اعداد صحیح چیست و چه اعدادی هستند؟ – به زبان ساده

در نوشتاری که مربوط به معرفی اعداد طبیعی بود، اشاره کردیم که این مجموعه اعداد، نسبت به عمل جمع و ضرب بسته هستند ولی نسبت به تفریق و تقسیم بسته نخواهند بود. زمانی که دو عدد طبیعی را از یکدیگر کم کنید، ممکن است حاصل دیگر به مجموعه اعداد طبیعی تعلق نداشته باشد. به این دلیل ریاضی‌دانان در صده‌های گذشته، به دنبال مجموعه‌ای از اعداد بودند که مطمئن باشند، حاصل تفریق دو عدد در آن مجموعه نیز شناخته شده است. این گونه بود که اعداد صحیح ظاهر شدند و برای حل بسیاری از معادلات به کار آمدند.

مجموعه اعداد صحیح و خصوصیات آن

همانطور که اشاره شد، ممکن است که تفاصل دو عدد طبیعی دیگر یک عدد طبیعی نباشد. در این حالت، زمانی که اعداد صحیح بوجود نیامده بودند، برای تفریق دو عدد طبیعی این قانون را باید در نظر می‌گرفتیم که حتما در رابطه زیر $$a$$ بزرگتر از $$b$$‌ باشد.

$$\large a-b \in N ,\;\;\;a \geq b$$

بدون توجه به این شرط دیگر امکان تفاضل وجود نداشت برای حل این مشکل، لازم است که گستره اعداد شناخته شده را افزایش دهیم و به کمک آن‌ مجموعه (که بیانگر اعداد صحیح است) حاصل این تفریق را مشخص کنیم.

مجموعه اعداد صحیح

مجموعه اعداد صحیح (Integers) با علامت $$Z$$ نشان داده می‌شود. علامت $$Z$$ از ابتدای کلمه آلمانی (Zahlen) به معنی «عدد» گرفته شده است. البته در انگلیسی به این گونه اعداد Integer‌ گفته می‌شود که از کلمه لاتین (Integer) به معنی عدد گرفته شده است. این مجموعه اعداد شامل صفر، اعداد طبیعی و اعداد منفی (قرینه اعداد مثبت) است.

$$\large Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$

$$\large N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$$

نکته: در مقابل با اعداد گویا یا کسری (Rational Numbers)، اعداد صحیح را گاهی اعداد درست گویا (Rational Integers) نیز می‌نامند.

نمایش اعداد صحیح روی محور اعداد

در دیگر مطالب فرادرس اشاره کردیم که می‌توان اعداد طبیعی را روی محوری جهت دار نمایش داد. به همان شکل، اعداد صحیح را نیز می‌توانیم روی دو محوری نشان دهیم که از هر دو طرف بی‌کران است. عدد صفر مرکز یا محل اتصال این دو محور است. در سمت راست صفر، مقادیر مثبت و در سمت چپ آن مقادیر منفی قرار می‌‌گیرند. برای درک بهتر این موضوع به تصویر زیر توجه کنید.

در این محور، اعداد مثبت با رنگ آبی و اعداد منفی با رنگ قرمز مشخص شده‌اند. همچنین عدد صفر نیز در مرکز این محورها دیده می‌شود. واضح است که هر چه از سمت چپ این محور به سمت راست حرکت کنیم، اعداد بزرگتر خواهند شد. برای مثال می‌توان گفت که $$-9 <3$$ است زیرا روی محور اعداد عدد $$-9$$‌ در سمت چپ $$3$$ قرار گرفته است. بنابراین هنگام مقایسه دو عدد روی محور، آن عددی بزرگتر است که در سمت راست عدد دیگر قرار گرفته باشد. به همین ترتیب اگر عددی در سمت چپ عدد دیگر روی محور باشد، کوچکتر از آن خواهد بود.

فیلم آموزش نمایش اعداد صحیح روی محور مختصات در فرادرس

کلیک کنید

عددهای آبی (سمت راست مقدار صفر) در تصویر ۱ را اعداد صحیح مثبت و اعداد قرمز (سمت چپ مقدار صفر) را اعداد صحیح منفی می‌نامند. واضح است که در سمت راست مقدار صفر، مقادیر مثبت بوده و در سمت چپ صفر روی محور اعداد، همه مقادیر منفی هستند.

اگر دقت کنید، اعدادی که در سمت چپ محور دیده می‌شوند، قرینه اعداد سمت راست هستند. به این معنی که هر عدد صحیح مثبتی را با قرینه کردن، می‌توان به صورت یک عدد صحیح منفی درآورد. برای اعداد مثبت روی محور، اغلب از علامت + استفاده می‌شود. ولی اگر برای عددی، علامت گذاشته نشود، آن را مثبت در نظر می‌گیریم.

نکته: عدد صفر، نه مثبت است و نه منفی به همین جهت آن را در مجموعه اعداد صحیح مثبت یا اعداد صحیح منفی مشخص نمی‌کنند.

عبارت‌های زیر برای اعداد صحیح، گزاره‌های درست هستند.

• هر عدد صحیح مثبت، از هر عدد صحیح منفی، بزرگتر است. برای مثال $$-5 < 5$$ است.
• همه عددهای صحیح منفی از صفر کوچکتر هستند. مشخص است که می‌توان به $$-5 < 0$$ اشاره کرد.
• همه اعداد صحیح بزرگتر از صفر، مثبت هستند. مثلا $$0 < 4$$.
• هر عدد صحیح منفی، قرینه یک عدد صحیح مثبت است. برای مثال قرینه عدد ۶+، برابر با ۶- است که یک عدد صحیح منفی است.
• هر عدد صحیح مثبت، قرینه یک عدد صحیح منفی است. می‌دانیم که ۶- یک عدد منفی است و قرینه آن برابر است با ۶+ که مقداری مثبت خواهد بود.

شبیه ساز اعداد صحیح

گفتیم اعداد صحیح شامل سه بخش اعداد مثبت، اعداد منفی و صفر هستند. برای درک بهتر این نکته و دنبال کردن اعدد صحیح روی محور اعداد می‌توانید از شبیه‌ساز دانشگاه کلورادو به شکل زیر استفاده کنید:

خصوصیات اعداد صحیح

از آنجایی که اعدادطبیعی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند، بعضی از خصوصیات آن‌ها نیز به مجموعه اعداد صحیح نسبت داده می‌شود. در ادامه به بعضی از این خاصیت‌های جالب برای اعداد صحیح اشاره می‌کنیم.

ترتیب در اعداد صحیح

همانطور که در مباحث مربوط به اعداد طبیعی گفته شد، این مجموعه اعداد در اصل خوش‌ترتیبی (Well-ordering theorem) صدق می‌کنند به این معنی که هر زیر مجموعه‌ای از اعداد طبیعی، دارای کوچکترین عضو است. ولی مجموعه اعداد صحیح از این قاعده مستثنی است یعنی زیر مجموعه‌هایی از اعداد صحیح وجود دارد که کوچکترین عضو ندارند.

برای مثال فرض کنید مجموعه $$\{\ldots,-1,0\}$$ زیر مجموعه‌ای از اعداد صحیح است که کوچکترین عضو ندارد. پس این مجموعه در اصل خوش‌ترتیبی صدق نمی‌کند. ولی می‌توانیم به مانند اعداد طبیعی، مجموعه اعداد صحیح را دارای ترتیب بدانیم. به این معنی که اگر $$A=\{\ldots,a\}$$ و $$B=\{\ldots,b\}$$ و داشته باشیم $$A\subseteq B$$ آنگاه $$a\leq b$$ است.

این شیوه ایجاد ترتیب در اعداد را در نوشتار مربوط به اعداد طبیعی فرا گرفته‌ایم. واضح است که ترتیبی که روی محور اعداد صحیح در نظر گرفته‌ایم از همین نوع است.

بسته بودن مجموعه اعداد صحیح به جمع، تفریق و ضرب

براساس خصوصیات اعداد طبیعی، می‌دانیم که این مجموعه اعداد، نسبت به ضرب و جمع بسته هستند. این خاصیت به مجموعه اعداد صحیح نیز می‌رسد. به این ترتیب مشخص است که جمع، تفاضل و ضرب هر دو عدد صحیح، عضوی از مجموعه $$Z$$ خواهد بود. بنابراین اگر $$a$$ و $$b$$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه روابط زیر برقرار هستند.

$$\large \forall a,b \in Z ;\;\;(a+b) \in Z$$

$$\large \forall a,b \in Z ;\;\;(a\times b) \in Z$$

و البته مجموعه اعداد صحیح نسبت به عمل تقریق نیز بسته هستند.

$$\large \forall a,b \in Z ;\;\;(a - b) \in Z$$

ولی مجموعه اعداد صحیح نسبت به تقسیم بسته نیست. به بیان ریاضی این گزاره به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large \forall a,b \in Z ;\;\;(\frac{a}{b}) \notin Z$$.

برای مثال اگر $$a=10$$ و $$b=-3$$ باشد، حاصل $$\frac{a}{b}=\frac{10}{-3}=-3.3333$$ یک عدد صحیح نخواهد بود.

مجموعه اعداد صحیح و خواص جبری آن‌ها

عملگرهای جمع و ضرب در مجموعه اعداد صحیح دارای خاصیت جابجایی و شرکت‌پذیری هستند، به این معنی که می‌توان روابط زیر را برای این مجموعه اعداد در نظر گرفت.

$$\large \forall a,b \in Z, \;\; a+b =b+a\;\;\;\;\;, a \times b = b \times a$$

خاصیت جابجایی

$$\large \forall a , b, c \in Z,\;a+(b+c)=(a+b)+c, \;\;\;\;\;a \times(b \times c) = (a \times b) \times c$$

خاصیت شرکت‌پذیری

$$\large \forall a , b, c \in Z,\;\;a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$$

عدد صفر، عضو خنثی عمل جمع و عدد یک نیز عضو خنثی عمل ضرب در مجموعه اعداد صحیح است. ضرب دو عدد منفی، مقداری مثبت و ضرب یک عدد منفی در یک عدد مثبت، منفی خواهد بود. در مجموعه اعداد صحیح، برای هر عضو، عامل معکوس جمعی وجود دارد بطوری که

$$\large a \in Z , a+(-a)=0$$

همچنین برای اعداد صحیح عامل خنثی ضرب برابر با مقدار یک است زیرا:

$$\large a \in Z , a\times 1=a$$

بعضی از این خصوصیات را در جدول زیر خلاصه کرده‌ایم.

البته باید دو ویژگی مهم که بخصوص در حل معادلات برمبنای اعداد صحیح ما را یاری می‌رساند نیز به این خصوصیات اضافه کرد.

فرض کنید $$a$$ و $$b$$ دو عدد صحیح هستند و رابطه $$a\leq b$$‌ بینشان برقرار است در این صورت اضافه کردن مقدار $$c$$ به دو طرف این رابطه، جهت ترتیب را عوض نمی‌کند. به بیان ریاضی می‌توان نوشت:

$$\large a\leq b \rightarrow a+c \leq b+c, \;\;\; \forall c \in R$$

و همینطور برای ضرب نیز رابطه ترتیبی در اعداد صحیح تغییر نخواهد کرد به شرطی که مضرب (یا $$c$$)، عددی مثبت باشد.

$$\large a\leq b \rightarrow a\times c \leq b\times c, \;\;\; \forall c>0 \in R$$

کاربرد اعداد صحیح در رایانه‌ها

عدد صحیح معمولاً به عنوان پیش فرض برای تعیین نوع داده در رایانه‌ها به کار می‌رود. البته باید توجه داشت که نوع داده صحیح (Integer Data Type) فقط قادر است زیر مجموعه‌ای از اعداد صحیح را بیان کند زیرا متاسفانه نمی‌توان انتظار داشت که در رایانه‌ها مفهوم بی‌نهایت گنجانده شود و مثلا مجموعه مقادیر $$A=\{-\infty,\ldots,0\}$$ را در رایانه‌ها ایجاد کرد. در بیشتر زبان‌های برنامه‌نویسی برای تعیین نوع داده صحیح از کلید واژه «Int» (مثلا در  Algol68 ، C ، جاوا) استفاده می‌شود که سرکلمه Integer است.

فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

معمولا حافظه‌ای که برای نگهداری اعداد صحیح در نظر گرفته می‌شود مضاربی از ۲ (یا ۲ بیت) هستند برای مثال ممکن است ۸ بیت، ۳۲ یا ۶۴ بیت برای نگهداری اعداد صحیح در رایانه‌ها اختصاص داده شود.

عدد کاردینال (اصلی) برای مجموعه اعداد صحیح

در این حالت برای مجموعه اعداد طبیعی، عدد کاردینال را برابر با $$\aleph_{0}$$ (بخوانید الف-صفر) در نظر می‌گیرند و برمبنای آن اگر یک تناظر یک به یک بین اعضای هر مجموعه با مجموعه اعداد طبیعی وجود داشته باشد، آنگاه عدد کاردینال آن مجموعه نیز $$\aleph_{0}$$ خواهد بود. در ادامه به کمک یک رابطه نشان می‌دهیم که عدد کاردینال مجموعه اعداد صحیح نیز برابر با $$\aleph_0$$ است.

$$\large f(x)= \begin{cases}2|x|&, \text{ if } x\leq 0 \\ 2x-1&, \text { if } x>0 \end{cases}$$

در نتیجه اگر $$x$$‌ یک عدد صحیح باشد، می‌توانیم مجموعه اعداد طبیعی را از آن تولید کنیم. بنابراین عدد کاردینال برای مجموعه اعداد طبیعی و صحیح یکسان و برابر با $$\aleph_0$$ خواهد بود.

نکته: اگر اعداد طبیعی را بدون صفر در نظر بگیریم، رابطه یک به یک بین اعداد طبیعی و صحیح به صورت زیر نوشته خواهد شد که باز هم برابری اعداد کاردینال برای هر دو مجموعه را تضمین خواهد کرد.