انتگرال رادیکالی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

انتگرال توابع رادیکالی

در حالتی عمومی نمی‌توان رابطه‌ای واحد برای محاسبه انتگرال رادیکالی ارائه داد.

در اکثر مواردی که با چنین توابعی مواجه‌اید می‌توانید حالت‌های مختلف را بررسی کرده و در صورت رخ دادن یکی از حالت‌های زیر، مسئله را حل کنید.

انتگرال شامل $$\large { \sqrt[ {n} \ ] { \left( { \frac { a x + b } { c x + d } } \right ) } }$$

برای حل انتگرال فوق باید از تغییر متغیر زیر استفاده کرد.

$$\color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } }} u = { \sqrt[ {n}]{ { \frac { a x + b } { c x + d } } } } \color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } } }$$

مثال ۱

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$\color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } }} \int { \sqrt[3] { { 5 x – 1 } } d x } \color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } } }$$

انتگرال فوق را می‌توان با استفاده از تغییر متغیر بیان شده در بالا بدست آورد. البته توجه داشته باشید پس از نوشتن تغییر متغیر، دیفرانسیل مربوط به آن نیز باید تعریف شود. نهایتا تغییر متغیر در نظر گرفته شده و دیفرانسیل آن برابرند با:

$$\color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } } } { u = {\left( { 5 x – 1 } \right)^{\frac { 1 } { 3 } } } } = { \sqrt[3]{{5x – 1 } } } \;\; \Rightarrow { 5 x – 1 = { u ^ 3 } } \;\; \Rightarrow { 5 x = { u ^ 3 } + 1 } \Rightarrow { x = \frac { { { u ^ 3 } + 1 } } { 5 } \;\;} \kern0pt { d x = \frac { { 3 { u ^ 2 } d u } } { 5 } } \color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } } }$$

در نتیجه حاصل انتگرال برابر می‌شود با:

$$\large \color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } } } {\int {\sqrt[3] { { 5 x – 1 } } d x } } = { \int { u \cdot \frac { { 3 { u ^ 2 } d u } } { 5 } } } = { \frac { 3 } { 5 } \int { { u ^ 3 } d u } } = { \frac { 3 }{ 5 } \cdot \frac { { { u ^ 4 } } } { 4 } + C } = { \frac { { 3 {u ^ 4 } } } { { 2 0 } } + C } = { \frac { { 3 \sqrt[3 \ \ \ ] { { \left( { { {5x – 1} } ^ 4 } \right ) } } } } { { 20 } } + C } \color {white} { { \sqrt[ { n } ] { { \frac { a x + b } { c x + d } } } } }$$

البته انتگرال فوق به‌صورت کسری نبود، از این رو حل آن نیز به‌نسبت آسان‌تر است.

مثال ۲

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$ \displaystyle \int \limits ^ { \cssId {upper-bound-mathjax}{\class{placeholder}{ }}}_{\cssId{lower-bound-mathjax}{\class{placeholder}{ } } } \sqrt { \left( \dfrac{5x+2}{4x+5} \right) }\,\cssId{int-var-mathjax}{\mathrm { d } x } $$