توزیع و متغیر تصادفی رایلی (Rayleigh Distribution) – به زبان ساده

۲۴۴۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۳ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
دانلود PDF مقاله
توزیع و متغیر تصادفی رایلی (Rayleigh Distribution) – به زبان سادهتوزیع و متغیر تصادفی رایلی (Rayleigh Distribution) – به زبان ساده

توزیع و متغیر تصادفی رایلی (Rayleigh Distribution)، به عنوان یکی از توزیع‌های آماری با مقادیر پیوسته (Continuous)، در استنباط آماری شناخته شده است. مقادیر این متغیر تصادفی، نامنفی است و در حالت خاص این توزیع شبیه یک توزیع کای ۲ با دو درجه آزادی است. در این نوشتار به بررسی توزیع و متغیر تصادفی رایلی خواهیم پرداخت و کاربردهای آن را بررسی خواهیم کرد. از این توزیع برای پدیده‌های فیزیکی مثلا برآورد خطای دستگاه MRI استفاده می‌شود.

997696

برای آشنایی بیشتر با مفاهیم مربوط به توزیع‌های آماری، بهتر است مطلب متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال را مطالعه کنید. همچنین مطالعه توزیع های آماری — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس نیز خالی از لطف نیست.

توزیع و متغیر تصادفی رایلی

معمولا توزیع رایلی مربوط به متغیرهای تصادفی یا بردارهایی تصادفی است که مقدارشان با مولفه جهت بردار در ارتباط است. برای مثال، سرعت وزش باد به دو عامل (میزان سرعت و جهت) وابسته است. تصور کنید که هر یک از این عامل‌ها «ناهمبسته» (Uncorrelated) و دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس یکسان باشند، آنگاه برآیند سرعت وزش باد (مقدار بردار سرعت) به کمک توزیع رایلی، شناخته می‌شود.

همچنین یک متغیر با مقادیر مختلط را در نظر بگیرید که قسمت موهومی و حقیقی آن مستقل از یکدیگر بوده و دارای توزیع نرمال هستند. میانگین این توزیع‌ها صفر و واریانس‌شان، برابر است. در این حالت قدرمطلق این مقدار حقیقی دارای توزیع رایلی خواهد بود. این توزیع به افتخار «لرد رایلی» (Lord Rayleigh) فیزیکدان انگلیسی، توزیع رایلی نامیده شده است.

Lord Rayleigh

تابع احتمال و توزیع رایلی

اگر متغیر تصادفی XX دارای تابع توزیع به فرم زیر باشد، توزیع رایلی نامیده می‌شود.

f(x;σ)=xσ2ex2/(2σ2),x0\large f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0

مقدار σ\sigma را پارامتر مقیاس (Scale Parameter) برای این توزیع می‌گویند. در این حالت می‌نویسیم XRayleigh(σ)X\sim \operatorname{Rayleigh}(\sigma) است و می‌خوانیم متغیر تصادفی XX دارای توزیع رایلی با پارامتر سیگما است.

توجه داشته باشید که تکیه‌گاه این متغیر تصادفی مقادیر نامنفی است. در تصویر زیر، نمودار این تابع چگالی به ازاء مقادیر مختلف پارامتر σ\sigma ترسیم شده است. همانطور که مشاهده می‌کنید، این توزیع دارای چولگی زیاد به سمت راست است.

Rayleigh_distribution
تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی رایلی

تابع توزیع احتمال تجمعی، برای توزیع متغیر تصادفی رایلی با پارامتر σ\sigma به شکل زیر نوشته می‌شود.

F(x;σ)=1ex2/(2σ2),    x[0,)\large F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\;\;x\in [0,\infty)

نمودار تابع توزیع احتمال تجمعی در تصویر زیر دیده می‌شود.

Rayleigh_distribution CDF
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی رایلی

برای ارتباط این توزیع با بردارهای تصادفی دو بُعدی Y=(U,V)Y=(U,V)، حالتی را در نظر بگیرید، که هر یک از آن‌ها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس برابر هستند.

fU(x;σ)=fV(x;σ)=ex2/(2σ2)2πσ2\large {\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}

مولفه XX را طول بردار YY در نظر بگیرید. به این ترتیب خواهیم داشت:

X=U2+V2\large {\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}}

آنگاه تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی XX به صورت زیر نوشته خواهد شد.

FX(x;σ)=DxfU(u;σ)fV(v;σ)dA,\large {\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}

که در آن DxD_x دیسکی است که به صورت

$$\large {\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}<x\right\}}$$

تعریف می‌شود. با تبدیل این انتگرال به مختصات قطبی خواهیم داشت:

FX(x;σ)=12πσ202π0xrer2/(2σ2)drdθ=1σ20xrer2/(2σ2)dr\large {\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr}

در نهایت برای پیدا کردن تابع چگالی متغیر تصادفی XX باید از تابع توزیع تجمعی برحسب xx‌ مشتق بگیریم. بنا به «قضیه اساسی حسابان» (Fundamental Theorem of Calculus) می‌توان نوشت:

fX(x;σ)=ddxFX(x;σ)=xσ2ex2/(2σ2),\large {\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}

که همان تابع چگالی متغیر تصادفی رایلی است. البته این روش را برای بردارهای تصادفی بیش از دو بُعد نیز می‌توان به کار گرفت. همچنین متغیر تصادفی رایلی تعمیم یافته نیز برای زمانی که واریانس‌ها یکسان نباشند یا همبستگی بین دو ابعاد وجود داشته باشد، تعریف شده است.

همچنین می‌توان نشان داد که اگر متغیر تصادفی YY دارای توزیع TT دو متغیره باشد، آنگاه XX دارای توزیع رایلی خواهد بود.

خصوصیات متغیر تصادفی رایلی

از آنجایی که گشتاور‌های متغیر تصادفی XX با توزیع رایلی به این صورت است:

μj=σj2j/2Γ(1+j2)\large {\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right)}

می‌توان امید ریاضی را به صورت زیر محاسبه کرد:

μ(X)=σπ2 1.253 σ\large {\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma }

نکته: توجه داشته باشید که منظور از Γ(z)\Gamma(z)‌، همان تابع گاما (Gamma Function) است.

واریانس متغیر تصادفی XX نیز برابر است با:

var(X)=μ2μ12=(2π2)σ20.429 σ2\large {\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}

ارتباط توزیع رایلی با توزیع‌های دیگر

فرض کنید دو متغیر تصادفی XX و YY دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس σ2\sigma^2 باشند.  آنگاه به شرط استقلال XX و YY،

R=X2+Y2Rayleigh(σ)\large R=\sqrt{X^2+Y^2}\sim \operatorname{Rayleigh}(\sigma)

  • اگر XX دارای توزیع کای ۲ با دو درجه آزادی باشد، آنگاه می‌توان آن را دارای توزیع رایلی با پارامتر ۱ در نظر گرفت.

Xχ2(2)XRayligh(σ)\large X\sim \chi^2(2) \rightarrow X\sim \operatorname{Rayligh}(\sigma)

  • اگر RRayleigh(1)R\sim \mathrm {Rayleigh} (1) آنگاه مربع RR دارای توزیع کای ۲ با ۲ درجه آزادی است.

R2χ2(2)\large R^{2}\sim \chi ^{2}(2)

  • اگر متغیرهای تصادفی RiR_i دارای توزیع رایلی با پارامتر σ\sigma باشد، آنگاه مجموع آن‌ها دارای توزیع گاما (Gamma Distribution) است.

[Y=i=1NRi2]Γ(N,2σ2)\large\left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})

XExponential(λ)Y=XRayleigh(1/2λ)\large {\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}\rightarrow {\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }})}

  • متغیر تصادفی با توزیع وایبل با پارامتر شکل k=2k=2 دارای توزیع رایلی است. بطوری که λ=σ2\lambda=\sigma\sqrt{2}.

XW(λ,2)XRayleigh(λ2)\large X\sim W(\lambda , 2) \rightarrow X\sim \operatorname{Rayleigh}(\dfrac{\lambda}{\sqrt{2}})

  • فرض کنید متغیر تصادفی UU دارای توزیع یکنواخت در بازه (0,1)(0,1) باشد. آنگاه

X=σ2lnURayleigh(σ)\large {\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}‍\sim \operatorname{Rayleigh}(\sigma)

از این ویژگی بخصوص برای تولید اعداد تصادفی از توزیع رایلی براساس توزیع یکنواخت (Uniform Distribution) استفاده می‌شود. به این ترتیب شبیه‌سازی از این توزیع را می‌توان به سادگی به کمک توزیع یکنواخت انجام داد.

کاربردهای توزیع رایلی

کاربرد متغیر تصادفی با توزیع رایلی را می‌توان در دستگاه‌های تصویربرداری رزونانس مغناطیسی (Magnetic Resonance Imaging) یا MRI یافت. از آنجا که تصاویر MRI به عنوان تصاویر پیچیده ثبت می‌شوند اما بیشتر اوقات به عنوان تصاویر برداری یا مقداری در نظر گرفته می‌شوند که نوفه‌ها (Noise) در این تصویر دارای توزیع رایلی است.

همچنین از این توزیع برای توصیف داده‌های رژیم غذایی و نحوه تغذیه نیز استفاده می‌کنند، به این ترتیب ارتباط بین نوع تغذیه و واکنش‌های افراد و حتی حیوانات مورد بررسی قرار می‌گیرد.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار به بررسی توزیع و متغیر تصادفی رایلی پرداختیم و خصوصیات آن را بررسی کردیم. تابع چگالی و توزیع به همراه امید ریاضی و واریانس آن نیز مورد بحث قرار گرفت. همچنین ارتباط این توزیع با توزیع‌های دیگر نیز معرفی شدند. کاربردهای مربوط به این توزیع آماری در فیزیک و دستگاه‌های فیزیکی به چشم می‌خورد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرسWikipedia
دانلود PDF مقاله
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *