به دست آورید.
حل: سرعت با مشتقگیری از تابع مکان به دست میآید:
v(t)=x′(t)=(–6t3+2t2–1)′=–2t2+4t.
به طور مشابه، برای به دست آوردن شتاب، از تابع سرعت نسبت به زمان مشتق میگیریم:
a(t)=v′(t)=(–2t2+4t)′=–t+4.
زمانی که در آن، شتاب برابر با صفر است، به صورت زیر محاسبه میشود:
a(t)=0,⇒−t+4=0,⇒t=4s.
سرعت ذره در t=4 نیز برابر است با:
v(4)=–242+4⋅4=8sm.
مثال ۷
انتگرالی را به دست آورید که مسافت کل پیموده شده ذرهای را با سرعت v(t)=t2–4 در بازه [0,3] نتیجه دهد.
حل: برای یافتن کل مسافت پیموده شده، باید از تابع تندی انتگرال بگیریم. توجه کنید که علامت سرعت در لحظه t=2 تغییر میکند. بنابراین، بازه [0,3] را به دو زیربازه [0,2] و [2,3] تقسیم میکنیم. کل مسافت پیموده شده s توسط ذره در بازه [0,3] به فرم زیر خواهد بود:
s=0∫2t2–4dt+2∫3t2–4dt.
با توجه به اینکه سرعت در زیربازه اول منفی، و در زیربازه دوم مثبت است، داریم:
s=–0∫2(t2–4)dt+2∫3(t2–4)dt.
با بازنویسی جملات، جواب نهایی به صورت زیر خواهد بود:
s=2∫3(t2–4)dt−0∫2(t2–4)dt.
مثال ۸
ذرهای روی محور x به گونهای حرکت میکند که در t≥0 معادله مکان به صورت x(t)=tlnt است. شتاب ذره را در لحظهای که سرعت صفر است، به دست آورید.
حل: سرعت ذره با مشتقگیری از معادله مکان به دست میآید:
v(t)=x′(t)=(tlnt)′=1⋅lnt+t⋅t1=lnt+1.
با یک بار دیگر مشتقگیری از تابع مکان، میتوان شتاب را نیز به دست آورد:
a(t)=v′(t)=(lnt+1)′=t1.
لحظه صفر بودن سرعت نیز به صورت زیر محاسبه میشود:
v(t)=0,⇒lnt+1=0,⇒lnt=–1,⇒t=e1.
با جایگذاری این زمان، شتاب در لحظه سرعت صفر برابر است با:
a=e11=e.
مثال ۹
وقتی دو ذره از مبدأ و با سرعتهای v(t)=cost و u(t)=sin2t شروع به حرکت کنند، در چند لحظه روی بازه [0,2π] تندی آنها با هم برابر است؟
حل: این مسئله را به صورت گرافیکی حل میکنیم. منحنی تندی دو ذره روی بازه [0,2π] مطابق شکل زیر است.
همانطور که در شکل بالا مشخص است، منحنیها چهار بار با هم تقاطع دارند. بنابراین، در چهار لحظه، روی بازه [0,2π] تندی دو ذره با هم برابر است.
مثال ۱۰
ذرهای در طول یک خط مستقیم و با معادله x(t)=t3–6t2+5 حرکت میکند، که در آن، x بر حسب متر و t برحسب ثانیه است. کل مسافت پیموده شده توسط این ذره در ۶ ثانیه چقدر است؟
حل: برای یافتن کل مسافت پیموده شده توسط یک ذره، باید از تندی ∣v(t)∣ انتگرال بگیریم:
s=t1∫t2∣v(t)∣dt
سرعت ذره به صورت زیر به دست میآید:
v(t)=x′(t)=(t3–6t2+5)′=3t2–12t=3t(t–4).
همانطور که از معادله بالا مشخص است، سرعت در بازه زمانی 0<t<4 منفی و در t>4 مثبت است. بنابراین، انتگرال را به صورت زیر به دو قسمت تقسیم میکنیم:
s=0∫6∣v(t)∣dt=0∫4∣v(t)∣dt+4∫6∣v(t)∣dt.
از آنجایی که سرعت در انتگرال اول منفی و در انتگرال دوم مثبت است، خواهیم داشت:
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.