شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
توابع متعامد – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۱۲۴۴۰ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۱۹ آبان ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۵۳ دقیقه
دانلود PDF مقاله
پیشتر در وبلاگ فرادرس در مورد مفاهیم مربوط به سری فوریه صحبت شد. در این مطلب قصد داریم تا مفهومی مرتبط با سری فوریه تحت عنوان توابع متعامد را معرفی کنیم. بدین منظور در ابتدا بایستی با توابع متناوب و توابع زوج و فرد آشنا باشید.
نکته ۲: دو تابع دورهای معروف، توابع سینوس و کسینوس هستند که در ادامه این مطلب، بسیار از آنها استفاده خواهد شد. به یاد داشته باشید که دوره تناوب دو تابع sin(ωx) و cos(ωx) برابر است با:
T=ω2π
توابع زوج و فرد
مفهوم دیگری که قبل از معرفی توابع متعامد، بایستی با آن آشنا باشید، توابع زوج و فرد هستند. به تابعی زوج گفته میشود که رابطه زیر در آن برقرار باشد.
f(−x)=f(x)
همچنین تابعی فرد است که عبارت زیر برای آن صادق باشد.
f(−x)=−f(x)
برای نمونه دو تابع f(x)=x و f(x)=cosx به ترتیب فرد و زوج هستند. مفاهیم توابع زوج و فرد در محاسبه انتگرالهای معینی که روی بازهای متقارن باشند، بسیار کاربرد دارد.
نکته ۳: اگر تابع (f(x زوج باشد، در این صورت رابطه زیر در انتگرال روی بازههای متقارن برای آن برقرار است.
∫−LLf(x)dx=2∫0Lf(x)dx
همچنین اگر تابع (f(x فرد باشد، در این صورت انتگرال روی بازههای متقارن برای آن برابر با صفر خواهد بود. در حقیقت رابطه زیر را میتوان برای آن نوشت.
∫−LLf(x)dx=0
توجه داشته باشید که نکته ۳ تنها در مواردی کاربرد دارد که انتگرالگیری روی بازهای متقارن انجام شود. حال با آشنایی با توابع زوج و فرد و توابع دورهای زمان آن رسیده که توابع متعامد را معرفی کنیم.
توابع متعامد
در این قسمت تعریف عمود بودن دو تابع و چند تابع را به صورت مجزا ارائه میدهیم.
به دو تابع حقیقی غیر صفرِ (f(x و (g(x عمود گفته میشود، زمانی که در بازه a≤x≤b رابطه زیر بین آنها برقرار باشد.
∫abr(x)f(x)g(x)dx=0
r(x) تابع وزن است. اگر این تابع ثابت باشد، آن را برابر با 1 در نظر میگیریم (r(x)=1). همچنین مجموعهای از توابع {fi(x)} در بازه a≤x≤b زمانی دوبهدو به یکدیگر عمود هستند که رابطه زیر بین آنها برقرار باشد.
$$\large \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } r ( x) { { { f _ i } \left ( x \right ) { f _ j } \left ( x \right ) \, d x } } = \left \{ { \begin {array} {* { 2 0 } { l } } 0 & { i \ne j } \\ { c > 0 } & { i = j } \end {array} } \right. $$
بدیهی است که در شرایطی که i=j باشد، رابطه انتگرال به صورت زیر در میآید.
∫abr(x)fi(x)fi(x)dx=∫abr(x)[fi(x)]2dx>0
به منظور بررسی وضعیت تعامد توابع مثلثاتی نیز میتوان از روابط زیر بهره برد.
بدیهی است که هر دو عبارت n-m و n+m اعدادی صحیح هستند. بنابراین حاصل عبارت سینوسی بدست آمده در بالا نیز برابر با صفر است. نهایتا حاصل انتگرال به ازای n≠m برابر میشود با:
در نتیجه توابع sinLnπx به یکدیگر عمود هستند. مفهوم توابع متعامد، در مباحث سری و انتگرال فوریه بسیار پرکاربرد است. در ادامه تابعهای متعامد مهم و حاصل انتگرال آنها ارائه شدهاند.
$$\large \displaystyle \int _ { { - L } } ^ { L } { { \cos \left ( { \frac { { n \pi x } } { L } } \right ) \cos \left ( { \frac { { m \pi x } } { L } } \right ) \, d x } } = \left \{ { \begin {array} {*{20}{l}}{2L}&{{\mbox{if }}n = m = 0 } \\L&{{\mbox {if } } n = m \ne 0 } \\0& {{\mbox{if } }n \ne m } \end {array} } \right. $$
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
۷ دیدگاه برای «توابع متعامد – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»
عرفان
در تعریف تعامد تابع وزن لحاظ نشده است و پیشفرض تابع وزن تابع ثابت w(x)=1 در نظر گرفته شده است
حسین زبرجدی دانا
با سلام و وقت بخیر؛
فرمول اصلاح شد.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
علی اصغر
سلام
سپاس فراوان
مجتبی
سلام خسته نباشید
در ساخت ویدئو های تدریس از چه برنامه و نرم افزاری استفاده شده
ممنون
سمیرا
سلام.
آنچه که شما در مورد توابع متعامد بیان کرده اید جامعیت ندارد و تنها توابع حقیقی را شامل می شود. بهتر بود برای اینکه توابع مختلط نیز در این تعریف بگنجد می نوشتید دو تابع را متعامد گوییم هرگاه حاصل ضرب داخلی آن ها صفر باشد.
سید سراج حمیدی
سلام.
ویژگی حقیقی بودن تابع به متن اضافه شد.
از اینکه همراه مجله فرادرس هستید، خوشحالیم و سپاسگزاریم که با ارائه نظرات خود ما را در افزایش کیفیت مطالب کمک میکنید.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در تعریف تعامد تابع وزن لحاظ نشده است و پیشفرض تابع وزن تابع ثابت w(x)=1 در نظر گرفته شده است
با سلام و وقت بخیر؛
فرمول اصلاح شد.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
سلام
سپاس فراوان
سلام خسته نباشید
در ساخت ویدئو های تدریس از چه برنامه و نرم افزاری استفاده شده
ممنون
سلام.
آنچه که شما در مورد توابع متعامد بیان کرده اید جامعیت ندارد و تنها توابع حقیقی را شامل می شود. بهتر بود برای اینکه توابع مختلط نیز در این تعریف بگنجد می نوشتید دو تابع را متعامد گوییم هرگاه حاصل ضرب داخلی آن ها صفر باشد.
سلام.
ویژگی حقیقی بودن تابع به متن اضافه شد.
از اینکه همراه مجله فرادرس هستید، خوشحالیم و سپاسگزاریم که با ارائه نظرات خود ما را در افزایش کیفیت مطالب کمک میکنید.
بسیار عالی